ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗЬЮ

№58-1,

Физико-математические науки

В качестве многообразия конфигураций динамической системы с неинтегрируемой линейной связью рассматривается почти контактное метрическое пространство, снабженное N-продолженной метрической связностью. Дается геометрическое описание динамической системы с неинтегрируемой линейной связью с привлечением лагранжева и гамильтонова формализма. Изучаются движения конкретных динамических систем, для которых конфигурационные пространства являются частными случаями римановых многообразий. К таким многообразиям, в первую очередь, следует отнести почти контактные метрические пространства с распределением нулевой кривизны. С помощью теоремы Нетер, продолженной на случай почти контактных пространств, предлагается метод построения первых интегралов неголономной гамильтоновой системы.

Похожие материалы

Введение

В последнее десятилетие одним из активно исследуемых объектов геометрии контактных пространств являются так называемые контактные гамильтоновы векторные поля - контактные аналоги гамильтоновых систем симплектического многообразия (см. [1-3]). Условия интегрируемости контактного гамильтонова векторного поля сопряжены с особенностями лежандрова слоения, определяемого контактной структурой [1-4]. Как показано в предлагаемой работе, интересным с точки зрения приложения гамильтоновых систем к неголономной механике является исследование почти контактных структур (X, D, \eta, \vec{\xi}), для которых векторные расслоения (D,\pi,X) оснащены допустимой симплектической структурой, отличной от структуры, порождаемой формой \eta.

Настоящая работа посвящена применению дифференциальной геометрии почти контактных метрических пространств к изучению движения неголономных динамических систем. Динамические системы с одной неинтегрируемой линейной связью интерпретируются как неголономные гамильтоновы системы, заданные на векторном расслоении, допускающим естественное вложение в кокасательное расслоение пространства конфигураций. В римановом случае изучаемые в работе конструкции опираются на структуру почти контактного метрического пространства. В своих исследованиях мы следуем В.В. Вагнеру [5], делая упор на использовании внутренней геометрии почти контактных пространств [6]. Основным объектом исследования являются неголономные гамильтоновы системы, уравнения которых в специальных координатах имеют следующий вид [5]:

\frac{dx^{n}}{dt}=-\Gamma_{a}^{n}\frac{dx^{a}}{dt},\quad \frac{d^2x^{a}}{dt^2}+\Gamma_{bc}^{a}\frac{dx^{b}}{dt}\frac{dx^{c}}{dt}=0 (1)

Движение системы в рассматриваемом случае интерпретируется как движение точки в пространстве конфигураций по геодезической неголономного многообразия [5]. При интегрировании уравнений движения системы, Вагнер использует геометрические свойства соответствующего неголономного многообразия, подбирая такую систему координат, в которой уравнения движения принимают наиболее простой вид. Опираясь на конструкции Вагнера и используя теорему Нетер [7, 8], продолженную нами на неголономный случай, мы вычисляем первые интегралы, понижая, тем самым, размерность области определения гамильтоновой системы. Другими словами, мы предлагаем геометрическую интерпретацию неголономной гамильтоновой механики, принципы построения которой соответствуют методам, используемым Вагнером в неголономной геометрии. Заметим, что теорема 4 настоящей работы позволяет строить формализм неголономной гамильтоновой механики, не обращаясь к преобразованиям Лежандра и оставаясь в пределах геометрии почти контактных метрических пространств.

Работа состоит из двух разделов, в первом из которых определяется допустимая гамильтонова система как аналог контактного гамильтонова векторного поля для случая почти контактной структуры. Во втором разделе доказывается теорема, продолжающая известный результат Нетер на неголономный случай и заключающая в себе метод нахождения первых интегралов допустимой гамильтоновой системы. Приводится пример построения первых интегралов для механической системы, исследование которой другими средствами проведено в работах [9-12].

