Теоретическая и прикладная эконофизика: несколько примеров

№3-1,

экономические науки

В статье дается краткий обзор основных математических и алгоритмических подходов, часто используемых для изучения динамики различных секторов рынков. Эти подходы заимствованы, в основном, из таких областей как нелинейный анализ временных рядов, нейроинформатика, фрактальный и мультифрактальный анализ, детерминированный хаос и квантовая теория поля. Хотя перечисленный набор далеко не исчерпывает все современные методы эконофизики, он позволяет объяснить, что такое теоретическая и прикладная эконофизика. Этот набор методов иллюстрирован примерами извлечения знаний из реальной рыночной динамики и построения моделей ценообразования финансовых инструментов. В частности, показано каким образом, на основе анализа обобщенных локальных Гельдеровских экспонент, можно статистически значимо предсказывать критические явления и крахи на финансовых рынках. Проиллюстрировано применение искусственных нейронных сетей как для получения статистически качественных нейропрогнозов курсов валют, так и для построения на этой основе прибыльной торговой стратегии на рынке FOREX. Еще один пример из области применения искусственных нейронных сетей - это решение задачи портфельной диверсификации. Здесь использованы самоорганизующиеся карты Кохонена для решения задачи кластеризации портфелей DJIA и NASDAQ100. Методы теоретической эконофизики иллюстрируются в статье применением континуального интеграла и ренормгруппы для получения точного результата: обобщение формулы Блэка - Шолза на случай стохастической волатильности.

Похожие материалы

Введение

В настоящей работе под термином эконофизика мы будем понимать применение методов теории сложных систем к экономике, финансам и бизнесу. Это одно из возможных толкований этого термина. Довольно часто используют иное толкование эконофизики: применение методов теоретической физики к тем же областям, что и выше. Между этими двумя концепциями существует тонкое различие, заключающееся в том, что теория сложных систем - это не совсем физика. Впрочем, если интересны другие трактовки, можно почитать, например, блестящее эссе А.Ежова на эту тему [1] или углубиться в учебники и монографии [2-10].

Теперь несколько слов о теории сложных систем и используемых в этой науке методах. О теории сложных систем написано много (см., например, [11-23]). Центры и институты, проводящие исследования в этом направлении, плодятся по всему миру как грибы. Весьма широк и спектр мнений относительно этой науки: от неумеренных восторгов до полного неприятия. Мы же здесь, не пытаясь давать каких либо определений теории сложных систем, будем придерживаться прагматической и остроумной точки зрения П.Бака: «ерунда, за которую платят деньги, - уже не ерунда».

К методам теории сложных систем разные исследователи относят разные разделы математики, физики, информатики, искусственного интеллекта, логики и т.п. Мы, не ограничивая себя, отнесем к этим методам следующее: теорию конечномерных и бесконечномерных нелинейных динамических систем [17-19], [22], [39]; теорию хаоса [4-6], [15], [16], [21], [28], [29]; теорию фракталов и мультифракталов [10], [11], [24-27]; искусственные нейронные сети [7], [16], [30-33]; теорию самоорганизованной критичности [20]; методы квантовой теории поля и статистической физики [3], [8], [23], [39]; теорию критических явлений [37], [39]. Этот список, отражающий интересы автора, далеко не полный и его можно было бы продолжить (см., например, www.necsi.org ).

Эконофизику можно, как и любую физику, разделить на теоретическую и прикладную. В данном контексте это деление, условное конечно, связано с двумя основными направлениями, в которых проходит основной поток эконофизических исследований. Прикладное или, если угодно, экспериментальное направление связано в основном с data mining (см., например,[6]), то есть с извлечением знаний из данных. Данные могут быть самыми разными, но все они являются историческими хрониками каких-то динамических процессов. Задача прикладных эконофизиков - обработать эти данные перечисленными выше методами и извлечь из данных либо новые закономерности, либо закономерности, не осознанные традиционной экономикой. Задача эконофизических теоретиков - построение моделей или теорий динамических процессов в экономике, финансах и бизнесе методами теории сложных систем. При этом, как и всегда в физике, подразумевается проверка этих моделей и теорий на практике. Чтобы дать представление, как все эти методы работают, ниже мы рассмотрим несколько типичных примеров.

Прогнозирование критических точек фондового рынка

В этом разделе мы покажем, каким образом можно прогнозировать критические точки финансовых временных рядов, такие как смены тренда и большие движения вверх и вниз, а так же крахи фондового рынка. Мы не определяем здесь понятия кризиса, критического явления, рыночного пузыря, считая их либо интуитивно понятными, либо известными. Однако этим понятиям может быть придан вполне четкий смысл и его можно найти, например, в [37].

Для прогноза использовался метод на основе специально разработанного индикатора - модифицированных локальных гёльдеровских показателей (МЛГП). Этот метод базируется на предположении, что перед критическим явлением изменяется динамика финансовых рядов, а именно, они становятся более гладкими. В моменты повышения гладкости ряда индикатор демонстрирует специфическое поведение в виде всплесков. Выделяя такие всплески можно осуществлять прогноз, причем заранее: за десятки дней до наступления критического события. Мы не приводим здесь глубинные причины этой специфики рыночной динамики перед критическими явлениями. Отметим лишь, что такое поведение рынка вызвано не внешними (экзогенными) процессами, а напротив - собственно рыночными (эндогенными) процессами. С точки зрения теории сложных систем эти причины есть отражение того, что рыночная динамика в определенном смысле мультифрактальна [5, 10, 11, 25-28].

