АССОЦИИРОВАННАЯ СВЯЗНОСТЬ ОБАТЫ НА ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИЯ

№58-1,

Физико-математические науки

В статье исследуется геометрия почти контактного гиперкомплексного и почти контактного гиперкэлерова многообразий. Определяются внутренняя и ассоциированная связности Обаты, сохраняющие почти контактную гиперкомплексную структуру. Доказывается, что почти контактное гиперкэлерово многообразие является η-Эйнштейновым многообразием.

Похожие материалы

Введение

В данной работе изучаются некоторые вопросы теории почти контактных гиперкомплексных многообразий. Гиперкомплексное многообразие — это дифференцируемое многообразие с тремя комплексными структурами, которые удовлетворяют кватернионным соотношениям. Почти контактное гиперкомплексное многообразие является нечетномерным аналогом гиперкомплексного многообразия.

Связность Обаты на гиперкомплексном многообразии является единственной связностью без кручения, сохраняющей гиперкомплексную структуру. Существование и единственность этой связности были доказаны Обатой [62, 63, 65]. Интерес к исследованию гиперкомплексных многообразий во многом определяется запросами физиков-теоретиков [48, 52]. Различные аспекты теории гиперкомплексных многообразий представлены в работах [36-41, 43-50]. В работах [53-59] изучались связности, определяемые на многообразиях с гиперкомплексной и гиперкэлеровой структурой. Основным примером почти контактной гиперкэлеровой структуры является продолженная структура [1, 2, 4, 6, 7, 10, 14-15, 19-24, 26, 28, 29, 32-34], естественным образом определяемая на распределении D нулевой кривизны сасакиева многообразия M [17, 18, 25]. Идея построения продолженной почти контактной структуры основана на использовании аналогии между геометрией касательного расслоения риманова многообразия и геометрией распределения D почти контактной метрической структуры (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g, D). В работе [15] указывается на возможность использования продолженных почти контактных метрических структур при построении геометрических моделей задач неголономной механики. В то же время, ранг распределения продолженной структуры заведомо меньше максимально возможного ранга. Последнее обстоятельство учтено в определении почти контактной гиперкомплексной структуры.

Во втором разделе работы приводятся определения почти контактной гиперкомплексной и почти контактной гиперкэлеровой структур. Определяются адаптированные системы координат, эффективно используемые при доказательстве некоторых теорем. В третьем разделе определяется внутренняя связность Обаты. Перечисляются простейшие свойства связности Обаты. В частности, показывается, что внутренняя связность Обаты сохраняет почти контактную гиперкомплексную структуру и имеет нулевое кручение. В четвертом разделе приводится конструкция почти контактной гиперкэлеровой структуры на распределении сасакиева многообразия. В пятом разделе определяется тензор Схоутена-Риччи. Доказывается, что тензор Схоутена-Риччи почти контактного гиперкэлерова многообразия тождественно равен нулю. Заключительная теорема раздела и всей работы утверждает, что почти контактное гиперкэлерово многообразие является \eta-Эйнштейновым многообразием.

Необходимые сведения о геометрии почти контактных метрических пространств можно извлечь из статьи [17]. В работе использованы результаты исследований касательных расслоений римановых многообразий (см., например, [59-61, 64]). Некоторые из полученных в работе результатов имеют аналоги в геометрии гиперкэлеровых многообразий [36, 37, 42, 44]. В работах [3, 5, 8, 9, 11-13, 16, 18, 25, 27-31, 35, 50, 51] рассматривались различные аспекты геометрии многообразий с почти контактной метрической структурой.

Почти контактные гиперкомплексные и почти контактные гиперкэлеровы многообразия

Почти контактным многообразием называется гладкое многообразие M нечетной размерности n=2m+1 с заданной на нем почти контактной структурой (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, D). Тензорные поля \vec{\xi}, \eta, ;\varphi связаны соотношениями

\varphi^2=-I+\eta\otimes \vec{\xi}, \eta(\vec{\xi})=1, d\eta(\vec{\xi},\cdot)=0.

Распределение D=\ker \eta=im \varphi называется распределением почти контактным структуры. Векторное поле \vec{\xi} называется векторным полем Риба. Тензорное поле t, заданное на почти контактном многообразии, назовем допустимым (к распределению D), если t(\vec{\xi},\cdot)=t(\eta,\cdot)=0. Структурный эндоморфизм \varphi является допустимым тензорным полем, называемым в дальнейшем допустимой почти комплексной структурой.

