ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД

№58-1,

Физико-математические науки

В данной статье рассматривается выборочный метод и решение задач.

Похожие материалы

Выборочный метод - статистический метод исследования общих свойств совокупности каких-либо объектов на основе изучения свойств лишь части этих объектов, взятых на выборку. Математическая теория выборочного метода опирается на два важных раздела математическая статистики - теорию выбора из конечной совокупности и теорию выбора из бесконечной совокупности. Основное отличие выборочного метода для конечной и бесконечной совокупностей заключается в том, что в первом случае выборочный метод применяется, как правило, к объектам неслучайной, детерминированной природы (например, число дефектных изделий в данной партии готовой продукции не является случайной величиной: это число - неизвестная постоянная, которую и надлежит оценить по выборочным данным). Во втором случае выборочный метод обычно применяется для изучения свойств случайных объектов (например, для исследования свойств непрерывно распределенных случайных ошибок измерений, каждое из которых теоретически может быть истолковано как реализация одного из бесконечного множества возможных результатов).

Выбор из конечной совокупности и его теория являются основой статистического метода контроля качества и часто применяются в социологии, исследованиях. Согласно теории вероятностей выборка будет правильно отражать свойства всей совокупности, если выбор производится случайно, т. е. так, что любая из возможных выборок заданного объема n из совокупности объема А имеет одинаковую вероятность быть фактически выбранной.

На практике наиболее часто используется выбор без возвращения (бесповторная выборка), когда каждый отобранный объект перед выбором следующих объектов в исследуемую совокупность не возвращается (такой выбор применяется, например, для определения выигрышных лотерейных билетов, при статистическом контроле качества, а также при демографии, исследованиях). Выбор с возвращением (выборка с повторением) рассматривается обычно лишь в теоретических исследованиях (примером выбора с возвращением их является регистрация числа частиц, коснувшихся в течение данного времени стенок сосуда, внутри которого совершается броуновское движение). Если n〈〈N, то повторный n бесповторный выборы дают практически эквивалентные результаты.

Свойства совокупности, исследуемые выборочные методы могут быть качественными и количественными. В первом случае задача выборочного обследования заключается в определении количества М объектов совокупности, обладающих какими-либо признаками (например, при статистическом контроле часто интересуются количеством М дефектных изделий в партии объема N). Оценкой для М служит отношение mN/n, где m - число объектов с данным признаком в выборке объема n. В случае количественного признака имеют дело с определением среднего значения совокупности x̄=(x1+ x2+ ... + xN). Оценкой для х̄ является выборочное среднее, где х1, х2, ..., xN - те значения из исследуемой совокупности, которые принадлежат выборке. С математической точки зрения первый случай - частная разновидность второго, которая имеет место, когда М величин xi равны 1, а остальные (N - M) равны 0; в этой ситуации x̄ = M/N и Х̄ = m/n.

В математической теории выборочного метода оценка среднего значения занимает центральное место потому, что она служит основой количественного описания изменчивости признака внутри совокупности, т. к. за характеристику изменчивости обычно принимают дисперсию, представляющую собой среднее значение квадратов отклонений xi от их среднего значения. В случае изучения качественного признака σ2= (N - M)/N2.

О точности оценок m/n и X̄ судят по их дисперсиям, которые в терминах дисперсии конечной совокупности σ2 выражаются в виде отношений σ2/n (в случае выборок с повторением) и σ2(N-n)/n(N-1) (в случае бесповторных выборок).

Более полную информацию о распределении количественного признака в данной совокупности можно получить с помощью эмпирического распределения этого признака в выборке.

Выбор из бесконечной совокупности. В математической статистике результаты каких-либо однородных наблюдений (чаще всего независимых) принято называть выборкой даже в том случае, когда эти результаты не соответствуют понятию выборки с повторениями или без повторений из конечной совокупности. Например, результаты измерений углов на местности, подверженные независимым непрерывно распределенным случайным ошибкам, часто называть выборкой из бесконечной совокупности. Предполагается, что принципиально можно осуществить любое число таких наблюдений. Полученные фактически результаты считают выборкой из бесконечного множества возможных результатов, называть генеральной совокупностью. Понятие генеральной совокупности не является логически безупречным и необходимым. Для решения практических задач нужна не сама бесконечная генеральная совокупность, а лишь те или иные характеристики, которые ей ставятся в соответствие. Эти характеристики с точки зрения теории вероятностей являются числовыми или функциональными характеристиками некоторого распределения вероятностей, а элементы выборки - случайными величинами, подчиняющимися этому распределению. Такое толкование позволяет распространить на выборочные оценки общую теорию статистической оценок. По этой причине, например, в вероятностной теории обработки наблюдений понятие бесконечной генеральной совокупности заменяется понятием распределения вероятностей, содержащего неизвестные параметры. Результаты наблюдений трактуются как экспериментально наблюдаемые значения случайных величин, подчиняющихся этому распределению. Цель обработки - вычисление по результатам наблюдений в том или ином смысле оптимальных статистической оценок для неизвестных параметров распределения.

Выборки из конечной совокупности. Пусть задана конечная совокупность из N различных элементов x1, ..., xN. Из нее извлекается выборка объема n без возвращения, т. е. однажды выбранный элемент xi удаляется из совокупности. В этом случае мы будем говорить, что задана выборка из конечной совокупности. Эта выборка является реализацией случайной величины ζ. Каждой выборке приписывается одинаковая вероятность.