Ниже мы демонстрируем работоспособность метода на примере прогнозирования большого движения в котировках акций компании General Motors и предсказания кризиса в мае 2006 года на российском фондовом рынке. Разумеется, мы апостериори анализировали и другие кризисы, имевшие место в прошлом: глобальный кризис 1998 года, кризис 2000 года, связанный с высокотехнологичным сектором фондового рынка США, и даже кризис, связанный с терактом 11 сентября в США. Во всех случаях метод индикатора МЛГП давал статистически значимые прогнозы за десятки дней до наступления кризиса. Недостаток места не позволяет привести и обсудить эти результаты. Некоторые дополнительные сведения можно, впрочем, найти в [38].

Локальные гёльдеровские показатели

Локальные гёльдеровские показатели (ЛГП) можно определить следующим образом: Пусть f - функция времени t , удовлетворяющая соотношению при . Тогда число a(t) называется гёльдеровским показателем функции f в точке t , положительная константа Ct называется префактором. ЛГП могут принимать значения от 0 до 1 и показывают, насколько гладкой является функция. Если функция разрывна, то её ЛГП равен 0, если функция дифференцируемая, то её ЛГП равен 1. Чем больше гладкость функции, тем больше значение ЛГП.

Модифицированные ЛГП (МЛГП) - это аналог производной ЛГП. Они рассчитываются на основе сравнения префактора в данный момент времени с его предыдущими значениями. МЛГП показывают, увеличилось или уменьшилось значение ЛГП по сравнению с более ранними значениями этого индикатора. Если в какой-то момент времени МЛГП испытывают всплеск, то есть увеличивают свои значения, то это указывает на повышение гладкости временного ряда.

Прогнозирование критических точек в котировках акций

Основным параметром расчёта МЛГП является размер окна, характеризующий, сколько предыдущих значений ряда используется для расчета индикатора. При небольших значениях размера окна МЛГП ведут себя крайне нерегулярно и испытывают множество всплесков, реагируя на малейшее изменение динамики ряда. При увеличении этого параметра число всплесков уменьшается, прогноз становится более достоверным. Для сглаживания ряда МЛГП к нему применяется индикатор Exponential Moving Average с параметром 0.3.

Помимо индикатора, рассчитывалась сигнальная линия, которая служит для отделения значимых всплесков и незначимых. Основным параметром расчёта сигнальной линии является её высота. Чем выше сигнальная линия, тем более значимые всплески она отделяет. Сигнальная линия рассчитывается по значениям МЛГП в предыдущие отсчёты времени. Параметр история показывает, сколько значений МЛГП для этого используется.

После построения МЛГП и сигнальной линии прогнозирование критических точек сводится к выявлению специальных паттернов в виде пересечения МЛГП сигнальной линией. Далее такие паттерны называются сигналами. То есть, если в какой-то момент времени МЛГП стали выше сигнальной линии, то в ближайшем будущем ожидается смена тренда или большое движение ряда.

Проверка предсказательной способности МЛГП

Для того чтобы использовать индикатор для предсказания, важно, чтобы при его расчёте использовались только прошлые значения ряда, но не будущие. При создании индикатора МЛГП этот факт учитывался и был заложен в алгоритме расчёта. Чтобы наглядно продемонстрировать этот факт, рассмотрим, например, МЛГП, построенные для акции General Motors в период с 26 марта 2001 года по 27 марта 2002 года и с 26 марта 2001 года по 23 января 2002 года (см. Рисунки 1 и 2 соответственно). Данные брались с дневной нарезкой по ценам закрытия. Рассмотрим сигнал в январе 2002 года прогнозирующий резкое повышение котировок. Сигнал отчетливо виден на Рисунке 1. На Рисунке 2 показан тот же временной ряд с «вырезанным» резким повышением котировок. То есть, ряд был обрезан в середине сигнала, с тем, чтобы проверить, исчезнет сигнал после обрезания ряда или нет. Из сравнения Рисунков 1 и 2 видно, что МЛГП в обоих случаях ведут себя одинаково и сигнал не исчезает. Следовательно, индикатор МЛГП имеет предсказательную силу.

Временной ряд котировок акций General Motors

Рис.1. Временной ряд котировок акций General Motors в период с 26 марта 2001 года по 27 марта 2002 года - дневная нарезка по ценам закрытия (верхний рисунок). Индикатор МЛГП за тот же период с параметрами: размер окна w=30 days, высота =1.5, история =200 дней (нижний рисунок). Сигнальная линия (красный) отделяет значимые всплески МЛГП (черный) от незначимых всплесков.

