Решение интегральных уравнений методом Монте-Карло

Метод Монте-Карло находит широкое применение в практике решения вычислительных задач, в том числе при решении интегральных уравнений [1-3]. В то же время не все возможности данного метода используются полностью. Так при решении интегральных уравнений преимущественно используется вариант этого метода, основанный на суммировании резольвенты и использовании цепей Маркова [1]. Это обстоятельство значительно сужает класс решаемых задач, так как требуется ограничение нормы интегрального оператора единицей. В данной статье с целью восполнения отмеченного пробела рассматривается применение метода Монте-Карло в его классической форме к решению широкого круга интегральных уравнений типа Фредгольма.

Как отмечено, вариант применения метода соответствует его традиционной схеме, обычно применяющейся при вычислении определенных интегралов, но по какой-то причине недостаточно задействованной для задач с интегральными уравнениями.

Описание метода

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма:

, (1)

где u(x) — искомая функция, — точки области V из m-мерного евклидова пространства, и — некоторые вещественные или комплексные числа, K(x,y) — ядро интегрального оператора, f(x) — свободный член.

Предположим, что известны n точек области V: , полученные из распределения с плотностью . Условие нормировки:

.

Интеграл в (1) можно приближенно вычислять при помощи традиционной схемы вычисления интегралов методом Монте-Карло [1]:

,

где .

Перепишем (1) в эквивалентном виде:

, (2)

где — остаточный член формулы интегрирования Монте-Карло:

.

Используем точки как узлы коллокаций в известном вычислительном методе, при помощи которого получим из (2) соответствующую СЛАУ для нахождения приближенных значений решения в рассматриваемых точках:

. (3)

Поскольку остаточный член квадратурной суммы метода Монте-Карло с любой наперед заданной вероятностью стремится к нулю при стремлении числа узлов к бесконечности, то обоснованно предполагать, что при достаточно гладком ядре и ограниченности оператора, обратного к оператору интегрального уравнения (1), решение СЛАУ (3) сходится к точному в одной из вероятностных мер. В литературе соответствующие вопросы сходимости детально рассмотрены применительно к задаче суммирования ряда Неймана [1].

Пример применения метода

Исходные данные модельной задачи:

,

.

Область интегрирования — m-мерный куб

.

Точное решение

;

.

Результаты трех последовательных вычислений решения при размерности области m=10 и числе узлов n=10:

• точное решение (0.02375, 0.01527, 0.00363, 0.04009, 0.04210, 0.08175, 0.00694, 0.03348, 0.03155, 0.01348);
• приближенное (0.02679, 0.01758, 0.00448, 0.04425, 0.04638, 0.08800, 0.00831, 0.03722, 0.03516, 0.01561).

Погрешность решения в норме l₁ около 11%.

На двух последующих вычислениях решения погрешность много меньше: около 1% и 0.4%.