Оптимизация процесса бурения на основе полного факторного эксперимента

№50-2,

Физико-математические науки

В статье рассмотрен пример оптимизации процесса бурения на основе полного факторного эксперимента на основе статистических данных по скорости бурения, осевой нагрузки, частоты вращения бурильной трубы и подачи промывочного раствора. Оптимизация осуществлена как для линейного, так и для квадратичного уравнения регрессии.

Похожие материалы

Введение

Повышение эффективности процесса бурения геологоразведочных скважин является одной из актуальных научных задач. Значительное снижение стоимости нефтедобычи можно получить за счет использования оптимальных режимов работы бурового станка, обеспечивающих снижение удельных затрат электроэнергии, истирающих материалов, а также повышение сменной производительности и стойкости бурового инструмента. Соответствующей проблеме посвящено множество работ [1-5]. В данной статье рассмотрен пример оптимизации на основе статистических данных по скорости бурения, осевой нагрузки, частоты вращения бурильной трубы и подачи промывочного раствора.

Постановка задачи и алгоритм решения

Оптимизация процесса бурения возможна по критериям максимальной механической скорости проходки, максимальной рейсовой скорости бурения и стоимости 1 метра проходки, а также по вопросам оптимальной отработки долота при его сработке по вооружению, опоре или по диаметру. Задача при этом сводится к нахождению оптимальной механической скорости проходки для осуществления процесса бурения скважин на оптимальном режиме. В данном решении предполагается, что проведены испытания в идентичных горно-геологических условиях и с одинаковыми режимами.

В рассматриваемом случае требуется вычислить оптимальные значения и статистические характеристики скорости бурения, осевой нагрузки, частоты вращения бурильной трубы и подачи промывочного раствора.

Алгоритм решения состоит из двух этапов. На первом этапе находится уравнение регрессии. На втором этапе осуществляется поиск абсолютного оптимума для функции цели, соответствующей уравнению регрессии.

Количество учитываемых факторов равно 3. Для контроля правильности решения применяются два подхода. Первый подход заключается в построении и обработке данных полного факторного эксперимента для линейного уравнения регрессии (применяется план 23, т.е. количество экспериментов равно 8. Второй подход заключается в построении линии регрессии методом наименьших квадратов.

Обоснованием применяемых подходов является следующее. Соответствующий полный факторный эксперимент для 3 факторов для квадратичного уравнения регрессии осуществляется на трех уровнях и предполагает относительно большое количество экспериментов (33 = 27). Соответствующий план 33 считается в литературе неэффективным [6]. Полностью учесть имеющиеся экспериментальные данные при значительно меньшем числе опытов позволяет метод наименьших квадратов. Для повышения надежности выводов осуществляется решение задачи для линейного уравнения регрессии также с 3 факторами. Соответствующий план 23 требует относительно небольшое количество экспериментов.

Полный факторный эксперимент

В качестве факторов приняты: осевая нагрузка Pо(кН), частота вращения n (об/мин) и подача промывочного раствора Q (л/мин). Параметр оптимизации – механическая скорость бурения Vм (м/час).

Значения рассматриваемых факторов варьируются в пределах:

Pо = 10 - 46 кН, n = 120 - 500 об/мин, Q = 100 - 360 л/мин.

Результаты полного факторного эксперимента по плану 23 приведены в табл.1.

№ опыта

Pо(кН)

n (об/мин)

Q (л/мин)

Vм (м/час)

1

2

3

4

5

6

7

8

10

10

46

46

10

10

46

46

120

500

120

500

120

500

120

500

36

100

100

36

100

360

360

100

2,45

2,26

11,43

11,95

2,09

2,61

11,78

11,59

Уравнение регрессии имеет вид: y = a0+a1x1+a2x2+a3x3, где x1 = (PоPср)/DP, x2 = (nnср)/Dn, x3 = (QQср)/DQ – нормированные переменные факторов, Pср, nср, Qср – средние значения факторов,

