Локальная краевая задача для уравнения четвертого порядка

№37-1,

физико-математические науки

В работе исследована локальная краевая задача для уравнения высокого порядка в ограниченной области. Доказательство разрешимости задачи проведено методом понижения порядка. В заключительной части работы рассмотрен частный случай сформулированной общей задачи.

Похожие материалы

Краевые задачи для уравнений высокого порядка находят широкое применение в механике, физике, математической биологии [1-3]. В тоже время, интерес к уравнениям высокого порядка и краевым задачам для них не исчерпывается прикладными задачами.

Актуальность подобных работ объясняется богатством методов исследования [3-5], применяемых для доказательства их однозначной разрешимости, которые во многом обобщают результаты для уравнений второго порядка.

В области D=\left\{(x,y): 0<x<l, 0<y<h \right\} для уравнения типа

u_{xxyy}\left(x,y\right)+u_{yy}\left(x,y\right)=0, (1)

исследована

Задача G. В области D найти регулярное решение уравнения (1) из класса C_{x,y}^{2,2}\left(\overline{D}\right), удовлетворяющее условиям:

u\left(0,y\right)= \varphi_{1}\left(y\right), u_{x}\left(0,y\right)=\varphi_{2}\left(y\right), 0<y<h, (2)

u\left(x,0\right)= \psi_{1}\left(x\right), u_{x}\left(x,0\right)=\psi_{2}\left(x\right), 0<x<l, (3)

где \varphi_{1}\left(y\right), \varphi_{2}\left(y\right), \psi_{1}\left(x\right), \psi_{2}\left(x\right) - заданные функции, причем

\varphi_{1}\left(0\right)=\psi_{1}\left(0\right), \varphi_{2}\left(0\right)=\psi_{1}\left(0\right), \varphi_{1}\left(0\right)=\psi_{2}\left(0\right). (4)

Доказательство разрешимости задачи G.

Дважды интегрируя уравнение (1), получим

u_{xx}\left(x,y\right)+u\left(x,y\right)=f_{1}\left(x\right)y+f_{2}\left(x\right). (5)

Общее решение соответствующего однородного уравнения может быть представлено в виде [6]:

u\left(x,y\right)=C_{1}\left(y\right)\cos{x}+C_{2}\left(y\right)\sin{x},

где C_{1}\left(y\right), C_{2}\left(y\right) - произвольные функции.

Частное решение уравнения (5) будем искать в виде

u\left(x,y\right)=C_{1}\left(x,y\right)\cos{x}+C_{2}\left(x,y\right)\sin{x},

где C_{1}\left(x,y\right), C_{2}\left(x,y\right) - произвольные функции переменных x, y.

Далее рассмотрим систему

\left\{\begin{array}{l}{C_{1x}\left(x,y\right)\cos{x}+C_{2x}\left(x,y\right)\sin{x}=0,} \\ {-C_{1x}\left(x,y\right)\sin{x}+C_{2x}\left(x,y\right)\cos{x}=f_{1}\left(x\right)+f_{2}\left(x\right).} \end{array}\right.

Отсюда, в результате элементарных преобразований, будем иметь

C_{1}\left(x,y\right)=-\int \limits_{0}^{x}\left(f_{1}\left(\xi\right)y+ f_{2}\left(\xi\right)\right)\sin{\xi}\,d\xi$, $ C_{2}\left(x,y\right)=\int \limits_{0}^{x}\left(f_{1}\left(\xi\right)y+ f_{2}\left(\xi\right)\right)\sin{\xi}\,d\xi.

Тогда, общее решение уравнения (1) может быть представлено в виде

u\left(x,y\right)=C_{1}\left(x,y\right)\cos{x}+C_{2}\left(x,y\right)\sin{x}+\int \limits_{0}^{x}\left(f_{1}\left(\xi\right)y+ f_{2}\left(\xi\right)\right)\sin{\left(x-\xi\right)}\,d\xi, (6)

где C_{1}\left(x,y\right), C_{2}\left(x,y\right), f_{1}\left(x\right), f_{2}\left(x\right) - произвольные функции.

