Решение краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерной области

NovaInfo 60, с.24-36, скачать PDF
Опубликовано
Раздел: Физико-математические науки
Просмотров за месяц: 3
CC BY-NC

Аннотация

Статья посвящена исследованию краевой задачи для уравнения в частных производных третьего порядка гиперболического типа в бесконечной области трехмерного евклидова пространства. Значения искомой функции задаются на одной характеристической плоскости границы области и на двух нехарактеристических плоскостях. Однозначная разрешимость задачи доказана методом Римана-Адамара с помощью специальным образом построенной функции Римана-Адамара, приведено явное представление решения.

Ключевые слова

УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, УРАВНЕНИЕ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА, ФУНКЦИЯ РИМАНА-АДАМАРА, ФУНКЦИЯ РИМАНА, МЕТОД РИМАНА-АДАМАРА, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

Текст научной работы

Данная работа посвящена обоснованию существования и единственности решения краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка гиперболического типа. Уравнение рассматривается в неограниченной трехмерной области специального вида, обладающей определенной конфигурацией. Заметим, что в современной теории краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования именно гиперболических уравнений [1]. Особый интерес к такого рода уравнениям объясняется и теоретической значимостью результатов, и их качественным приложениям в различных областях естествознания. Актуальность постановки и доказательства существования и единственности различных краевых задач обусловлена именно тем, что гиперболические уравнения являются моделями реальных процессов, протекающих в природе и рассматриваемых в технике [2], [3], [4]. Важную роль в изучении различных процессов и явлений играют не только уравнения второго порядка, но и уравнения третьего порядка [5] и порядка выше третьего. В настоящее время разработаны разнообразные методы решения таких задач: метод Римана, метод Римана-Адамара, метод общих и специальных решений и другие [6], [7]. Рассмотрение частных случаев уравнений третьего порядка в трехмерном пространстве представляет определенный интерес с точки зрения построения общей теории.

Постановка задачи

Уравнение

L[u] \equiv u_{xyz}-A(x)\cdot A(y)\cdot A(z)\cdot u = 0

будем рассматривать в области \Omega = \left\{ (x,y,z): y

\alpha_1: y=x,\; x \leq z \leq a;\quad \alpha_2: z=x,\; y \leq x \leq a;\quad \alpha_3: z=a,\; y \leq x \leq a.

Задача Дарбу

В области \Omega требуется найти функцию u(x,y,z) со следующими свойствами:

  1. u \in C \left(\overline{\Omega} \right);
  2. u_{xyz} \in C \left(\Omega \right) и L[u] \equiv 0 в \Omega;
  3. Искомая функция удовлетворяет граничным условиям:

u|_{\alpha_1} = f(x, z), \quad u|_{\alpha_2} = g(x, y), \quad u|_{\alpha_3} = h(x, y).

Граничные функции непрерывны и имеют непрерывные смешанные производные второго порядка в области своего определения.

Таким образом, значения искомой функции задаются на одной характеристической плоскости z=a и на двух нехарактеристических плоскостях y=x и z=x.

Построение функции Римана-Адамара

Для решения задачи применен метод Римана-Адамара. Функция Римана для гиперболического уравнения известна [8], она имеет вид:

R \left(M, \, M_0 \right) = R \left(x, y, z; x_0, y_0, z_0 \right) = {}_0 F_2 (1, 1; \sigma),

\sigma = \int\limits_x^{x_0} A(t)\, dt\, \int\limits_y^{y_0} A(t)\, dt\, \int\limits_z^{z_0} A(t)\, dt.

Функция {}_0 F_2 (1, 1; \sigma), согласно [9], определяется формулой:

{}_0 F_2 (1, 1; \sigma)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{\sigma^n}{(n!)^3}.

Симметрия рассматриваемого гиперболического уравнения относительно переменных x, y и z позволила построить функцию Римана-Адамара, которая сыграла основную роль при доказательстве существования и единственности поставленной задачи Дарбу.

Идея построения функции Римана-Адамара исходя именно из симметрии уравнения заимствована из работы С.П. Пулькина [10].