Почти контактная структура называется нормальной, если выполняется условие N_\varphi +2d\eta\otimes \vec{\xi}=0, где N_\varphi (\vec{x},\vec{y})=[\varphi \vec{x},\varphi\vec{y}]+\varphi^2 [\vec{x},\vec{y}]-\varphi[\varphi\vec{x},\vec{y}]-\varphi[\vec{x},\varphi\vec{y}] - тензор Нейенхейса эндоморфизма \varphi. Если эндоморфизм \varphi удовлетворяет более слабому условию N_\varphi +2(d\eta\circ \varphi)\otimes \vec{\xi}=0, то соответствующую почти контактную структуру будем называть почти нормальной структурой, а сам эндоморфизм – интегрируемой допустимой почти комплексной структурой. Гладкое распределение D^{\bot}=Span(\vec{\xi}) называется оснащением распределения D. Имеет место разложение TM=D\oplus D^{\bot}.

Карту K(x^{\alpha})(\alpha,\beta,\gamma=1,...,n)(a,b,c=1,...,n-1) будем называть адаптированной к распределению D, если \partial_n=\vec{\xi}. Пусть P:TM\rightarrow D - проектор, определяемый разложением TM=D\oplus D^{\bot}, и K(x^{\alpha}) - адаптированная карта. Векторные поля P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n} линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение D: D=Span(\vec{e}_{a}). Таким образом, мы имеем на многообразии M неголономное поле базисов (\vec{e}_\alpha)=(\vec{e}_{a},\partial_{n}) и соответствующее ему поле кобазисов (dx^a,\eta=\Theta^{n}=dx^{n}+\Gamma^{n}_{a}dx^{a}). Непосредственно проверяется, что [\vec{e}_{a},\vec{e}_{b}]=2\omega_{ba}\partial_{n}, где \omega=d \eta. Адаптированным будем называть также базис \vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}, как базис, определяемый адаптированной картой. Условие d\eta(\vec{\xi},\cdot)=0 влечет справедливость равенства \partial_{n}\Gamma^{n}_{a}=0.

Пусть K(x^{\alpha}) и K'(x^{\alpha'}) - адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат:

x^a=x^a(x^{a'}), x^n=x^{n'}+x^n(x^{a'}).

Координатное представление допустимого тензорного поля в адаптированной карте имеет вид:

t=t^{a_1 ...a_p}_{b_1 ... b_q}\vec{e}_{a_1}\otimes ... \otimes \vec{e}_{a_p} \otimes dx^{b_1}\otimes...\otimes dx^{b_q}.

Преобразование компонент допустимого тензорного поля в адаптированных координатах подчиняется следующему закону:

t^a_b =A^a_{a'}A^{b'}_b t^{a'}_{b'}, где A^{a'}_a=\frac{\partial x^{a'}}{\partial x^a}.

Модуль сечений гладкого распределения E\subset TM будем обозначать \Gamma(E). Проводя необходимые вычисления в адаптированных координатах, убеждаемся в справедливости следующего предложения.

Предложение 1. Для многообразия с почти контактной структурой выполняется равенство

P(N_{\varphi}(\vec{x},\vec{y}))=N_{\varphi}(\vec{x},\vec{y})+2d\eta(\varphi\vec{x},\varphi\vec{y})\vec{\xi}, \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(TM).

В дальнейшем будем использовать следующее обозначение:

\tilde{N}_{\varphi}=N_{\varphi}+2(d\eta\circ \varphi)\otimes \vec{\xi}.

Гиперкомплексная структура на гладком многообразии M представляет собой тройку интегрируемых почти комплексных структур (I,J,K), удовлетворяющих соотношению IJ=-JI=K. При этом M называется гиперкомплексным многообразием. Одним из первых гиперкомплексные структуры рассматривал Обата [62, 63]. Почти контактное многообразие M размерности n=4m+1 назовем почти контактным гиперкомплексным многообразием, если на нем дополнительно заданы допустимые интегрируемые почти комплексные структуры \varphi_1, \varphi_2 такие, что:

\varphi_1 \varphi_2=-\varphi_2 \varphi_1=\varphi.

