Затухание слабых волн в пористой среде, насыщенной газом

Хусаинов, Исмагильян Гарифьянович

Под пористой средой понимается множество твердых частиц, тесно прилегающих друг к другу, сцементированных или несцементированных, пространство между которыми (поры, трещины) может быть заполнено жидкостью или газом.

Пористые среды бывают естественного и искусственного происхождения. Пример естественных пористых сред это, в первую очередь, грунты и горные породы, древесина, кость и т.д. К пористым средам искусственного происхождения относятся губка, кирпич, керамика, бетон, хлеб и т.д.

На практике пористые среды широко применяются в различных областях техники и технологии, в частности, в аэрокосмических технологиях, в архитектурной акустике, в химической технологии, в строительстве и т.п. Известно, что пористые среды во многих случаях применяются в качестве теплоизолирующих и звукопоглощающих материалов при облицовке помещений, а также в технических устройств, в которых требуется уменьшение уровня шума. В некоторых случаях пористые материалы используются для создания наилучших условий слышимости, например, для улучшения акустических свойств таких помещений, как зрительные залы в театрах, лекционных аудиториях, в студиях звукозаписи и т.п.

Рассмотрим распространение и затухание слабой линейной волны в пористых средах, насыщенных газом. Пористая среда в нашем случае состоит из скелета материала и газа, т.е. является двухфазной средой. Распространение волн в двухфазной среде представляет дисперсионное явление, при котором скорость распространения и коэффициент затухания зависят от круговой частоты. Чтобы учитывать эффекты, описанные выше, в данном случае для описания исследуемого процесса достаточно использовать линеаризованную систему уравнений механики сплошных сред и термодинамики.

Известно [1-4], что дисперсионное уравнение для пористых сред, насыщенных газом или жидкостью, имеет четвертую степень для волнового числа. Следовательно, в таких пористых средах распространяются две продольные волны: «медленная» и «быстрая». Первая продольная волна возникает вследствие распространения волны по газу, а вторая — по твердой фазе.

Для описания распространения слабых волн в пористой среде примем допущения: все поры имеют сферическую форму и одинаковый радиус, значения длин волн намного больше размеров пор.

Математическая постановка включает следующие уравнения. Уравнение неразрывности

$\frac{\partial \rho _{j} }{\partial t} +\rho _{j0} \frac{\partial \upsilon _{j} }{\partial x} =0,$ (1)

где $\upsilon _{j}$ , $\rho _{j}$ — скорость и плотность j-й фазы, t — время, x — координата. Индекс s соответствует параметрам скелета, а g — параметрам газа в порах. Дополнительный нижний индекс 0 соответствует невозмущенному начальному состоянию системы.

Уравнение импульсов для системы «скелет — газ» имеет вид:

$\rho _{g0}^{} \frac{\partial \upsilon _{g} }{\partial t} +\rho _{s0}^{} \frac{\partial \upsilon _{s} }{\partial t} =\frac{\partial \sigma _{s}^{*} }{\partial x} -\frac{\partial p_{g} }{\partial x} .$ (2)

Здесь p_g — давление газа в порах, $\sigma _{s}^{*}$ — приведенное напряжение скелета, $\alpha _{s0}$ — начальная объемная доля твердой фазы.

Запишем модель Максвелла, описывающая поведение скелета [5]:

$\alpha _{s0} \frac{\partial \varepsilon }{\partial t} =\frac{1}{E_{s} } \frac{\partial \sigma _{s}^{*} }{\partial t} +\frac{\sigma _{s}^{*} }{\mu _{s} } , \frac{\partial \varepsilon }{\partial t} =\frac{\partial \upsilon _{s} }{\partial x} ,$ (3)

где $\mu _{s}$ , E_s — коэффициент сдвига и модуль упругости скелета.

