Решение краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерной области

№60-2,

Физико-математические науки

Статья посвящена исследованию краевой задачи для уравнения в частных производных третьего порядка гиперболического типа в бесконечной области трехмерного евклидова пространства. Значения искомой функции задаются на одной характеристической плоскости границы области и на двух нехарактеристических плоскостях. Однозначная разрешимость задачи доказана методом Римана-Адамара с помощью специальным образом построенной функции Римана-Адамара, приведено явное представление решения.

Похожие материалы

Данная работа посвящена обоснованию существования и единственности решения краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка гиперболического типа. Уравнение рассматривается в неограниченной трехмерной области специального вида, обладающей определенной конфигурацией. Заметим, что в современной теории краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования именно гиперболических уравнений [1]. Особый интерес к такого рода уравнениям объясняется и теоретической значимостью результатов, и их качественным приложениям в различных областях естествознания. Актуальность постановки и доказательства существования и единственности различных краевых задач обусловлена именно тем, что гиперболические уравнения являются моделями реальных процессов, протекающих в природе и рассматриваемых в технике [2], [3], [4]. Важную роль в изучении различных процессов и явлений играют не только уравнения второго порядка, но и уравнения третьего порядка [5] и порядка выше третьего. В настоящее время разработаны разнообразные методы решения таких задач: метод Римана, метод Римана-Адамара, метод общих и специальных решений и другие [6], [7]. Рассмотрение частных случаев уравнений третьего порядка в трехмерном пространстве представляет определенный интерес с точки зрения построения общей теории.

Постановка задачи

Уравнение

L[u] \equiv u_{xyz} - A(x)\cdot A(y)\cdot A(z)\cdot u = 0

будем рассматривать в области \Omega = \left\{ (x,y,z): y

\alpha_1 : y=x,\; x \leq z \leq a;\quad \alpha_2 : z=x,\; y \leq x \leq a;\quad \alpha_3 : z=a,\; y \leq x \leq a.

Задача Дарбу. В области \Omega требуется найти функцию u(x,y,z) со следующими свойствами:

  1. u \in C \left( \overline{\Omega} \right);
  2. u_{xyz} \in C \left( \Omega \right) и L[u] \equiv 0 в \Omega;
  3. искомая функция удовлетворяет граничным условиям:

u|_{\alpha_1} = f(x, z), \quad  u|_{\alpha_2} = g(x, y), \quad u|_{\alpha_3} = h(x, y).

Граничные функции непрерывны и имеют непрерывные смешанные производные второго порядка в области своего определения.

Таким образом, значения искомой функции задаются на одной характеристической плоскости z=a и на двух нехарактеристических плоскостях y=x и z=x.

Построение функции Римана-Адамара

Для решения задачи применен метод Римана-Адамара. Функция Римана для гиперболического уравнения известна [8], она имеет вид:

R \left( M, \, M_0 \right) = R \left( x, y, z; x_0, y_0, z_0 \right) = {}_0 F_2 (1, 1; \sigma),

\sigma = \int\limits_x^{x_0} A(t)\, dt\, \int\limits_y^{y_0} A(t)\, dt\, \int\limits_z^{z_0} A(t)\, dt.

Функция {}_0 F_2 (1, 1; \sigma), согласно [9], определяется формулой:

{}_0 F_2 (1, 1; \sigma)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{\sigma^n}{(n!)^3}.

Симметрия рассматриваемого гиперболического уравнения относительно переменных x, y и z позволила построить функцию Римана-Адамара, которая сыграла основную роль при доказательстве существования и единственности поставленной задачи Дарбу.

Идея построения функции Римана-Адамара исходя именно из симметрии уравнения заимствована из работы С.П. Пулькина [10].

Пусть M_0 \left( x_0, y_0, z_0 \right) – произвольная точка области \Omega. Проведем через нее характеристические плоскости x=x0, y=y0, z=z0, которые вместе с гранями \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 образуют две ограниченные области. Мы возьмем ту из них, в которой x>x0, и обозначим ее через G. Область G представляет собой шестигранник. Проведем плоскости x=x0, y=y0, z=z0. Они разделят область G на пять областей Gk, k=\overline{1,5}:

G_1 = \{(x,y,z): x_0 \leq x \leq z_0, y_0 \leq y \leq x_0, z_0 \leq z \leq a\};

G_2 = \{ (x,y,z): z_0 \leq x \leq a, y_0 \leq y \leq x_0,  x \leq z \leq a \};

G_3 = \{ ( x,y,z): x_0 \leq x \leq z_0, z_0 \leq z \leq a, x_0 \leq y \leq x \};

G_4 = \{ ( x,y,z): z_0 \leq x \leq a, x_0 \leq y \leq z_0, x \leq z \leq a \};

G_5 = \{ ( x,y,z):  z_0 \leq x \leq a, z_0 \leq y \leq x, x \leq z \leq a \}.