DP = (PmaxPmin)/2, Dn = (nmaxnmin)/2, DQ = (QmaxQmin)/2 – длины интервалов варьирования факторов,

Pmin , Pmax , nmin , nmax , Qmin , Qmax – минимальные и максимальные значения факторов,

a0, a1, a2, a3 – коэффициенты линии регрессии, значения которых находятся по формулам:

\widetilde{a}_k=\frac{1}{2^n}\sum_{i=1}^{2^n}y_i\widetilde{x}_{ki} (k=0...n)

в данном выражении n – число факторов (в рассматриваемом случае n = 3),

xki – элементы матрицы плана, следует принять во внимание, что для данных обозначений k – номер столбца, а i – номер строки (i = 1 .. 23).

Значения матрицы плана xki и опытных значений механической скорости бурения yi равны:

x[1,0] = +1; x[1,1] = –1; x[1,2] = –1; x[1,3] = +1; y[1] = 2.45;
x[2,0] = +1; x[2,1] = –1; x[3,2] = +1; x[2,3] = –1; y[2] = 2.26;
x[3,0] = +1; x[3,1] = +1; x[3,2] = –1; x[3,3] = –1; y[3] = 11.43;
x[4,0] = +1; x[4,1] = +1; x[4,2] = +1; x[4,3] = +1; y[4] = 11.95;
x[5,0] = +1; x[5,1] = –1; x[5,2] = –1; x[5,3] = –1; y[5] = 2.09;
x[6,0] = +1; x[6,1] = –1; x[6,2] = +1; x[6,3] = +1; y[6] = 2.61;
x[7,0] = +1; x[7,1] = +1; x[7,2] = –1; x[7,3] = +1; y[7] = 11.78;
x[8,0] = +1; x[8,1] = +1; x[8,2] = +1; x[8,3] = –1; y[8] = 11.59;

cоответствующие значения коэффициентов линии регрессии равны:
a0 = 7.02036; a1 = 4.66817; a2 = 0.08124; a3 = 0.17683;

рассчитаем дисперсию критерия оптимизации (средняя дисперсия воспроизводительности):
s12 = [(a0 y1)2 + …+(a0 y8)2]/(8 – 1) = 24.95;

рассчитаем значение критериев оптимизации по уровням регрессии:
Yi = a0+a1x1i+a2x2i+a3x3i, i = 1 ... 8.

Рассчитаем остаточную дисперсию:
s22 = [(y1 Y1)2 + …+( y8 Y8)2]/4 = 5.04;

адекватность модели проверяется по критерию Фишера:
F = s22/s12 ~ 0.2;

табличное значение критерия Fт = 4,1 для чисел степеней свободы, соответственно равных 7 и 4 при уровне значимости 0,05.

Поскольку расчетное значение критерия меньше табличного, то модель адекватно описывает исследуемый процесс.

Метод наименьших квадратов

позволяет для рассматриваемого случая относительно полно учесть весь объем экспериментальной информации.

  1. Линейное уравнение регрессии имеет вид: y = a0+a1x1+a2x2+a3x3, где x1 = Pо/sP, x2 = n/sn, x3 = Q/sQ – нормированные переменные факторов, Pо, n, Q – значения факторов; sP, sn, sQ – выборочные среднеквадратические значения соответствующих факторов, a0, a1, a2, a3 – коэффициенты линии регрессии.
  2. Квадратичное уравнение регрессии: y = a0+a1x1+a2x2+a3x3+a11x12+a22x22+a33x32+a12x1x2+a13x1x3+a23x2x3.

Коэффициенты уравнения регрессии находятся из условия минимума суммы квадратов невязок для каждого эксперимента:

s2 = (y1 Y1)2 + …+( ymYm)2 ,

где Yi = a0+a1x1i+a2x2i+a3x3i – для линейного уравнения регрессии,
Yi = a0+a1x1i+a2x2i+a3x3i+a11x1i2+a22x2i2+a33x3i2+a12x1ix2i+a13x1ix3i+a23x2ix3i – для квадратичного уравнения регрессии, i = 1 .. m, m – число экспериментов (m = 20), xji – значение j-го фактора в i-ом опыте, j = 1 .. 3.

