Краевая задача для уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом в ограниченной области

NovaInfo 36, скачать PDF
Опубликовано
Раздел: Физико-математические науки
Язык: Русский
Просмотров за месяц: 0
CC BY-NC

Аннотация

В статье исследован аналог второй краевой задачи для уравнения в частных производных с дискретным отклонением аргумента. Доказательство разрешимости задачи проведено методом разделения переменных. Получены условия при выполнении, которых задача не может иметь более одного решения.

Ключевые слова

МЕТОД ФУРЬЕ, ДИСКРЕТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, КЛАССИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

Текст научной работы

Различные процессы, протекающие в окружающем нас мире, заставляют исследователей все чаще обращаться к моделям, которые способны учитывать состояние систем в последующие или предшествующие моменты времени [1-3].

В отличии от работ [4-6], здесь мы исследуем аналог второй краевой задачи для уравнения в частных производных второго порядка с отклоняющимся аргументом в ограниченной области.

Пусть \Omega =\{0<x<x_{0}, 0<t<\tau \} — односвязная область евклидовой плоскости R^{2} точек \left(x,t\right).

В области Ω рассмотрим уравнение:

Lu\equiv \alpha u_{xx} \left(x,t\right)+\beta u_{tt} \left(x,t\right)+\gamma u\left(x,\tau -t\right)=0, (1)

где \alpha, \beta, \gamma, x_{0}, \tau const, причем \alpha \cdot \beta \cdot \gamma \cdot \tau \neq 0.

Для уравнения (1) в области Ω исследована следующая задача.

Задача 1. Найти решение u(x,t) уравнения (1) из класса C^1(\overline{\Omega})\bigcap C_{x,t}^{2,4}(\Omega), удовлетворяющее условиям

u_{x} \left(0,t\right)=\varphi _{1} \left(t\right), u_{x} \left(x_{0}, t\right)=\varphi _{2} \left(t\right), u_{t} \left(x,0\right)=\varphi _{3} \left(x\right), u_{t} \left(x,\tau \right)=\varphi _{4} \left(x\right), (2)

где \varphi _{i}\left(i=\overline{1,4}\right) — заданные, достаточно гладкие функции.

Для задачи 1 справедлива следующая

Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

1. \varphi _{1} \left(t\right), \varphi _{2} \left(t\right)\in C^{3} \left[0,\tau \right], \varphi _{3} \left(x\right), \varphi _{4} \left(x\right)\in C^{3} \left[0,x_{0} \right], где x_{0} \in \left(0,\frac{\pi }{2\sqrt{2} } \right), \tau \in \left(0,\frac{\pi \sqrt{\beta } }{\sqrt{2\gamma } } \right);

2. \varphi _{j}'\left(0\right)=\varphi _{j}'\left(\tau \right)=0, \varphi _{l}'\left(0\right)=\varphi _{l}'\left(x_{0}\right)=0, где j=1, 2, l=3, 4;

3. \alpha <-\frac{\gamma x_{0}^{2} }{\pi ^{2} n^{2} }, \beta >\frac{\gamma \tau ^{2} }{4\pi ^{2} n^{2} }, \gamma >0, n\in N.

Тогда задача 1 разрешима в требуемом классе функций.

Докажем существование решения задачи 1. Для этого будем искать решение в виде суммы u=u_{1}+u_{2}, где u_{1} -- решение задачи (1) при \varphi_{3}=\varphi_{4}=0, а u_{2} — решение задачи при \varphi_{1}=\varphi_{2}=0. Дальнейшее изложение проведем для случая однородных граничных условий:

Lu_{1}\equiv 0, (3)

u_{1t} \left(x,0\right)=0, u_{1t} \left(x,\tau \right)=0, (4)

u_{1x} \left(0,t\right)=\varphi _{1} \left(t\right), u_{1x} \left(x_{0}, t\right)=\varphi _{2} \left(t\right). (5)

Решение задачи (3) будем искать в виде:

u_{1}=X\left(x\right)\cdot T\left(t\right). (6)

Подставляя (6) в (3), получим

\frac{\beta T''\left(t\right)+\gamma T\left(\tau -t\right)}{T\left(t\right)} =-\frac{\alpha X''\left(x\right)}{X\left(x\right)} =-\lambda, (7)

где \lambda =const.