Допустимые гамильтоновы системы

Пусть X – гладкое многообразие нечетной размерности n. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса C^{\infty}. Почти контактной метрической структурой на X называется совокупность (\varphi,  \vec{\xi}, \eta, g) тензорных полей на X, где \varphi - тензор типа (1, 1), называемый структурным эндоморфизмом, \vec{\xi} и \eta - вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, g – (псевдо) риманова метрика. При этом

\eta(\vec{\xi})=1, \varphi(\vec{\xi})=0, \eta \circ \varphi=0,

\varphi^2\vec{X}=-\vec{X}+\eta(\vec{X})\vec{\xi},

g(\varphi\vec{X},\varphi\vec{Y})=g(\vec{X},\vec{Y})-\eta(\vec{X})\eta(\vec{Y}), \vec{X}, \vec{Y} \in \Xi(X).

Кососимметрический тензор \Omega(\vec{X}, \vec{Y})=g(\vec{X}, \varphi\vec{Y}) называется фундаментальной формой структуры. Многообразие, на котором фиксирована почти контактная метрическая структура, называется почти контактным метрическим многообразием. В случае, когда \Omega=d\eta, почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой. Пусть D - гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формой \eta, D^{\bot}=Span(\vec{\xi}) - его оснащение. Если ограничение формы \omega=d\eta на распределении D дает невырожденную форму, то в этом случае вектор \vec{\xi} однозначно определяется из условий \eta(\vec{\xi})=1, \ker \omega=Span(\vec{\xi}) и называется вектором Риба. Будем называть распределение D распределением почти контактной метрической структуры. Рассмотрим, далее, векторное расслоение (D,\pi,X), тотальное пространство D которого является гладким распределением контактной метрической структуры. В работе [9] было показано, что кривые, определяемые уравнениями (1), являются проекциями интегральных кривых векторного поля, названного геодезической пульверизацией связности над распределением. Хорошо известно, что в случае D=TX геодезическая пульверизация совпадает с гамильтоновой системой, естественным образом возникающей на касательном расслоении риманова многообразия. Существует несколько подходов к определению аналога гамильтоновой системы — контактного гамильтонова векторного поля на многообразии с контактной метрической структурой [1-4]. В настоящей работе мы определяем аналог контактного гамильтонова векторного поля таким образом, чтобы введенное понятие имело смысл не только в случае контактной структуры. Необходимые сведения о внутренней геометрии почти контактных метрических пространствах содержатся в [6].

Карту K(x^{\alpha})(\alpha,\beta,\gamma=1,...,n)(a,b,c,e=1,...,n-1) многообразия X будем называть адаптированной к распределению D, если D^{\bot}=Span(\frac{\partial}{\partial^n}). Пусть P:TX\rightarrow D - проектор, определяемый разложением TX=D\oplus D^{\bot}, и K(x^{\alpha}) - адаптированная карта. Сохраним то же обозначение P и для соответствующего отображения модулей векторных полей: P:\Gamma TX\rightarrow \Gamma D. Векторные поля P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n} линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение D: D=Span(\vec{e}_{a}). Таким образом, мы имеем на многообразии X неголономное поле базисов (\vec{e}_\alpha)=(\vec{e}_{a},\partial_{n}) и соответствующее ему поле кобазисов (dx^a,\Theta^{n}=dx^{n}+\Gamma^{n}_{a}dx^{a}). Непосредственно проверяется, что [\vec{e}_{a},\vec{e}_{b}]= M^n_{ab}\partial_{n}, где компоненты M^n_{ab} образуют так называемый тензор неголономности [5]. Если потребовать, чтобы во всех используемых адаптированных картах выполнялось \vec{\xi}=\partial_n, то, в частности, окажется справедливым равенство [\vec{e}_{a},\vec{e}_{b}]=2\omega_{ba}\partial_{n}, где \omega=d \eta. Адаптированным будем называть также базис \vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}, как базис, определяемый адаптированной картой. Заметим, что имеет место равенство \partial_{n}\Gamma^{n}_{a}=0.

Тензорное поле, заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению D), если оно обращается в нуль каждый раз, когда его векторный аргумент принадлежит оснащению D^{\bot}, а ковекторный аргумент коллинеарен форме \eta. Координатное представление допустимого тензорного поля типа (p,q) в адаптированной карте имеет вид:

t=t^{a_1 ...a_p}_{b_1 ... b_q}\vec{e}_{a_1}\otimes ... \otimes \vec{e}_{a_p} \otimes dx^{b_1}\otimes...\otimes dx^{b_q}.