Уравнение импульса газовой фазы имеет вид:

$\rho _{g0}^{} \frac{\partial \upsilon _{g} }{\partial t} =-\alpha _{g0} \frac{\partial p_{g} }{\partial x} -F.$ (4)

Здесь $\alpha _{g0}$ начальная объемная доля газовой фазы. Сила определяется по формуле

$F=F_{m} +F_{\mu } +F_{{\rm B}}$ , (5)

где

$F_m=-(1/2)\eta _m i\omega \alpha _{g0} \alpha _{s0} \rho _{g0}^0(\upsilon _g -\upsilon _s)$ ,

$F_{\mu } =\eta _{\mu } \alpha _{g0} \alpha _{s0} \mu _{g} a_{0}^{-2} (\upsilon _{g} -\upsilon _{s})$ ,

$F_{{\rm B}} =\eta _{{\rm B}} \alpha _{g0} \alpha _{s0} a_{0}^{-1} \sqrt{2\rho _{g0}^{0} \mu _{g} \omega } (1-)(\upsilon _{g} -\upsilon _{s})$ .

Здесь $\omega$ — частота, $\mu _{g}$ — коэффициент динамической вязкости газа, $\eta _{m} , \eta _{\mu } , \eta _{{\rm B}}$ -параметры, зависящие от пористой среды.

Внутри ячейки, состоящей из сферического газового пузырька, окруженного слоем материала скелета, имеется распределение температуры $T_{j} (t,x,)$ и плотности газа $\rho _{g}^{0} (t,x,)$ . Здесь r — координата. Изменение температуры в ячейке происходит вследствие диссипации энергии при распространении волны.

Связь между микро плотностью $\rho _{g}^{0} (t,x,)$ и истинной плотностью $\rho _{g}^{0} (t,)$ определяется по формуле [5]:

$\rho _{g}^{0} =\frac{3}{4\pi a_{0}^{3} } \int _{0}^{a_{0} }\rho _{g}^{0} 4\pi r^{2} dr .$ (6)

Запишем кинематические соотношения:

$\rho _{j} =\alpha _{j} \rho _{j}^{0} , \alpha _{g} +\alpha _{s} =1.$ (7)

Распределение температуры в ячейке определяется с помощью уравнения теплопроводности:

$\rho_{g0}^0 c_g\frac{\partial T_g}{\partial t}=\lambda_g r^{-2}\frac{\partial}{\partial r}(r^{2} \frac{\partial T_g}{\partial r})+\frac{\partial p_g}{\partial t}$ , (0 0), (8)

$\rho_{s0}^0 c_s\frac{\partial T_s}{\partial t}=\lambda_s\frac{\partial^2 T_s}{\partial r^2}$ , (a₀ 0 + b₀), (9)

где $\lambda _{j}$ , c_j (j=g,s) — теплопроводность и удельная теплоемкость соответственно, a₀ — средний радиус пор, b₀ — средняя полутолщина стенок пор.

Граничные условия уравнения теплопроводности

$T_{g} ^{{} } =T_{s} ^{{} } , \lambda _{s} \frac{\partial T_{s} }{\partial r} =\lambda _{g} \frac{\partial T_{g} }{\partial r} , (r=a_{0} )$ . (10)

$\frac{\partial T_{g} }{\partial r} =0, r=0, \frac{\partial T_{s} }{\partial r} =0, r=a_{0} +b_{0} .$ (11)

Уравнение состояния газа

$p_{g} =\rho _{g}^{0} RT_{g} ,$ (12)

где R — газовая постоянная.

Решение системы уравнений (1) — (4),(8),(9),(12) ищем в виде бегущих волн:

$\alpha _{j} ,\rho _{j}^{0} , \upsilon _{j} , p_{j} \cong {\rm exp}[i(Kx-\omega )]$ , (13)

$T_{j} ^{{} } =T_{j} (r){\rm exp}[i(Kx-\omega )]$ , (14)

где ω — круговая частота, K — комплексное волновое число (K = k + iδ). Параметр δ, показывает интенсивность затухания гармонических волн.

