Фракталы и их применение

№62-1,

Педагогические науки

В статье рассматриваются виды фракталов и их применение в различных областях науки и техники. Автор показывает использование фракталов для построения обычных и фоновых изображений, для анализа состояния биржевых рынков, при моделировании нелинейных процессов.

Похожие материалы

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х — сер. 80-х годов XX века прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского «fractus» и в переводе означает «состоящий из фрагментов» [4]. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature».

Фрактальная геометрия природы
Рисунок 1. Фрактальная геометрия природы

В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период с 1875 по 1925 г.г. в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Облака — это не сферы, линии берега — это не окружности, и кора не является гладкой, а молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности [1].

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы.

С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале [3].

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».

Существует два вида фракталов: геометрические и алгебраические. История создания фракталов началась с геометрических фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. При построении данных видов фракталов поступают так: берется набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал.

Затем к ним применяется набор правил, который преобразует их в некоторую геометрическую фигуру. И потом к каждой части этой фигуры применяют этот же набор правил. С каждым шагом фигура становится все сложнее и после бесконечного количества преобразований получается геометрический фрактал.

Геометрические фракталы
Рисунок 2. Геометрические фракталы

Вторая группа фракталов — алгебраические фракталы. Они получили свое название за то, что строятся на основе алгебраических формул.

Алгебраические фракталы
Рисунок 3. Алгебраические фракталы

Фракталы нашли широкое применение в различных областях науки и техники. В компьютерной графике фракталы применяются для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее.

Природные фракталы
Рисунок 4. Природные фракталы

С использованием фракталов могут строиться вполне реалистичные изображения (например, фракталы нередко используются при создании облаков, снега, береговых линий, деревьев, кустов и др.).

Фрактальные снежинки
Рисунок 5. Фрактальные снежинки

Поэтому применять фрактальные изображения можно в самых разных сферах, начиная от создания обычных текстур и фоновых изображений и кончая фантастическими ландшафтами для компьютерных игр или книжных иллюстраций. А создаются подобные фрактальные шедевры путем математических расчетов [2], но в отличие от векторной графики базовым элементом фрактальной графики является сама математическая формула — это означает, что никаких объектов в памяти компьютера не хранится, и изображение (как бы ни было оно замысловато) строится исключительно на основе уравнений.

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

В последнее время фракталы стали популярным инструментом у трейдеров для анализа состояния биржевых рынков [5]. Фракталы рынка являются одним из индикаторов в торговой системе Била Вильямса. Считается, что он же впервые и ввел это название в трейдинг.

Котировки акций на Нью-Йоркской бирже
Рисунок 6. Котировки акций на Нью-Йоркской бирже

Таким образом, исследования, связанные с фракталами, меняют многие привычные представления об окружающем нас мире, о самых обычных предметах, таких как облака, реки, деревья, горы, травы и др.

Список литературы

  1. Азевич А.И. Фракталы: геометрия и искусство // Математика в школе. 2005. №4. С.76 - 78.
  2. Митенева С.Ф. Об изучении фрактальной геометрии в школе // Материалы Всероссийской научно-методической конференции «Обучение фрактальной геометрии и информатике в вузе и школе в свете идей академика А.Н. Колмогорова» (7-9 декабря 2011 г.). Кострома: изд-во КГУ, 2011. С. 36-37.
  3. Митенева С.Ф. Информационные технологии в школьном образовании // Материали за 11-а международна научна практична конференция «Образованието и науката на XXI век». Том 5. Педагогически науки. Психология и социология. София: «БялГРАД-БГ» ООД, 2015. stran.34-35.
  4. Секованов В.С. Что такое фрактальная геометрия? М.: ЛЕНАНД. 2016. 272 с.
  5. Трайнев В. А. Новые информационные коммуникационные технологии в образовании. М: Дашков и К, 2009. 320 c.