Решение n-мерного уравнения Шредингера методом интегральных уравнений на псевдослучайной сетке

Область применения методов Монте-Карло постоянно расширяется [1-4]. Соответствующий подход активно используется в практике решения задач квантовой физики, прежде всего уравнения Шредингера. В данной статье продолжается исследование, направленное на изучение возможностей т.н. полустатистического метода для решения задач математической физики [4].

Пусть волновая функция задана в многомерном конфигурационном пространстве системы N частиц, тогда в каждой точке с координатами $r=(r_1,\dots, r_N)$, в определенный момент времени t она будет иметь вид $\psi (r_1,\dots, r_N,t)$. В таком случае уравнение Шредингера запишется в виде:

$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (r_1, \dots,r_N,t)=-\hbar^2/2 \sum_{n=1}^{N}1/m_n\nabla_n^2\psi(r_1,\dots,r_N,t)+V(r_1,\dots,r_N,t)\psi (r_1,\dots,r_N,t)$,

$\hbar$ — постоянная Планка, m_n — масса n-й частицы, $V(r_1,\dots, r_N,t)$ — внешняя по отношению к частицам потенциальная энергия системы в точке $r=(r_1,\dots, r_N)$ в момент времени t, $\nabla_n^2$ — квадрат оператора набла, в N-мерной системе координат имеет вид: $\nabla_n^2 = \partial^2 / \partial x_n^2 + \partial^2 / \partial y_n^2 + \partial^2 / \partial z_n^2, r_n=(x_n,y_n,z_n)$.

Обозначим через m₀ среднюю массу частиц и поделим уравнение на $i\hbar$, тогда

$\frac{\partial \psi}{\partial t}(r_1,\dots,r_N,t) = i\hbar /{2m_0}\sum_{n=1}^{N}m_0/m_n\nabla_n^2\psi(r_1,\dots,r_N,t) — i/\hbar V(r_1,\dots,r_N,t)\psi (r_1,\dots,r_N,t)$,

после соответствующей замены пространственных переменных получим:

$\frac{\partial \psi}{\partial t}(r_1,\dots,r_N,t)=i\hbar /{2m_0} \triangle^((3N)) \psi (r_1,\dots,r_N,t) — i/\hbar V(r_1,\dots,r_N,t)\psi (r_1,\dots,r_N,t)$,

где $\triangle^{3N}$ — 3N-мерный лапласиан.

Рассмотрим соответствующее уравнение свободных частиц

$\frac{\partial \psi}{\partial t}(r_1,\dots,r_N,t) = i\hbar /{2m_0} \triangle^{3N} \psi(r_1,\dots,r_N,t)$,

Фундаментальное решение данного уравнения:

$\psi_0 (r_1,\dots,r_N,t)=1/(2\sqrt{\pi a t})^{3N} exp(-r^2/(4at)), a=i\hbar /{2m_0}, r^2=r_1^2+\dots +r_N^2$.

Следовательно, согласно формуле Грина для пространства решение исходного уравнения удовлетворяет интегральному уравнению

$\psi(r_1,\dots,r_N,t) = \int_{R^{3N}}\psi_0(r_1-s_1,\dots,r_N-s_N,t)\psi (s_1,\dots,s_N,0)ds_1\dots ds_N$$- i/\hbar \int_0^t \int_{R^{3N}}\psi_0(r_1-s_1, \dots,r_N-s_N,t-t_0)V(s_1,\dots,s_N,t_0) \psi(s_1,\dots,s_N,t_0) ds_1\dots ds_N dt_0$,

где предполагается, что начальное условие для пси-функции известно.

Для решения полученного многомерного интегрального уравнения применим квадратурные формулы на случайной или псевдослучайной сетке [4]. При определенных ограничениях на функцию потенциальной энергии возможно применение статистических методов для вычисления ряда Неймана интегрального уравнения с использованием соответствующих цепей Маркова [1].

Аналогичное (и более простое) интегральное уравнение имеет место для стационарного уравнения Шредингера, поэтому рассматриваемый метод может быть применен для решения проблемы собственных значений, т.е. для вычисления энергетического спектра и собственных функций квантовой системы N частиц.