Обрезанный временной ряд котировок акций General Motors

Рис.2. Обрезанный временной ряд котировок акций General Motors в период с 26 марта 2001 года по 23 января 2002 года - дневная нарезка по ценам закрытия (верхний рисунок). Индикатор МЛГП за тот же период с параметрами: размер окна w=30 days, высота =1.5, история =200 дней (нижний рисунок). Сигнальная линия (красный) отделяет значимые всплески МЛГП (черный) от незначимых всплесков.

Прогноз кризиса российского фондового рынка

Здесь мы демонстрируем прогноз кризиса российского фондового рынка, который имел место в мае 2006 года. А именно, был проанализирован индекс ММВБ 10, который за две недели с 6 по 22 мая упал на 26% (с 2566.47 пунктов до 1905.63 пунктов - дневные цены закрытия).

Для индекса ММВБ 10 в период с 17 мая 2006 г. по 23 мая 2006 г. были построены модифицированные локальные гёльдеровские показатели с параметром размер окна равным 15 дням (Рисунок 3). Параметр высота сигнальной линии равнялся 1.5. Проверялись и другие значения параметров размер окна и высота сигнальной линии. Во всех случаях перед падением рынка есть сигнал. Сигнал начинается за 11-20 дней до начала падения 6 мая 2006 г. для различных значений параметров. Начало сигнала - 20 апреля для окна=30, - 7 апреля для окна=20, - 10 апреля для окна=15.

Для доказательства предсказательной силы технологии МЛГП вновь была проведена процедура обрезания временного ряда. Именно, участок временного ряда индекса ММВБ10, начиная с 6 мая, то есть с максимума, был вырезан. Для обрезанного ряда были построены гёльдеровские показатели при тех же параметрах, что и раньше (Рисунок 4). Поведение гёльдеровских показателей при этом не изменилось, и все сигналы предстоящего кризиса сохранились.

Гёльдеровские показатели

Рис. 3. Гёльдеровские показатели. На верхнем графике построен индекс ММВБ10 в период с 17 мая 2006 по 23 мая 2006, дневные цены закрытия. На нижнем графике синяя линия - модифицированные локальные гёльдеровские показатели с параметрами: размер окна=15 дней, высота сигнальной линии=1.5; черная линия -сигнальная линия. Стрелкой на верхнем рисунке отмечено начало сигнала, которое было зафиксировано 10 апреля, за 19 дней до начала обвала рынка 6 мая 2006.

Гёльдеровские показатели для обрезанного ряда

Рис. 4. Гёльдеровские показатели для обрезанного ряда. На верхнем графике построен индекс ММВБ10 в период с 17 мая 2006 по 5 мая 2006, дневные цены закрытия. На нижнем графике синяя линия - модифицированные локальные гёльдеровские показатели с параметрами: размер окна=15 дней, высота сигнальной линии=1.5; зеленая линия - сигнальная линия

Торговая стратегия для FOREX на основе нейропрогноза

В этом разделе мы кратко опишем принципы построения торговой системы и специфику использования в ней нейропрогнозов. Выбранная пара валют и временной период не являются здесь критическими. То же самое можно проделать и для других валютных пар и иного периода исторических хроник. Не является чем-то специфическим и выбор торгового индикатора системы. Наиболее важное здесь - это качественно обученная искусственная нейронная сеть и ее способность прогнозировать в течение длительного времени без переобучения.

Общие сведения о нейротехнологиях и, в частности, о нейропрогнозировании содержаться, например, в [30-33]. Детали, опущенные в настоящей статье, можно найти, например, в [34, 35].

Торговая система на основе нейросетевых предсказаний строилась на спот -котировках межбанковского валютного рынка FOREX. Исходными данными служили значения цен закрытия BID 2-х часового интервала курса GBP/USD. Данные были получены из информационной системы DBC Signal за период с 22 декабря 1999 г. по 20 октября 2000 г. Весь период был поделен на два интервала.

  • Первый интервал (22 декабря 1999 г. - 19 июня 2000 г.) - интервал данных для построения, проверки и тестирования нейросети.
  • Второй интервал (20 июня 2000 г. - 20 октября 2000 г.) - интервал данных для построения, оптимизации и тестирования торговой системы на основе обученной нейросети.

На интервале данных для нейросетевой обработки содержалось 1546 отсчетов, из которых первые 1300 использовались для обучения сети, следующие 200 - для верификации с целью предотвращения переобучения сети. Оставшиеся 146 были предназначены для проверки качества предсказательной способности сети на данных, которые нейросеть «не видела» раньше.

Для обучения и прогнозирования использовалась рекуррентная сеть Элмана-Джордана, показанная на Рисунке 5.

Архитектура рекуррентной сети Элмана-Джордана

Рис. 5. Архитектура рекуррентной сети Элмана-Джордана. Два скрытых слоя с 50-ю нейронами в каждом. Входы сети - процентные доходности по курсу GBP/USD и 5-ти периодные скользящие средние, вычисленные по доходностям. Выход сети - 5-ти периодные скользящие средние на следующий 2-х часовой отсчет вперед.

