Нестационарное движение пластины по поверхности неньютоновской жидкости

№70-1,

технические науки

В работе создана математическая модель, описывающая движение пластины по поверхности неньютоновской жидкости. Вязкость жидкости зависит от количественной величины структурных связей. Для описания структурных связей используется кинетическое уравнение.

Похожие материалы

Известно, что сложные жидкости обладают своей внутренней структурой. Эта структура образуется из элементов определенного типа, например, это молекулы, атомы, коллоидные частицы и т.п. Структура каждой сложной жидкости отличается друг от друга и это приводит к сильному изменению реологических свойств таких жидкостей. Внутренняя структура сложной жидкости может разрушаться и восстанавливаться, что в свою очередь может привести к различным колебательным процессам, связанных движением таких жидкостей [1-4].

Рассмотрим плоскую схему течения жидкости между двумя параллельными бесконечно протяженными пластинами, отстоящими одна от другой на расстоянии h. Нижняя бесконечно протяженная пластина неподвижна, а верхняя — подвижная и обладает достаточно большой площадью, чтобы можно было пренебречь краевыми эффектами. Верхняя пластина приводится в поступательное движение пружиной, одна сторона которой прикреплена к пластине, а другая движется с постоянной скоростью v0.

При движении пластины структурные связи будут разрушаться и восстанавливаться. Обозначим через N0 число структурных связей в единице объема жидкости до начала разрушения структуры, N(t) — количество разрушенных связей в момент времени t, N1 (t) — количество не разрушенных связей. Тогда доля разрушенных связей определяется по формуле

s\left(t\right)=\frac{N(t)}{N_{0} }.

Доля не разрушенных связей вычисляется по формуле

s_{1} \left(t\right)=1-s\left(t\right).

Отметим, что чем больше концентрация не разрушенных связей, тем больше связей могут распасться в единицу времени. В то же время, если увеличивается концентрация разрушенных связей, то это приводит к возрастанию интенсивности их восстановления (потому что увеличивается вероятность встречи разорванных концов в пространственной сетке). Следовательно, по мере тиксотропного разрушения структуры при скорости сдвига, являющейся постоянной \dot{\varepsilon }=const, скорость разрушения связей становится меньше, а скорость восстановления связей будет расти. В конце концов, скорости образования и разрушения структуры станут равными друг другу и наступит динамическое равновесие, характеризующееся некоторым стационарным значением.

Скоростью сдвига называется скорость, с которой смежные слои жидкости будут перемещаться относительно друг друга; скорость сдвига выражается в обратных секундах.

Последовательное формирование этих представлений с использованием подходов, разработанных в теории химических реакции, приводится в кинетическое уравнение вида

\frac{d_{} s}{d_{} t} =f\left(s,\dot{\varepsilon }\right).

Это уравнение моделирует нестационарные процессы разрушения и восстановления связей в неньютоновских средах.

Для структурированных жидкостей имеем три области: начальную с постоянной вязкостью \mu _{0}, что имеет не разрушенную структуру; среднюю с эффективной вязкостью \mu \left(\dot{\varepsilon }\right), которая зависит от скорости сдвига; конечную с наименьшей постоянной вязкостью \mu _{\infty }, соответствующей предельному разрушению структуры. Используя в качестве количественной характеристики степени структурированности жидкости величину концентрации разрушенных в процессе течения связей s, зависимость вязкости жидкости от концентрации s запишем в следующем виде

\mu \left(s\right)=\mu _{0} \frac{\xi -\xi _{*} }{1-\xi _{*} } +\mu _{\infty } \frac{1-\xi }{1-\xi _{*} }, (1)

\xi =\exp \left(-\left(\frac{s}{s_{*} } \right)^{\beta } \right), \xi _{*} =\exp \left(-\left(\frac{s_{\infty } }{s_{*} } \right)^{\beta } \right),

где \beta — это параметр жидкости, характеризующий степень зависимости вязкости от структурированности; s* — характерное значение концентрации разрушенных связей, при котором происходит уменьшение вязкости жидкости; s_{\infty } — максимальное значение концентрации разрушенных связей.

В соответствии с этой параметризацией при концентрации разрушенных связей, равной нулю, вязкость жидкости будет максимальна и равна \mu \left(0\right)=\mu _{0}. По мере разрушения этих связей (то есть с увеличением s) вязкость уменьшается по экспоненциальному закону и достигает своего минимального значения \mu \left(s_{\infty } \right)=\mu _{\infty }, когда все связи разрушены.

Для описания процесса разрушения — восстановления связей предлагается следующее нелинейное кинетическое уравнение:

\frac{d_{} s}{d_{} t} =-\alpha \left\{s-s_{\infty } \left[1-\exp \left(-\gamma \cdot s\cdot \mu \left(s\right)\dot{\varepsilon }^{2} \right)\right]\right\}, (2)

где \alpha и \gamma — положительные постоянные, \dot{\varepsilon }=\frac{\partial v}{\partial y} — скорость сдвига.

Разложение правой части уравнения (2) в ряд при малых значениях \dot{\varepsilon }=\frac{\partial v}{\partial y} скорости сдвига

s_{\infty } \left[1-\exp \left(-\gamma \cdot s\cdot \mu \left(s\right)\cdot \dot{\varepsilon }^{2} \right)\right]\approx s_{\infty } \cdot \gamma \cdot s\cdot \mu \left(s\right)\cdot \dot{\varepsilon }^{2}, (3)

показывает, что скорость разрушения данных связей, которая прямо пропорциональна интенсивности вязкой диссипации энергии в потоке.

