Эффективное планирование производства, прогнозирование выпуска продукции, повышение конкурентоспособности являются одними из главных задач современных предприятий. Использование математического моделирования помогает выделить и описать наиболее важные, существенные связи экономических объектов, оценить параметры производства.
В целях эффективного управления производством продукции необходимо знание количественных взаимосвязей между величиной вовлекаемых в производство ресурсов и объемом полученной продукции. Данная задача может быть решена с помощью аппарата производственных функций.
Производственная функция – это функция, описывающая зависимость результата производства от затраченных ресурсов.
Производственные функции используются как полезный инструмент, позволяющий проводить аналитические расчёты, определять эффективность использования ресурсов и целесообразность их дополнительного вовлечения в производство, прогнозировать объём выпуска продукции и контролировать реальность плановых проектов. С помощью производственных функций можно оценить эффективность функционирования системы и использования отдельных производственных факторов, определить возможности и последствия замещения одних факторов производства другими, найти влияние масштаба производства на его эффективность, изучить воздействие управленческих и технологических инноваций на производственные процессы.
В микроэкономике используется большое количество самых разнообразных функций производства, но чаще всего двухфакторные функции вида Z=F(x,y), которые легче анализировать в силу возможности их графического представления.
Своеобразным компромиссом между сложностью математической зависимости и областью применимости выступает производственная функция Кобба-Дугласа. Ее безусловными преимуществами являются относительная простота функциональной зависимости при достаточной практической универсальности и адекватности. Она строится на реальных экономических показателях и может быть легко параметризованна. Многочисленные исследования обеспечили ей популярность и широкое применение на практике, о чем свидетельствуют работы многих зарубежных и отечественных авторов [1,2].
Пользуясь программой Excel, подберем производственную функцию Кобба-Дугласа и осуществим экономический анализ одной из крупнейших российских химических компаний по производству полиэтилена.
Наша задача состоит в построении производственной функции Кобба-Дугласа, которая имеет вид:
,
где – Y выпуск продукции (ВВП); К – капитал (основные фонды); L – труд (который может характеризоваться количеством работников); 
– константа (коэффициент эластичности производства по капиталу К); 
– константа (коэффициент эластичности производства по труду L); А – коэффициент, который в простейшем случае является константой, которую часто связывают с уровнем технологий, хотя на самом деле, он может зависеть и от других факторов, не относящихся непосредственно к труду, или капиталу.
Будем использовать метод наименьших квадратов. Тогда задача будет выглядеть следующим образом:
.
ei – есть отклонение расчетного значения от фактического при ограничениях:
;
.
В качестве исходной базы для расчетов, будем использовать статистические данные предприятия с 2007 по 2016 год (таблица 1).
Таблица 1. Исходные данные предприятия
Год |
Выпуск (тн.) |
Труд (чел.) |
Капитал (тыс. руб.) |
2007 |
840000 |
9500 |
211400 |
2008 |
870000 |
9400 |
221800 |
2009 |
810000 |
9100 |
223600 |
2010 |
850000 |
9200 |
240100 |
2011 |
900000 |
9000 |
248000 |
2012 |
970000 |
9300 |
271300 |
2013 |
1032000 |
8750 |
260000 |
2014 |
1015000 |
8900 |
281500 |
2015 |
1260000 |
8700 |
283000 |
2016 |
1319000 |
8650 |
279100 |
С помощью Надстройки «Поиск решения» программы Excel, была решена задача оптимизации для нахождения параметров целевой функции. Были получены следующие значения:
;
;
.
Полученные результаты означают, что увеличение капитала на 1% приводит к росту выпуска предприятия на 0,8%, а приращение труда на 1% обусловливало увеличение выпуска на 0,2%. Тогда производственная функция Кобба-Дугласа будет иметь следующий вид:
.
Данная функция Кобба-Дугласа обладает известной ограниченностью, как, например, весь прирост продукта приписывается количественному росту факторов, допускается нейтральный технологический прогресс, предполагается единичная эластичность замещения.
Результаты аппроксимации значений Y приведены на рисунке 1, где Yr - значение годового оборота.
Средняя фондоотдача 
равна отношению произведенного продукта к величине затраченного капитала:
.
Средняя производительность труда AYL равна отношению произведенного продукта к величине затраченного труда:
.
Эластичность выпуска по капиталу равна:
.
Если эластичность выпуска по фондам 
больше эластичности выпуска по труду, предприятие имеет трудосберегающий (интенсивный) рост. Если выполняется обратное неравенство и 
, то имеет место фондосберегающий (экстенсивный) рост предприятия, когда увеличение трудовых ресурсов на 1% приводит к большему росту объема производства, нежели такое же увеличении фондов.
Т.е. получили, что эластичность выпуска по капиталу равна 0.8, что равно показателю степени при капитале. В свою очередь, как эластичность производственной функции по труду равна 0.2. Следовательно, увеличение затрат капитала на 1% приведет к росту выпуска продукции на 
процентов, а увеличение затрат труда на 1% приведет к росту выпуска на 
процентов.
По построенной производственной функции Кобба-Дугласа можно сделать вывод, что развитие исследуемого предприятия имеет трудосберегающий (интенсивный) рост. Если труд и капитал увеличиваются в некоторой пропорции, то выпуск растет в большей пропорции.