L-системы как средство генерации некоторых природных объектов

Понятие L-систем появилось в 1968 году благодаря Аристриду Линденмайеру, датскому математику и биологу [3]. При этом вначале их предполагалось использовать лишь при изучении формальных языков и в некоторых биологических моделях селекции. Однако выяснилось, что на основе L-систем могут быть построены многие известные фракталы, такие как ковер Серпинского, снежинка Коха, и другие [1, 2, 4-6].

Несколько позже L-системы стали использовать для генерации растительных форм, таких как листья, кусты и деревья (в большинстве компьютерных игр растения ландшафтов генерируются именно L-системами).

При графической реализации L-систем используется turtle-графика — так называемая "черепашья" графика. Правила в этой графике весьма просты, и заключаются в следующем. Точка (черепашка) дискретными шагами движется по экрану и прочерчивает за собой след, при необходимости возможно перемещение точки без оставления следа. В каждый момент времени координаты и состояние точки определяется тремя параметрами на плоскости: координаты точки и направление, в котором будет двигаться точка. Точка может распознавать и выполнять некоторую последовательность команд, состоящую из последовательностей символов (или групп символов в более сложном случае), читающихся слева направо. Ниже в таблице 1 приведены наиболее часто используемые символы последовательности и их назначение.

Поэтому фактически, любая L-система состоит из алфавита, слова инициализации (аксиомы) и набора порождающих правил. Порождающие правила указывают, как необходимо преобразовать аксиому при переходе от уровня к уровню (переходе между итерациями). Рассмотрим простой пример:

Аксиома: F

Порождающее правило: FbF+

После нескольких применений правила из аксиомы получаются, в зависимости от номера итерации, следующие строки:

1. FbF+

2. FbF+bFbF++

3. FbF+bFbF++bFbF+bFbF+++

4. FbF+bFbF++bFbF+bFbF+++bFbF+bFbF++bFbF+bFbF++++

5. FbF+bFbF++bFbF+bFbF+++bFbF+bFbF++bFbF+bFbF++++bFbF+bFbF++bFbF+bFbF+++bFbF+bFbF++bFbF+bFbF+++++

Рекурсивная природа L-систем позволяет строить на основе них геометрические фракталы. Так, при количестве итераций, больших 8, на основе приведенной аксиомы и порождающего правила получим вполне определенное изображение фрактала (следует принять приращение угла, равное 90 градусов).

В приведенной таблице символы "[" и "]" выступают в качестве команд ветвления, — они используются при построении растений и деревьев. При этом, если в последовательности символов встречается символ "[", то запоминается положение и направление движения точки (тройка чисел (x,y,a)), к этим параметрам будет осуществлен возврат позднее. Обычно для хранения таких троек чисел при программной реализации алгоритма используется стек: новые значения параметров записываются в конец стека. В случае, когда ветвь закрывается (встречается символ "]"), тройкам чисел (x,y,a) присваиваются значения, считанные с конца стека, после чего эти значения из стека удаляются.

Часто в L-системы вводят дополнительные переменные (X, Y, Z и другие), которые призваны облегчить построение системы. Также могут использоваться не только отдельные символы, но и их группы, а также цифры и числа. Числа, например, могут использоваться для задания конкретных цветов при графическом построении.

Рассмотрим теперь некоторые примеры аксиом и порождающих правил для L-системы, задаваемой на основе символов из таблицы 1, а также результаты построения, получаемые на основе этих правил. Для удобства представим аксиомы и порождающие правила в виде таблицы 2 (все правила получены автором работы). Результаты построения приведены ниже на рис. 1-15, и выполнены в разрабатываемой автором программе (цифры в правилах отвечают за цвет рисуемого участка). Отмечу, что для рис. 9 получаются замкнутые фрактальные изображения при четном количестве итераций, а для рис. 10 — при нечетном. Рис. 12 и 15 представлены в работе в уменьшенном масштабе, изображения в полном разрешении представлены в [7, 8].

Рассмотренные примеры показывают, что хорошо подобранные аксиомы и порождающие правила позволяют получить интересные изображения, в том числе очень похожие на ветви деревьев (или сами деревья) и кустарники.