Так, в частности, под допустимым векторным полем будем понимать такое векторное поле, все значения которого лежат в распределении D, а под допустимой 1-формой будем понимать всякую 1-форму, обращающуюся в нуль на оснащении D^{\bot}. Понятно, что всякая тензорная структура, заданная на многообразии X, определяет на нем единственную допустимую тензорную структуру того же типа. Форма \omega=d\eta является допустимой 2-формой. Пусть, далее \Omega - допустимая замкнутая внешняя 2-форма максимального ранга. В общем случае \Omega\neq\omega. Будем называть \Omega допустимой симплектической структурой. Под контактным гамильтоновым векторным полем, ассоциированным с функцией f, в [13] понималось единственное векторное поле \vec{u}, удовлетворяющее равенствам i_{\vec{u}}\eta=f, i_{\vec{u}}\omega=(\vec{\xi}f)\eta-df. Рассмотрим более общий случай, заменяя форму \omega=d\eta на произвольную допустимую симплектическую структуру \Omega.

Теорема 1. Пусть \Omega - допустимая симплектическая структура, f - гладкая функция на многообразии X. Тогда существует единственное векторное поле \vec{u}, такое, что 1.\,i_{\vec{u}}\eta=f, 2.\,i_{\vec{u}}\Omega=(\vec{\xi}f)\eta-df.

Доказательство. В адаптированных координатах равенства 1, 2. Примут вид, соответственно, u^n=f и \Omega_{ab}u^b=\vec{e}_a.

Тем самым, искомое векторное поле однозначно определяется равенством

\vec{u}=\Omega^{ac}(\vec{e}_{c}f)\vec{e}_{a}+f\partial_{n} (2)

Первое слагаемое в правой части (2) назовем обобщенной допустимой гамильтоновой системой.

Пусть теперь \nabla - внутренняя связность [14-16] почти контактного метрического многообразия с коэффициентами \Gamma^a_{bc}. На пространстве D векторного расслоения (D,\pi,X) каждой адаптированной карте K(x^{\alpha}) многообразия X соответствует сверхкарта \tilde{K}(\tilde{x}^\alpha,x^{n+a}), где (x^{n+a}) - координаты допустимого вектора в базисе \vec{e}_a=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_n, \tilde{x}^\alpha=x^a\circ \pi. В дальнейшем координаты \tilde{x}^\alpha будем обозначать x^\alpha (как и соответствующие координаты на многообразии X). Как показано в [17-30], задание внутренней связности \nabla влечет разложение распределения \tilde{D}=\pi^{-1}_{*}(D) в прямую сумму \tilde{D}=HD \oplus VD, где VD - вертикальное распределение, а HD - горизонтальное распределение, порождаемое векторными полями \vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma_{a}^{n}\partial_{n}-\Gamma_{ab}^{c}x^{n+b}\partial_{n+c}.

Векторное поле \vec{S}\in \Gamma\tilde{D} на многообразии D назовем полупульверизацией, если выполняется условие \pi_{\ast}(\vec{S}_{\vec{v}})=\vec{v},\,\vec{v}\in\,D. Локальное представление поля \vec{S} в адаптированных координатах имеет вид:

\vec{S}(x^{\alpha},x^{n+a})=x^{n+a}\partial_{a}-x^{n+a}\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}+S^{n+a}\partial_{n+a}.

Интегральные кривые поля определяются системой уравнений, равносильной системе

\frac{d^2x^{a}}{dt^2}=S^{n+a}(x^\alpha,\frac{dx^{\alpha }}{dt}),

\frac{dx^{n}}{dt}=-\Gamma_{a}^{n}\frac{dx^{a}}{dt}.

Полупульверизацию \vec{S} будем называть пульверизацией, если она удовлетворяет дополнительному условию [\vec{C},\,\vec{S}]=\vec{S}, где \vec{C}=x^{n+a}\partial_{n+a} - поле Лиувилля на D. Имеет место

Теорема 2 [10]. Внутренняя связность определяет пульверизацию \vec{S}, координатное представление которой имеет вид: \vec{S}=x^{n+a}\vec{\varepsilon}_{a}, где \vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma_{a}^{n}\partial_{n}-\Gamma_{ab}^{c}x^{n+b}\partial_{n+c}.