Почти контактное многообразие M называется почти контактным метрическим многообразием, если M - риманово многообразие с метрическим тензором g, удовлетворяющим условию

g(\varphi \vec{x},\varphi \vec{y})=g(\vec{x},\vec{y})-\eta(\vec{x})\eta(\vec{y}).

Нормальное почти контактное метрическое многообразие называется многообразием Сасаки, если \Omega=d\eta, где \Omega(\vec{x},\vec{y})=g(\vec{x},\varphi \vec{y}) - фундаментальная форма структуры.

Если почти контактное гиперкомплексное многообразие M является почти контактным метрическим многообразием и при этом выполняется условие

g(\varphi_{i}\vec{x},\varphi_{i}\vec{y})=g(\vec{x},\vec{y})-\eta(\vec{x})\eta(\vec{y}),

то M назовем почти контактным гиперэрмитовым многообразием. Если, при этом, дифференциальные формы \Omega_{i}(\vec{x},\vec{y})=g(\vec{x},\varphi_{i}\vec{y}), \Omega(\vec{x},\vec{y})=g(\vec{x},\varphi\vec{y}) замкнуты, то соответствующее почти контактное гиперэрмитово многообразие будем называть почти контактным гиперкэлеровым многообразием.

Внутренняя и ассоциированная связности Обаты

Внутренней линейной связностью \nabla [20] на многообразии с почти контактной метрической структурой называется отображение \nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D), удовлетворяющее следующим условиям:

1) \nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}};

2) \nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y};

3) \nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z}.

где \Gamma(D) - модуль допустимых векторных полей.

Кручением и кривизной внутренней связности назовем допустимые [20] тензорные поля

S(\vec{x},\vec{y})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}],

R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}], \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D),

где P:TM\rightarrow D - проектор, определяемый разложением TM=D\oplus D^{\bot}, ;Q=1-P. Тензор R(\vec{x},\vec{y})\vec{z} назван Вагнером [17] тензором кривизны Схоутена. Внутренняя линейная связность обычным образом может быть применена к произвольному допустимому тензорному полю. В частности, внутренней метрической связностью будем называть единственную внутреннюю связность без кручения, для которой имеет место равенство

\vec{x}g(\vec{y},\vec{z})=g(\nabla_{\vec{x}}\vec{y},\vec{z})+g(\vec{y},\nabla_{\vec{x}}\vec{z}).

Коэффициенты внутренней метрической связности могут быть представлены в виде

\Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_{bc}).

Координатное представление тензоров кручения и кривизны в адаптированных координатах [20] имеет вид:

S^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab}-\Gamma^{c}_{ba},

R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]c}+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c}.

Ассоциированную с внутренней связностью \nabla связность \nabla^A определим как единственную связность на многообразии M, удовлетворяющую следующим условиям:

  1. \nabla^{A}_{\vec{x}}\vec{y}\in \Gamma(D) (1)
  2. \nabla^{A}_{\vec{x}}\vec{\xi}=\vec{0} (2)
  3. \nabla^{A}_{\vec{x}}\vec{y}=[\vec{\xi},\vec{y}] (3)
  4. \nabla^{A}_{\vec{y }}\vec{z}=\nabla_{\vec{y}}\vec{z} (4)
  5. \vec{x}\in \Gamma(TM), \vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D)

Корректность определения ассоциированной связности подтверждается следующим предложением.

Предложение 2. На почти контактном многообразии M с заданной на нем внутренней связностью \nabla, существует и притом единственная связность \nabla^A, удовлетворяющая условиям (1)-(4).

Доказательство.

  1. Единственность. Предположим, что связность \nabla^A, удовлетворяющая условиям (1)-(4), существует. Введем следующее обозначение для ее коэффициентов: \Gamma^{A \alpha}_{\beta \gamma}. Из выполнения условий (1)-(4) следует, что в адаптированных координатах отличными от нуля коэффициентами \Gamma^{A \alpha}_{\beta \gamma} связности \nabla^A являются лишь коэффициенты \Gamma^{A a}_{bc}=\Gamma^{c}_{ab}, где \Gamma^{c}_{ab} – коэффициенты связности \nabla.
  2. Существование. Определяя в адаптированных координатах отличные от нуля коэффициенты \Gamma^{A \alpha}_{\beta \gamma} с помощью равенства \Gamma^{A a}_{bc}=\Gamma^{c}_{ab}, получаем искомую связность. Предложение доказано.

