Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова
кандидат наук,доцент
NovaInfo37, скачать PDF Опубликовано Раздел: Физико-математические науки Язык: Русский Просмотров за месяц: 1 CC BY-NC
Аннотация
В работе исследована локальная краевая задача для уравнения высокого порядка в ограниченной области. Доказательство разрешимости задачи проведено методом понижения порядка. В заключительной части работы рассмотрен частный случай сформулированной общей задачи.
Ключевые слова
ЛОКАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, УРАВНЕНИЕ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ
Текст научной работы
Краевые задачи для уравнений высокого порядка находят широкое применение в механике, физике, математической биологии [1-3]. В тоже время, интерес к уравнениям высокого порядка и краевым задачам для них не исчерпывается прикладными задачами.
Актуальность подобных работ объясняется богатством методов исследования [3-5], применяемых для доказательства их однозначной разрешимости, которые во многом обобщают результаты для уравнений второго порядка.
В области для уравнения типа
, (1)
исследована
Задача G. В области D найти регулярное решение уравнения (1) из класса , удовлетворяющее условиям:
, , , (2)
, , , (3)
где , , , — заданные функции, причем
, , . (4)
Доказательстворазрешимостизадачи G.
Дважды интегрируя уравнение (1), получим
. (5)
Общее решение соответствующего однородного уравнения может быть представлено в виде [6]:
,
где , — произвольные функции.
Частное решение уравнения (5) будем искать в виде
,
где , — произвольные функции переменных , .
Далее рассмотрим систему
Отсюда, в результате элементарных преобразований, будем иметь
, .
Тогда, общее решение уравнения (1) может быть представлено в виде
, (6)
где , , , — произвольные функции.
Для определения произвольных функций воспользуемся условиями (2) и (3). В результате приходим к соотношениям:
, , (7)
где , .
Для решения интегральных уравнений (7) используем метод преобразования Лапласа.
Полагая , , , , и используя формулу:
,
находим функции и .
Очевидно, что решение задачи, определяемое равенством (6) принадлежит требуемому классу функций.
Частный случай задачи G.
Рассмотрим задачу G, где в качестве (2), (3) определим условия в виде
, , , (8)
, , . (9)
Заметим, что здесь выполнены все условия на заданные функции, включая условия согласования.
Для нахождения решения задачи (1), (8), (9) достаточно определить и , т.к. и .
В нашем случае
, .
Принимая во внимание, что
,
будем иметь
.
Отсюда заключаем, что
.
Следовательно, . Аналогично, определяем .
Таким образом, получим
. (10)
Равенство (10) определяет явный вид решения задачи (1), (8), (9).
NovaInfo36, , Физико-математические науки, CC BY-NC
Список литературы
Лесев В.Н. Математические методы в исследовании статики и кинетики капиллярных поверхностей. – Нальчик: Принт – Центр, 2011. – 162с.
Лесев В.Н., Созаев В.А. Исследование статистики и динамики малых капель. Фундаментальные основы, математические модели, численные методы.- Saarbrucken (Germany): Lambert Academic Publishing. 2011.- 128c.
Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. – М.: ФИЗМАЛИТ, 2011. – 432с.
Лесев В.Н., Шарданова М.А. О разрешимости краевых задач для неоднородного уравнения высокого порядка с переменными коэффициентами // Theoretical & Applied Science, 2014. №12(20). – С. 101-103.
Лесев В.Н., Шарданова М.А. Применение метода конечных интегральных преобразований к исследованию краевой задачи для уравнения высокого порядка // Theoretical & Applied Science, 2014. №5(13). – С. 1-4.
Сопуев А., Осмоналиев А.Б. Краевые задачи для смешанно – гиперболических уравнений четвертого порядка с характеристической линией перехода // Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа информатики: Труды научной конференции – Ташкент. – 2004. Т.1 – с.152-157.
Цитировать
Барагунова, М.А. Локальная краевая задача для уравнения четвертого порядка / М.А. Барагунова, Л.В. Думаева, В.Н. Лесев. — Текст : электронный // NovaInfo, 2015. — № 37. — URL: https://novainfo.ru/article/3861 (дата обращения: 27.01.2023).