Пусть M_0 \left(x_0, y_0, z_0 \right) — произвольная точка области \Omega. Проведем через нее характеристические плоскости x=x0, y=y0, z=z0, которые вместе с гранями \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 образуют две ограниченные области. Мы возьмем ту из них, в которой x>x0, и обозначим ее через G. Область G представляет собой шестигранник. Проведем плоскости x=x0, y=y0, z=z0. Они разделят область G на пять областей Gk, k=\overline{1,5}:

G_1 = \{(x,y,z): x_0 \leq x \leq z_0, y_0 \leq y \leq x_0, z_0 \leq z \leq a\};

G_2 = \{ (x,y,z): z_0 \leq x \leq a, y_0 \leq y \leq x_0, x \leq z \leq a \};

G_3 = \{ (x,y,z): x_0 \leq x \leq z_0, z_0 \leq z \leq a, x_0 \leq y \leq x \};

G_4 = \{ (x,y,z): z_0 \leq x \leq a, x_0 \leq y \leq z_0, x \leq z \leq a \};

G_5 = \{ (x,y,z): z_0 \leq x \leq a, z_0 \leq y \leq x, x \leq z \leq a \}.

G1 — прямоугольный параллелепипед; G2, G3, G4 — прямые треугольные призмы; G5 — четырехгранник.

В области G определим функцию Римана-Адамара v \left(M, M_0 \right), полагая

v \left(M, M_0 \right) = v_1 =R \left(x, y, z; M_0 \right), \quad (x,y,z) \in G_1,

v \left(M, M_0 \right) = v_2 = R \left(x, y, z; M_0 \right)-R \left(z, y, x; M_0 \right), \quad (x,y,z) \in G_2,

v \left(M, M_0 \right) = v_3 =R \left(x, y, z; M_0 \right)-R \left(y, x, z; M_0 \right), \quad (x,y,z) \in G_3,

v \left(M, M_0 \right) = v_4 = R \left(x, y, z; M_0 \right)-R \left(z, y, x; M_0 \right)-R \left(y, x, z; M_0 \right)+

+ R \left(y, z, x; M_0 \right), \quad (x,y,z) \in G_4,

v \left(M, M_0 \right) = v_5 = R \left(x, y, z; M_0 \right)-R \left(z, y, x; M_0 \right)-R \left(y, x, z; M_0 \right)+

+R \left(z, x, y; M_0 \right)-R \left(x, z, y; M_0 \right)+R \left(y, z, x; M_0 \right), \quad (x,y,z) \in G_5.

Заметим, что функция Римана-Адамара была построена исходя из требования выполнения следующих условий:

v|_{y=x} \equiv 0, \qquad v|_{z=x} \equiv 0.

Решение задачи Дарбу

Для операторов L[u] i L^\ast[v]=-v_{xyz}-A(x)\cdot A(y)\cdot A(z)\cdot v имеет место тождество:

v \cdot L[u]-u \cdot L^{*}[v] \equiv \frac{1}{6} \left(P_x + Q_y + H_z \right),

где

P = 2vu_{yz} + 2uv_{yz}-v_y u_z-v_z u_y,

Q = 2vu_{xz} + 2uv_{xz}-v_x u_z-v_z u_x,

H = 2vu_{xy} + 2uv_{xy}-v_x u_y-v_y u_x.

Пусть в этом тождестве u — есть решение задачи Дарбу, а v — функция Римана-Адамара, тогда имеем тождество:

P_x + Q_y + H_z = 0.

Для функции v плоскости x=z0, y=x0, y=z0 являются поверхностями разрыва первого рода. Поэтому для того, чтобы иметь возможность применить теорему Остроградского-Гаусса, проведем плоскости:

x=z_0-\varepsilon, \quad x=z_0+\varepsilon, y=x_0-\varepsilon, \quad y=x_0+\varepsilon, y=z_0-\varepsilon, \quad y=z_0+\varepsilon,

где \varepsilon > 0 достаточно мало. Эти плоскости отделяют от областей Gk поверхности разрыва функции v.