Предложение 3. Тензор кривизны K ассоциированной связности связан с тензором кривизны Схоутена с помощью следующего равенства:

K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}+\eta(\vec{x})P(\vec{y},\vec{z})-\eta(\vec{y})P(\vec{x},\vec{z}).

Здесь P(\vec{x},\vec{y}) – допустимое тензорное поле с компонентами P^{a}_{bc}=\partial_{n}\Gamma^{a}_{bc}.

Для доказательства предложения достаточно получить координатные представления обеих частей равенства в адаптированных координатах.

Теорема 1 [17]. Допустимая почти комплексная структура \varphi интегрируема тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: \nabla^{A}\varphi=0, где \nabla^{A} - связность, ассоциированная с некоторой внутренней симметричной связностью \nabla.

По аналогии с канонической связностью гиперкомплексного многообразия [64], определим на многообразии с почти контактной гиперкомплексной структурой внутреннюю связность \nabla, полагая:

\nabla_{\vec{x}}\vec{y}=\frac{1}{2}\left(P[\vec{x},\vec{y}]+\varphi_1[\varphi_1 \vec{x},\vec{y}]-\varphi_2[\vec{x},\varphi_2\vec{y}]+\varphi[\varphi_1 \vec{x},\varphi_2\vec{y}]\right).

Назовем полученную выше связность внутренней связностью Обаты.

Предложение 4. Внутренняя связность Обаты сохраняет почти контактную гиперкомплексную структуру и имеет нулевое кручение.

Доказательство. Воспользовавшись формулой

(\nabla_{\vec{x}}\varphi_1)\vec{y}=\nabla_{\vec{x}}(\varphi_1\vec{y})-\varphi_1(\nabla_{\vec{x}}\vec{y}),

получаем:

2(\nabla_{\vec{x}}\varphi_1)\vec{y}=\varphi_1\tilde{N}_{\varphi_1}(\vec{x},\vec{y})-\varphi\tilde{N}_{\varphi_1}(\vec{x},\varphi_2\vec{y}).

Учитывая предложение 1, заключаем, что \nabla_{\vec{x}}\varphi_1=0. Справедливость равенства \nabla_{\vec{x}}\varphi_2=0 проверяется непосредственно. Кручение внутренней связности Обаты представимо в виде

2S(\vec{x},\vec{y})=\tilde{N}_{\varphi_2}(\vec{x},\vec{y})-\tilde{N}_{\varphi_1}(\vec{x},\vec{y})-\tilde{N}_{\varphi}(\varphi_1\vec{x},\varphi_1\vec{y}).

Тем самым предложение доказано.

Продолженная почти контактная гиперкэлерова структура

Внутренняя линейная связность может быть определена заданием горизонтального распределения над пространством векторного расслоения (D,\pi,M). Будем говорить, что над распределением D задана связность, если распределение \widetilde{D}=\pi^{-1}_{*}(D), где \pi:D \rightarrow M - естественная проекция, раскладывается в прямую сумму вида \widetilde{D}=HD \oplus VD, где VD - вертикальное распределение на тотальном пространстве D.

Введем на D структуру гладкого многообразия, поставив в соответствие каждой адаптированной карте K(x^{\alpha}) многообразия M сверхкарту \tilde{K}(x^{\alpha},\,x^{n+a}) на многообразии D, где x^{n+a} - координаты допустимого вектора в базисе \vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}. Построенную сверхкарту также будем называть адаптированной. Задание связности над распределением эквивалентно заданию объекта G^{a}_{b}(x^{\alpha},x^{n+a}) такого, что HD=Span(\vec{\varepsilon}_{a}), где \vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-G^{b}_{a}\partial_{n+b}. В случае, когда G^{a}_{b}(x^{a},x^{n+a})=\Gamma^{a}_{bc}(x^{a})x^{n+c}, связность над распределением определяется внутренней линейной связностью. Пусть \nabla - внутренняя линейная связность, определяемая горизонтальным распределением HD, и N:D\rightarrow D - поле допустимого тензора типа (1,1). Продолженной связностью назовем связность в векторном расслоении (D,\pi,M), определяемую разложением TD=\widetilde{HD}\oplus VD, такую, что \widetilde{HD}=HD\oplus\,span(\vec{u}), где \vec{u}=\partial_{n}.

