Краевая задача для уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом в ограниченной области

Различные процессы, протекающие в окружающем нас мире, заставляют исследователей все чаще обращаться к моделям, которые способны учитывать состояние систем в последующие или предшествующие моменты времени [1-3].

В отличии от работ [4-6], здесь мы исследуем аналог второй краевой задачи для уравнения в частных производных второго порядка с отклоняющимся аргументом в ограниченной области.

Пусть $\Omega =\{0$ — односвязная область евклидовой плоскости $R^{2}$ точек $\left(x,t\right)$.

В области Ω рассмотрим уравнение:

$Lu\equiv \alpha u_{xx} \left(x,t\right)+\beta u_{tt} \left(x,t\right)+\gamma u\left(x,\tau -t\right)=0$, (1)

где $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $x_{0}$, $\tau$ — $const$, причем $\alpha \cdot \beta \cdot \gamma \cdot \tau \neq 0$.

Для уравнения (1) в области Ω исследована следующая задача.

Задача 1. Найти решение u(x,t) уравнения (1) из класса $C^1(\overline{\Omega})\bigcap C_{x,t}^{2,4}(\Omega)$, удовлетворяющее условиям

$u_{x} \left(0,t\right)=\varphi _{1} \left(t\right), u_{x} \left(x_{0}, t\right)=\varphi _{2} \left(t\right), u_{t} \left(x,0\right)=\varphi _{3} \left(x\right), u_{t} \left(x,\tau \right)=\varphi _{4} \left(x\right)$, (2)

где $\varphi _{i}$$\left(i=\overline{1,4}\right)$ — заданные, достаточно гладкие функции.

Для задачи 1 справедлива следующая

Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

1. $\varphi _{1} \left(t\right), \varphi _{2} \left(t\right)\in C^{3} \left[0,\tau \right]$, $\varphi _{3} \left(x\right), \varphi _{4} \left(x\right)\in C^{3} \left[0,x_{0} \right]$, где $x_{0} \in \left(0,\frac{\pi }{2\sqrt{2} } \right)$, $\tau \in \left(0,\frac{\pi \sqrt{\beta } }{\sqrt{2\gamma } } \right)$;

2. $\varphi _{j}'\left(0\right)=\varphi _{j}'\left(\tau \right)=0$, $\varphi _{l}'\left(0\right)=\varphi _{l}'\left(x_{0}\right)=0$, где $j=1, 2$, $l=3, 4$;

3. $\alpha$, $\beta >\frac{\gamma \tau ^{2} }{4\pi ^{2} n^{2} }$, $\gamma >0$, $n\in N$.

Тогда задача 1 разрешима в требуемом классе функций.

Докажем существование решения задачи 1. Для этого будем искать решение в виде суммы $u=u_{1}+u_{2}$, где $u_{1}$ -- решение задачи (1) при $\varphi_{3}=\varphi_{4}=0$, а $u_{2}$ — решение задачи при $\varphi_{1}=\varphi_{2}=0$. Дальнейшее изложение проведем для случая однородных граничных условий:

$Lu_{1}\equiv 0$, (3)

$u_{1t} \left(x,0\right)=0$, $u_{1t} \left(x,\tau \right)=0$, (4)

$u_{1x} \left(0,t\right)=\varphi _{1} \left(t\right), u_{1x} \left(x_{0}, t\right)=\varphi _{2} \left(t\right)$. (5)

Решение задачи (3) будем искать в виде:

$u_{1}=X\left(x\right)\cdot T\left(t\right)$. (6)

Подставляя (6) в (3), получим

$\frac{\beta T''\left(t\right)+\gamma T\left(\tau -t\right)}{T\left(t\right)} =-\frac{\alpha X''\left(x\right)}{X\left(x\right)} =-\lambda$, (7)

где $\lambda =const$.

Отсюда из (7), с учетом (4), будем иметь

$\beta T''\left(t\right)+\gamma T\left(\tau -t\right)+\lambda T\left(t\right)=0$, (8)

$T'(0)=T'\left(\tau \right)=0$, (9)

Нетрудно убедиться, что задача (8), (9) имеет собственные значения $\lambda_{0}=-\gamma$, $\lambda _{1n} =\frac{4\pi ^{2} n^{2} \beta -\gamma \tau ^{2} }{\tau ^{2} }$, $\lambda _{2n} =\frac{\left(\pi +2\pi n\right)^{2} \beta +\gamma \tau ^{2} }{\tau ^{2} }$ и соответствующие им собственные функции

$T_{0}\left(t\right)=C_{4}$,

$T_{1n} \left(t\right)=\left(-1\right)^{n}C_{3n}\cos\left[\frac{\pi n}{\tau } \left(2t-\tau\right)\right]$, (10)

$T_{2n} \left(t\right)=\left(-1\right)^{n} C_{1n}\sin \left[\frac{\pi +2\pi n}{2\tau }\left(2t-\tau\right)\right]$,

где $C_{4}$, $C_{1n}$, $C_{3n}$, $n\in N$ — произвольные постоянные.