То есть фактически мы отступаем на достаточно малую величину \varepsilon > 0 от плоскостей, где функция Римана-Адамара терпит разрыв, и строим вспомогательную область. Области Gk, урезанные выше названными плоскостями, обозначим G_{k \varepsilon} и положим G_{\varepsilon} = \bigcup\limits_{k=1}^5 G_{k \varepsilon}. Проинтегрируем рассматриваемое тождество по области G_{\varepsilon} и применим теорему Остроградского-Гаусса, получим:

\int\limits_S\!\!\!\int \left(P n_x + Q n_y + H n_z \right) \, dS = 0,

где S — граница области G_{\varepsilon}, а nx, ny, nz — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S. Так как S состоит из 25 плоских фигур, то полученное после интегрирования тождество можно записать в виде:

\sum\limits_{k=1}^{25} I_k = 0,

где

I_k = \int\limits_{S_k}\!\!\!\int \left(P n_x + Q n_y + H n_z \right) \, dS,

Sk — плоские фигуры, составляющие границу S области G_{\varepsilon}. Нумерация Sk произвольная.

Обозначим через Ak пределы при \varepsilon \to 0 интегралов Ik и вычислим их. Сначала рассмотрим интегралы по граням параллелепипеда G_{1\varepsilon} и найдем пределы этих интегралов.

Пусть S_1: \; z=z_0, \;\; x_0 \leq x \leq z_0-\varepsilon, \;\; y_0 \leq y \leq x_0-\varepsilon. Здесь nx = ny = 0, nz = 1, поэтому

I_1 = -\int\limits_{S_1}\!\!\!\int H \, dS =-\int\limits_{x_0}^{z_0-\varepsilon} dx \int\limits_{y_0}^{x_0-\varepsilon} H \left(x, y, z_0; M_0 \right) \, dy;

A_1 = \lim\limits_{\varepsilon \to 0} I_1 =-\int\limits_{x_0}^{z_0} dx \int\limits_{y_0}^{x_0} H \left(x, y, z_0; M_0 \right) \, dy.

Так как при z = z0 имеем R=1, Rx = Ry = Rxy = 0, то

A_1 = -2 \int\limits_{x_0}^{z_0} dx \int\limits_{y_0}^{x_0} u_{xy} \left(x, y, z_0 \right) \, dy = -2 u \left(x_0, y_0, z_0 \right)-2 u \left(z_0, x_0, z_0 \right)+

+ 2 u \left(x_0, x_0, z_0 \right) +2 u \left(z_0, y_0, z_0 \right).

Или, учитывая граничные условия, получим

A_1 = -2 u \left(x_0, y_0, z_0 \right)-2 g \left(z_0, x_0 \right)+ 2 g \left(z_0, y_0 \right) +2 f \left(x_0, z_0 \right).

Интегралы I2 и I3 на гранях параллелепипеда y = y0 и x = x0 и их пределы вычисляются аналогично:

A_2 = -2 u \left(x_0, y_0, z_0 \right)-2 h \left(z_0, y_0 \right)+ 2 h \left(x_0, y_0 \right) +2 g \left(z_0, y_0 \right),

A_3 = -2 u \left(x_0, y_0, z_0 \right) + 2 f \left(x_0, z_0 \right)+ 2 h \left(x_0, y_0 \right) -2 h \left(x_0, x_0 \right).

На грани z = a:

I_4 = \int\limits_{S_4}\!\!\!\int H \, dS = \int\limits_{x_0}^{z_0-\varepsilon} dx \int\limits_{y_0}^{x_0-\varepsilon} H \left(x, y, a; M_0 \right) \, dy.

Так как u \left(x, y, a \right) = h \left(x, y \right), то

A_4 = \int\limits_{x_0}^{z_0} dx \int\limits_{y_0}^{x_0} \left[\right. 2R \left(x, y, a; M_0 \right) h_{xy} \left(x, y \right) + 2 h \left(x, y \right) R_{xy} \left(x, y, a; M_0 \right) -

- R_x \left(x, y, a; M_0 \right) h_y \left(x, y \right)-R_y \left(x, y, a; M_0 \right) h_x \left(x, y \right) \left.\right] \, dy.

Пределы интегралов по граням параллелепипеда x = z_0-\varepsilon и y = x_0-\varepsilon содержат неизвестные значения искомой функции и ее производных.