Всякому векторному полю \vec{x}\in \Gamma(TM), заданному на многообразии M, обычным образом соответствует его горизонтальный лифт \vec{x}^h, при этом, \vec{x}^h\in \Gamma(HD) тогда и только тогда, когда \vec{x} - допустимое векторное поле: \vec{x}\in \Gamma(D).

Векторные поля (\vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-\Gamma^{b}_{ac}x^{n+c}\partial_{n+b},\vec{u}=\partial_{n},\partial_{n+a}), определяют на D неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы (dx^a, \Theta^n=dx^a+\Gamma^n_a dx^a, \Theta^{n+a}=dx^{n+a}+\Gamma^a_{bc}x^{n+c} dx^b) - соответствующее поле кобазисов.

Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\vec{\varepsilon}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_n+x^{n+d}R^{c}_{bad}\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\partial_n]=x^{n+d}\partial_n\Gamma^c_{ad}\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\partial_{n+b}]=\Gamma^{c}_{ab}\partial_{n+c}.

Объект P^{c}_{ad}=\partial_{n}\Gamma^{c}_{ad} не зависит от выбора адаптированной системы координат и представляет собой допустимое тензорное поле P(\vec{x},\vec{y}), \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D) типа (2,1).

Теорема 2. Пусть \nabla - внутренняя симметричная связность с тензором кривизны Схоутена R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}. Тогда для всех \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D) и \vec{p}\in D имеют место следующие равенства.

[\vec{x}^{h},\vec{y}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{y}]^{h}-\left\{R(\vec{x},\vec{y})\vec{p}\right\}^{v},

[\vec{x}^{h},\vec{\xi}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{\xi}]^{h}+\left\{P(\vec{x},\vec{p})\right\}^{v},

[\vec{x}^{h},\vec{y}^{v}]=(\nabla_{\vec{x}}\vec{y})^{v},

[\vec{x}^{v},\vec{xi}^{h}]=[\vec{x},\vec{\xi}]^{v}.

Доказательство теоремы основано на применении структурных уравнений.

Пусть (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g, D) - Сасакиева структура с распределением нулевой кривизны на многообразии M. Почти контактная гиперкэлерова структура (D,J_1,J_2,J_3,\vec{u}=\partial_n,\lambda=\eta\circ \pi_{*},\tilde{g},\tilde{D}) на распределении D многообразия M определяется посредством равенств

J_1\vec{x}^h=-(\varphi \vec{x})^h, J_1 \vec{x}^v=(\varphi \vec{x})^v, J_1(\vec{u})=\vec{0},

J_2\vec{x}^h=\vec{x}^v, J_2\vec{x}^v=-\vec{x}^h, J_2(\vec{u})=\vec{0},

J_3\vec{x}^h=(\varphi \vec{x})^v, J_3\vec{x}^v=(\varphi \vec{x})^h, J_3(\vec{u})=\vec{0},

\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^h)=\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{y}^v)=g(\vec{x},\vec{y}),

\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^v)=\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{y}^h)=\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{u})=\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{u})=0, \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D).

Свойства тензоров Схоутена и Схоутена-Риччи

Теорема 3. Тензор R(\vec{x},\vec{y},\vec{z},\vec{u}) кривизны распределения почти контактной метрической структуры удовлетворяет следующим условиям:

R(\vec{x},\vec{y},\vec{z},\vec{u})+R(\vec{y},\vec{x},\vec{z},\vec{u})=0 (5)

\sum_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})}\left\{R(\vec{x},\vec{y},\vec{z},\vec{u})\right\}=0 (6)

где R(\vec{x},\vec{y},\vec{z},\vec{u})=g(R(\vec{x},\vec{y}),\vec{u},\vec{z}), \vec{x},\vec{y},\vec{z},\vec{u}\in \Gamma(D).

Справедливость равенства (5) подтверждается известным свойством тензора кривизны произвольной связности и равенством K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}.