Для комплексного волнового числа получаем следующее выражение

$K_{a,b} =\frac{\omega }{C_{g} \sqrt{2} } \sqrt{B_{1} +B_{2} C_{gs}^{2} \pm \sqrt{(B_{1} +B_{2} C_{gs}^{2})^{2} -4B_{3} C_{gs}^{2} } } ,C_{gs} =C_{g} /C_{s}$ . (15)

$B_{1} =(1+\chi _{T})(1+i\chi _{V} \alpha _{s0})$ , $B_{2} =(1+{\beta (\alpha _{s0} +i\chi _V)/\alpha _{g0}})\chi _{\mu}$ ,

$C_{g} =\sqrt{\gamma p_{0} /\rho _{g0}^{0} } , C_{s} =\sqrt{E_{s} /\rho _{s0}^{0} } , B_{3} =\chi _{\mu } (1+\chi _{T})(1+i\chi _{V} (\alpha _{s0} +\beta \alpha _{g0}), \beta =\rho _{g0}^{0} /\rho _{s0}^{0}$ .

Здесь знак «плюс-минус» означает, что в пористой среде, насыщенной газом, распространяються два типа продольных волн. Знак «минус» в(15) соответствует к «быстрой» волне с волновым числом K_a, а знак «плюс» — к «медленной» волне с волновым числом K_b.

В выражениях для параметров B₁, B₂ и B₃ величины $\chi _{T}$ , $\chi _{\mu }$ и $\chi _{V}$ определяются по формулам

$\chi _{\mu } =1+{iE_{s}/\omega \mu_s$ ,

$\chi_T =3\Pi_g (y_g)\cdot(\gamma -1)/[1+y_{s} {\rm cth}(y_s)\Pi _g (y_g)/\eta]$ ,

$\chi _{V} =- i \eta _{m} /2+\eta _{\mu } \nu _{g} a_{0}^{-2} /\omega +\eta _{B} (1-)a_{0}^{-1} \sqrt{2\nu _{g} /\omega } , \nu _{g} =\mu _{g} /\rho _{g0}^{0}$ .

Здесь $A=1/[1+y_{s} cth(y_{s})\Pi _{{\rm g}} (y_{g})\eta ^{-1} ]$ , $\Pi _{{\rm g}} (y_{g} )=[y_{g} cth(y_{g} )-1]y_{g}^{-2}$ , $\eta =\frac{b_{0} \rho _{s0}^{0} c_{s} }{a_{0} \rho _{g0}^{0} c_{g} }$ , $y_{g} =\sqrt{-\frac{i\omega a_{0}^{2} }{{\it \aleph }_{g} } }$ , $y_{s} =\sqrt{-\frac{i\omega b_{0}^{2} }{{\it \aleph }_{s} } }$ , $\aleph _{g} =\frac{\lambda _{g} }{\rho _{g0}^{0} c_{g} }$ , $\aleph _{s} =\frac{\lambda _{s} }{\rho _{s0}^{0} c_{s} }$ .

Используя формулу можно вычислить зависимостей фазовых скоростей «медленной» $(C_b^{*} =\omega/Re(K_b))$ и «быстрой» $(C_a^{*} =\omega/Re(K_a))$ волн, а также зависимостей их затухания $(\delta _{b} =Im(K_{b}), \delta _{a} =Im(K_{a})$ от круговой частоты.

Вывод. В работе приведена математическая модель, описывающая распространение и затухание слабых волн в вязкоупругих пористых средах, насыщенных газом. Получено дисперсионное соотношение, которое может быть использовано для вычисления зависимостей фазовых скоростей и коэффициентов затухания «медленной» и «быстрой» волн от круговой частоты при разных значениях параметров пористой среды.

Затухание слабых волн в пористой среде, насыщенной газом

технические науки

Похожие материалы

Список литературы