A_5 = \int\limits_{y_0}^{x_0}dy\int\limits_{z_0}^{a}[2R\left(z_0,y,z;M_0\right)u_{yz}\left(z_0,y,z\right)+2u\left(z_0,y, z\right)R_{yz} \left(z_0,y,z;M_0\right)-

- R_y \left(z_0, y, z; M_0 \right) u_z \left(z_0, y, z \right)-R_z \left(z_0, y, z; M_0 \right) u_y \left(z_0, y, z \right) \left. \right] \, dz,

A_6 = \int\limits_{x_0}^{z_0}\!\! dx\!\! \int\limits_{z_0}^{a}[2R \left(x, x_0, z; M_0 \right)u_{xz} \left(x, x_0, z \right)+ 2 u \left(x, x_0, z \right) R_{xz} \left(x, x_0, z; M_0 \right)-.

- R_x \left(x, x_0, z; M_0 \right) u_z \left(x, x_0, z \right)-R_z \left(x, x_0, z; M_0 \right) u_x \left(x, x_0, z \right) \left. \right] \, dz.

Теперь вычислим пределы интегралов по граням прямой призмы G_{2 \varepsilon}.

На грани x = z_0 + \varepsilon имеем:

I_7 =-\int\limits_{y_0}^{x_0-\varepsilon} dy \int\limits_{z_0}^{a} P \left(z_0 + \varepsilon, y, z; M_0 \right) \, dz,

A_7 =-\int\limits_{y_0}^{x_0}\!\! dy\!\! \int\limits_{z_0}^{a}[ 2 v_2 \left(z_0, y, z; M_0 \right)u_{yz} \left(z_0, y, z \right)+ 2 u \left(z_0, y, z \right) v_2 \,{}_{yz} \left(z_0, y, z; M_0 \right)-.

- v_2 \,{}_y \left(z_0, y, z; M_0 \right) u_z \left(z_0, y, z \right)-v_2 \,{}_z \left(z_0, y, z; M_0 \right) u_y \left(z_0, y, z \right) \left. \right] \, dz.

На грани z = a имеем:

I_8 = \int\limits_{z_0+\varepsilon}^{a} dx \int\limits_{y_0}^{x_0-\varepsilon} H \left(x, y, a; M_0 \right) \, dy,

A_8 = \int\limits_{z_0 }^{a} dx \int\limits_{y_0}^{x_0} \left[ \right. 2 v_2 \left(x, y, a; M_0 \right) h_{xz} \left(x, y \right) + 2 h \left(x, y \right) v_2 \,{}_{xz} \left(x, y, a; M_0 \right) -

- v_2 \,{}_x \left(x, y, a; M_0 \right) h_y \left(x, y \right)-v_2 \,{}_y \left(x, y, a; M_0 \right) h_x \left(x, y \right) \left.\right] \, dz.

На грани y = y0:

I_9 =-\int\limits_{z_0+\varepsilon}^{a} \!\! dx \!\! \int\limits_{x}^{a}[2v_2 \left(x, y_0, z; M_0 \right) u_{xz} \left(x, y_0, z \right)+ 2 u \left(x, y_0, z \right) v_2 \,{}_{xz} \left(x, y_0, z; M_0 \right)-.

- v_2 \,{}_x \left(x, y_0, z; M_0 \right) u_z \left(x, y_0, z \right)-v_2 \,{}_z \left(x, y_0, z; M_0 \right) u_x \left(x, y_0, z \right) \left. \right] \, dz.

Здесь v_2 = R \left(x, y, z; M_0 \right)-R \left(z, y, x; M_0 \right), и легко видеть, что v2 и ее производные v_2 \,{}_x, \; v_2 \,{}_z, \; v_2 \,{}_{xz} равны нулю при y = y0, так что:

I_9 = 0, \quad A_9 = 0.

Пусть S_{10}: \; z=x, \;\; z_0 + \varepsilon \leq x \leq a, \;\; y_0 \leq y \leq x_0-\varepsilon.