Следующая теорема указывает на возможность использования пульверизации в геометрии неголономной механики.

Теорема 3 [10]. Проекции интегральных кривых поля \vec{S} совпадают с геодезическими внутренней связности.

Как показано в работе [10], в случае, когда исходная контактная метрическая структура К-контактна, на многообразии D естественным образом определяется почти контактная метрическая структура, фундаментальной форма которой задает допустимую гамильтонову систему с подходящим гамильтонианом, совпадающую с геодезической пульверизацией.

О первых интегралах допустимой гамильтоновой системы

Пусть теперь (D,\pi,X) - векторное расслоение, где D\subset TX, D=\ker \eta. Как обычно, мы полагаем, что TX=D\oplus D^\bot, D^\bot - дополнительное одномерное распределение. Пусть, далее, \Omega допустимая симплектическая форма и H - гамильтониан допустимой гамильтоновой системы \vec{x}. В частном случае, когда \partial_n H=0, в соответствии с (2) получаем

i_{\vec{x}}\Omega=-dH (3)

Заметим, что обращение в нуль \partial_n H=0 не зависит от выбора адаптированной системы координат. Допустимую гамильтонову систему (ДГС) для случая (3) будем называть полубазисной допустимой гамильтоновой системой (ПДГС).

Теорема Дарбу обеспечивает существование такой адаптированной системы координат, относительно которой уравнения (3) могут быть переписаны в следующем виде:

\frac{dx^i}{dt}=\partial_{m+i}H,

\frac{dx^{m+i}}{dt}=-\partial_i H (4)

\frac{dx^n}{dt}=\sum^m_{i=1}(-\Gamma^n_i\partial_{m+i}H+\Gamma^n_{m+i}\partial_i H).

В равенстве (4) 2m=n-1, i=1,...,m. Наряду с векторным расслоением (D,\pi,X) рассмотрим векторное расслоение (D^{*},q,X) слои D^{*}_x которого в каждой точке x состоят из допустимых 1-форм в соответствующей точке. Всякой адаптированной карте K(x^\alpha) многообразия X соответствует сверхкарта \tilde{K} на многообразии D^{*} такая, что \tilde{K}(\alpha_x)=(\tilde{x}^\alpha,p_a), где p_a=\alpha_x(\vec{e}_a), \tilde{x}^\alpha=x^\alpha\circ q, \alpha_x\in D^{*}_{x}. Помимо голономного базисов \partial_a=\frac{\partial}{\partial x^a},

\partial_n=\frac{\partial}{\partial x^n}, \partial^a=\frac{\partial}{\partial p_a} на D^{*} поле неголономных базисов \vec{E}_{a}=\partial_{a}-\Gamma_{a}^{n}\partial_{n}, \vec{E}_{n}=\partial_{n}, \vec{E}_{n+a}=\partial^{a}. Векторные поля \vec{E}_{a}, \vec{E}_{n+a} определяют локальную голономную систему координат в распределении \tilde{D}^{*}=q^{-1}_{*}(D). Определим 1-форму \lambda с помощью равенства \lambda_{\alpha}(\vec{u})=\alpha(q_{*}\vec{u}), где \alpha\in D^{*}. В адаптированных координатах форма \lambda получает следующее координатное представление: \lambda=p_adx^a. Её дифференциал \omega=d\lambda задает на D^{*} допустимую симплектическую структуру (допустимую к \tilde{D}^{*}), для которой всякая адаптированная сверх карта является канонической: \omega=dP_a \wedge dx^a. Пусть D - почти контактное метрическое пространство. Рассмотрим на D^{*} гладкую функцию H=\frac{1}{2}g^{ab}P_aP_b. Ей будет соответствовать ДГС \vec{u}_H\in \Gamma\tilde{D}^{*} с компонентами u^a_H=\partial^a H, u^{n+a}_{H}=-\partial_a H+\Gamma^n_a \partial_n H. Уравнения интегральных кривых поля \vec{u}_H примут вид

\dot{x}^a=\partial^aH,

\acute{P}_a=-\vec{E}_aH (5)

\dot{x}^n=-\Gamma^n_a\partial^a H.