Для каждого вновь появляющегося значения цены закрытия 2-часового интервала обученная нейросеть предсказывает сглаженное процентное изменение котировки, по которой закроется следующий 2-часовой интервал. Эти предсказанные значения строятся под графиком цены. В верхней части Рисунка 4 показан 2-х часовой график спот-котировок британского фунта стерлингов к доллару США, в нижней части рисунка расположены график скорости изменения котировки (нижняя зеленая кривая -Rate of Change) и его нейросетевой прогноз (верхняя красная кривая - NN_Predict). Видно, что прогнозируемое нейросетью изменение немного опережает фактическое изменение котировок.

На основе предсказаний сети была построена reversal торговая система, которая могла подавать сигналы, показанные на Рисунке 6:

Buy (OpenLong or/and ExitShort) - пересечение линией прогноза (NNPredict) зоны покупки снизу вверх;

Sell (OpenShort or/and ExitLong) - пересечение линией прогноза (NNPredict) зоны продажи сверху вниз;

Stop (Exit Short or Exit Long) - достижение лимита потерь по открытой позиции.

Для достижения лучших результатов работы системы по критерию Return on Account производилась оптимизация свободных параметров системы:

  1. уровень Buy zone;
  2. уровень Sell zone;
  3. Money Management Stop;

Тестирование и оптимизация торговой системы проводились с помощью программы Omega Research TradeStation 4.0 с учетом комиссионных в размере 10 пунктов базовой валюты.

Графическое изображение правил торговой стратегии

Рис.6. Графическое изображение правил торговой стратегии.

Результаты применения данной торговой стратегии в период времени с 08/23/2000 по 10/20/2000 отражены в Табл. 1 и представлены в долларах США, пересчитанные из пунктов в соответствии со стандартными условиями работы на FOREX: 1 point GBP/USD = 10долл.

Таблица 1. Результат работы торговой стратегии, доллары США

Общий доход системы

11140

Сумма всех прибыльных сделок

19540

Сумма всех убыточных сделок

- 8400

Количество сделок

19

% прибыльных сделок

68

Средняя прибыльная сделка

1500

Средняя убыточная сделка

- 1400

Максимальный провал кривой доходности

- 3700

Возврат на счет, %

301

В верхней части Рис. 7 представлен 2-х часовой график спот-котировок GBP/USD с сигналами торговой стратегии за период с 19/06/2000 по 20/10/2000. В нижней части рисунка приведен график роста кривой дохода торговой системы. Вертикальная пунктирная линия на рис. 5 разделяет периоды тестирования торговой системы (слева) и ее проверки (справа).

Тестирование торговой системы и ее проверка

Рис. 7. Тестирование торговой системы и ее проверка. Верхняя панель - график спот-котировок GBP/USD с сигналами торговой стратегии за период с 19/06/2000 по 20/10/2000. Нижняя панель - график роста кривой дохода торговой системы.

Представленная здесь торговая система, не претендуя на полноту и законченность, является иллюстрацией возможностей применения нейронных сетей к прогнозу рынка FOREX и построению на этой основе эконофизических методов управления капиталом.

Кластеризация портфелей DJIA и NASDAQ100 с помощью самоорганизующихся карт

Еще один пример из области применения искусственных нейронных сетей - это решение задачи портфельной диверсификации. Более конкретно задача ставилась так. Обучить специальную искусственную нейронную сеть - самоорганизующуюся сеть Кохонена или, что то же самое, - самоорганизующуюся карту, кластеризовать компании, входящие в индексы DJIA и NASDAQ100 по признаку «похожести» динамики котировок акций компаний, входящих в эти индексы. Помимо этого, требовалось визуализовать результаты кластеризации (карты Кохонена для этого приспособлены), найти «расстояние» межу компаниями и определить ошибку кластеризации. Наконец, ставилась задача проследить, как динамически меняются результаты кластеризации в зависимости от выбранного периода исторических данных по компаниям.

Кратко результаты решения всех этих задач приведены в настоящем разделе. Более детальную информацию можно найти, например, в работе [36]. О том, как методом самоорганизующихся карт (СОК) можно решать другие задачи из области экономики, финансов, бизнеса, маркетинга и даже демографии можно прочитать в увлекательной книге [33].

Исследование индекса Dow-Jones Industrial Average

Рассмотрим m временных рядов Si (t), 0 < i < m,0 < t < n, представляющих, например, логарифмические приращения цен акций, входящих в индекс DJIA. Определим коэффициент корреляции между рядами Si и Sj. стандартным образом:

где треугольные скобки обозначают усреднение по t.

Мы исследовали недельные котировки акций входящих в индекс DJIA за периоды с 10-Jan-94 по 27-Oct-97 и с 10-Nov-1997 по 27-Aug-2001. Этот биржевой индекс включает в себя акции 30 компаний, следовательно, количество различных коэффициентов корреляции ρij равно (30х 29)/2 = 435. В Таблице 2 представлены

максимальные и минимальные значения ρij за каждый исследуемый период.

Наибольший коэффициент корреляции за период с 10-Jan-94 по 27-Oct-97 соответствует компаниям JP Morgan Chase и American Express, а с 10-Nov-1997 по 27-Aug-2001 - компаниям JP Morgan Chase и Citigroup. Все три компании занимаются предоставлением финансовых услуг. Соответствующие графики, дающие визуальное представление о скоррелированости логарифмов цен акций этих компаний, приведены на Рисунке 8.

