Некоторые замечания об излучении и эволюции вращающихся чёрных дыр

№67-2,

физико-математические науки

На основе полученных ранее данных в статье кратко рассматривается вопрос о спонтанном электромагнитном излучении вращающихся чёрных дыр за счёт рождения частиц из вакуума, поляризованного сильным гравитационным полем. Полученные результаты позволяют предположить, что интенсивность указанного излучения может быть выше, чем предполагалось. На основе этого выдвигается гипотеза о возможно более быстрой потере углового момента чёрной дырой, чем оценивалось ранее.

Похожие материалы

В соответствии с общей теорией относительности чёрная дыра представляет собой область искривлённого пространства-времени, для которого в зависимости от выбранных начальных и граничных условий возможно получение различных решений уравнений Эйнштейна. Особый интерес среди них представляет решение Керра, которое было получено в 1963 году. Метрика пространства-времени, соответствующего решению Керра определяется выражением (1), и описывает пространство время в окрестности вращающегося источника гравитации [1].

(1)

(2)

Где rg, a и \rho определяются по формулам,

Известно, что существует особая область пространства вокруг вращающейся чёрной дыры, ограниченная горизонтом событий изнутри и пределом статичности снаружи. Она носит название эргосферы и примечательна тем, что любой физический объект, оказавшийся в ней, вынужден вращаться совместно с гравитирующим источником в центре чёрной дыры в одном с ним направлении. Принципиально важно, что феномены, характерные для чёрных дыр Керра пространственно локализуются в эргосфере, и при этом являются наблюдаемыми, так как не закрыты горизонтом событий.

Схематическое изображение сечения эргосферы вращающейся чёрной дыры [1].
Рисунок 1. Схематическое изображение сечения эргосферы вращающейся чёрной дыры [1].

Одним из интереснейших процессов, происходящих в эргосфере, является непрерывный процесс рождения пар квантов из вакуума, поляризованного гравитационным полем вращающейся чёрной дыры [2].

Одновременно с этим, при взаимодействии вращающихся чёрных дыр с падающим излучением наблюдается не только поглощение волн, но и эффект суперрадиации, который представляет собой отражение и усиление падающей волны. Этот эффект подробно рассмотрен в работах [3] и [4].

Сочетание указанных процессов приводит к тому, что если параметры рождённых квантов соответствуют условию усиления волны (суперрадиации), то один из них получает возможность преодолеть потенциальный барьер притяжения чёрной дыры и покинуть её окрестности. Одновременно с этим второй квант из такой пары поглощается чёрной дырой, попадая под горизонт событий. В этом случае энергия на преодоление потенциального барьера излучённым квантом черпается из энергии вращения чёрной дыры и в этом заключается сходство данного механизма с известным процессом Пенроуза [4]. Очевидно, что по аналогии с процессом Пенроуза, поглощённый чёрной дырой квант обладает отрицательной энергией относительно удалённого наблюдателя и потому, принимая во внимание, что рождение и излучение квантов происходит постоянно, можно говорить, что в эргосфере существует поток излучения с отрицательной энергией, равной по абсолютной величине энергии излучения, регистрируемой удалённым наблюдателем. В работе [2] проведён анализ возможного влияния такого спонтанного излучения на эволюцию вращающихся чёрных дыр и сделан вывод о том, что для чёрных дыр звёздных масс это влияние ничтожно, т.е. потеря углового момента происходит за период времени, значительно превышающий предполагаемый возраст Вселенной.

Приведём основные сведения из указанной работы [2]:

  • Форма падающей волны: \xi \mathrm{=}exp\left[ i\left( \omega t+l\varphi \right) \right]R_{r\theta}(r\theta ) (3), где R_{r\theta } — сферические функции.
  • Условие усиления: m\leq m\Omega (4), где \Omega — угловая скорость вращения чёрной дыры, вычисленная по формуле, m — проекция орбитального момента, а \omega — частота падающей волны.
  • Поток энергии электромагнитного излучения: \frac{dE}{dt}=\frac{2h}{\pi }\sum\limits_{lm} \int\limits_0^{m\mathrm{\Omega }} {\left( K_{lm}(\omega )-1 \right)\omega \, d\omega } (5), где K_{lm}(\omega ) — коэффициент усиления волны частотой $\omega $, обладающей полным моментом l и проекцией момента на ось вращения m.

Опираясь на приведённые зависимости и выводы уместно поставить вопрос о том, можно ли уточнить приведённые в работе [2] результаты.

Очевидно, что множитель \left( K_{lm}(\omega )-1 \right) может быть вынесен за знаки интеграла и суммирования, так как является просто численным коэффициентом, вычисление которого, между тем, является трудоёмкой задачей. Для упрощения последующих рассуждений примем \left( K_{lm}(\omega )-1 \right) =1, что соответствует коэффициенту усиления K_{lm}(\omega )=2. Конечно, в этом случае полученный результат уже не будет являться строгим, однако принципиально не изменится, так как для каждой излучённой волны коэффициент усиления может быть вычислен [3]. Между тем, введённоё упрощение позволит сделать вычисления максимально наглядными. С учётом сделанного замечания поток энергии при n=2 (l=0,1 и m=-1,0,1) будет равен:

(6)

Здесь необходимо пояснить, что для имеющихся 6 сочетаний квантовых чисел l и m число слагаемых в формуле (5) оказывается равным 6. Однако слагаемые, полученные при m=-1 необходимо отбросить, так как они не удовлетворяют условию m\Omega \triangleright 0 [2]. Слагаемые с m=0, оказываются равными 0 в силу совпадения пределов интегрирования. В таком случае, остаётся лишь 2 слагаемых — третье и пятое.