По аналогии с голономным случаем будем называть векторное поле \vec{u}_H геодезическим потоком. Справедлива

Теорема 4. Канонические проекции интегральных кривых геодезического потока являются допустимыми геодезическими для почти контактного метрического пространства с допустимой метрикой g_{ab}.

Доказательство. Для случая, когда H=\frac{1}{2}g^{ab}P_aP_b, имеем

\partial^aH=g^{ab}P_a,\ \partial_{\gamma}H=\frac{1}{2}\partial_{\gamma}g^{ab}P_aP_b (6)

Из (5) и (6) получаем

\dot{x}^a=g^{ab}P_b (7)

Далее,

\frac{dP_a}{dt}=-\vec{E}_aH=-(\partial_aH-\partial_nH\Gamma^n_a)=-\frac{1}{2}(\partial_ag^{bc}-\partial_ng^{bc}\Gamma^n_a)P_bP_c=-\frac{1}{2}(\vec{e}_ag^{bc})P_bP_c (8)

Собирая вместе (6), (7), (8), получаем систему

\dot{x}^a=g^{ab}P_b,

\dot{P}_a=-\frac{1}{2}(\vec{e}_ag^{bc})P_bP_c (9)

\dot{x}^n=-g^{ab}P_b\Gamma^n_a.

Исключая из последней системы P_a, получаем уравнения (1), что и доказывает теорему.

Пусть \vec{y}\in \Gamma D - векторное поле такое, что \partial_ny^a=0. Тогда имеет место

Теорема 5. Существует и притом единственное векторное поле \vec{z}\in\Gamma T\tilde{D}^{*} такое, что q_{*}\vec{z}=\vec{y}, L_{\vec{z}}\lambda=0.

Доказательство. Условия \vec{z}\in\Gamma T\tilde{D}^{*}, q_{*}\vec{z}=\vec{y}, влекут выполнение равенства \vec{z}=y^a\vec{E}_a+z^{n+a}\vec{E}_{n+a}. Коэффициенты z^{n+a} находим из условия L_{\vec{z}}\lambda=0:z^{n+a}=-p_b\frac{\partial y^b}{\partial x^a}.

Как следствие теоремы 5, получаем

Теорема 6. Пусть \vec{v} - допустимая гамильтонова система на D^{*}, соответствующая замкнутой форме \mu. Тогда, если \mu(\vec{z})=0, где \vec{z}\in\Gamma T\tilde{D}^{*} такое, что q_{*}\vec{z}=\vec{y},  L_{\vec{z}}\lambda=0, то \lambda(\vec{z}) - первый интеграл \vec{v}.

Доказательство. Имеем,

d\lambda(\vec{v},\vec{z})=-\mu(\vec{z})=\vec{v}\lambda(\vec{z})-\vec{z}\lambda(\vec{v})-\lambda([\vec{v},\vec{z}])=\vec{v}\lambda(\vec{z})-(L_{\vec{z}}\lambda)(\vec{v})=\vec{v}\lambda(\vec{z}).

Что и доказывает теорему.

Для случая ПДГС аналогичный результат получен в [13]. Отдельные аспекты геометрии распределения и кораспределения почти контактной метрической структуры рассмотрены в работах [31-42] (см., также, [43-64]).

Ниже приводится пример, иллюстрирующий использование теоремы Нетер, продолженной на случай почти контактного пространства, для построения первых интегралов допустимой гамильтоновой системы.

Пример. Пусть пространство \mathbb{R}^3 является конфигурационным пространством движения материальной точки, подчиненного неголономной связи с кинетической энергией, задаваемой метрикой

(g_{\alpha\beta})=\begin{pmatrix} 1+y^2 & y &0 \\ y & 1 & 0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}

Движение точки осуществляется по геодезическим допустимой связности к распределению D, порождаемому векторными полями \vec{e}_1=\partial_1-y\partial_3, \vec{e}_2=\partial_2. При этом векторное поле \partial_3 определяет ортогональное оснащение D^\bot распределения D. Адаптированная система координат является ортонормированной, отсюда следует, что гамильтониан динамической системы с неинтегрируемой связью определяется равенством H(x,y,z,P_a)= \frac{1}{2}(P^2_1+P^2_2). Система (9) в нашем случае принимает вид

\dot{x}=P_1,\ \dot{y}=P_2,\ \dot{P}_a=0,\ \dot{z}=-yP_1 (10)

Векторное поле \vec{y}=-y\partial_1+x\partial_2 в соответствии с теоремой 6, задает первый интеграл f=-yP_1+xP_2 системы (10).