Отсюда из (7), с учетом (4), будем иметь

\beta T''\left(t\right)+\gamma T\left(\tau -t\right)+\lambda T\left(t\right)=0, (8)

T'(0)=T'\left(\tau \right)=0, (9)

Нетрудно убедиться, что задача (8), (9) имеет собственные значения \lambda_{0}=-\gamma , \lambda _{1n} =\frac{4\pi ^{2} n^{2} \beta -\gamma \tau ^{2} }{\tau ^{2} }, \lambda _{2n} =\frac{\left(\pi +2\pi n\right)^{2} \beta +\gamma \tau ^{2} }{\tau ^{2} } и соответствующие им собственные функции

T_{0}\left(t\right)=C_{4},

T_{1n} \left(t\right)=\left(-1\right)^{n}C_{3n}\cos\left[\frac{\pi n}{\tau } \left(2t-\tau\right)\right], (10)

T_{2n} \left(t\right)=\left(-1\right)^{n} C_{1n}\sin \left[\frac{\pi +2\pi n}{2\tau }\left(2t-\tau\right)\right],

где C_{4}, C_{1n}, C_{3n}, n\in N — произвольные постоянные.

Далее остановимся более подробно на случаях собственных значений \lambda_{0} и \lambda _{1n}, что представляет на наш взгляд наибольший теоретический интерес.

Случай собственных значений \lambda _{2n} исследуется аналогично.

Подставляя собственное значение \lambda_{0}=-\gamma в (7) приходим к соотношению

\alpha X''\left(x\right)+\gamma X\left(x\right)=0.

Общее решение последнего представимо в виде

X\left(x\right)=\alpha_{0}\ch{\left(x\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}+\beta_{0}\sh{\left(x\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}.

Используя обозначения A_{0}=\alpha_{0}\cdot C_{4}, B_{0}=\beta_{0}\cdot C_{4}, с учетом (6), получим частное решение задачи (3)-(5):

V_{0}\left(x\right)=A_{0}\ch{\left(x\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}+B_{0}\sh{\left(x\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}, (11)

где постоянные A_{0}, B_{0} будут определены позже.

Подставляя собственные значения \lambda _{1n} в (7), приходим к соотношению

\alpha X''_{n} \left(x\right)-\frac{4\pi ^{2} n^{2} \beta -\gamma \tau ^{2} }{\tau ^{2} } X_{n} \left(x\right)=0.

Общее решение последнего имеет вид:

X_{n} \left(x\right)=\alpha _{1n} \cos \left(x\sqrt{\frac{\gamma \tau ^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta }{\alpha \tau ^{2} } } \right)+\beta _{1n} \sin \left(x\sqrt{\frac{\gamma \tau ^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta }{\alpha \tau ^{2} } } \right), (12)

где \alpha _{1n} , \beta _{1n} =const.

Тогда, принимая во внимание (10) и (12), получим:

V_{1}\left(x,t\right) = \sum _{n=1}^{\infty }\left[A_{1n}\cos{\left(x\sqrt{\frac{\gamma \tau^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta}{ \alpha\tau^{2} } }\right)}+B_{1n}\sin{\left(x\sqrt{\frac{\gamma \tau^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta}{ \alpha\tau^{2} } } \right)}\right]\left(-1\right)^{n}\cos\left[\frac{\pi n}{\tau } \left(2t-\tau\right)\right], (13)

где A_{1n}, B_{1n} -- постоянные нуждающиеся в определении.