Таблица 2. Максимальные и минимальные значения коэффициентов корреляции компаний из индекса DJIA за исследуемые периоды.

Временной период

Min ρij

Max ρij

с 10-Jan-94 по 27-Oct-97

-0,04

0,61

c 10-Nov-97 по 27-Aug-01

-0,06

0,72

Дополнительную информацию о поведении матрицы коэффициентов корреляции во времени можно получить, изучив эмпирическую функцию плотности распределения вероятности P(ρij) полного набора 435 коэффициентов корреляции. Известно, что для большинства финансовых временных рядов P(ρij) имеет форму колокола, причем среднее значение P (ρij) слабо зависит от времени, тогда как среднеквадратичное отклонение почти не меняется [43].

Изменение во времени ln S(t) компании JP Morgan Chase по отношению к другим компаниям

Рис 8.

а) Изменение во времени ln S(t) компаний JP Morgan Chase (верхний график) и American Express (нижний график) с 10-Jan-1994 по 27-Oct-1997. b) Изменение во времени ln S(t) компаний JP Morgan Chase (верхний график) и Citigroup (нижний график) c 10-Nov-1997 по 27-Aug-2001

На Рисунках 9, 10 изображена, кластерная структура индекса DJIA построенная методом СОК. Все пространство компаний разделилось на группы векторов, расстояние между которыми внутри каждой группы наименьшее с учетом выбора масштаба кластеризации.

Кластерная структура СОК для индекса DJIA за период с 10-Jan-1994 по 27-Oct-1997.

Рис. 9. Кластерная структура СОК для индекса DJIA за период с 10-Jan-1994 по 27-Oct-1997. Левая панель - унифицированная матрица расстояний, средняя панель -кластеризованная СОК, правая панель - матрица ошибок кластеризации.

Кластерная структура СОК для индекса DJIA за период с 10-Nov-97 по 27-Aug-01

Рис. 10. Кластерная структура СОК для индекса DJIA за период с 10-Nov-97 по 27-Aug-01. Левая панель - унифицированная матрица расстояний, средняя панель -кластеризованная СОК, правая панель - матрица ошибок кластеризации

Заметим, что чем ближе по цвету кластеры, тем больше коэффициент корреляции между ценами акций компаний, принадлежащим этим кластерам и наоборот. В Таблицах 3 и 4 представлены коэффициенты корреляции между акциями компаний, попавших в кластеры из противоположных углов карты: самый синий и самый оранжевый кластеры.

Таблица 3. Матрица корреляций для компаний, попавших в 2 самых удаленных кластера за период с I0-Jan-94по 27-Oct-97

 

AA

CAT

GM

HD

IP

WMT

JNJ

-0,03

0,16

0,14

0,19

0,07

0,16

MCD

0,04

0,20

0,04

0,17

0,05

0,07

Таблица 4. Матрица корреляций для компаний, попавших в 2 самых удаленных кластера за период с I0-Nov-97 по 27-Aug-01.

 

AA

CAT

EK

HON

IP

UTX

JNJ

0,07

0,17

0,04

-0,04

0,07

0,21

MRK

-0,01

0,14

0,02

0,13

0,10

0,25

PG

0,06

0,16

0,08

0,14

0,07

0,28

Приведенная выше статистика показывает, что метод СОК вполне справился с задачей классификации портфеля DJIA. Важно также отметить, что для различных исторических периодов изменяется как структура кластеров, так и само количество кластеров. С помощью обученной СОК возможно, таким образом, построить набор карт для различных исторических периодов и создать из этого набора карт атлас, который будет давать представление о динамике портфеля.

Исследование индекса NASDAQ100

Индекс NASDAQ-100 включает в себя акции 100 компаний следовательно, количество различных коэффициентов корреляции ρij равно (100 х 99)/2 = 4950.

 Исследования проводились на дневных ценовых данных за период с 14-Mar-01 по 31-Dec-01. Наибольший коэффициент корреляции pMAX=0,93 соответствует компаниям, разрабатывающим микропроцессоры - Novellus Systems, Inc. (NVLS) и KLA-Tencor Corporation (KLAC), (графики логарифмов цен акций этих компаний изображены на Рисунке 10).

Изменение во времени ln S(t) компаний KLAC и NVLS с 14-Mar-01 по 31-Dec-01

Рис. 10. Изменение во времени ln S(t) компаний KLAC (верхний график) и NVLS (нижний график) с 14-Mar-01 по 31-Dec-01.

На Рисунке 11 изображена кластерная структура СОК для компаний, формирующих NASDAQ100 с 14-Mar-01 по 31-Dec-01. Видно, что СОК поделила все пространство на кластеры с довольно высокими корреляциями. Также видно, что максимально коррелированные компании KLAC и NVLS из всего исследуемого набора заняли одну ячейку на карте (нижний левый угол).

Кластерная структура СОК для индекса NASDAQ100 за период с 14-Mar-01 по 31-Dec-01.