Здесь n_x = \frac{1}{\sqrt{2}},\; n_y = 0, \; n_z = -\frac{1}{\sqrt{2}}.

I_{10}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\limits_{S_{10}}\int(P-H), dS = \frac{1}{\sqrt{2}} \int\limits_{S_{10}}\int[2v_2 (u_{yz}-u_{xy})+

\left.{} + 2 u \left(v_2\,{}_{yz}-v_2\,{}_{xy} \right)-v_2 \,{}_y \left(u_{z}-u_{x} \right)- u_y \left(v_2\,{}_{z}-v_2\,{}_{x} \right) \right] \, dS.

Так как по определению v_2|_{z=x} \equiv 0, то v_2\,{}_y|_{z=x} \equiv 0, и поэтому, проецируя S10 на плоскость xOy и переходя к пределу при \varepsilon \to 0, получим:

A_{10} = \int\limits_{z_0 }^{a} dx \int\limits_{y_0}^{x_0} \left[ 2 g \left(x, y \right) \Bigl(v_2 \,{}_{yz} \left(x, y, x; M_0 \right)-v_2 \,{}_{xy} \left(x, y, x; M_0 \right) \Bigr)-\right.

\left.{}-g_y \left(x, y \right) \Bigl(v_2 \,{}_{z} \left(x, y, x; M_0 \right)-v_2 \,{}_{x} \left(x, y, x; M_0 \right)\Bigr) \right] \,dy.

Предел интеграла I11 по грани y=x_0-\varepsilon вычисляется как A6.

A_{11}=\int\limits_{z_0}^{a}dx\int\limits_{x}^{a}[2v_2(x, x_0, z; M_0)u_{xz}(x, x_0, z)+ 2 u \left(x, x_0, z \right) v_{2,xz} \left(x, x_0, z; M_0 \right)-.

\left.{}-v_2 \,{}_x \left(x, x_0, z; M_0 \right) u_z \left(x, x_0, z \right)-v_2 \,{}_z \left(x, x_0, z; M_0 \right) u_x \left(x, x_0, z \right) \right] \, dz.

Теперь вычислим интегралы по границе области G_3 {}_\varepsilon и их пределы.

Пусть S_{12}: \; y=x_0 + \varepsilon, \;\; x_0 + \varepsilon \leq x \leq z_0-\varepsilon, \;\; z_0 \leq z \leq a.

I_{12} =-\int\limits_{x_0+\varepsilon}^{z_0-\varepsilon} dx \int\limits_{z_0}^{a} Q \left(x, x_0+\varepsilon, z; M_0 \right) \, dz,

A_{12}=-\int\limits_{x_0}^{z_0}dx\int\limits_{z_0}^{a}[2v_3 (x, x_0, z; M_0) u_{xz}(x, x_0, z)+ 2 u(x, x_0, z) v_{3,xz}(x, x_0, z; M_0)-.

\left.{}-v_3 \,{}_x \left(x, x_0, z; M_0 \right) u_z \left(x, x_0, z \right)-v_3 \,{}_z \left(x, x_0, z; M_0 \right) u_x \left(x, x_0, z \right) \right] \, dz.

На грани S13 области G_3:\; v_3 = v_3 \,{}_{x} = v_3 \,{}_{y} = v_3 \,{}_{xy} \equiv 0, поэтому

A_{13} = 0.

На грани z = a:

I_{14} = \int\limits_{x_0+\varepsilon}^{z_0-\varepsilon} dx</p><p>\int\limits_{x_0+\varepsilon}^{x} H \left(x, y, a; M_0 \right) \, dy,

A_{14}=\int\limits_{x_0}^{z_0}dx\int\limits_{x_0}^{x}[2v_3(x, y, a; M_0) h_{xy}(x, y)+ 2h(x, y) v_{3,xy}(x, y, a; M_0)-.

\left.{}-v_3 \,{}_x \left(x, y, a; M_0 \right) h_y \left(x, y \right)-v_3 \,{}_y \left(x, y, a; M_0 \right) h_x \left(x, y \right) \right] \, dy.

