Локальная краевая задача для уравнения четвертого порядка

Барагунова, Мадина Арсеновна; Думаева, Ляна Владимировна; Лесев, Вадим Николаевич

Краевые задачи для уравнений высокого порядка находят широкое применение в механике, физике, математической биологии [1-3]. В тоже время, интерес к уравнениям высокого порядка и краевым задачам для них не исчерпывается прикладными задачами.

Актуальность подобных работ объясняется богатством методов исследования [3-5], применяемых для доказательства их однозначной разрешимости, которые во многом обобщают результаты для уравнений второго порядка.

В области $D=\left\{(x,y): 0<x<l, 0<y<h \right\}$ для уравнения типа

$u_{xxyy}\left(x,y\right)+u_{yy}\left(x,y\right)=0$ , (1)

исследована

Задача G. В области D найти регулярное решение уравнения (1) из класса $C_{x,y}^{2,2}\left(\overline{D}\right)$ , удовлетворяющее условиям:

$u\left(0,y\right)= \varphi_{1}\left(y\right)$ , $u_{x}\left(0,y\right)=\varphi_{2}\left(y\right)$ , $0<y<h$ , (2)

$u\left(x,0\right)= \psi_{1}\left(x\right)$ , $u_{x}\left(x,0\right)=\psi_{2}\left(x\right)$ , $0<x<l$ , (3)

где $\varphi_{1}\left(y\right)$ , $\varphi_{2}\left(y\right)$ , $\psi_{1}\left(x\right)$ , $\psi_{2}\left(x\right)$ - заданные функции, причем

$\varphi_{1}\left(0\right)=\psi_{1}\left(0\right)$ , $\varphi_{2}\left(0\right)=\psi_{1}\left(0\right)$ , $\varphi_{1}\left(0\right)=\psi_{2}\left(0\right)$ . (4)

Доказательство разрешимости задачи G.

Дважды интегрируя уравнение (1), получим

$u_{xx}\left(x,y\right)+u\left(x,y\right)=f_{1}\left(x\right)y+f_{2}\left(x\right)$ . (5)

Общее решение соответствующего однородного уравнения может быть представлено в виде [6]:

$u\left(x,y\right)=C_{1}\left(y\right)\cos{x}+C_{2}\left(y\right)\sin{x}$ ,

где $C_{1}\left(y\right)$ , $C_{2}\left(y\right)$ - произвольные функции.

Частное решение уравнения (5) будем искать в виде

$u\left(x,y\right)=C_{1}\left(x,y\right)\cos{x}+C_{2}\left(x,y\right)\sin{x}$ ,

где $C_{1}\left(x,y\right)$ , $C_{2}\left(x,y\right)$ - произвольные функции переменных $x$ , $y$ .

Далее рассмотрим систему

$\left\{\begin{array}{l}{C_{1x}\left(x,y\right)\cos{x}+C_{2x}\left(x,y\right)\sin{x}=0,} \\ {-C_{1x}\left(x,y\right)\sin{x}+C_{2x}\left(x,y\right)\cos{x}=f_{1}\left(x\right)+f_{2}\left(x\right).} \end{array}\right.$

Отсюда, в результате элементарных преобразований, будем иметь

$C_{1}\left(x,y\right)=-\int \limits_{0}^{x}\left(f_{1}\left(\xi\right)y+ f_{2}\left(\xi\right)\right)\sin{\xi}\,d\xi$, $ C_{2}\left(x,y\right)=\int \limits_{0}^{x}\left(f_{1}\left(\xi\right)y+ f_{2}\left(\xi\right)\right)\sin{\xi}\,d\xi$ .

Тогда, общее решение уравнения (1) может быть представлено в виде

$u\left(x,y\right)=C_{1}\left(x,y\right)\cos{x}+C_{2}\left(x,y\right)\sin{x}+\int \limits_{0}^{x}\left(f_{1}\left(\xi\right)y+ f_{2}\left(\xi\right)\right)\sin{\left(x-\xi\right)}\,d\xi$ , (6)

где $C_{1}\left(x,y\right)$ , $C_{2}\left(x,y\right)$ , $f_{1}\left(x\right)$ , $f_{2}\left(x\right)$ - произвольные функции.

Для определения произвольных функций воспользуемся условиями (2) и (3). В результате приходим к соотношениям:

$\int \limits_{0}^{x}f_{2}\left(x-\xi\right)\, d\xi=g_{1}\left(x\right)$ , $\int \limits_{0}^{x}f_{1}\left(\xi\right)\sin{\left(x-\xi\right)}\,d\xi=g_{2}\left(x\right)$ , (7)

где $g_{1}\left(x\right)=\psi_{1}\left(x\right)-\varphi_{1}\left(0\right)\cos{x}-\varphi_{2}\left(0\right)\sin{x}$ , $g_{2}\left(x\right)=\psi_{2}\left(x\right)-\varphi_{1}\left(0\right)\cos{x}-\varphi_{2}\left(0\right)\sin{x}$ .

Для решения интегральных уравнений (7) используем метод преобразования Лапласа.

Полагая $f_{1}\left(x\right) \longleftrightarrow F_{1}\left(p\right)$ , $f_{2}\left(x\right) \longleftrightarrow F_{2}\left(p\right)$ , $g_{1}\left(x\right) \longleftrightarrow G_{1}\left(p\right)$ , $g_{2}\left(x\right) \longleftrightarrow G_{2}\left(p\right)$ , и используя формулу:

$F_{1}\left(p\right)\cdot F_{2}\left(p\right)\longleftrightarrow \int\limits_{0}^{x}f_{1}\left(\xi\right)f_{2}\left(x-\xi\right)\,d\xi$ ,

находим функции $f_{1}\left(x\right)$ и $f_{2}\left(x\right)$ .

Очевидно, что решение задачи, определяемое равенством (6) принадлежит требуемому классу функций.

Частный случай задачи G.

Рассмотрим задачу G, где в качестве (2), (3) определим условия в виде

$u\left(0,y\right)=e^y$ , $u_{x}\left(0,y\right)=\cos{y}$ , $0\leq y \leq 1$ , (8)

$u\left(x,0\right)=1+\sin{x}$ , $u_{x}\left(x,0\right)=\cos{x}$ , $0\leq x\leq 1$ . (9)

Заметим, что здесь выполнены все условия на заданные функции, включая условия согласования.

Для нахождения решения задачи (1), (8), (9) достаточно определить $f_{1}\left(x\right)$ и $f_{2}\left(x\right)$ , т.к. $C_{1}\left(y\right)= \varphi_{1}\left(y\right)$ и $C_{2}\left(y\right)= \varphi_{2}\left(y\right)$ .