Динамика температурного поля вокруг цилиндрического тела после взрыва

№75-2,

технические науки

Рассматривается задача о взрыве в полости цилиндрической формы (скважине), окруженной пористой средой. Получена математическая модель для описания процессов, происходящих после взрыва, внутри и вокруг скважины.

Похожие материалы

При эксплуатации газонефтяных скважин в течение долгого времени происходит засорение зоны вокруг скважины. Это может быть оседание твердых фаз на стенках пор, например, асфальтово-смолистых веществ, парафина и т.п. В результате этого уменьшается пористость этой зоны и, как следствие, снижается дебит скважины. Возникает задача очистки призабойной зоны. Имеются много способов очистки. В данной работе рассматривается способ очистки призабойной зоны с помощью использования энергии взрыва. Продукты взрыва имеют достаточно высокую температуру. После взрыва внутри скважины возникает избыточное давление, в результате которого высокотемпературные продукты взрыва проникают глубоко в пористую среду, что приводит к плавлению осевших на стенках пор тяжелых углеводородных элементов. Таким образом, происходит очистка пористой породы от твердых отложений [2, 5].

Пусть в исходном состоянии (t < 0) давление газа в пористой породе вокруг скважины постоянно и равно некоторому значению p0, а сама скважина заполнена взрывчатым веществом. В начальный момент времени t=0 происходит взрыв и скважина заполняется продуктами взрыва, давление внутри скважины моментально увеличивается до значения pe $. В результате этого будет происходить фильтрация продуктов взрыва в пористую породу, а давление в скважине постепенно снижаться до значения p0. Увеличение температуры в пористой среде вокруг скважины, в основном, происходит за счет фильтрации горячего газа.

Прежде чем записать дифференциальные уравнения, описывающие исследуемый процесс, примем следующие допущения: скелет пористой среды несжимаемый; коэффициент вязкости и плотность газа вокруг скважины не зависят от давления и температуры.

Запишем уравнение сохранения массы газа в скважине:

\frac{d\rho }{dt} =\left. -\frac{1}{a} \rho {\it v}\right|_{r=a} (1)

где υ — скорость фильтрации жидкости через стенку скважины, ρ — плотность газа, a — радиус скважины.

Распределение давления в пористой проницаемой породе вокруг скважины опишем с помощью нелинейного уравнения пьезопроводности:

\frac{\partial p`}{\partial t} =\frac{k}{\mu _{g} m} \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r} \left(rp`\frac{\partial p`}{\partial r} \right). (2)

Здесь p` — давление газа в пористой среде, m — коэффициент пористости, k — коэффициент проницаемости, μg — вязкость газа.

Фильтрацию газовой фазы определим используя закон Дарси

\upsilon`=-\frac{k}{\mu_g} \frac{\partial p`}{\partial r}, (a < r < ), (3)

где υ` — распределение скорости фильтрации газа вокруг скважины.

Для определения температурного поля вокруг скважины используем уравнение теплопроводности [1, 4]

\rho_* c_* \frac{\partial T`}{\partial t} +\rho _g c_g \upsilon `\frac{\partial {\it T}`}{\partial {\it r}} =m\frac{\partial p`}{\partial {\it t}}. (4)

Здесь T`, ρ*, c* — соответственно, температура, плотность, теплоёмкость насыщенной газом пористой среды, ρg, cg — плотность и теплоёмкость газой фазы, r — координата, t — время.

Для системы «газ — пористая» среда величина объёмной теплоёмкости определяется по формуле

\rho _{*} c_{*} =m\rho _{g} c_{g} +(1-m)\rho _{s} c_{s}, (5)

где cg, ρg — теплоёмкость и плотность газа; ρs и cs — плотность и теплоёмкость пористой среды.

Для исследуемого процесса начальное и граничные условия для уравнения пьезопроводности могут быть записаны в виде:

p`=p`0 (t=0, r > a), (6)

p`=p`_{0} (t > 0, r ), (7)

p`=p(t), υ=υ ` (t > 0, r=a) (8)

Здесь p`0 — давление газа во всем пористом пласте вокруг скважины в начальный момент времени.

Начальное и граничные условия для уравнения теплопроводности имеют вид:

T`=T`_{0} , (t=0, r > a), (9)

T`=T`_{0} , (t > 0, r ), (10)

T`=T(t), (t > 0, r=a). (11)

Здесь T`0 — температура в пористой среде вокруг скважины в начальный момент времени.

Аналитическое решение нелинейного уравнения пьезопроводности (2) при условиях (7), (8) не найдено, поэтому в дальнейшем это уравнение будем использовать в линеаризованном приближении

\frac{\partial (p`)^{j} }{\partial t} =\chi \frac{1}{r^{n} } \frac{\partial }{\partial r} \left(r^{n} \frac{\partial (p`)^{j} }{\partial r} \right), \chi =\frac{kp_{0} }{\mu _{g} m}. (12)

Здесь χ — коэффициент пьезопроводности, значения показателя степени j = 1 и 2 соответствуют обычной линеаризации и линеаризации Лейбензона [3].

Для зависимости текущей плотности и давления в скважине примем уравнение состояния в виде

\frac{p}{p_{e} } =\left(\frac{\rho }{\rho _{e} } \right)^{\gamma }, (13)

где γ — показатель политропы, pe — давление в скважине после взрыва, ρe — плотность газа в скважине после взрыва.

Таким образом, получили систему уравнений (1)-(13), описывающая процессы изменения температуры T`(t) и давления p`(t) вокруг скважины, а также релаксацию давления внутри скважины p(t).

Вывод. Получена математическая модель для описания процессов, происходящих после взрыва, внутри и вокруг скважины. Разработанная система уравнений решается численным методом.

Список литературы

  1. Егер Д., Карслоу Г. Теплопроводность твердых тел. – М.: Наука, 1964. - 488 с.
  2. Кочина И.Н., Басниев К.С., Максимов В.М. Подземная гидродинамика. – М.: Недра, 1993. - 416 с.
  3. Лейбензон Л.. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. – М.: Гостехиздат, 1947. – 244с.
  4. Сизиков В.С., Верлань А.Ф. Дифференциальные уравнения: Методы, алгоритмы, программы. Спр. Пособие. – Киев: Наукова Думка, 1986. – 253 с.
  5. Хусаинов И.Г. Отражение акустических волн в цилиндрическом канале от перфорированного участка // Прикладная математика и механика. 2013. – Т. 77. - №3. - С. 441-451.