Для доказательства (6) воспользуемся тождеством Бьянки, координатная запись которого имеет вид:

K^{i}_{[kjl]}=2\nabla_{[k}S^{i}_{jl]}-4S^{h}_{[kj}S^{i}_{l]h} (7)

Отличными от нуля компонентами тензора кручения ассоциированной связности являются

S^{n}_{ab}=2\omega_{ab} (8)

Подставляя (8) в (7), получаем K^{n}_{[cab]}=4\nabla_{[c}\omega_{ab]}.

В адаптированных координатах компоненты d\omega имеют вид: d\omega_{abc}=\frac{1}{3}\left(\vec{e}_{a}\omega_{bc}+\vec{e}_{b}\omega_{ca}+\vec{e}_{c}\omega_{ab}\right), d\omega_{nab}=\frac{1}{3}\partial_{n}\omega_{ab}.

Таким образом, учитывая симметричность внутренней связности, убеждаемся в том, что равенство d\omega_{\alpha\beta\gamma}=0 влечет равенство \nabla_{[c}\omega_{ab]}=0. Тем самым, теорема доказана.

Тензором Схоутена-Риччи назовем допустимое тензорное поле r(\vec{y},\vec{z})=tr(\vec{x}\rightarrow R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}), \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D). Координатное представление тензора Схоутена-Риччи имеет вид: r_{ab}=R^{c}_{cab}.

Теорема 4. Тензор Схоутена-Риччи почти контактного гиперкэлерова многообразия тождественно равен нулю.

Доказательство. Заметим, что тензор Схоутена-Риччи почти контактного гиперкэлерова многообразия не зависит от последней координаты адаптированной системы координат и, тем самым, относится к объектам трансверсальной геометрии почти контактного метрического многообразия. Таким образом, осталось лишь сослаться на аналогичный результат для гиперкэлерова многообразия [42].

Теорема 5. Почти контактное гиперкэлерово многообразие является \eta-Эйнштейновым многообразием.

Доказательство. Проводя необходимые вычисления, убедимся в справедливости равенства

\tilde{K}(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}+\eta(\vec{x})P(\vec{y},\vec{z})-\eta(\vec{y})P(\vec{x},\vec{z})+g(\vec{z},\varphi\vec{x})\varphi\vec{y}-g(\vec{z},\varphi\vec{y})\varphi\vec{x}+2g(\vec{x},\varphi\vec{y})\varphi\vec{z}+\eta(\vec{z})\eta(\vec{y})\vec{x}-\eta(\vec{z})\eta(\vec{x})\vec{y}+\eta(\vec{x})g(\vec{y},\vec{z})\vec{\xi}-\eta(\vec{y})g(\vec{x},\vec{z})\vec{\xi}.

Здесь \tilde{K}(\vec{x},\vec{y})\vec{z} тензор кривизны связности Леви-Чивита. Используя последнее равенство и условие теоремы, получаем:

\tilde{K}^{d}_{abc}=\omega_{ca}\varphi^{d}_{b}-\omega_{cb}\varphi^{d}_{a}+2\omega_{ba}\varphi^{d}_{c}, \tilde{K}^{n}_{nbc}=g_{cb}.

Далее, получаем: \tilde{K}^{\alpha}_{\alpha bc}=-3g_{cb}+g_{cb}=-2g_{cb}.

Аналогично, \tilde{K}^{\alpha}_{\alpha bn}=0 и \tilde{K}^{\alpha}_{\alpha nn}=2m, что и доказывает теорему.