Список литературы

  1. Pitis G. Hamiltonian Fields and Energy in Contact Manifolds // International Journal of Geom. Methods in Modern Physics. 2008. №5(1). P. 63-77.
  2. Khesin B., Tabachnikov S. Contact complete integrability // Regul. Chaotic Dyn. 2010. Vol.15 no. 4-5. P. 504–520.
  3. Boyer C. Completely integrable contact Hamiltonian systems and toric contact structures on S2×S3. SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 7. 2011. Paper 058, 22 pp. 53Dxx (37Jxx)
  4. Libermann P., Legendre Foliations on Contact Manifolds // Differential Geom. Appl.. 1991. Vol. 1. P. 57–76.
  5. Вагнер В.В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. 1941. №5. С. 301–327.
  6. Галаев С.В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №1. С. 16-22.
  7. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.: Наука, 1973.
  8. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М..: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979.
  9. Bates L. What is a completely integrable nonholonomic dynamical system? // Reports on mathematical physics. 1999. Vol. 44. No. l/2.
  10. Галаев С.В., Гохман А.В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях с почти контактной метрической структурой // Математика. Механика. 2012. №14. С. 23-27.
  11. Галаев С.В., Гохман А.В. О лагранжевых механических системах с неинтегрируемой линейной связью // Математика. Механика. 2015. №17. С. 15-18.
  12. Галаев С.В., Гохман А.В. О первых интегралах динамических систем с неинтегрируемой линейной связью // Математика. Механика. 2013. №15. С. 23-29.
  13. Иванченко И.П. Обобщение теоремы Нетер на случай неголономного многообразия // Математика. Механика. 2004. №6. С. 59-62.
  14. Букушева А.В., Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №. 3. С. 17-22.
  15. Букушева А.В., Галаев С.В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Известия высших учебных заведений. Математика. 2013. №4. С. 10-18.
  16. Букушева А.В. О геометрии контактных метрических пространств с $\varphi$-связностью // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2015. Т. 40. №17. С. 20-24.
  17. Галаев С.В. Почти контактные кэлеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны // Известия высших учебных заведений. Математика. 2014. №8. С. 42-52.
  18. Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые N-продолженной связностью // Математические заметки СВФУ. 2015. Т. 22. №1. С. 25-34.
  19. Галаев С.В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №3. С. 258-263.
  20. Галаев С.В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. № 3(337). С. 632-640.
  21. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16. №3. С. 263-272.
  22. Галаев С.В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №3. С. 551-555.
  23. Галаев С.В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17. №3(59). С. 53-63.
  24. Галаев С.В. Об одном примере допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структуры с метрикой полного лифта // Новая наука: Теоретический и практический взгляд. 2016. №10-2. С. 28-31.
  25. Галаев С.В. О некоторых классах N-продолженных связностей // Математика. Механика. 2015. №.17. С. 12-15.
  26. Галаев С.В. О контактных метрических пространствах с распределением нулевой кривизны // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул : Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 479-482.
  27. Галаев С.В. Замечания о контактно-геодезических преобразованиях почти контактных метрических многообразий // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. 2016. №15-1. С. 54-57.
  28. Галаев С.В. Примеры многообразий со специальной квази-сасакиевой структурой // Новая наука: Теоретический и практический взгляд. 2016. №10-2. С. 31-33.
  29. Галаев С.В. Обобщенные би-контактные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. 2016. №15-1. С. 57-59.
  30. Галаев С.В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Известия высших учебных заведений. Математика. 2017. №3. С. 15-23.
  31. Букушева А.В. Об алгебре Ли преобразований продолженной почти контактной метрической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С. 11-13.
