Робот для укладки тротуарной плитки

№43-1,

Технические науки

В данной статье рассматривается внедрение роботов в сферу дорожного и коммунального хозяйства.

Похожие материалы

В наше время довольно распространенно использование материалов и технологий, являющимися альтернативой использования асфальтобетона в качестве покрытия, например, плитка (рис.1).

Плитка тротуарная.

Рис.1. Плитка тротуарная.

Но процесс изготовления данного полотна весьма трудоемок. Для начала производят подготовительные работы, включающие в себя: разметка территории, установка маячков, обустройство территории.

Следующим этапом является обустройство основания. Для этого осуществляют следующие операции:

  • планировка (планировка включает в себя снятие слоя верхнего грунта и нанесение выравнивающего слоя с использованием щебня либо гравия);
  • обустройство несущего слоя (для этого применяется устойчивый к низким температурам, однородный материал (например, щебень или гравий); укладывается этот слой равномерно);
  • установка бордюров;
  • обустройство песчаного слоя для брусчатки (после выполнения уплотнение несущего слоя наносится подстилающий слой из песка (3-5 см).

Далее происходит самое трудоемкое занятие – создание полотна из плитки – мозаики. Гораздо проще было бы применять для этих целей робота, который будет укладывать плитки в заданном порядке по принципу принтера.

Общие виды робота

Рис.2. Общие виды робота (1 – камера обзора, 2 – корпус с двигателем и бункером для плитки, 3 – устройство для выкладывания плитки).

Рассмотрим алгоритм движения робота с учетом быстродействия выполняемой операции.

Программирование оптимального по быстродействию движения робота по собственной траектории должно учитывать свойства привода и использование комбинированного управления. Поиск оптимального по быстродействию управления при движении робота по заданной траектории осуществляется в такой последовательности: определяется собственная траектория системы, связывающая исходную и целевую позиции, учитываются многие физические условия, свойственные данному роботу. Предлагаемый алгоритм основан на анализе физических закономерностей управляемого движения систем, на разложении вектора обобщенных управляющих сил на составляющие.

Уравнения движения идеализированной модели рассматриваемых систем удобно представить в виде

\Pi (q)\ddot{q}+B(\dot{q},q)=Q, (1)

где \Pi (q) - матрица инерционных коэффициентов, \ddot{q} - вектор обобщенных ускорений, B(\dot{q},q) - вектор гироскопических и кориолисовых сил, Q - вектор обобщенных управляющих сил.

Ускорения входят в уравнения линейно, а силы B(\dot{q},q) и Q - аддитивно. Поэтому ускорения можно представить в виде \ddot{q}={\ddot{q}}_0+\ddot{\overline{q}}. где {\ddot{q}}_0 - ускорение свободного движения, определяемое вектором B(\dot{q},q) и, следовательно. состоянием системы, а \ddot{\overline{q}} - управляемая составляющая обобщенного ускорения. Очевидно также, что вектор Q можно представить в виде суммы двух векторов

Q=Q^{\tau }+Q^n,

первый из которых - тангенциальная составляющая вектора обобщенных управляющих сил, а второй - нормальная составляющая этого вектора.

Тангенциальные составляющие обобщенных сил соответствуют движению по геодезической траектории, определенной состоянием системы. Именно эти составляющие вызывают изменение кинетической энергии системы. Нормальные составляющие обобщенных сил обуславливают уход с названной геодезической траектории и не вызывают изменения кинетической энергии. Каждому из этих векторов обобщенных управляющих сил соответствует свой вектор обобщенных ускорений

\ddot{\overline{q}}={\ddot{\overline{q}}}^{\tau }+{\ddot{\overline{q}}}^n.

Если траектория движения системы совпадает с собственной, то Q^n=0 и {\ddot{\overline{q}}}^n=0. Вектор тангенциальных ускорений коллинеарен вектору обобщенных скоростей

{\ddot{\overline{q}}}^{\tau }=\sigma \dot{q},\sigma=const. (2)

Это соотношение позволяет найти отношения компонент вектора тангенциальной силы и, следовательно, отношения между управляющими воздействиями при движении по собственной траектории.

\Pi (q){\ddot{q}}_0+B(\dot{q},q)=0,

\Pi (q){\ddot{\overline{q}}}^{\tau }=Q^{\tau }, \Pi (q){\ddot{\overline{q}}}^n=Q^n, (3)

\ddot{q}={\ddot{q}}_0+{\ddot{\overline{q}}}^{\tau }+{\ddot{\overline{q}}}^n.