Сдвиговое течение жидкости между двумя пластинами описывается уравнением

\rho\frac{\partial v}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\mu\frac{\partial v}{\partial y}\right), 0 < y < h(4)

Здесь v — скорость жидкости, \rho — плотность жидкости, \mu — вязкость жидкости.

Уравнение движения верхней пластины можно записать в виде

m\frac{d^{2} x}{d_{} t^{2} } -Q\cdot \mu \frac{\partial v}{\partial y} \begin{array}{c} {} \\ {\left|y=h\right. } \end{array}+f\cdot x=0, (5)

где x — абсолютное удлинение пружины, f — коэффициент жесткости пружины, m — масса верхней пластины, Q — площадь верхней пластины.

Система уравнений (4) и (5) замыкаются при помощи граничных и кинематических условий вида [5, 6]

v\left(0,t\right)=0, (6)

v\left(h,t\right)=v_{0} -\frac{dx}{dt} (7)

Считается, что коэффициент вязкости жидкости в уравнениях (4) и (5) зависит от скорости сдвига и вычисляется по формуле (1) [7, 8].

Введем безразмерные переменные для упрощения вычисления

V=\frac{v}{v_{0} }, \tau =\alpha \cdot t, \xi =\frac{y}{h}, S=\frac{s}{s_{*} }, X=\frac{\alpha \cdot x}{v_{0} },

\eta \left(S\right)=\frac{\mu \left(S\right)}{\mu _{*} }, \mu _{*} =\frac{\mu _{0} -\mu _{\infty } }{1-\exp \left(-A^{\beta } \right)}

Обезразмерим уравнение (4):

\chi \frac{\partial V}{\partial \tau } =\frac{\partial }{\partial \xi } \left(\eta \left(S\right)\frac{\partial V}{\partial \xi } \right) (8)

Здесь параметр \lambda =\frac{Q\cdot \mu _{*} }{m\cdot \alpha \cdot h}.

Для уравнения движения верхней пластины (5) преобразование будет выглядеть следующим образом:

\frac{d^{2} X}{d_{} \tau ^{2} } -\lambda \cdot \eta \left(S\right)\frac{\partial V}{\partial \xi } \begin{array}{c} {} \\ {\left|\xi =1\right. } \end{array}+F\cdot X=0 (9)

где \lambda =\frac{Q\cdot \mu _{*} }{m\cdot \alpha \cdot h}, F=\frac{f}{m\cdot \alpha ^{2} }.

Граничные условия (6) и (7) в безразмерных переменных запишутся следующим образом

V\left(0,\tau \right)=0 (10)

V\left(1,\tau \right)=1-\frac{d^{} X}{d^{} \tau } (11)

В уравнении (1) зависимость вязкости жидкости от концентрации $s$ запишется в виде

\eta \left(S\right)=Z+\exp \left(-S^{\beta } \right) (12)

где Z=\frac{\mu _{\infty } -\mu _{0} \exp \left(-A^{\beta } \right)}{\mu _{0} -\mu _{\infty } }, A=\frac{s_{\infty } }{s_{*} }.

Для уравнения процесса разрушения — восстановления концентрации связей, преобразование в безразмерные переменные, запишется следующим образом:

\frac{d_{} S}{d_{} \tau } =-S+A\left[1-\exp \left(-G\cdot S\cdot \eta \left(S\right)\left(\frac{\partial V}{\partial \xi } \right)^{2} \right)\right] (13)

где G=\gamma \cdot \mu _{*} \cdot s_{*} \left(\frac{v_{0} }{h} \right)^{2}.

Таким образом, в работе создана математическая модель, описывающая движение пластины по поверхности неньютоновской жидкости. Вязкость жидкости зависит от количественной величины структурных связей. Для описания структурных связей используется кинетическое уравнение.

Список литературы

  1. Бабенко Ю. И. Тепломассообмен. - Метод расчета тепловых и диффузионных потоков / Ю. И. Бабенко. - Л.: Химия, 1986. – 144 с.
  2. Баренблатт, Г.И. Движение жидкостей и газов в природных пластах / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. – М.: Недра, 1984. – 211 с.
  3. Бартенев, Г. М. Физика и механика полимеров: Учеб. пособие для втузов / Г. М. Бартенев, Ю.В. Зеленов. – Москва. Высшая школа, 1983. – 391 с.
  4. Белкин, И. М. Ротационные приборы. Измерение вязкости и физико-механических характеристик материалов / И. М. Белкин, Г. В. Виноградов, А. И.Леонов. - М.: Машиностроение, 1967. – 272 с.
  5. Хусаинов И.Г. Акустическое зондирование перфорированных скважин короткими волнами // Прикладная механика и техническая физика. – 2013. – Т. 54, № 1. – С. 86-93.
  6. Хусаинов И.Г. Отражение акустических волн в цилиндрическом канале от перфорированного участка // Прикладная математика и механика. – 2013. – Т. 77. – № 3. – С. 441-451.
  7. Хусаинова Г.Я. Моделирование процесса очистки пористой среды растворителями // Автоматизация. Современные технологии. 2015. № 9. С. 39-43.
  8. Хусаинова Г.Я. Исследование температурных полей при стационарном течении аномальных жидкостей // Автоматизация. Современные технологии. 2016. № 7. С. 13-16.