Таким образом, из (11), (13), будем иметь:

u_{1}\left(x,t\right) =V_{0}+V_{1}=

=A_{0}\ch{\left(x\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}+B_{0}\sh{\left(x\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}+

+\sum _{n=1}^{\infty }\left[A_{1n}\cos{\left(x\sqrt{\frac{\gamma \tau^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta}{ \alpha\tau^{2} } }\right)}+B_{1n}\sin{\left(x\sqrt{\frac{\gamma \tau^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta}{ \alpha\tau^{2} } } \right)}\right]\left(-1\right)^{n}\cos\left[\frac{\pi n}{\tau } \left(2t-\tau\right)\right]. (14)

Условия (5) позволяют определить A_{0}, B_{0}, A_{1n}, B_{1n}. Действительно, разлагая функции \varphi _{1} \left(t\right) и \varphi _{2} \left(t\right), в ряд Фурье на интервале \left[0, \tau \right], с учeтом условия 1) теоремы, получим

\varphi _{1} \left(t\right)=\frac{\zeta_{0}}{2}+ \sum _{n=1}^{\infty }\zeta_{n} \cos\left[\frac{\pi n}{\tau } \left(2t-\tau\right)\right], \varphi _{2} \left(t\right)=\frac{\nu_{0}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\nu_{n} \cos\left[\frac{\pi n}{\tau } \left(2t-\tau\right)\right],

где

\zeta_{0} =\frac{2}{\tau } \int \limits_{0}^{\tau }\varphi _{1} \left(t\right)\,dt, \nu_{0} =\frac{2}{\tau } \int \limits_{0}^{\tau }\varphi _{2} \left(t\right)\,dt.

\zeta_{n} =\frac{2}{\tau } \int \limits_{0}^{\tau }\varphi _{1} \left(t\right)</p><p>\cos\left[\frac{\pi n}{\tau } \left(2t-\tau\right)\right]\,dt, \nu_{n} =\frac{2}{\tau } \int \limits_{0}^{\tau }\varphi _{2} \left(t\right)\cos\left[\frac{\pi n}{\tau } \left(2t-\tau\right)\right]\,dt.

При этом ряды \sum \limits_{n=1}^{\infty }\left|\zeta_{n} \right| и \sum \limits_{n=1}^{\infty }\left|\nu_{n} \right| — сходятся.

Учитывая условия (5), находим

A_{0}=\frac{\nu_{0}-\zeta_{0}\cosh{\left(x_{0}\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}}{2\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\sinh{\left(x_{0}\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}}, B_{0}=\frac{\zeta_{0}}{2\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}},

A_{1n} =\left(-1\right)^{n} \frac{\zeta_{n}\cos{\left(x_{0}\sqrt{\frac{\gamma \tau^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta}{ \alpha\tau^{2}}}\right)}-\nu_{n} }{\sqrt{\frac{\gamma \tau^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta}{ \alpha\tau^{2}}}\sin{\left(x_{0}\sqrt{\frac{\gamma \tau^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta}{\alpha\tau^{2}}}\right)}}, B_{1n} =\frac{\left(-1\right)^{n} \zeta_{n} }{\sqrt{\frac{\gamma \tau^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta}{ \alpha\tau^{2} } } }.

Подставив значения A_{0}, B_{0}, A_{1n}, B_{1n} в (14), получим

u_{1}\left(x,t\right) =\frac{\nu_0 \cosh{\left(x\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}-\zeta_0 \cosh{\left(\left[x_{0}-x\right]\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}}{2\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\sinh{\left(x_{0}\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}}+

+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta_{n}\cos{\left(\left[x_{0}-x\right]\sqrt{\frac{\gamma\tau^{2} -4\pi^{2} n^{2}\beta}{\alpha\tau^{2}}}\right)}-\nu_{n}\cos{\left(x\sqrt{\frac{\gamma\tau^{2}-4\pi^{2}n^{2} \beta}{\alpha\tau^{2}}}\right)}}{\sqrt{\frac{\gamma\tau^{2}-4\pi ^{2}n^{2}\beta}{\alpha\tau^{2}}} \sin{\left(x_{0}\sqrt{\frac{\gamma\tau^{2}-4\pi^{2}n^{2}\beta}{\alpha\tau^{2}}}\right)}}\times

\times \left(-1\right)^{n}\cos\left[\frac{\pi n}{\tau } \left(2t-\tau\right)\right]. (15)

Для ряда (15) и рядов полученных почленным дифференцированием: u_{1x}\left(x,t\right), u_{1t}\left(x,t\right), u_{1xx}\left(x,t\right), u_{1xt}\left(x,t\right), u_{1tt}\left(x,t\right) методом сравнения доказана равномерная сходимость.

