РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ, ИЛИ РОЖДЕНИЕ ХАОСА ИЗ ПОРЯДКА

№58-2,

Физико-математические науки

За много столетий математика в своём развитии претерпела значительные метаморфозы: от элементарной арифметики до метафизики. Современная наука подошла к черте, когда часто очень сложно различить признаки порядка и хаоса. При этом хаос не означает отсутствие всяких знаний, но означает ограниченность этих знаний. Со сложными системами наука пока не научилась общаться с возможностью гарантированного результата, так как в них неопределённостей ещё больше. Поэтому, с точки зрения математики, различные метеорологические, экономические и политические прогнозы крайне сомнительны.

Похожие материалы

Период элементарной математики

Изначально представления человечества об окружающем мире формировались исключительно опытным путём. Именно опытным путём были получены многие математические открытия, которые сейчас кажутся очевидными. Так зародилась арифметика, а несколько позже с развитием строительных технологий и геометрия.

Численные соотношения лишь сопровождали реальное производство и хозяйственные отношения. При этом многие знания хранились в тайне. Так жрецы Древнего Египта знали и использовали при строительстве теорему Пифагора, но держали это тождество в строгом секрете. Сделать это было не трудно, так как египетскую клинопись понимали немногие посвященные, да и никакого языка науки в то время не существовало. Любые вычисления относились только к конкретным и реальным объектам.

Первым из математиков, чьи идеи дошли до нас, был Пифагор. Он первый внёс в математику абстракцию. Он стал формулировать задачи и решать их без привязки к какому-либо объекту. Для своего времени Пифагор был революционер. Кроме того, он первый ввел понятие аксиомы и положил аксиомы в основании любых доказуемых утверждений. Теперь важным стало утверждение истинности или ложности утверждения, а не подсчет некоторых реальных практических фактов. Именно тогда математика стала по содержанию приобретать современный вид.

В основе мира Пифагор видел число. Число было для него высшей мерой. И численные соотношения он хотел положить в описание мира. Возникшая вокруг него философская школа, получившая название пифагорейской, ставила себе целью получить такие соотношения. Для большинства Пифагор остался в памяти благодаря важнейшей теореме, носящей его имя. Однако, многие идеи пифагорейцев получили дальнейшее развитие, хотя и в совершенно другой форме. Наиболее важным открытием, поразившим мудрецов древнего мира, стало изучение неизмеримости. Например, диагональ квадрата со стороной 1 по теореме Пифагора равна квадратному корню из двух, при этом получить данный результат простым измерением невозможно. Это еще раз подтверждает абстрактный характер математики. При этом любое несоизмеримое число можно использовать в расчетах реального объекта и получить вполне точный и правильный результат. Так, согласно известным на сегодня источникам, наука впервые столкнулась с неопределенностью [2].

Создание дифференциального и интегрального исчисления

Опыты Галилея положили начало «настоящей» в современном смысле науки. При этом Галилей признал единственным языком науки именно математику. По сути, его опыты стали классическими и фундаментальными именно благодаря аккуратной обработке результатов. Притом, что в его распоряжении не было даже средств измерения временных промежутков, и он измерял время, отсчитывая собственный пульс. Галилей заложил основы механики, а ее развитие дало толчок всему естествознанию. Со времен Галилея законы природы принято записывать в математической форме и доказано практическим путем, что другой формы просто нет. Многие вполне абстрактные теории, которые имели достаточно отдаленное отношение к естествознанию, сумели стать нужным аппаратом для новых дисциплин, описывающих реальность.

Ньютон блестяще обосновал основные законы механики, сформулировав при этом и основы дифференциального и интегрального исчисления. Казалось, математика вновь стала наукой расчетной, тем более что производные и первообразные функции были следствием вполне реальных процессов, которые наблюдались ежедневно каждым лично. Параллельно с Ньютоном к открытию дифференциального и интегрального исчисления пришел Лейбниц. При этом надо отметить, что открытие законов механики было обосновано на основе достаточно непрочных математических основ. Ньютон, как и Лейбниц, не смог сформулировать многих понятий, таких как, например, предел. Сделать это смог только Огюстен Коши в 19 века. До этого периода многие философы негодовали относительно такого положения вещей. Казалось странным объяснять все вокруг на основе законов, которые сформулированы странным образом. Открытия Ньютона уже стали всем казаться вечными и величайшими. Они прекрасно сочетались с опытом, помогали развивать технику. Наука стала держаться на «трех китах»: механика Ньютона, логика Аристотеля и геометрия Евклида. Простой человеческий разум подсказывал, что законы логики вполне сочетаются с истиной, а геометрия Евклида отлично сочетается с окружающим миром.