Список литературы

  1. Букушева А.В. Об алгебре Ли преобразований продолженной почти контактной метрической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С. 11-13.
  2. Букушева А.В. Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1 (49). С. 23-24.
  3. Букушева А.В. Об инфинитезимальных эндоморфизмах допустимой почти симплектической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 7-1(51). С. 14-16.
  4. Букушева А.В. Об одном примере гиперкэлеровой структуры на контактных кэлеровых распределениях // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 8-1 (52). С. 21-22.
  5. Букушева А.В. О геометрии контактных метрических пространств с $\varphi$-связностью // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2015. Т. 40. №17. С. 20-24.
  6. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул : Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.
  7. Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.
  8. Букушева А.В. О некоторых классах почти параконтактных метрических многообразий // Математика. Механика. 2013. №.15. С. 8-11.
  9. Букушева А.В. Когомологии оснащенных распределений // Математика. Механика. 2014. №.16. С.15-18.
  10. Букушева А.В. Слоения на распределениях с финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т.14. №.3. С. 247-251.
  11. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении почти контактной метрической структуры // Математика. Механика. 2015. №.17. С. 6-8.
  12. Букушева А.В., Галаев С.В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика. Механика. 2005. №7. С. 12-14.
  13. Букушева А.В., Галаев С.В., Иванченко И.П. О почти контактных метрических структурах, определяемых связностью над распределением с финслеровой метрикой // Механика. Математика. 2011. №13. С.10-14.
  14. Букушева А.В., Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №. 3. С. 17-22.
  15. Букушева А.В., Галаев С.В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Известия высших учебных заведений. Математика. 2013. №4. С. 10-18.
  16. Галаев С.В. О некоторых классах N-продолженных связностей // Математика. Механика. 2015. №.17. С. 12-15.
  17. Галаев С.В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №1. С. 16-22.
  18. Галаев С.В. Почти контактные кэлеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны // Известия высших учебных заведений. Математика. 2014. №8. С. 42-52.
  19. Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые N-продолженной связностью // Математические заметки СВФУ. 2015. Т. 22. №1. С. 25-34.
  20. Галаев С.В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №3. С. 258-263.
  21. Галаев С.В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. № 3(337). С. 632-640.
  22. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16. №3. С. 263-272.
  23. Галаев С.В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №3. С. 551-555.
  24. Галаев С.В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17. №3(59). С. 53-63.
  25. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С.14-16.
  26. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1(49). С. 20-22.
  27. Галаев С.В. Связности, совместимые с допустимой почти симплектической структурой // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 7-1(51). С. 17-19.
  28. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на контактных кэлеровых распределениях // Современные проблемы математических и естественных наук в мире. Сборник научных трудов по итогам международной научно-практической конференции. Казань. Изд-во: Инновационный центр развития образования и науки. 2015. С. 22-24.
  29. Галаев С.В. О продолжении почти контактных метрических структур // Актуальные вопросы и перспективы развития математических и естественных наук. Сборник научных трудов по итогам международной научно-практической конференции. Омск. Изд-во: Инновационный центр развития образования и науки. 2015. С. 21-25.
  30. Галаев С.В. О контактных метрических пространствах с распределением нулевой кривизны // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул : Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 479-482.
  31. Галаев С.В. Замечания о контактно-геодезических преобразованиях почти контактных метрических многообразий // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. 2016. №15-1. С. 54-57.
  32. Галаев С.В. Обобщенные би-контактные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. 2016. №15-1. С. 57-59.
  33. Галаев С.В. Примеры многообразий со специальной квази-сасакиевой структурой // Новая наука: Теоретический и практический взгляд. 2016. №10-2. С. 31-33.
