РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА МЕТОДОМ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

№58-1,

Физико-математические науки

В статье исследуется проблема стохастической интерпретации квантомеханических уравнений. Предложен способ приближенного решения уравнения Шредингера расчетов на основе метода имитационного моделирования. Рассмотрен пример моделирования течения газа квантовых частиц.

Похожие материалы

Одной из актуальных тем современной науки является дискуссия о т.н. стохастической интерпретации уравнений квантовой механики [1-3].

В данной статье на основании работ [4-7] предложен метод имитационного моделирования квантового газа на основе имитационного моделирования броуновского движения системы квантовых частиц массы m под действием стохастических колебаний среды с коэффициентом диффузии D, зависящим от температуры и плотности квантового газа в соответствии с универсальной формулой. Динамика частиц квантового газа имитируется при помощи системы уравнений движения, аналогичных уравнению Ланжевена.

Внешние силы, действующие на частицы подчиняются закону Ньютона и состоят из двух компонент, одна из которых определяется потенциалами взаимодействия частиц и внешними полями, другая, моделирующая колебания среды, носит случайный (шумовой) характер, соответствующий процесс определяется как «белый шум», корреляционная функция которого зависит от температуры T и плотности частиц \rho (r,t). Система уравнений Ланжевена сводится классическим методом моментов к уравнению квантовой гидродинамики, которые соответствуют формулировке уравнения Шредингера в форме Маделунга. Соответствующая замена переменных сводит это уравнение к традиционной записи уравнения Шредингера для волновой функции \Psi(r,t). Имитация броуновского движения частиц квантового газа позволяет вычислить уровни энергии квантово-механических систем как состояния динамического равновесия между стохастическим воздействием тепловых колебаний среды и сдерживающим действием потенциальных сил. При этом частицы обладают классическими траекториями, а волновая функция является лишь результатом усреднения по ансамблю.

Математическая формулировка задачи

В рассматриваемой модели исходной является система уравнений Ланжевена, описывающих динамику квантовых частиц:

dv_i/dt= - \gamma v_i +  f (x_i,t)/m + \xi_i(t) /m, dx_i/dt=v_i

i=1,2,…,N,

где vi - скорость, xi - координата, N - число частиц, m - масса частицы, \gamma - коэффициент затухания скорости частицы (коэффициент трения \gamma = m/\tau, который может быть определен, например, из закона Стокса), f(x,t) - плотность сторонней силы, \xi_i - плотность случайной силы, t - время.

Шумовой член силы описывается соотношениями белого шума. Среднее и парный коррелятор случайной силы равны:

M(\xi(t))=0, M(\xi(t_1),\xi(t_2))=2D\delta(t_1 - t_2)

D - некоторая постоянная, соответствующая коэффициенту диффузии броуновской частицы.

Функция распределения квантовой частицы может быть определена при помощи соотношения: \rho(x,v,t) = <\delta (x-x(t)) \delta(v-v(t))>, где x(t), v(t) - решения уравнений Ланжевена. При помощи записанного выражения с учетом уравнений движения находится соответствующее уравнение Фоккера-Планка:

\partial_t \rho = -v\partial_x \rho - \gamma \partial_v (\rho v) + f/m  \partial_v \rho  + D \partial^2_v \rho

из которого методом моментов получаем уравнение неразрывности и переноса импульса: \partial_t n+ \partial_x (n v) = 0, где n - концентрация частиц,

\partial_t (n u) + \partial_x (n<v^2>) - \gamma n u  - n f/m = 0,

m n<v^2> = m n u^2 + m n <(v-u)^2> = m n u^2 + P_{11},

P_{11}=nk_BT+s_{11} - тензор давления, состоящий из газокинетической составляющей и тензора напряжений электронного газа в форме потенциала Бома: s_{11}= - \hbar^2/(4m) \partial^2_x (ln n), угловые скобки всюду обозначают статистическое среднее. Из полученных соотношений следует:

\partial_t  u + u \partial_x u + (m n)^{-1}\partial_x P_{11} - \gamma u  - f/m = 0

m <v^2> = k_B T - \hbar^2/(4m) \partial^2_x (ln n), <v^2> = D/\gamma

D=\gamma (k_B T/m - \hbar^2/(4m^2) \partial^2_x (ln n))

при таком определении коэффициента диффузии броуновских частиц система уравнений Ланжевена и уравнение Фоккера-Планка соответствуют уравнению Шредингера-Ланжевена.

Если трение в системе отсутствует, то средний квадрат хаотической составляющей скорости и коэффициент диффузии броуновской частицы должны определяться согласно соотношениям:

\langle v^2\rangle=2Dt, D=(k_B T/m - \hbar^2/(4m^2) \partial^2_x (ln n))/(2t)

а система уравнений Ланжевена и уравнение Фоккера-Планка соответствуют обычному уравнению Шредингера.

Вычислительный процесс состоит из следующих этапов:

  1. Вычисление выборочных реализаций скорости и координат квантовых частиц в соответствии со стохастическими уравнениями Ланжевена.
  2. На каждом шаге по времени вычисляется концентрация частиц и пересчитывается коэффициент их диффузии.
  3. После требуемого числа шагов интегрирования по времени осуществляется обработка полученной статистики, строится гистограмма распределения частиц в объеме, находятся моменты распределения и т.п.

Некоторым недостатком метода является требование оценки второй производной от концентрации частиц. Устранить данное несовершенство можно при помощи уравнения Шредингера, выразив вторые производные модуля волновой функции через производные первого порядка от модуля и фазы волновой функции квантовых частиц (первая соответствует концентрации, а последняя – переносной («текущей») скорости u).

Есть основания предполагать, что данный метод окажется эффективным приемом моделирования или, по крайней мере, методом получения хорошего начального приближения при решении многочастичного уравнения Шредингера. На основе описанной методики относительно просто формулируется соответствующий вариант метода крупных частиц для квантомеханического уравнения.

Список литературы

  1. Файнберг В.Я. Связь между уравнениями Фоккера–Планка–Колмогорова и нелинейными уравнениями Ланжевена / ТМФ, 149:3 (2006), 483–501.
  2. http://www.dissercat.com/content/problemy-mikroskopicheskoi-nerelyativistskoi-kvantovoi-gidrodinamiki
  3. http://andjournal.sgu.ru/sites/default/files/2007no4p068.pdf
  4. Некрасов С.А., Ткачев А.Н. Теория вероятностей и ее приложения: Учеб. пособие/ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. – Новочеркасск: ЮРГТУ, 2007. 148 с.
  5. Некрасов С.А. Решение интегральных уравнений методом Монте Карло // NovaInfo.Ru (Электронный журнал.) – 2016 – № 53; URL: http://novainfo.ru/article/8242
  6. Некрасов С.А. Решение n-мерного уравнения Шредингера методом интегральных уравнений на псевдослучайной сетке // NovaInfo.Ru (Электронный журнал.) – 2016 – № 55; URL: http://novainfo.ru/article/8797
  7. Некрасов С.А. Методы ускоренного статистического моделирования и их применение в электротехнических задачах/ Изв. вузов. Электромеханика. 2008. No 5. С. 13-19. http://elibrary.ru/item.asp?id=12159957