Моделирование физических процессов в системе Mathcad

№90-1,

физико-математические науки

В данной статье рассмотрены методы моделирования физических процессов с помощью встроенных стандартных функций математического пакета Mathcad.

Похожие материалы

Явления и процессы, протекающие в материальном мире сложны. По этой причине человек старается упростить свойства тех явлений, которые хочет изучить. Другими словами, создаёт модель. У одного и того же объекта может быть несколько моделей, поэтому прежде чем создать модель, необходимо определиться, для чего она нужна.

Изучение различных объектов или процессов с использованием моделей называется моделированием.

Любая физическая задача, которая решена теоретически, есть не что иное, как математическое моделирование. Сложность математической модели зависит от описываемого физического явления: чем сложнее явление, тем сложнее модель. Использование сложной математической модели для расчётов проблематично. В простейших ситуациях задачу можно решить аналитически. В тех же случаях, когда аналитическое решение невозможно из-за сложности математической модели, используются численные методы решения задачи, эффективная реализация которых возможна только на компьютере. Иначе говоря, исследование физических процессов, описанных с помощью сложных математических моделей, выполняются с помощью метода компьютерного моделирования. Компьютерное моделирование можно реализовать с помощью системы автоматического проектирования Mathcad. [2]

Одним из самых зрелищных способов представления результатов физических расчётов является анимация. Система Mathcad предусматривает возможность анимирования графиков и результатов вычислений посредством создания AVI-файлов.

Основным принципом анимации является покадровая анимация. Покадровая анимация — последовательность кадров, которые представляют собой некоторый участок документа, выделенный пользователем. Сохранённый видеофайл может быть использован за пределами Mathcad.[3]

Рассмотрим конкретную задачу, которая демонстрирует возможности системы Mathcad не только как средства для создания анимации, но и как средства упрощения трудоёмких вычислений, преобразований.

Пример 1: с вершины идеально гладкой сферы радиусом R=60см соскальзывает небольшой груз. Определите, на каком расстоянии от вершины тело оторвётся от полусферы.

Аналитическое решение данной задачи достаточно трудоёмкое и долгое. В такой ситуации на помощь можно призвать систему Mathcad. Рассмотрим решение задачи в данной системе (см. рис 1).

Решение проводится в четыре этапа.

  1. В символьном виде, согласно второму закону Ньютона, находится скорость тела в точке отрыва от сферы.
  2. В символьном виде, согласно закону сохранения механической энергии, находим искомое расстояние.
  3. Строим график зависимости h(α).
  4. Создаём анимацию для данной зависимости.
Скриншот решения примера 1.
Рисунок 1. Скриншот решения примера 1.

Зачастую на практике может возникнуть ситуация, когда не представляется возможным описать аналитически некоторую функцию, имея при этом ряд значений данной функции. Например, в результате измерения какого-либо сложного физического процесса, для которого нет формул, получаем последовательность значений. Для анализа, полученного в ходе эксперимента результата, необходимо через имеющиеся точки провести кривую, которая будет максимально им соответствовать. В результате этого можно будет узнать значения функции в тех точках, в которых не проводились измерения. Также можно будет данную экспериментальную зависимость проинтегрировать или продифференцировать. Но тут возникает вопрос, как же провести через имеющиеся точки так называемую «правильную» кривую?

Ответ на данный вопрос прост — нам помогут алгоритмы интерполяции. В системе Mathcad существует специальная функция для интерполяции данных с помощью кубических сплайнов. [1, 4]

Пример 2: необходимо узнать зависимость глубины проникновения раствора KI в клубень картофеля от интенсивности ультразвука. Экспериментальные данные получены из реального опыта. Суть моей работы заключается в анализе полученных данных, поэтому решение данной задачи будем рассматривать сразу в системе Mathcad (см. рис. 2).

Решение проводится в четыре этапа.

  1. Задаём экспериментальные данные интенсивности ультразвука (l) и глубины проникновения раствора Kl (hm), строим экспериментальную кривую hm(l).
  2. Чтобы получить необходимую нам зависимость воспользуемся интерполяцией. Для построения вектора вторых производных, необходимых для функции interp(s2,hm,l,t), используем функцию cspline(l,hm). Строим графики функций hm(l), A2(t).
  3. Из полученного графика с помощью функции трассировки выбираем 2 любые точки с координатами (X1,Y1) и (X2,Y2). Задаём линейную зависимость вида y=kx+b, для нахождения коэффициентов k и b. В символьном виде решается соответствующая система уравнений. Решение можно получить с помощью встроенной функции Find.
  4. Из полученных данных строим линейную зависимость hm1(x).
Скриншот решения примера 2.
Рисунок 2. Скриншот решения примера 2.

Таким образом, важно понимать, что система Mathcad является мощнейшим средством для моделирования физических процессов. Данный пакет позволяет визуализировать процессы и явления, протекающие в материальном мире.

Список литературы

  1. Дьяконов А.А. Справочник по Mathcad 2000. М.: Ск - пресс, 2000. 352 с.
  2. Дьяконов В.П. Mathcad 11/12/13 в математике. Справочник. М.: Горячая линия - Телеком, 2007
  3. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. Mathcad 8 PRO в математике, физике и Internet. М.: Нолидж, 1999
  4. Охорзин В.А. Компьютерное моделирование в системе Mathcad: учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 2006. 144 с.