Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики
кандидат наук,доцент
NovaInfo60, с.24-36, скачать PDF Опубликовано Раздел: Физико-математические науки Язык: Русский Просмотров за месяц: 1 CC BY-NC
Аннотация
Статья посвящена исследованию краевой задачи для уравнения в частных производных третьего порядка гиперболического типа в бесконечной области трехмерного евклидова пространства. Значения искомой функции задаются на одной характеристической плоскости границы области и на двух нехарактеристических плоскостях. Однозначная разрешимость задачи доказана методом Римана-Адамара с помощью специальным образом построенной функции Римана-Адамара, приведено явное представление решения.
Ключевые слова
УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, УРАВНЕНИЕ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА, ФУНКЦИЯ РИМАНА-АДАМАРА, ФУНКЦИЯ РИМАНА, МЕТОД РИМАНА-АДАМАРА, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
Текст научной работы
Данная работа посвящена обоснованию существования и единственности решения краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка гиперболического типа. Уравнение рассматривается в неограниченной трехмерной области специального вида, обладающей определенной конфигурацией. Заметим, что в современной теории краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования именно гиперболических уравнений [1]. Особый интерес к такого рода уравнениям объясняется и теоретической значимостью результатов, и их качественным приложениям в различных областях естествознания. Актуальность постановки и доказательства существования и единственности различных краевых задач обусловлена именно тем, что гиперболические уравнения являются моделями реальных процессов, протекающих в природе и рассматриваемых в технике [2], [3], [4]. Важную роль в изучении различных процессов и явлений играют не только уравнения второго порядка, но и уравнения третьего порядка [5] и порядка выше третьего. В настоящее время разработаны разнообразные методы решения таких задач: метод Римана, метод Римана-Адамара, метод общих и специальных решений и другие [6], [7]. Рассмотрение частных случаев уравнений третьего порядка в трехмерном пространстве представляет определенный интерес с точки зрения построения общей теории.
Постановка задачи
Уравнение
будем рассматривать в области
Задача Дарбу
В области требуется найти функцию u(x,y,z) со следующими свойствами:
;
и в ;
Искомая функция удовлетворяет граничным условиям:
.
Граничные функции непрерывны и имеют непрерывные смешанные производные второго порядка в области своего определения.
Таким образом, значения искомой функции задаются на одной характеристической плоскости z=a и на двух нехарактеристических плоскостях y=x и z=x.
Построение функции Римана-Адамара
Для решения задачи применен метод Римана-Адамара. Функция Римана для гиперболического уравнения известна [8], она имеет вид:
,
Функция , согласно [9], определяется формулой:
Симметрия рассматриваемого гиперболического уравнения относительно переменных x, y и z позволила построить функцию Римана-Адамара, которая сыграла основную роль при доказательстве существования и единственности поставленной задачи Дарбу.
Идея построения функции Римана-Адамара исходя именно из симметрии уравнения заимствована из работы С.П. Пулькина [10].
Пусть — произвольная точка области . Проведем через нее характеристические плоскости x=x0, y=y0, z=z0, которые вместе с гранями , , образуют две ограниченные области. Мы возьмем ту из них, в которой x>x0, и обозначим ее через G. Область G представляет собой шестигранник. Проведем плоскости x=x0, y=y0, z=z0. Они разделят область G на пять областей Gk, :
В области G определим функцию Римана-Адамара , полагая
Заметим, что функция Римана-Адамара была построена исходя из требования выполнения следующих условий:
.
Решение задачи Дарбу
Для операторов i имеет место тождество:
где
Пусть в этом тождестве u — есть решение задачи Дарбу, а v — функция Римана-Адамара, тогда имеем тождество:
.
Для функции v плоскости x=z0, y=x0, y=z0 являются поверхностями разрыва первого рода. Поэтому для того, чтобы иметь возможность применить теорему Остроградского-Гаусса, проведем плоскости:
, , ,
где достаточно мало. Эти плоскости отделяют от областей Gk поверхности разрыва функции v.
То есть фактически мы отступаем на достаточно малую величину от плоскостей, где функция Римана-Адамара терпит разрыв, и строим вспомогательную область. Области Gk, урезанные выше названными плоскостями, обозначим и положим . Проинтегрируем рассматриваемое тождество по области и применим теорему Остроградского-Гаусса, получим:
где S — граница области , а nx, ny, nz — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S. Так как S состоит из 25 плоских фигур, то полученное после интегрирования тождество можно записать в виде:
где
,
Sk — плоские фигуры, составляющие границу S области . Нумерация Sk произвольная.
Обозначим через Ak пределы при интегралов Ik и вычислим их. Сначала рассмотрим интегралы по граням параллелепипеда и найдем пределы этих интегралов.
Пусть Здесь nx = ny = 0, nz = 1, поэтому
Так как при z = z0 имеем R=1, Rx = Ry = Rxy = 0, то
.
Или, учитывая граничные условия, получим
Интегралы I2 и I3 на гранях параллелепипеда y = y0 и x = x0 и их пределы вычисляются аналогично:
На грани z = a:
Так как то
.
Пределы интегралов по граням параллелепипеда и содержат неизвестные значения искомой функции и ее производных.
,
.
.
Теперь вычислим пределы интегралов по граням прямой призмы .
На грани имеем:
.
.
На грани z = a имеем:
На грани y = y0:
.
Здесь , и легко видеть, что v2 и ее производные равны нулю при y = y0, так что:
Пусть
Здесь .
,
.
Так как по определению , то , и поэтому, проецируя S10 на плоскость xOy и переходя к пределу при , получим:
.
Предел интеграла I11 по грани вычисляется как A6.
.
.
Теперь вычислим интегралы по границе области и их пределы.
Пусть
.
.
На грани S13 области , поэтому
На грани z = a:
.
.
Пусть Здесь Тогда
Проецируя S15 на плоскость xOy, и учитывая, что при x=y, после перехода к пределу получим:
.
На грани
.
.
При вычислении оставшихся девяти интегралов по границам областей и и их пределов, примем во внимание, что равны нулю при z=x, а v5, v5, z равны нулю при y=x.