Величина ζ, являющаяся средним арифметическим выборочных случайных величин, имеет математическое ожидание, совпадающее со средним совокупности. При N→∞ «конечная совокупность превращается в бесконечную». Дисперсии выборочного среднего соответствует тогда дисперсия выборочного среднего для бесконечной совокупности.

Простой выборочный метод. Гипергеометрическое распределение играет важную роль, например, в статистическом контроле качества. Предположим, что произведенные изделия (например, лампочки) разбиты на партии в N штук каждая (например, по ящикам вместимостью в N лампочек).

Каждая партия содержит некоторый процент бракованных изделий, который, возможно равен и нулю (например, лампочки с недостаточным сроком годности). Обозначим через M=pN число бракованных изделий в партии; здесь число p может меняться от партии к партии, но не должно превосходить некоторого заданного числа p0.

Для проверки этого условия можно пытаться исследовать все N изделий, что, однако невыгодно с экономической точки зрения, а часто просто невозможно, как в примере с лампочками, когда изделие после проверки разрушается. Можно, однако, ограничиться выборочной проверкой. Таким образом, возникает вопрос о проверке условия pp0 по данным некоторой выборки.

Предположим несколько более общим образом, что нам задана конечная совокупность, состоящая из N элементов, M=Np из которых обладают некоторым свойством. Из совокупности извлекается выборка объема n без возвращения.

При заданном p0, 0≤p0≤1, подлежит проверке гипотеза pp0. При этом, конечно, следует рассматривать лишь те значения p и p0, для которых Np и Np0 - целые числа. Выберем по заданному уровню значимости α, 0<α<1, наименьшее число kα.

Гипотеза pp0 принимается, если число элементов, обладающим указанным свойством, не превосходит kα, и отвергается в противоположном случае.

Так, в примере с контролем качества число бракованных изделий не должно превосходить kα. Чем меньше p, тем меньше вероятность подтверждения гипотезы. Эти соображения являются основой простого выборочного метода, предложенного Доджем и Ромигом для нужд статистического контроля качества. Как и раньше, при фиксированном p0 найдем по заданным значениям α и n число kα согласно. Число p0 называют гарантированным условием качества.

Если число исключительных изделий в партии удовлетворяет неравенству rkα, то считаем, что pp0, причем r бракованных изделий заменяются исправными. Если же r>kα, то контролю подвергаются все N изделий из партии и все бракованные изделия заменяются на исправные.

Список литературы

  1. Аблеева, А. М. Формирование фонда оценочных средств в условиях ФГОС [Текст] / А. М. Аблеева, Г. А. Салимова // Актуальные проблемы преподавания социально-гуманитарных, естественно - научных и технических дисциплин в условиях модернизации высшей школы : материалы международной научно-методической конференции, 4-5 апреля 2014 г. / Башкирский ГАУ, Факультет информационных технологий и управления. - Уфа, 2014. - С. 11-14.
  2. Ганиева, А.М. Статистический анализ занятости и безработицы [Текст] / А.М. Ганиева, Т.Н. Лубова // Актуальные вопросы экономико-статистического исследования и информационных технологий: сб. науч. ст.: посвящается к 40-летию создания кафедры "Статистики и информационных систем в экономике" / Башкирский ГАУ. - Уфа, 2011. - С. 315-316.
  3. Исламгулов, Д.Р. Компетентностный подход в обучении: оценка качества образования [Текст] / Д.Р. Исламгулов, Т.Н. Лубова, И.Р. Исламгулова // Современный научный вестник. – 2015. – Т. 7. - № 1. – С. 62-69.
  4. Исламгулов, Д. Р. Научно-исследовательская работа студентов - важнейший элемент подготовки специалистов в аграрном вузе [Текст] / Д. Р. Исламгулов // Проблемы практической подготовки студентов в вузе на современном этапе и пути их решения : сб. материалов науч.-метод. конф., 24 апреля 2007 года / Башкирский ГАУ. - Уфа, 2007. - С. 20-22.
  5. Лубова, Т.Н. Новые образовательные стандарты: особенности реализации [Текст] / Т.Н. Лубова, Д.Р. Исламгулов // Современный научный вестник. – 2015. – Т. 7. - № 1. – С. 79-84.
  6. Лубова, Т.Н. Организация самостоятельной работы обучающихся [Текст] / Т.Н. Лубова, Д.Р. Исламгулов // Реализация образовательных программ высшего образования в рамках ФГОС ВО: материалы Всероссийской научно-методической конференции в рамках выездного совещания НМС по природообустройству и водопользованию Федерального УМО в системе ВО. / Башкирский ГАУ. - Уфа, 2016. - С. 214-219.
  7. Лубова, Т.Н. Основа реализации федерального государственного образовательного стандарта – компетентностный подход [Текст] / Т.Н. Лубова, Д.Р. Исламгулов, И.Р. Исламгулова // Современный научный вестник. – 2015. – Т. 7. - № 1. – С. 85-93.
  8. Саубанова, Л.М. Уровень демографической нагрузки [Текст] / Л.М. Саубанова, Т.Н. Лубова // Актуальные вопросы экономико-статистического исследования и информационных технологий: сб. науч. ст.: посвящается к 40-летию создания кафедры "Статистики и информационных систем в экономике" / Башкирский ГАУ. - Уфа, 2011. - С. 321-322.
  9. Фахруллина, А.Р. Статистический анализ инфляции в России [Текст] / А.Р. Фахруллина, Т.Н. Лубова // Актуальные вопросы экономико-статистического исследования и информационных технологий: сб. науч. ст.: посвящается к 40-летию создания кафедры "Статистики и информационных систем в экономике" / Башкирский ГАУ. - Уфа, 2011. - С. 323-324.