Развитие математики в 18-19 столетия

Фактически представления об окружающем мире человек черпал исходя из собственных чувств и восприятия мира через эти чувства. Создание в 19 веке Джеймсом Максвеллом стройной теории электромагнитных колебаний создало в науке массу противоречий. Его великая теория, уложенная аккуратно в четыре дифференциальных уравнения, отлично объясняла все электромагнитные явления. При этом он использовал только введенные в науку его соотечественником Гамильтоном понятие кватернионов. Абстрактное понятие помогло познать реальный мир. Сами электромагнитные волны были обнаружены опытным путём, что еще больше показало могущество математики и несовершенство человеческих чувств, так как человек реагирует только на достаточно узкую полосу электромагнитных колебаний [1].

Открытие в 1905 году теории относительности перевернуло существующие представления о пространстве и времени. Осознанное четырёхмерное многообразие согласно общей теории относительности (1913-1916 гг.) оказывается искривлённым. Геометризация физики Пуанкаре, Лоренцом и Эйнштейном стала быстро развиваться. При этом понятия, которыми стала оперировать точная наука с каждым годом становились все менее понятны простому обывателю. Язык современной физики – науки о природе – стал языком математики, причём самых абстрактных её разделов.

Сейчас современная наука утверждает, что окружающее нас пространство не трехмерно, а 10-ти или даже 26-мерно, но ощутить человек способен только 4, включая время. По сути, сегодня наука о природе в решении самых главных и фундаментальных вопросов перешла к метафизике, как во времена Пифагора, когда занимались изучением абстракций, не подтвержденных практикой. Законы выведенные математически чаще всего подтверждаются потом экспериментально, хотя сначала это выглядит как-то таинственно и труднообъяснимо. Ученые утратили определенность в своих исследованиях, так как точность измерений, по мере углубления знаний о микро и макромире, постоянно снижается [4].

Бертран Рассел сказал: «Метафизика, или попытка охватить мир как целое посредством мышления. Метафизика — попытка постичь мир как целое с помощью мысли. Имеет ли какое-нибудь значение для решения этой проблемы гносеологический урок, преподанный физикой? Я думаю, что да, ибо он показывает, что даже в ограниченных областях описание всей системы в единственной картине невозможно. Существуют дополнительные образы, которые одновременно не могут применяться, но которые, тем не менее, друг другу не противоречат, и которые только совместно исчерпывают целое. Это весьма плодотворное учение, и при правильном применении оно может сделать излишним многие острые споры не только в философии, но и во всех областях жизни» [3].

Современная наука подтверждает эти слова. В частности, естественным свойством любой системы является рост ее энтропии или неопределенности системы, невозможности предсказать ее поведение. Мы окончательно прощаемся с великой механикой Ньютона в деле объяснения положения дел во Вселенной. Ведь, исходя из дифференциальных уравнений классической механики, можно описывать изменения любого числа частиц и тел, зная закон их движения. На практике оказалось, что это практически не так. Помимо парадоксальных законов микромира, один из которых вообще утверждает, что электрон может находиться в двух разных состояниях одновременно, громадной проблемой стала статистическая обработка данных. Конечно, на помощь пришла современная вычислительная техника, которая позволяет проводить миллиарды операций в секунду, но и она крайне ограничена. В первую очередь ЭВМ ограничены по памяти (хотя возможности колоссальны) и по точности расчетов. Кроме того, все ЭВМ работают хоть немного, но по-разному – чтобы добиться синхронности, надо иметь еще какой-то стандарт, который тоже надо чем-то определить. Любой компьютер будет допускать ошибки при округлении чисел (малозаметные, незначительные, но все же) и, конечно, при переводе из своей системы счисления (обычно двоичная) в человеческую систему счисления (обычно десятичную). Сила мелочей, как известно, в их количестве и способности накапливаться. Так обстоит дело при любых вычислениях, причем не обязательно при решении какого-то сложного дифференциального уравнения в явном числовом виде. Например, число π или ℮ вычислено с громадной точностью, которая обычному человеку даже помешает, но не с конечным значением [2].

Современная наука подошла к черте, когда часто очень сложно различить признаки порядка и хаоса. Сам по себе хаос еще не означает отсутствия всяких знаний, но означает ограниченность этих знаний. Важно также отметить, что простые системы, когда мы рассматриваем их в динамике, не всегда поддаются точному расчету и ведут себя «по порядку», а наоборот, очень часто проявляют масштабные флуктуации и дать прогноз развитию таких систем крайне сложно. Со сложными системами наука пока не научилась общаться с возможностью гарантированного результата, так как там неопределенностей еще больше. Поэтому, с точки зрения математики, различные метеорологические, экономические и политические прогнозы крайне сомнительны. Человечество должно привыкнуть, что хаос и порядок неизбежно соседствуют друг с другом и надо уметь оценить их влияние на жизнь общества и научные знания.

Список литературы

  1. Юшкевич А.П. История математики. М.: Наука, 1970. – 352 с.
  2. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, Физматлит, 1990. – 284 с
  3. Бертран Рассел. История западной философии. Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2001. – 953 с
  4. Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математика. М.: МЦНМО, НМУ, 2001. – 464 с