Рис. 11. Кластерная структура СОК для индекса NASDAQ100 за период с 14-Mar-01 по 31-Dec-01.

Было подсчитано, что среднее значение и среднеквадратичное отклонение матрицы корреляций компаний формирующих NASDAQ100 равно 0.47 и 0.18 соответственно. Среднее же значение матрицы корреляций, между курсами акций компаний, попавших в самый синий и самый оранжевый кластеры, равно 0.31. Это говорит о том, что СОК успешно справилась с задачей кластеризации

На рассмотренном в этом разделе примере мы показали, что метод СОК является перспективным в применении к задачам, где требуется нахождение неизвестных заранее структур в больших массивах данных. Или, в более общем виде, извлечении новых знаний из имеющейся информации. Не требует объяснений применимость технологии СОК в решении самых разнообразных задач оперативного и стратегического менеджмента. В частности, такую задачу должен решать финансовый менеджер, формирующий и управляющий диверсифицированным портфелем ценных бумаг, для которого наибольший интерес представляют наименее коррелированные наборы активов.

Квантовые финансы

Под квантовыми финансами мы будем здесь понимать применение методов квантовой теории поля для построения количественных моделей финансовой динамики. К таким методам мы относим метод континуально интеграла, теорию суперсимметрии, теорию струн и методы ренормгруппы. Такой подход к моделированию финансовой динамики завоевывает все большую популярность среди эконофизиков. Происходит

это, наверное, потому, что ни один из перечисленных методов не является чистой математикой, а содержит глубокие физические идеи. В этом-то и содержится залог успеха.

В этом разделе мы приводим пример применения метода континуального интеграла для оценки стоимости европейского опциона типа CALL с учетом стохастической динамики волатильности. Такой подход является обобщением известной техники Блэка - Шолза, в которой волатильность считается постоянным параметром модели. Оказывается, удается не только представить с помощью интеграла по траекториям переходные вероятности, но и получить компактные аналитические формулы для цены опционов. Эти формулы обобщают формулу Блэка - Шолза и переходят в нее в пределе постоянной волатильности [42]. К основным результатам представленного здесь исследования можно отнести следующее:

  • поскольку в своей основе изучаемая задача имеет нелинейность очень сильного порядка, ее удалось представить в технике функционального интегрирования в элегантном и обозримом виде;
  • на этом пути был найден подход, как преодолеть эту нелинейность и получить компактный, аналитический ответ.

Отметим, что попытки применить технику функционального интеграла предпринимались и в работах других авторов [44-46]. Например, в работе [46] использовалась техника функционального интеграла, однако вычислить окончательный ответ аналитически не удалось и все расчеты пришлось производить численно с использованием метода Монте-Карло. То же самое справедливо и относительно других работ, упомянутых выше. Ниже мы очень сжато представим основные этапы вывода обобщенной формулы Блэка - Шолза. Опущенные детали и вычисления можно найти в [42].

Будем рассматривать модель рынка, в которой отсутствуют арбитражные возможности и транзакционные издержки, а также предполагается наличие безрисковой процентной ставки. В основе модели лежат стохастические дифференциальные уравнения на цену спот актива и его волатильность. Иными словами, рынок спот активов моделируется специальными марковскими случайными процессами. Уравнения на цену спот актива S (t) и его волатильность V (t) запишем в виде:

Здесь R и Q - коррелированные гауссовы шумы с нулевым средним и корреляторами вида:

Параметры в уравнениях имеют следующий смысл: χ и  µ - параметры сноса, σ - волатильность, а ε - «волатильность волатильности». Обозначим цену европейского опциона CALL через f (t, S(t), V(t)). Следуя идеологии вывода оригинальной формулы Блэка - Шолза [40, 41], можно получить на цену f (t, S(t), V(t)) стохастическое дифференциальное уравнение в частных производных:

обобщающее стандартное уравнение Блэка - Шолза. Здесь r - безрисковая процентная ставка, появившаяся в уравнении при хеджировании соответствующего портфеля. Поскольку цена и квадрат волатильности - положительны, удобно сделать замену переменных:  S = ex, −∞ < x < ∞ , V = ey, −∞ < y < ∞.

Обозначим через p(x,у,τ|x',y') условную плотность вероятности того, что логарифм цены актива x' и логарифм волатильности спот-актива y' , фиксированные при τ = 0, в текущий момент времени τ будут иметь значения x и y соответственно. Тогда цена опциона при 0 < t < T описывается следующими формулами:

Условная вероятность может быть выражена через функциональный интеграл по логарифму цене и логарифму волатильности:

Здесь действие равно L = L0 + L1, где

Приведенный выше функциональный интеграл вычисляется по квантово - полевому обобщению метода стационарной фазы [39]. Метод стационарной фазы проводится попараметру 1/ε. После громоздких вычислений был получен окончательный аналитический ответ:

где K - это страйковая цена,

стандартизованное нормальное распределение, а его аргументы даются формулами:

Через Δ обозначена величина

где φ дается формулой

Эти формулы и есть обобщение формулы Блэка - Шолза на случай стохастической волатильности. В случае постоянной волатильности необходимо перейти к пределам: μ → 0, ρ → 0, ε → 0. Нетрудно убедиться, что при этом полученные здесь формулы переходят в формулу Блэка-Шолза.