  32. Букушева А.В. Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1 (49). С. 23-24.
  33. Букушева А.В. Об инфинитезимальных эндоморфизмах допустимой почти симплектической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 7-1(51). С. 14-16.
  34. Букушева А.В. Об одном примере гиперкэлеровой структуры на контактных кэлеровых распределениях // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 8-1 (52). С. 21-22.
  35. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул : Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.
  36. Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.
  37. Букушева А.В. О некоторых классах почти параконтактных метрических многообразий // Математика. Механика. 2013. №.15. С. 8-11.
  38. Букушева А.В. Когомологии оснащенных распределений // Математика. Механика. 2014. №.16. С.15-18.
  39. Букушева А.В. Слоения на распределениях с финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т.14. №.3. С. 247-251.
  40. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении почти контактной метрической структуры // Математика. Механика. 2015. №.17. С. 6-8.
  41. Букушева А.В., Галаев С.В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика. Механика. 2005. №7. С. 12-14.
  42. Букушева А.В., Галаев С.В., Иванченко И.П. О почти контактных метрических структурах, определяемых связностью над распределением с финслеровой метрикой // Механика. Математика. 2011. №13. С.10-14.
  43. Aso K. Notes on some Properties of the Sectional Curvature of the Tangent Bundle // Yokohama Math. J. 1981. №29. P. 1-5.
  44. Besse A.L. Einstein Manifolds // Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. №10(3). Springer, 1987.
  45. Cheeger J., Gromoll D. On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature // Ann. of Math. 1972. №96. P. 413-443.
  46. Calvo M. del Carmen, Keilhauer G.G.R. Tensor Fields of Type (0;2) on the Tangent Bundle of a Riemannian Manifold // Geom Dedicata. 1998. №71. P. 209-219.
  47. Carmo M.P. Riemannian Geometry. Birkhauser, 1993.
  48. Dombrowski P. On the Geometry of the Tangent Bundle // J. Reine Angew. Math. 1962. №210. P. 73-88.
  49. Galaev S.V. Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Т. 31. №1. С. 35-46.
  50. Gromoll D., Klingenberg W., Meyer W. Riemannsche Geometrie im Großen, Lecture Notes in Mathematics 55, Springer, 1968.
  51. Gudmundsson S. An Introduction to Riemannian Geometry. Lecture Notes. http://www.maths.lth.se/matematiklu/personal/sigma/
  52. Kobayashi S., Nomizu K. Foundations of Differential Geometry, Tracts in Mathematics 15, vol.I+II, Interscience, 1963 and 1969.
  53. Kowalski O. Curvature of the Induced Riemannian Metric on the Tangent Bundle of a Riemannian Manifold // J. Reine Angew. Math. 1971. №250. P. 124-129.
  54. Kowalski O., Sekizawa M. Natural Transformations of Riemannian Metrics on Manifolds to Metrics on Tangent Bundles // Bull. Tokyo Gakugei Univ. 1988. №40(4). P. 1-29.
  55. Kowalski O., Sekizawa M. On tangent sphere bundles with small or large constant radius // Ann. Global. Anal. Geom. 2000. Vol. 18. no. 3-4. P. 207-219.
  56. Musso E., Tricerri F. Riemannian Metrics on Tangent Bundles // Ann. Mat. Pura. Appl. 1988. №150(4). P. 1-19.
  57. Nagano T. Isometries on complex-product spaces // Tensor 1959. №9. P. 47-61.
  58. Neill B.O. The fundamental Equations of a Submersion // Michigan Math. J. 1966. №13. P. 459-469.
  59. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds // Tohoku Math. J. 1958. №10. P. 338-354.
  60. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds II // Tohoku Math. J. 1962. №14 P. 146-155.
  61. Sekizawa M. Curvatures of Tangent Bundles with Cheeger-Gromoll Metric // Tokyo J. Math. 1991. No. 2. P. 407-417.
  62. Tachabani S., Okumura M. On the almost-complex structure of tangent bundles of Riemannian Spaces // Tohoku Math. J. 1962. №14. P. 152-161.
  63. Tricerri F., Vanhecke L. Homogeneous Structures on Riemannian Manifolds. London Mathematical Society Lecture Note Series 83, Cambridge, 1983.
  64. Yano K., Ishihara S. Tangent and Cotangent Bundles. Differential Geometry // Pure and Applied Mathematics 16, Marcel Dekker, 1973.