Анализ категории «математическая модель» для совершенствования методической системы обучения математике

№61-1,

физико-математические науки

В центре внимания данной статьи – анализ категории «Математическая модель» для совершенствования методической системы обучения математике. Представлены рекомендации по организации учебно-познавательной деятельности студентов в рамках образовательной области «Прикладная математика», имеющей особое значение в контексте развития профессиональной компетентности.

Похожие материалы

Рассмотрев методические особенности и инструментальные возможности информационных и педагогических технологий для обучения студента бакалавриата процесса моделирования [4], мы пришли к следующим выводам, имеющим значение для развития методической системы прикладной математической подготовки бакалавров экономики и менеджмента на факультете дистанционного обучения Российского экономического университета им. Г.В.Плеханова.

Во-первых, процессы, входящие в состав моделирования, очень сложны; их оперативное познание требует больших специальных усилий, развития мало типичных для чистой математики активностей.

Во-вторых, в укреплении этих процессов, в преодолении кризисов, которые могут появляться в процессе математизации, существенную роль могут выполнять манипуляции, конкретизирующие отдельные операции;

В-третьих, если студент имеет затруднения с оперативным овладением процессом математизации, то следует обращать внимание на этапы, способствующие освоению процесса.

Следует отметить, что основательное познание процессов моделирования, их обусловленности, связей, управления ими является с точки зрения автора целесообразным и обязательным для построения целостной методической системы прикладной математической подготовки будущего бакалавра экономики и менеджмента.

К настоящему времени сложилось различное понимание понятия «математическая модель». Термин «модель» употребляется в разном смысле, причем математики пользуются им в совершенно ином значении, чем техник, естествовед или экономист. В обиходном смысле под понятием модель понимается предмет, являющийся копией какого-либо подлинника. В логико-математическом смысле понятие модели некоторой теории определяется на основе абстрактного понятия модели. Говоря: модель Клейна, модель Пуанкаре, арифметическая модель геометрии Евклида, мы все время находимся в зоне этого же значения понятия «модель». В условиях информатизации экономических исследований и процесса профессиональной подготовки экономиста особую актуальность приобретает имитационное моделирование [2, 11].

Несколько иначе понимает модель человек, (например, экономист, психолог, социолог и др.), применяющий математический аппарат, математическую символику, для решения или описания какой-нибудь нематематической проблемы. Математическая модель является некоторой абстрактной схемой, полученной в результате математизации рассматриваемой реальной проблемы и ситуации. В частности, такой схемой может быть структура, уравнение, формула, выраженная предложением, или алгоритм.

В ином смысле употребляется термин «математическая модель» в информатике. Построение модели в данном случае является композицией двух процедур: выработки схемы, ее визуализации и последующей интерпретации. Сначала для данной реальной ситуации мы должны сконструировать блок-схему (программа действия), описывающую способ функционирования конкретного явления. Написанную определенным языком программу, мы вводим в машину, то есть этой абстрактной схеме сопоставляем реальную область, в которой выполняем (на компьютере) некоторые манипуляции, т.е. интерпретируем эту схему в рассматриваемой области.

В методической литературе термин «модель» появляется в двух значениях:

  1. как объекта, конкретизирующего какой-то абстрактный объект; например, говорим об электрической модели булевой алгебры, о модели шестигранника (куба) как о предмете из дерева соответствующей формы, о множестве студентов в порядке, установленном списком фамилий, как о модели структуры порядка;
  2. как абстрактной схемы, описывающей данные свойства (отношения), некоторой ситуации.

При работе со студентами факультета дистанционного обучения Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова в рамках прикладных математических дисциплин мы учитываем возможность постепенного совершенствования модели. Процесс, ведущий к построению математической модели данной ситуации в наиболее содержательных случаях является циклическим.

Модель не появляется как готовый объект уже в первом акте математизации; при каждом «переходе петли» она модифицируется и сопоставляется с исходной ситуацией с точки зрения правильности ее описания с точки зрения интересующих нас свойств и отношений, в том числе в области анализа различных социально-экономических проблем и ситуаций.

Анализ различных примеров информатизации системы математической подготовки [6, 7, 8] позволяет заметить очередные этапы совершенствования первого описания исследуемой ситуации. В результате математизации появляется первичная схема ситуации, сформулированная в категориях и языке области, из которой проблема происходит; она выявляет, идеализирует и упрощает выбранные отношения и свойства.

Первичная схема может быть выражена рисунком или словами, может быть также оформлена дедуктивным или эвристическим путем, может быть результатом манипуляции или эксперимента. Она делает возможным выделение главных составных элементов, существенных переменных, проведение первых наблюдений (экспериментов) или построение конкретного объекта для того, чтобы выявить количественные переменные или качественно оценить данную ситуацию. Этот механизм достаточно интересно можно проследить на уровне темы «Дифференциальные уравнения» [10], играющей важную роль в расширении модельных представлений будущих бакалавров экономики и менеджмента.

Эта первичная визуализация [1, 2, 5] подвергается дальнейшему абстрагированию: учитываются количественные данные, интерполируются или экстраполируются свойства, но все еще в пределах данной области. В результате мы получаем схему, которую назовем моделью (например, экономической, физической, биологической) данной ситуации, упрощенный набросок ситуации, который можно использовать как средство для ее исследования.

Выработанная схема затем преобразуется в математическую модель; отношения и свойства описываются математическим языком. Тогда она уже является математическим объектом, «помещенным» в рамки некоторой математической теории, средствами которой может быть исследована.