Подставив (2) во второе уравнение записанной системы, получим

\sigma \Pi(q)\dot{q}=Q^{\tau },(4)

где \Pi(q)\dot{q} - вектор обобщенных импульсов \overline{p}(\dot{q},q) системы. Тогда тангенциальная составляющая вектора обобщенных управляющих сил с точностью до постоянного множителя равна вектору обобщенных импульсов системы Q^{\tau }=\sigma \overline{p}(\dot{q},q).

Пусть движение системы с n степенями подвижности соответствует некоторой заданной траектории, определенной (n - 1) соотношением вида

f_i(q)=0, i=1,2,\dots,n-1. (5)

При определении нормальных составляющих управляющего воздействия из рассмотрения можно исключить тангенциальные составляющие, положив, например, Q^{\tau }=0, что соответствует движению системы по заданной траектории с постоянной кинетической энергией.

Воспользовавшись аналогией между программным движением но заданной траектории и движением системы с наложенными конечными связями, имеем:

\Pi (q)\left[{\ddot{q}}_0+{\ddot{\overline{q}}}^n\right]-D^T(q)\cdot \lambda =-B(\dot{q},q),

D(q)\left[{\ddot{q}}_0+{\ddot{\overline{q}}}^n\right]=-C(\dot{q},q). (6)

Путем дифференцирования уравнений по времени получаем

D^T(q)\lambda =Q^n,{Q}^n_j=\sum^{n-1}_{i=1}{(\partial f_i}/\partial q_j){\lambda }_i,  j=1,2,\dots,n;;i=1,2,\dots,n-1,

\lambda - вектор множителей Лагранжа.

Определив {\lambda }_i, найдем Q^n. Таким образом, нормальные составляющие обобщенных управляющих сил являются функцией фазовых координат системы, т.е. функцией состояния системы.

При наличии ограничений на управляющие воздействия вектор последних можно найти из соотношений

\underline{P}\leq Q=Q^n+\sigma \overline{p}(\dot{q},q)\leq \overline{P}.

Знак \sigma определяет разгон и торможение системы, а его величина - модули тангенциальных составляющих управляющих воздействий, \underline{P} и \overline{P}- векторы верхнего и нижнего ограничений управляющих воздействий.

Расчет оптимального по быстродействию движения робота по собственной траектории выполняется по программе (рис.3).

Блок-схема программы расчета оптимального по быстродействию движения модели по собственной траектории.

Рис.3. Блок-схема программы расчета оптимального по быстродействию движения модели по собственной траектории.

Результаты расчета собственной траектории используют для интегрирования системы уравнений свободного движения с найденными начальными условиями и кинетической энергией $\tilde{W}$. При постоянном шаге интегрирования можно определить векторы {\tilde{q}}_j={\left[{\tilde{q}}_{1j},{\tilde{q}}_{2j},\dots,{\tilde{q}}_{nj}\right]}^T и {\dot{\tilde{q}}}_j={\left[{\dot{\tilde{q}}}_{1j},{\dot{\tilde{q}}}_{2j},\dots,{\dot{\tilde{q}}}_n\right]}^T в точках (j=0,1,\dots,N) собственной траектории, равноотстоящих друг от друга по длине последней.

Учитывая заданные ограничения на управляющие воздействия P_j можно найти как величину \sigma , так и все управляющие воздействия (Q_{ij}(i=1,2,\dots ,n) в равноотстоящих друг от друга точках (j=0,1,2,\dots ,N). Так как расстояние между j-й и (j+1)-й точками траектории мал \sigma , рассчитываются управляющие воздействия на интервале между ними с помощью линейной интерполяции и определяются приращения кинетической энергии {\Delta W}_j на каждом шаге прямого хода

\triangle W_{j+1}=\sum^n_{i=1}{\left[\frac{Q_{i,j+1}+Q_{i,j}}{2}\right]\triangle q_{ij}}, \Delta q_{ij}=q_{i,j+1}-q_{ij}

и далее

W_{j+1}=W_j+?W_{j+1,\ \ }\ \ j=0,\ 1,\dots ,N-1.

По найденной величине кинетической энергии в (j+1)-й точке траектории определяются обобщенные скорости {\dot{q}}_{i,j+1} в этой точке

{\dot{q}}_{i,j+1}=\sqrt{W_{j+1}/{\tilde{W}}_{j+1}{\dot{\tilde{q}}}_{i,j+1}}

По этим значениям скоростей {\dot{q}}_{i,j+1} можно приближенно определить время движения между j-й и (j+1)-й точками траектории

\triangle t_{j+1}=2\Delta q_{ij}/({\dot{q}}_{i,j+1}{\dot{q}}_{ij}),

взяв скорость и приращения по одной из координат. Далее приближенно находится время движения системы до (j+1)-й точки

t_{j+1}=t_j+\Delta t_{j+1}(j=0,1,\dots ,N-1).