Далее остановимся более подробно на случаях собственных значений $\lambda_{0}$ и $\lambda _{1n}$, что представляет на наш взгляд наибольший теоретический интерес.

Случай собственных значений $\lambda _{2n}$ исследуется аналогично.

Подставляя собственное значение $\lambda_{0}=-\gamma$ в (7) приходим к соотношению

$\alpha X''\left(x\right)+\gamma X\left(x\right)=0$.

Общее решение последнего представимо в виде

$X\left(x\right)=\alpha_{0}\ch{\left(x\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}+\beta_{0}\sh{\left(x\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}$.

Используя обозначения $A_{0}=\alpha_{0}\cdot C_{4}$, $B_{0}=\beta_{0}\cdot C_{4}$, с учетом (6), получим частное решение задачи (3)-(5):

$V_{0}\left(x\right)=A_{0}\ch{\left(x\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}+B_{0}\sh{\left(x\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}$, (11)

где постоянные $A_{0}$, $B_{0}$ будут определены позже.

Подставляя собственные значения $\lambda _{1n}$ в (7), приходим к соотношению

$\alpha X''_{n} \left(x\right)-\frac{4\pi ^{2} n^{2} \beta -\gamma \tau ^{2} }{\tau ^{2} } X_{n} \left(x\right)=0$.

Общее решение последнего имеет вид:

$X_{n} \left(x\right)=\alpha _{1n} \cos \left(x\sqrt{\frac{\gamma \tau ^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta }{\alpha \tau ^{2} } } \right)+\beta _{1n} \sin \left(x\sqrt{\frac{\gamma \tau ^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta }{\alpha \tau ^{2} } } \right)$, (12)

где $\alpha _{1n}$, $\beta _{1n} =const$.

Тогда, принимая во внимание (10) и (12), получим:

$V_{1}\left(x,t\right) = \sum _{n=1}^{\infty }\left[A_{1n}\cos{\left(x\sqrt{\frac{\gamma \tau^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta}{ \alpha\tau^{2} } }\right)}+B_{1n}\sin{\left(x\sqrt{\frac{\gamma \tau^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta}{ \alpha\tau^{2} } } \right)}\right]\left(-1\right)^{n}\cos\left[\frac{\pi n}{\tau } \left(2t-\tau\right)\right]$, (13)

где $A_{1n}$, $B_{1n}$ -- постоянные нуждающиеся в определении.

Таким образом, из (11), (13), будем иметь:

$u_{1}\left(x,t\right) =V_{0}+V_{1}=$

$=A_{0}\ch{\left(x\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}+B_{0}\sh{\left(x\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}+$

$+\sum _{n=1}^{\infty }\left[A_{1n}\cos{\left(x\sqrt{\frac{\gamma \tau^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta}{ \alpha\tau^{2} } }\right)}+B_{1n}\sin{\left(x\sqrt{\frac{\gamma \tau^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta}{ \alpha\tau^{2} } } \right)}\right]\left(-1\right)^{n}\cos\left[\frac{\pi n}{\tau } \left(2t-\tau\right)\right]$. (14)

Условия (5) позволяют определить $A_{0}$, $B_{0}$, $A_{1n}$, $B_{1n}$. Действительно, разлагая функции $\varphi _{1} \left(t\right)$ и $\varphi _{2} \left(t\right)$, в ряд Фурье на интервале $\left[0, \tau \right]$, с учeтом условия 1) теоремы, получим

$\varphi _{1} \left(t\right)=\frac{\zeta_{0}}{2}+ \sum _{n=1}^{\infty }\zeta_{n} \cos\left[\frac{\pi n}{\tau } \left(2t-\tau\right)\right]$, $\varphi _{2} \left(t\right)=\frac{\nu_{0}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\nu_{n} \cos\left[\frac{\pi n}{\tau } \left(2t-\tau\right)\right]$,

где

$\zeta_{0} =\frac{2}{\tau } \int \limits_{0}^{\tau }\varphi _{1} \left(t\right)\,dt$, $\nu_{0} =\frac{2}{\tau } \int \limits_{0}^{\tau }\varphi _{2} \left(t\right)\,dt$.

$\zeta_{n} =\frac{2}{\tau } \int \limits_{0}^{\tau }\varphi _{1} \left(t\right)$

\cos\left[\frac{\pi n}{\tau } \left(2t-\tau\right)\right]\,dt, $\nu_{n} =\frac{2}{\tau } \int \limits_{0}^{\tau }\varphi _{2} \left(t\right)\cos\left[\frac{\pi n}{\tau } \left(2t-\tau\right)\right]\,dt$.