Описание структуры данных для экспериментальной проверки

Полученные формулы тестировались на данных по опционам на индекс FTSE100. Выбирался опцион типа CALL c дневной нарезкой с сайта www.liffe.com. Терминальное время для опциона - Dec-2004 со страйком 3200. Данные по опциону брались за три месяца «времени жизни опциона», то есть, за февраль, март, и апрель 2004 года.

Оценка точности формул и сравнение с формулой Блэка - Шолза

Процедура тестирования полученных формул и их сравнение с формулой Блэка - Шолза проводилась следующим образом. Брались данные по опционам и данные по спот-активам с некоторым «запасом» так, что бы было возможным вычислить статистически значимую историческую волатильность по данным на индекс. Далее цена опциона вычислялась по формуле Блэка-Шолза исходя из исторической волатильности. Безрисковая процентная ставка выбиралась равной 6%/год. Вычислялась также цена опциона по предложенным здесь формулам. Коэффициент корреляции между шумами выбирался равным 0.4 , а значение μ выбиралось таким образом, чтобы предложенные формулы давали наилучшую аппроксимацию реальных данных. Например, при μ =-3 были получены результаты, представленные на Рисунке 12.

Красная линия - это реальные данные по опционам, синяя линия - это цена, полученная из формулы Блэка-Шолза, зеленая линия - это цена из полученной в работе формулы. Визуально можно заметить, что предложенная в работе формула дает лучшую аппроксимацию, чем оригинальная формула Блэка - Шолза.

Были также вычислены средние ошибки по рассматриваемой в работе выборке за период три месяца. Оказалось, что средняя ошибка по оригинальной формуле Блэка -Шолза составляет 14.11%, а по предложенной здесь формуле - 5.56%.

Отношение цены европейского опциона CALL ко времени

Рис. 12. Красная линия - это реальные данные по опционам, синяя линия - это цена опциона, полученная на основе формулы Блэка-Шолза, зеленая линия - это цена опциона на основе полученных здесь формул. По оси ординат отложена цена европейского опциона CALL, по оси абсцисс - время.

Подытожим результаты, полученные в этом разделе. Именно, результаты статистической обработки показывают, что формула Блэка - Шолза дает большую погрешность, чем предложенная обобщенная формула. Из проведенного исследования можно сделать несколько основных заключений. Проблема стохастической волатильности была сведена к технике вычисления континуальных интегралов. Поскольку рассматриваемая в работе задача в своей основе содержит нелинейность высокого порядка, в развитом в работе формализме ее удалось представить в компактном, элегантном виде. Был предложен метод, который позволил «обработать» эту нелинейность и получить аналитический ответ для цены европейских опционов

Благодарности

В заключение автор выражает глубокую благодарность всем тем коллегам и ученикам, которые участвовали в исследованиях, результаты которых представлены в этой работе. Это - Л.А. Дмитриева, С.В. Котелкин, И.В. Сорока, А.А. Жеребцов, П.Б. Гольдин, Р.Р. Счастливцев.