Для определения произвольных функций воспользуемся условиями (2) и (3). В результате приходим к соотношениям:

\int \limits_{0}^{x}f_{2}\left(x-\xi\right)\, d\xi=g_{1}\left(x\right), \int \limits_{0}^{x}f_{1}\left(\xi\right)\sin{\left(x-\xi\right)}\,d\xi=g_{2}\left(x\right), (7)

где g_{1}\left(x\right)=\psi_{1}\left(x\right)-\varphi_{1}\left(0\right)\cos{x}-\varphi_{2}\left(0\right)\sin{x}, g_{2}\left(x\right)=\psi_{2}\left(x\right)-\varphi_{1}\left(0\right)\cos{x}-\varphi_{2}\left(0\right)\sin{x}.

Для решения интегральных уравнений (7) используем метод преобразования Лапласа.

Полагая f_{1}\left(x\right) \longleftrightarrow F_{1}\left(p\right), f_{2}\left(x\right) \longleftrightarrow F_{2}\left(p\right), g_{1}\left(x\right) \longleftrightarrow G_{1}\left(p\right),  g_{2}\left(x\right) \longleftrightarrow G_{2}\left(p\right), и используя формулу:

F_{1}\left(p\right)\cdot F_{2}\left(p\right)\longleftrightarrow \int\limits_{0}^{x}f_{1}\left(\xi\right)f_{2}\left(x-\xi\right)\,d\xi,

находим функции f_{1}\left(x\right) и f_{2}\left(x\right).

Очевидно, что решение задачи, определяемое равенством (6) принадлежит требуемому классу функций.

Частный случай задачи G.

Рассмотрим задачу G, где в качестве (2), (3) определим условия в виде

u\left(0,y\right)=e^y, u_{x}\left(0,y\right)=\cos{y}, 0\leq y \leq 1, (8)

u\left(x,0\right)=1+\sin{x}, u_{x}\left(x,0\right)=\cos{x}, 0\leq x\leq 1. (9)

Заметим, что здесь выполнены все условия на заданные функции, включая условия согласования.

Для нахождения решения задачи (1), (8), (9) достаточно определить f_{1}\left(x\right) и f_{2}\left(x\right), т.к. C_{1}\left(y\right)= \varphi_{1}\left(y\right) и  C_{2}\left(y\right)= \varphi_{2}\left(y\right).

В нашем случае

g_{1}\left(x\right)=1+\sin{x}-\cos{x}-\sin{x}=1-\cos{x}, g_{2}\left(x\right)=\cos{x}-\cos{x}=0.

Принимая во внимание, что

1-\cos{x}\longleftrightarrow \frac{1}{p\left(p^2+1\right)},

будем иметь

F_{2}\left(p\right)\frac{1}{p^2+1}=\frac{1}{p\left(p^2+1\right)}.

Отсюда заключаем, что

F_{2}\left(p\right)\frac{1}{p}.

Следовательно, f_{2}\left(x\right)=1. Аналогично, определяем f_{1}\left(x\right)=0.

Таким образом, получим

u\left(x,y\right)=e^y\cos{x}+\cos{y}\sin{x}+1-\cos{x}. (10)

Равенство (10) определяет явный вид решения задачи (1), (8), (9).

Список литературы

  1. Лесев В.Н. Математические методы в исследовании статики и кинетики капиллярных поверхностей. – Нальчик: Принт – Центр, 2011. – 162с.
  2. Лесев В.Н., Созаев В.А. Исследование статистики и динамики малых капель. Фундаментальные основы, математические модели, численные методы.- Saarbrucken (Germany): Lambert Academic Publishing. 2011.- 128c.
  3. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. – М.: ФИЗМАЛИТ, 2011. – 432с.
  4. Лесев В.Н., Шарданова М.А. О разрешимости краевых задач для неоднородного уравнения высокого порядка с переменными коэффициентами // Theoretical & Applied Science, 2014. №12(20). – С. 101-103.
  5. Лесев В.Н., Шарданова М.А. Применение метода конечных интегральных преобразований к исследованию краевой задачи для уравнения высокого порядка // Theoretical & Applied Science, 2014. №5(13). – С. 1-4.
  6. Сопуев А., Осмоналиев А.Б. Краевые задачи для смешанно – гиперболических уравнений четвертого порядка с характеристической линией перехода // Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа информатики: Труды научной конференции – Ташкент. – 2004. Т.1 – с.152-157.