В рассуждениях, касающихся применения математики мы должны различать понятия «Пригодность модели» и « Адекватность модели».

Модель признаем ценной (пригодной), если:

  • факторы, которые существенно влияют на исследуемое явление имеют свои соответствия в модели;
  • факторы, включенные в модель, в достаточной степени отражают действие их соответствий в реальной ситуации;
  • модель предоставляет возможность формулирования математических проблем (задач), которые можно решать;
  • модель позволяет прогнозировать или понять явление.

По понятным причинам нам никогда нельзя говорить об абсолютной адекватности модели (соответствия с данной ситуацией) [12, 13]. Мы говорим, что данная модель является адекватной по отношению данной ситуации, ввиду выбранного набора отношений, если она с разумной степенью точности описывает качественные и количественные стороны данной ситуации, например благодаря эконометрическим методам [15].

Иногда бывает, что модель не предоставляет возможности прогнозировать или является неадекватной в числовом смысле, но удачно определяет проблему с качественной стороны, показывает направления поисков новой модели, новых переменных. С этого типа ситуациями мы часто имеем дело в педагогических науках и в самой практике обучения элементам прикладной математики.

Построение модели данной ситуации (процесса) основывается на определенных предположениях; мы должны о них помнить, ибо только там, где эти предположения осуществляются – мы можем ожидать пригодности модели. Далее существенную роль играет сопоставление каждой из выработанных схем с исходной ситуацией или вытекающих из нее выводов с другими известными нам фактами, например отношением лица принимающего решение к риску [15]. В первом случае мы обычно имеем дело с эмпирической интерпретацией (если дана ситуация является реальной), во втором – с дедукцией и логичным обоснованием выводов, что в дальнейшем будем называть теоретической верификацией (интерпретацией) модели.

Требование адекватности ведет к построению все более сложных моделей, которые в свою очередь требуют при их исследовании сложных методов и обширных знаний. Примирение же двух, часто противоречивых постулатов, простоты и адекватности – очень трудно, а без употребления компьютеров, приближенных методов и моделирования почти невозможно.

Эти методологические затруднения существенно отражаются в обучении прикладной математике [9], подборе исследуемых социально-экономических проблем и ситуаций, содержательных примеров и задач; существенные применения ведут к довольно сложным моделям, исследование же этих моделей требует далеко продвинутых знаний, специальных умений в образовательной области «Прикладная математика».

Список литературы

  1. Власов Д. А. Современная фрактальная теория: визуализация и прикладные аспекты // Техника. Технологии. Инженерия. – 2017. – № 1 (3). – С. 8-11.
  2. Власов Д. А. Технология визуализации проблем и ситуаций финансовой сферы // Педагогика высшей школы. – 2016. – № 2 (5). – С. 35-38.
  3. Власов Д. А., Синчуков А. В. Дидактические особенности применения пакета имитационного моделирования ITHINK в системе подготовки бакалавров экономики // Современные информационные технологии и ИТ-образование. – 2015. – С. 295.
  4. Власов Д. А., Синчуков А. В. Прикладная математическая подготовка бакалавра менеджмента // Образование и воспитание. – 2016. – № 4 (9). – С. 57-60.
  5. Власов Д. А., Синчуков А. В. Равновесие Нэша в биматричных играх: технология моделирования и визуализации Wolfram Demonstration Project // Современные информационные технологии и ИТ-образование. – 2016. – Т. 12. – № 4. – С. 209-216.
  6. Калинина Е. С. Принцип профессиональной направленности обучения математическим дисциплинами в ВУЗах МЧС России // Приоритетные научные направления: от теории к практике. – 2016. – № 28. – С. 33-38.
  7. Крюкова М. С., Калинина Е. С., Зайцева Е. А. Вопросы использования информационных технологий в курсе высшей математики // Современные тенденции развития науки и технологии. – 2016. – Т. 1. – № 9. – С. 62-64.
  8. Плотникова Н. В., Толстиков А. В. О применении пакетов компьютерных математических систем в учебной практике по направлению «Прикладная математика и информатика» / В сборнике: Современные информационные технологии. Теория и практика материалы II Всероссийской научно-практической конференции в рамках ИТ-форума «ICITY 2015: Информатизация промышленного города». – 2016. – С. 149-156.
  9. Синчуков А. В. Математическая подготовка современного учителя математики и информатики // Инновационная наука. – 2016. – № 11-1. – С. 13-175.
  10. Синчуков А. В. Методические особенности учебного модуля «Дифференциальные уравнения» в системе математической подготовки бакалавра экономики // Инновационная наука. – 2016. – № 8-2. – С. 181-182.
  11. Синчуков А. В. О необходимости построения и исследования математических моделей в системе подготовки бакалавра менеджмента / В сборнике WORLD SCIENCE: PROBLEMS AND INNOVATIONS сборник статей победителей V международной научно-практической конференции. –2016. – С. 402-404.
  12. Синчуков А. В. Современная классификация математических моделей // Инновационная наука. – 2016. – № 3-1. – С. 214-215.
  13. Синчуков А. В. Технологическое проектирование содержания математической подготовки бакалавра менеджмента // Молодой ученый. – 2016. – № 20 (124). – С. 730-732.
  14. Тихомиров Н. П., Тихомирова Т. М. Методы эконометрики и многомерного статистического анализа. М.: Экономика, 2011. – 647 с.
  15. Тихомиров Н. П., Тихомирова Т. М. Риск-анализ в экономике. М.: Экономика, 2010. – 317 с.