Статистическая выборка имеет вид:

y[1] = 2.9; y[2] = 3.1; y[3] = 3.8; y[4] = 4.8;
y[5] = 6.5; y[6] = 7.8; y[7] = 8.3; y[8] = 8.9;
y[9] = 9.5; y[10] = 3.1; y[11] = 3.7; y[12] = 4.1;
y[13] = 4.5; y[14] = 6.0; y[15] = 8.1; y[16] = 9.8;
y[17] = 10.0; y[18] = 11.1; y[19] = 10.9; y[20] = 10.8;

x[1,1] = 10.0; x[2,1] = 120; x[3,1] = 100;
x[1,2] = 14.8; x[2,2] = 200; x[3,2] = 120;
x[1,3] = 18.0; x[2,3] = 280; x[3,3] = 140;
x[1,4] = 22.9; x[2,4] = 300; x[3,4] = 160;
x[1,5] = 26.5; x[2,5] = 400; x[3,5] = 180;
x[1,6] = 30.0; x[2,6] = 430; x[3,6] = 200;
x[1,7] = 32.0; x[2,7] = 500; x[3,7] = 220;
x[1,8] = 36.4; x[2,8] = 430; x[3,8] = 240;
x[1,9] = 39.0; x[2,9] = 400; x[3,9] = 260;
x[1,10] = 10.0; x[2,10] = 300; x[3,10] = 280;
x[1,11] = 14.8; x[2,11] = 280; x[3,11] = 300;
x[1,12] = 18.0; x[2,12] = 200; x[3,12] = 320;
x[1,13] = 22.9; x[2,13] = 120; x[3,13] = 340;
x[1,14] = 26.5; x[2,14] = 200; x[3,14] = 360;
x[1,15] = 30.0; x[2,15] = 280; x[3,15] = 320;
x[1,16] = 32.0; x[2,16] = 300; x[3,16] = 300;
x[1,17] = 36.4; x[2,17] = 400; x[3,17] = 360;
x[1,18] = 39.0; x[2,18] = 250; x[3,18] = 225;
x[1,19] = 42.4; x[2,19] = 450; x[3,19] = 280;
x[1,20] = 46.0; x[2,20] = 500; x[3,20] = 225;

  • доверительные интервалы для выборочных средних для каждого фактора при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы, равном 4: ([mxi , m+xi]) = ([2.84,10,93],[12.64,42.12], [157,477], [138.5,354.5]);
  • дисперсии выборочных данных для каждого фактора: (Dxi ) = (115.78,13632,6211);
  • коэффициент вариации выборочных данных для каждого фактора: (vxi ) = (0.39, 0.37, 0.32);
  • коэффициент асимметрии выборочных данных для каждого фактора: (Аxi ) = ( -0.07, - 0.04, -0.26);
  • коэффициент эксцесса выборочных данных для каждого фактора: (Еxi ) = (-1.24, -1.22, -1.17);
  • среднеквадратические значения выборочных данных для каждого фактора: (sxi ) = (29.31986, 336.80855, 258.19082);
  • коэффициент Стьюдента равен 2.78;
  • соответствующие значения для выборочных значений скорости бурения:myi = 6.88, [myi , m+yi] = [2.84,10,93], Dyi = 8.71, vyi = 0.43, Аyi = 0.1, Еyi = -1.67,
  • среднеквадратическое значение для выборочных значений скорости бурения: sy = 7.46194;
  • проверка статистической гипотезы о нормальном распределении выборочных значений по критерию Пирсона при уровне значимости 0,05 показала, что данная гипотеза может быть принята только для первого фактора.

Коэффициенты корреляции выборочных значений скорости бурения и рассматриваемых факторов соответственно равны: (Rxiy ) = (0.97, 0.67, 0.29).