  34. Галаев С.В. Об одном примере допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структуры с метрикой полного лифта // Новая наука: Теоретический и практический взгляд. 2016. №10-2. С. 28-31.
  35. Галаев С.В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Известия высших учебных заведений. Математика. 2017. №3. С. 15-23.
  36. Alesker S., Verbitsky M. Quaternionic Monge-Amp`ere equation and Calabi problem for HKT-manifolds // Israel J. Math. 2010. Vol. 176. P. 109–138.
  37. Banos B., Swann A. Potentials for hyper-Keahler metrics with torsion // Classical Quantum Gravity. 2004. Vol. 21, no. 13. P. 3127–3135.
  38. Barberis M. L. A survey on hyper-Keahler with torsion geometry // Rev. Un. Mat. Argentina. 2009. Vol. 49, no. 2. P. 121–131.
  39. Barberis M. L., Dotti I. G., Verbitsky M. Canonical bundles of complex nilmanifolds, with applications to hypercomplex geometry // Math. Res. Lett. 2009. Vol. 16, no. 2. P. 331–347.
  40. Barberis M. L., Fino A. New HKT manifolds arising from quaternionic representations // Math. Z. 2011. Vol. 267, no. 3-4. P. 717–735.
  41. Bedulli L., Gori A., Podest`a F. Homogeneous hyper-complex structures and the Joyce’s construction // Differential Geom. Appl. 2011. Vol. 29, no. 4. P. 547–554.
  42. Berger M. Sur les groupes d’holonomie homog`ene des vari’et’es `a connexion affine et des vari’et’es riemanniennes // Bull. Soc. Math. France. 1955. Vol. 83. P. 279–330.
  43. Bismut J.-M. A local index theorem for non-Keahler manifolds // Math. Ann. 1989. Vol. 284, no. 4. P. 681–699.
  44. Boyer C. P. A note on hyper-Hermitian four-manifolds // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 102, no. 1. P. 157–164.
  45. Boyer C. P., Galicki K., Mann B. M. Some new examples of compact inhomogeneous hypercomplex manifolds // Math. Res. Lett. 1994. Vol. 1, no. 5. P. 531–538.
  46. Boyer C. P., Galicki K., Mann B. M. Hypercomplex structures on Stiefel manifolds // Ann. Global Anal. Geom. 1996. Vol. 14, no. 1. P. 81–105.
  47. Boyer C. P., Galicki K., Mann B. M. Hypercomplex structures from 3-Sasakian structures // J. Reine Angew. Math. 1998. Vol. 501. P. 115–141.
  48. Capria M. M., Salamon S. M. Yang-Mills fields on quaternionic spaces // Nonlinearity. 1988. Vol. 1, no. 4. P. 517–530.
  49. Demailly J.-P., Paun M. Numerical characterization of the Keahler cone of a compact Keahler manifold // Ann. of Math. (2). 2004. Vol. 159, no. 3. P. 1247–1274.
  50. Fino A., Grantcharov G. Properties of manifolds with skew-symmetric torsion and special holonomy // Adv. Math. 2004. Vol. 189, no. 2. P. 439–450.
  51. Galaev S.V. Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Vol. 31. №1. P. 35-46.
  52. Gates S.J., Hull C.M., Rocek M. Twisted multiplets and new supersymmetric nonlinear $\sigma$-models // Nuclear Phys. B. 1984. Vol. 248, no. 1. P. 157–186.
  53. Gauduchon P. Hermitian connections and Dirac operators // Boll. Un. Mat. Ital. B (7). 1997. Vol. 11, no. 2, suppl. P. 257–288.
  54. Grantcharov G., Papadopoulos G., Poon Y. S. Reduction of HKT-structures // J. Math. Phys. 2002. Vol. 43, no. 7. P. 3766–3782.
  55. Grantcharov G., Pedersen H., Poon Y. S. Deformations of hypercomplex structures associated to Heisenberg groups // Q. J. Math. 2008. Vol. 59, no. 3. P. 335–362.
  56. Grantcharov G., Poon Y. S. Geometry of hyper-Keahler connections with torsion // Comm. Math. Phys. 2000. Vol. 213, no. 1. P. 19–37.
  57. Grantcharov G., Verbitsky M. Calibrations in hyper-Keahler geometry // Commun. Contemp. Math. 2013. Vol. 15, no. 2. P. 1250060, 27.
  58. Gross M., Huybrechts D., Joyce D. Calabi-Yau manifolds and related geometries. Lectures at a summer school in Nordfjordeid, Norway, June 2001. Berlin: Springer, 2003. P. viii + 239.
  59. Kowalski O. Curvature of the induced Riemannian metric on the tangent bundle of a Riemannian manifold // J. Reine Angew. Math. 1971. №250. P. 124-129.
  60. Munteanu M.I. Some aspects on the geometry of the tangent bundles and tangent sphere bundles of a Riemannian manifold // Mediterr. J. Math. 2008. №5. P. 43-59.
  61. Musso E., Tricerri F. Riemannian metrics on tangent bundles. Ann. Mat. Pura Appl. 1988. №150(4). P. 1-19.
  62. Obata M. Affine connections on manifolds with almost complex, quaternion or Hermitian structure // Jap. J. Math. 1956. Vol. 26. P. 43–77.
  63. Obata M. Affine connections in a quaternion manifold and transformations preserving the structure // J. Math. Soc. Japan. 1957. Vol. 9. P. 406–416.
  64. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds // Tohoku Math. J. 1958. №10. P. 338-354.
  65. Soldatenkov A. Holonomy of the Obata connection on (3) // Int. Math. Res. Not. 2012. no. 15. P. 3483–3497.