Список литературы

  1. А.А.Ежов. Что такое эконофизика? В: К 10-летию Экономико-аналитического института МИФИ. Физическая экономика+Эконофизика=ЭконоМИФИзика // Сборник статей. Составители А.А. Ежов и В.В. Харитонов. М.: ИНЭС, 2006, стр. 16-24;
  2. R.N Mantegna. and H.E. Stanely. An Introduction to Econophysics: Correlation and Complexity in Finance, Cambridge University Press, 2000;
  3. J.P. Bouchaud and M. Potters. Theory of Financial Risks: From Statistical Physics to Risk Management, Cambridge University Press, 2000;
  4. Э. Петерс. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка: Пер. с англ. - М.: Мир, 2000;
  5. E. E. Peters. Fractal Market Analysis. Applying Chaos Theory to Investment and Economics, John Wiley&Sons, Inc. 1994;
  6. Medio, G. Gallo. Chaotic Dynamics. Theory and Applications to Economics, Cambridge University Press, 1993;
  7. В. Дюк, А. Самойленко. Data mining: учебный курс (+0). - СПб: Питер, 2001;
  8. M. Aoki. New Approaches to Macroeconomic Modeling. Evolutionary Stochastic Dynamics, Multiple Equilibria, and Externalities as Field Effects, Cambridge University Press, 1998;
  9. J.O. Grabbe, International Financial Markets, 3rd. Edition, Prentice-Hall, Inc.,1996;
  10. B.B. Mandelbrot, Fractals and Scaling in Finance: Discontinuity, Concentration, Risk, Springer, 1997;
  11. Б. Мандельброт, Фракталы, случай и финансы. - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004;
  12. И. Пригожин и И. Стенгерс. Порядок из хаоса, Новый диалог человека с природой: Пер. с англ. - М.: Эдиториал УРСС, 2000;
  13. Г. Николис, И. Пригожин. Познание сложного. Введение: Пер. с англ. - М.:Мир, 1990;
  14. M. Gell-Mann. The Quark and the Jaguar. Adventures in the Simple and the Complex, Abacus, 1998;
  15. Д. Рюэль. Случайность и хаос. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001;
  16. Yaneer Bar-Yam. Dynamics of Complex Systems, Addison-Wesley, 1997;
  17. S. Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg, 1990;
  18. Lasota, M.C. Mackey. Chaos, Fractals, and Noise, Springer-Verlag, 1998;
  19. Predictability of Complex Dynamical Systems (Yu. A. Kravtsov, J.B.Kadtke, Eds.), SpringerVerlag Berlin Heidelberg 1996;
  20. P. Bak. How Nature Works: the Science of Self - Organized Criticality, Oxford University Press, 1997;
  21. K. Kaneko, I. Tsuda. Complex Systems: Chaos and Beyond. A Constructive Approach with Applications in Life Sciences, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001;
  22. R.C. Hilborn. Chaos and Nonlinear Dynamics. An Introduction for Scientists and Engineers, Oxford University Press 1994;
  23. T.S. Biro, S.G. Matinyan, B. Muller. Chaos and Gauge Field Theory, World Scientific Lecture Notes in Physics - Vol. 56, World Scientific, 1994;
  24. А. Д. Морозов. Введение в теорию фракталов. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004;
  25. Р.М. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000;
  26. Е. Федер. Фракталы, Москва «Мир» 1991;
  27. Б. Мандельброт. Фрактальная геометрия природы. - Москва: Институт компьютерных исследований, 2002;
  28. H. Kantz, T. Schreiber. Nonlinear Time Series Analysis, Cambridge University Press,1997;
  29. Б.П. Безручко, Д.А. Смирнов. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005;
  30. А. А. Ежов, С.А. Шумский. Нейрокомпьютинг и его применения в экономике и бизнесе. - М.: МИФИ, 1998;
  31. Д.-Э. Бэстенс, В.-М. Ван ден Берг, Д. Вуд. Нейронные сети и финансовые рынки: принятие решений в торговых операциях. - Москва: ТВП, 1997;
  32. Neural Networks in the Capital Markets (Ed. Apostolos-Paul Refenes), John Wiley &Sons, 1995;
  33. Г. Дебок, Т. Кохонен. Анализ финансовых данных с помощью самоорганизующихся карт/ Пер. с англ. - М.: Издательский Дом «АЛЬПИНА», 2001;
  34. С.В. Котелкин, Ю.А.Куперин, Л.А. Дмитриева, И.В. Сорока. Особенности динамики российского финансового рынка: опыт междисциплинарного эконофизического подхода, Вестник Санкт-Петербургского университета, серия 8 - менеджмент, вып. 2 (№ 16), 2002, с. 80-107;
  35. Ю.А. Куперин, Л.А. Дмитриева, И.В. Сорока. Исследование динамики на финансовых рынках нейросетевыми методами: Научные доклады Центра управленческих и институциональных исследований факультета менеджмента СПбГУ. №2001-12;
  36. А. А. Жеребцов, Ю.А. Куперин. Применение самоорганизующихся карт Кохонена для кластеризации индексов DJIA и NASDAQ100, Вестник Санкт-Петербургского университета, серия 8 - менеджмент, вып. 65 (№ 8), 2005;
  37. D. Sornette. Why Stock Markets Crash: Critical Events in Complex Financial Systems, Princeton University Press, 2003
  38. Р.Р. Счастливцев. «Предсказание крахов и критических точек на фондовом рынке США методом модифицированных локальных гёльдеровских показателей», Интернатурный проект по экспериментальной программе дополнительного образования «Информационные технологии, эконофизика и менеджмент сложных систем» (руководитель Куперин Ю. А.), 2005 г., www.carier-center.ru
  39. А. Н. Васильев. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. Издательство ПИЯФ, СПб, 1998;
  40. P. Wilmott, S. Howison, J. Dewynne. The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction, Cambridge University Press, 1995;
  41. J.C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 3rd Edition, Prentice- Hall, 1997;
  42. П. Б. Гольдин. «Аналитические результаты для оценки опционов со стохастической волатильностью», Интернатурный проект по экспериментальной программе дополнительного образования «Информационные технологии, эконофизика и менеджмент сложных систем» (руководитель Куперин Ю.А.), 2005 г., www.carier-center.ru
  43. R.N. Mantegna. Degree of Correlation Inside a Financial Market., in Applied Nonlinear Dynamics and Stochastic Systems near the Millennium, Edited by J.B. Kadtke and A. Bulsara (AIP Press, New York), (1997), pp.197-202.
  44. B. E. Baaquie, L.C. Kwek and M. Srikant. "A path integral approach to option pricing with stochastic volatility: some exact results",-arXiv: cond-mat/9708178 v1, 22 Aug 1997.
  45. S. Heston. "A closed Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options", The Review of Financial Studies (1993) 6, p.327.
  46. G. Montagna and O. Nicrosini. "A Path Integral Way to Option Pricing",.-arXiv: cond-mat/0202143 v1, 8p., Feb 2002.