При этом ряды $\sum \limits_{n=1}^{\infty }\left|\zeta_{n} \right|$ и $\sum \limits_{n=1}^{\infty }\left|\nu_{n} \right|$ — сходятся.

Учитывая условия (5), находим

$A_{0}=\frac{\nu_{0}-\zeta_{0}\cosh{\left(x_{0}\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}}{2\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\sinh{\left(x_{0}\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}}$, $B_{0}=\frac{\zeta_{0}}{2\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}}$,

$A_{1n} =\left(-1\right)^{n} \frac{\zeta_{n}\cos{\left(x_{0}\sqrt{\frac{\gamma \tau^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta}{ \alpha\tau^{2}}}\right)}-\nu_{n} }{\sqrt{\frac{\gamma \tau^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta}{ \alpha\tau^{2}}}\sin{\left(x_{0}\sqrt{\frac{\gamma \tau^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta}{\alpha\tau^{2}}}\right)}}$, $B_{1n} =\frac{\left(-1\right)^{n} \zeta_{n} }{\sqrt{\frac{\gamma \tau^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta}{ \alpha\tau^{2} } } }$.

Подставив значения $A_{0}$, $B_{0}$, $A_{1n}$, $B_{1n}$ в (14), получим

$u_{1}\left(x,t\right) =\frac{\nu_0 \cosh{\left(x\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}-\zeta_0 \cosh{\left(\left[x_{0}-x\right]\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}}{2\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\sinh{\left(x_{0}\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\right)}}+$

$+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta_{n}\cos{\left(\left[x_{0}-x\right]\sqrt{\frac{\gamma\tau^{2} -4\pi^{2} n^{2}\beta}{\alpha\tau^{2}}}\right)}-\nu_{n}\cos{\left(x\sqrt{\frac{\gamma\tau^{2}-4\pi^{2}n^{2} \beta}{\alpha\tau^{2}}}\right)}}{\sqrt{\frac{\gamma\tau^{2}-4\pi ^{2}n^{2}\beta}{\alpha\tau^{2}}} \sin{\left(x_{0}\sqrt{\frac{\gamma\tau^{2}-4\pi^{2}n^{2}\beta}{\alpha\tau^{2}}}\right)}}\times$

$\times \left(-1\right)^{n}\cos\left[\frac{\pi n}{\tau } \left(2t-\tau\right)\right]$. (15)

Для ряда (15) и рядов полученных почленным дифференцированием: $u_{1x}\left(x,t\right)$, $u_{1t}\left(x,t\right)$, $u_{1xx}\left(x,t\right)$, $u_{1xt}\left(x,t\right)$, $u_{1tt}\left(x,t\right)$ методом сравнения доказана равномерная сходимость.

Функция $u_{2} \left(x,t\right)$ аналогично функции $u_{1} \left(x,t\right)$ для различных собственных значении задачи находится в виде сходящихся тригонометрических рядов.

Для доказательства единственности покажем, что однородная задача (1), (2) имеет только тривиальное решение.

Лемма. Если существует решение задачи (1), (2), то оно единственно только тогда, когда

$A \sin \left(x_{0} A \right)\ne 0$, $B \sin \left(x_{0} B \right)\ne 0$,

$\sqrt{\frac{\pi ^{4} n^{4} \alpha ^{2} -\gamma x_{0}^{2} }{\beta x_{0}^{2} } } \cdot\tg\left(\frac{\tau }{2} \sqrt{\frac{\gamma x_{0}^{2} -\pi ^{2} n^{2} \alpha }{\beta x_{0}^{2} } } \right)\cdot\ctg\left(\frac{\tau }{2} \sqrt{\frac{-\gamma x_{0}^{2} -\pi ^{2} n^{2} \alpha }{\beta x_{0}^{2} } } \right)\ne 0$,

где

$A=\sqrt{\frac{-\left(\pi +2\pi n\right)^{2} \beta -\gamma \tau ^{2} }{\alpha \tau ^{2} } }$, $B=\sqrt{\frac{\gamma \tau ^{2} -4\pi ^{2} n^{2} \beta }{\alpha \tau ^{2}}}$.

В самом деле, пусть

$\varphi _{1} \left(t\right)=\varphi _{2} \left(t\right)=0$, $\varphi _{3} \left(x\right)=\varphi _{4} \left(x\right)=0$ на $0$, $0$. Тогда, принимая во внимание общий вид полученных решений, а так же учитывая полноту систем

$\left\{\sin \left[\frac{\pi +2\pi n}{2\tau } \left(2t-\tau\right)\right]\right\}_{n=1}^{\infty }$, $\left\{\cos \left(\frac{\pi n}{x_{0} } x\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$, $\left\{\cos \left[\frac{\pi n}{\tau } \left(2t-\tau\right)\right]\right\}_{n=1}^{\infty }$,

легко убедится в справедливости тождества $u\left(x,t\right)\equiv 0$, а следовательно и леммы. Откуда следует единственность задачи 1.