Аналогичным образом можно вычислить, что для n=3 поток энергии будет равен \frac{15\hbar {\Omega}^2}{\pi}, при n = 4 — равен \frac{56\hbar {\Omega}^2}{\pi}, для n=5 — равен \frac{150\hbar {\Omega}^2}{\pi}, и так далее. Вообще говоря, может быть получено выражение, позволяющее определить соответствующий поток энергии, в зависимости от значения главного квантового числа n:

\frac{dE}{dt}\sim n\frac{h \mathrm{\Omega }^{\mathrm{2}}}{\pi}\sum\limits_1^{n-1} m^{2} (7)

Где m =1,2 \ldots (n-1). Очевидно, что в таком случае сумма квадратов магнитного квантового числа m представляет собой сумму квадратов всех натуральных чисел от 1 до (n–1). Известно, что сумма квадратов натуральных чисел от 1 до k вычисляется как:

1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}=\frac{1}{6}k\left( k+1 \right)(2k+1) (8)

Тогда с учётом (8) выражение (7) может быть переписано следующим образом:

\frac{dE}{dt}\sim \frac{h \mathrm{\Omega }^{\mathrm{2}}}{6\pi}n^{2}\left( n-1 \right)\left( 2n-1 \right) (9)

Исходя из полученного выражения, можно сделать следующие выводы:

  1. Изменение энергии вращающейся чёрной дыры осуществляется дискретными порциями — квантами.
  2. Полный поток энергии излучения от вращающейся чёрной дыры будет пропорционален \frac{\hbar {\Omega}^2}{6\pi} n2 (n-1)(2n-1), а не \hbar {\Omega }^{{2}} как указано в [2]. Примечательно то, что в таком случае полный поток энергии, на первый взгляд, может быть бесконечно большим, так как возможные значения главного квантового числа n не ограничены. Тем не менее, это не так, потому что выражение (9) получено при условии произвольного выбора значения коэффициента усиления излученных волн, который в общем случае различен для каждой возможной волны, и, более того, не обязательно превышает 1. Это означает, что не все спонтанно рождающиеся кванты получают возможность покинуть окрестности чёрной дыры, черпая энергию из её вращения. Математически это означает что ряд слагаемых в выражении (5) войдут в сумму с отрицательным знаком, и, следовательно, будут уменьшать общий поток энергии от вращающейся чёрной дыры, а потому итоговое значение \frac{dE}{dt} не будет бесконечно большим.
  3. Абсолютное значение потока отрицательной энергии электромагнитного излучения в эргосфере будет также пропорционально (9)

Полученный результат позволяет предположить, что сделанные в работе [2] выводы о влиянии спонтанного излучения на эволюцию вращающейся чёрной дыры могут быть дополнены. А именно — возможно, потеря углового момента вращающейся чёрной дырой звёздной массы за счёт рассмотренного механизма спонтанного излучения происходит более интенсивно, чем предполагалось. Следовательно, можно выдвинуть гипотезу о том, что вращающиеся массивные чёрные дыры могут замедлять своё вращение и эволюционировать в статические чёрные дыры Шварцшильда за относительно короткие, обозримые промежутки времени. Для обоснования этой гипотезы необходимо провести более глубокий анализ, что потребует изменить подход. Это вытекает из того, что принятое упрощение \left( K_{lm}(\omega )-1 \right)=1 хотя и значительно облегчило вычисления, но не позволяет решить задачу более строго. Вместе с тем, хотя точное вычисление K_{lm}(\omega )) осуществимо [3], оно крайне трудоёмко. Поэтому возможны два способа более детального изучения вопроса:

  1. Точно рассчитать поток энергии, вычисляя значения K_{lm}(\omega ) на ЭВМ для каждого сочетания квантовых чисел, характеризующих волны спонтанного излучения.
  2. Анализ зависимости приведённой в работе [2] для вычисления интенсивности потока излучения с единицы поверхности для вращающейся чёрной дыры Керра.

Указанные направления будут являться темами дальнейших исследований.

Список литературы

  1. Ю.С. Владимиров, Классическая теория гравитации: Учебное пособие. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 264 с.
  2. В.П. Фролов, УФН 118, 3 (1976), с. 473-502. Черные дыры и квантовые процессы в них
  3. Starobinski A.A. Amplification of waves during reflection from a rotating black hole. Sov. Phys. JETP, Volume 37, No.1, 1973, p. 28–32
  4. Чандрасекар С. Математическая теория чёрных дыр: В 2-х ч. Ч. 2. Пер с англ. / С. Чандрасекар – Москва: Мир, 1986. – 355 с.