Пусть S_{15}: \; y=x, \;\; x_0 + \varepsilon \leq x \leq z_0-\varepsilon, \;\; z_0 \leq z \leq a. Здесь n_x =-\frac{1}{\sqrt{2}},\; n_y = \frac{1}{\sqrt{2}}, \; n_z = 0. Тогда

I_{15} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int\limits_{S_{15}}\!\!\!\int \left(Q-P \right) \, dS.

Проецируя S15 на плоскость xOy, и учитывая, что v_3 = v_3 \,{}_z \equiv 0 при x=y, после перехода к пределу получим:

A_{15} = \int\limits_{x_0 }^{z_0} dx \int\limits_{z_0}^{a} \left[ 2 f \left(x, z \right) \Bigl(v_3 \,{}_{xz} \left(x, x, z; M_0 \right)-v_3 \,{}_{yz} \left(x, x, z; M_0 \right) \Bigr)-\right.

\left.{}-f_z \left(x, z \right) \Bigl(v_3 \,{}_{x} \left(x, x, z; M_0 \right)-v_3 \,{}_{y} \left(x, x, z; M_0 \right)\Bigr) \right] \,dz.

На грани x = z_0-\varepsilon:

I_{16} = \int\limits_{x_0+\varepsilon}^{z_0-\varepsilon} dy</p><p>\int\limits_{z_0}^{a} P \left(z_0-\varepsilon, y, z; M_0 \right) \, dz,

A_{16} = \int\limits_{x_0}^{z_0}dy\int\limits_{z_0}^{a}[2v_3(z_0, y, z; M_0) u_{yz}(z_0, y, z)+2u(z_0, y, z) v_{3,yz}(z_0, y, z; M_0)-.

\left.{}-v_3 \,{}_y \left(z_0, y, z; M_0 \right) u_z \left(z_0, y, z \right)-v_3 \,{}_z \left(z_0, y, z; M_0 \right) u_y \left(z_0, y, z \right) \right] \, dz.

При вычислении оставшихся девяти интегралов по границам областей G_4 \,{}_{\varepsilon} и G_5 \,{}_{\varepsilon} и их пределов, примем во внимание, что v_4, \,v_5, \,v_4 \,{}_y, \, v_5 \,{}_y равны нулю при z=x, а v5, v5, z равны нулю при y=x.

Как показывают вычисления:

A_{17} =-\int\limits_{x_0}^{z_0}dy\int\limits_{z_0}^{a}[2v_4(z_0, y, z; M_0)u_{yz}(z_0, y, z).

+ 2 u(z_0, y, z)v_{4,yz}(z_0, y, z; M_0)-

\left.{}-v_4 \,{}_y \left(z_0, y, z; M_0 \right) u_z \left(z_0, y, z \right)-v_4 \,{}_z \left(z_0, y, z; M_0 \right) u_y \left(z_0, y, z \right) \right] \, dz;

A_{18}=-\int\limits_{z_0}^{a}dy \int\limits_{x}^{a}[2v_4(x, x_0, z; M_0)u_{xz}(x, x_0, z)+ 2 u(x, x_0, z) v_{4,xz}(x, x_0, z; M_0)-.

\left.{}-v_4 \,{}_x \left(x, x_0, z; M_0 \right) u_z \left(x, x_0, z \right)-v_4 \,{}_z \left(x, x_0, z; M_0 \right) u_x \left(x, x_0, z \right) \right] \, dz;

A_{19}=-\int\limits_{z_0}^{a}dx \int\limits_{x_0}^{z_0}[ 2 v_4 (x, y, a; M_0) h_{xy} (x, y)+ 2 h(x, y) v_{4,xy}(x, y, a; M_0)-.

\left.{}-v_4 \,{}_x \left(x, y, a; M_0 \right) h_y \left(x, y \right)-v_4 \,{}_y \left(x, y, a; M_0 \right) h_x \left(x, y \right) \right] \, dy;

A_{20} = \int\limits_{z_0 }^{a} dx \int\limits_{x_0}^{z_0} \left[ 2 g \left(x, y \right) \Bigl(v_4 \,{}_{yz} \left(x, y, x; M_0 \right)-v_4 \,{}_{xy} \left(x, y, x; M_0 \right) \Bigr)-\right.