Функция u_{2} \left(x,t\right) аналогично функции u_{1} \left(x,t\right) для различных собственных значении задачи находится в виде сходящихся тригонометрических рядов.

Для доказательства единственности покажем, что однородная задача (1), (2) имеет только тривиальное решение.

Лемма. Если существует решение задачи (1), (2), то оно единственно только тогда, когда

A \sin \left(x_{0} A \right)\ne 0, B \sin \left(x_{0} B \right)\ne 0,

\sqrt{\frac{\pi ^{4} n^{4} \alpha ^{2} -\gamma x_{0}^{2} }{\beta x_{0}^{2} } } \cdot\tg\left(\frac{\tau }{2} \sqrt{\frac{\gamma x_{0}^{2} -\pi ^{2} n^{2} \alpha }{\beta x_{0}^{2} } } \right)\cdot\ctg\left(\frac{\tau }{2} \sqrt{\frac{-\gamma x_{0}^{2} -\pi ^{2} n^{2} \alpha }{\beta x_{0}^{2} } } \right)\ne 0,

где

A=\sqrt{\frac{-\left(\pi +2\pi n\right)^{2} \beta -\gamma \tau ^{2} }{\alpha \tau ^{2} } }, B=\sqrt{\frac{\gamma \tau ^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta }{\alpha \tau ^{2}}}.

В самом деле, пусть

\varphi _{1} \left(t\right)=\varphi _{2} \left(t\right)=0, \varphi _{3} \left(x\right)=\varphi _{4} \left(x\right)=0 на 0<x<x_{0} , 0<t<\tau . Тогда, принимая во внимание общий вид полученных решений, а так же учитывая полноту систем

\left\{\sin \left[\frac{\pi +2\pi n}{2\tau } \left(2t-\tau\right)\right]\right\}_{n=1}^{\infty }, \left\{\cos \left(\frac{\pi n}{x_{0} } x\right)\right\}_{n=1}^{\infty }, \left\{\cos \left[\frac{\pi n}{\tau } \left(2t-\tau\right)\right]\right\}_{n=1}^{\infty },

легко убедится в справедливости тождества u\left(x,t\right)\equiv 0, а следовательно и леммы. Откуда следует единственность задачи 1.

Читайте также

Список литературы

  1. Трещёв В.С. Непрерывная зависимость от параметров решений краевых задач для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Вестник Тамбовского университета. Естественные и технические науки, 2015. – Т. 20, №1. – С. 62-66.
  2. Плышевская Т.К. О разрешимости квазилинейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом нейтрального типа // Известия Института математики и информатики УдГУ, 2012. – №1 (39). – С. 109-110
  3. Bartušek M., Cecchi M., Došlá Z., Marini M. Fourth-Order Differential Equation with Deviating Argument // Abstr. Appl. Anal., 2012. – V. 2012. – P. 1-17.
  4. Бжеумихова О.И. Локальная краевая задача для смешанного уравнения с отклоняющимся аргументом // Научное мнение, 2011. – №6. – С. 138-141.
  5. Бжеумихова О.И., Лесев В.Н. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа второго порядка с отклоняющимся аргументом // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2011. – Т. 18, вып. 5. – С. 744-745.
  6. Лесев В.Н., Бжеумихова О.И. Применение метода Фурье к исследованию задачи Дирихле для уравнения с отклоняющимся аргументом и оператором Лапласа в главной части // Политематический сетевой электронный научный журнал КубГАУ, 2012. – №07(81). – С. 1-10.

Цитировать

Бжеумихова, О.И. Краевая задача для уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом в ограниченной области / О.И. Бжеумихова, В.Н. Лесев. — Текст : электронный // NovaInfo, 2015. — № 36. — URL: https://novainfo.ru/article/3818 (дата обращения: 07.12.2022).

Поделиться