Коэффициенты уравнения регрессии находились при помощи программы оптимизации MINV [7]:

  • для линейной регрессионной модели: (ai) = (-0.68665, 7.6039, 0.14401, 0.3512).
  • для квадратичного уравнения регрессии: (ai) = (0.09929, 11.51661, -8.23417, 3.48430, 0.55091, 3.54766, -5.72580, -6.85486, 1.28757, 8.34419).
  • Значения невязок для каждого эксперимента: ( yiYi)/sy = ( -0.042, 0.033, 0.011, 0.071, -0.041, -0.066, 0.010, 0.058, 0.093, -0.004, 0.029, -0.029, 0.059, -0.014, -0.015, -0.144, 0.018, -0.007, 0.033, -0.054)

Вычисление оптимальных значений факторов

Осуществляется также при помощи программы MINV.

Результаты оптимизации для линейного уравнения регрессии имеют вид:Pо = 46, n = 500, Q = 360;

Оптимальное значение скорости бурения: Vм = 11.9;

Относительное значение невязки s/sy = 0.1; где s2 – среднеарифметическое значение квадратов невязок для каждого эксперимента: s2 = [(y1 Y1)2 + …+( ymYm)2]/m.

Результаты оптимизации для квадратичного уравнения регрессии:

  • были обнаружены два оптимума, первый из них совпадает с оптимумом для линейного уравнения регрессии: Pо = 46, n = 500, Q = 360;
  • оптимальное значение скорости бурения: Vм = 12.97;
  • относительное значение невязки s/sy = 0.05;
  • второй оптимум: Pо = 46, n = 120, Q = 191;
  • оптимальное значение скорости бурения: Vм = 16.35;
  • относительное значение невязки s/sy = 0.05.

Выводы

Из рассмотренных данных, только выборочные значения осевой нагрузки соответствуют нормальному закону распределения при уровне значимости 0,05.

Коэффициенты корреляции выборочных значений скорости бурения и рассматриваемых факторов (осевая нагрузка, частота вращения и подача промывочного раствора) соответственно равны: (Rxiy ) = (0.97, 0.67, 0.29).

Таким образом, числовое значение коэффициента корреляции между значениями осевой нагрузки и механической скорости бурения наибольшее и близко к единице, что указывает на тесную связь для данных параметров.

Полученные уравнения регрессии адекватны.

Оптимизация осуществлена как для линейного, так и для квадратичного уравнения регрессии. Значения оптимальных значений параметров для всех случаев практически совпадают.

Список литературы

  1. Басарыгин Ю. М., Булатов А. И., Проселков Ю. М. Бурение нефтяных и газовых скважин. — Учеб. пособие для вузов. — М.: ООО «Недра-Бизнесцентр», 2002. — 632 с. — ISBN 5-8365-0128-9.
  2. Оптимизация - бурение. Большая Энциклопедия Нефти Газа. http://www.ngpedia.ru/id216608p2.html
  3. Понятие об оптимизации параметров режима бурения. http://teplozond.ru/burenie-skvazhin/ponyatie-ob-optimizacii-parametrov-rezhima-bureniya-kriterii-optimizacii.html
  4. Порцевский А. К., Ганджумян Р. А. Оптимизация буровых и горно-разведочных работ, планирование эксперимента. Учебное пособие. МГОУ. Москва, 2005.- 70 с. http://www.geoprotection.narod.ru/genesis/optima-1.pdf
  5. Ситников Н. Б. Моделирование и оптимизация процесса бурения геологоразведочных скважин. Дисс. на соиск. уч. ст. док-ра техн. наук. 2000. Екатеринбург. 350 с. http://www.dissercat.com/content/modelirovanie-i-optimizatsiya-protsessa-bureniya-geologorazvedochnykh-skvazhin
  6. Ермаков С. М. Математическая теория планирования эксперимента. – М: Наука, 1983. – 392 с.
  7. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн. 2./ Жермен-Лакур П.,Жорж П.Л., Пистр Ф., Безье П.- Мир, 1989.-264 с.