Описанные процедуры определения W_{j+1} и t_{j+1} применяются для всего прямого хода системы от W_0=W(0). После этого определяются кинетические энергии для обратного движения от W_N=W_K. При этом на каждом шаге сравниваются значения кинетических энергий в j-й точке прямого и обратного движений. Их равенство определяет точку и соответственно момент переключения системы из режима разгона в режим торможения.

Программные значения управляющих воздействий Q_i(t) определяются интегрированием исходной системы дифференциальных уравнений с правой частью, определяемой и ограничениями P_i на двух участках движения: первый определен моментом переключения, а второй - заданным конечным значением кинетической энергии.

Момент переключения найден приближенно, поэтому окончательно программные значения управляющих воздействий Q_i(t) определяются с помощью итерационной процедуры. Она основана на изменении момента переключения режимов в ту или иную сторону в зависимости от положения последней точки, полученной в процессе интегрирования, по отношению к целевой точке. При этом минимизируется величина

{\triangle }_k=\sqrt{\sum^n_{i=1}{{({\hat{q}}_{ik}-q_{ik})}^2,}}

где {\hat{q}}_{ik} - обобщенные координаты системы в последней точке процесса интегрирования. Процесс завершается при достижении коррекцией времени переключения заданного значения {\triangle }_k\leq [{\triangle }_k].

Поставленная задача планирования движений на основе собственных динамических свойств исполнительного механизма ПР является, если система регулирования разомкнута, необходимо по крайней мере более точно учесть свойства привода, а если система регулирования замкнута, то дополнительно при определении программы движения следует учесть свойства регулятора.

В приводе ПР используются электродвигатели постоянного тока. Найдём на основе их статических характеристик ограничения управляющих воздействий для последующего учета в программе расчета оптимального по быстродействию движения. Имеем

M_i=k_{1i}U_i-k_{2i}{\omega }_i при sign\ U_i=sign\ {\omega }_i,

M_i=k_{1i}U_i при sign\ U_i\neq sign\ {\omega }_i.

Здесь M_{i}- момент, развиваемый i-м двигателем, U_i - напряжение, {\omega }_i- угловая скорость, k_{1i} - коэффициент пропорциональности пускового момента двигателя, k_{2i} - коэффициент демпфирования двигателя. Для кинематически развязанных механических систем обобщенные скорости {\dot{q}}_i пропорциональны угловым скоростям двигателей {\omega }_i. Поэтому ограничения на управляющие воздействия Q_i для интервала скоростей -k_{1i}\left|U_{i\ max}\right|/k_{2i}\le \le {\omega }_{i\ }\le k_{1i}\left|U_{i\ max}\right|/k_{2i} можно записать в виде

-k_{1i}\left|U_{i\ max}\right|<Q_i{/\rho }_i<k_{1i}\left|U_{i\ max}\right|-k_{2i}{\omega }_{i\ } при {\omega }_i>0;

-k_{1i}\left|U_{i\ max}\right|-k_{2i}{\omega }_i<Q_i{/\rho }_i<k_{1i}\left|U_{i\ max}\right| при {\omega }_i<0,

где {\rho }_i - передаточное отношение редуктора.

Когда скорости выходят за ограничения, система двигается свободно, с выключенными двигателями. Результатом работы программы являются зависимости

Q_i=Q_i(t),\ q_i=q_i(t) и U_i=U_i(t).

Для разомкнутой системы найденное U_i=U_i(t) и будет искомой программой. В замкнутой же системе необходимо обеспечить найденное движение исполнительного механизма q_i(t), которое выступает в роли требуемого q_{itr}(t). Замкнутые системы работают по рассогласованию. Поэтому, если в качестве программного взять требуемое движение q_{itr}(t), гарантируется ошибка отработки [1].

Для учета податливостей в кинематических цепях привода, целесообразно использовать идею комбинированного управления и реализовать ее так, чтобы учесть свойства замкнутого контура регулирования или его отдельных элементов.

Так как данный робот является разомкнутой системой нельзя обеспечить точность и устойчивость перемещения требуемого программой, поэтому выводятся дополнительные условия, которые включены в алгоритм быстродействия движения, когда восстанавливающаяся сила эквивалента закону регулирования.

Список литературы

  1. Корендясев А.И., Саламандра Б.Л., Тывес Л.И. Теоретические основы робототехники. М.: Наука, 2006. 376 с.