G1 – прямоугольный параллелепипед; G2, G3, G4 – прямые треугольные призмы; G5 – четырехгранник.

В области G определим функцию Римана-Адамара v \left( M, M_0 \right), полагая

v \left( M, M_0 \right) = v_1 =R \left( x, y, z; M_0 \right), \quad ( x,y,z) \in G_1,

v \left( M, M_0 \right) = v_2 = R \left( x, y, z; M_0 \right)-R \left( z, y, x; M_0 \right),  \quad ( x,y,z) \in G_2,

v \left( M, M_0 \right) =  v_3 =R \left( x, y, z; M_0 \right)-R \left( y, x, z; M_0 \right), \quad ( x,y,z) \in G_3,

v \left( M, M_0 \right) =  v_4 = R \left( x, y, z; M_0 \right)-R \left( z, y, x; M_0 \right) - R \left( y, x, z; M_0 \right)+

+ R \left( y, z, x; M_0 \right), \quad ( x,y,z) \in G_4,

v \left( M, M_0 \right) =  v_5 = R \left( x, y, z; M_0 \right)-R \left( z, y, x; M_0 \right) - R \left( y, x, z; M_0 \right)+

+R \left( z, x, y; M_0 \right) - R \left( x, z, y; M_0 \right)+R \left( y, z, x; M_0 \right), \quad ( x,y,z) \in G_5.

Заметим, что функция Римана-Адамара была построена исходя из требования выполнения следующих условий:

v|_{y=x} \equiv 0, \qquad v|_{z=x} \equiv 0.

Решение задачи Дарбу

Для операторов L[u] $ и $ L^{*}[v]=-v_{xyz}-A(x)\cdot A(y)\cdot A(z)\cdot v имеет место тождество:

v \cdot L[u] - u \cdot L^{*}[v] \equiv \frac{1}{6} \left( P_x + Q_y + H_z \right),

где

P = 2vu_{yz} + 2uv_{yz} - v_y u_z - v_z u_y,

Q = 2vu_{xz} + 2uv_{xz} - v_x u_z - v_z u_x,

H = 2vu_{xy} + 2uv_{xy} - v_x u_y - v_y u_x.

Пусть в этом тождестве u – есть решение задачи Дарбу, а v – функция Римана-Адамара, тогда имеем тождество:

P_x + Q_y + H_z = 0.

Для функции v плоскости x=z0, y=x0, y=z0 являются поверхностями разрыва первого рода. Поэтому для того, чтобы иметь возможность применить теорему Остроградского-Гаусса, проведем плоскости:

x=z_0-\varepsilon, \quad x=z_0+\varepsilon, \quad</p><p> y=x_0-\varepsilon, \quad y=x_0+\varepsilon, \quad</p><p> y=z_0-\varepsilon, \quad y=z_0+\varepsilon,

где \varepsilon > 0 достаточно мало. Эти плоскости отделяют от областей Gk поверхности разрыва функции v.

То есть фактически мы отступаем на достаточно малую величину \varepsilon > 0 от плоскостей, где функция Римана-Адамара терпит разрыв, и строим вспомогательную область. Области Gk, урезанные выше названными плоскостями, обозначим G_{k \varepsilon} и положим G_{\varepsilon} = \bigcup\limits_{k=1}^5 G_{k \varepsilon}. Проинтегрируем рассматриваемое тождество по области G_{\varepsilon} и применим теорему Остроградского-Гаусса, получим:

\int\limits_S\!\!\!\int \left( P n_x + Q n_y + H n_z \right) \, dS = 0,

где S – граница области G_{\varepsilon}, а nx, ny, nz – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S. Так как S состоит из 25 плоских фигур, то полученное после интегрирования тождество можно записать в виде:

\sum\limits_{k=1}^{25} I_k = 0,

где

I_k = \int\limits_{S_k}\!\!\!\int \left( P n_x + Q n_y + H n_z \right) \, dS,

Sk – плоские фигуры, составляющие границу S области G_{\varepsilon}. Нумерация Sk произвольная.

Обозначим через Ak пределы при \varepsilon \to 0 интегралов Ik и вычислим их. Сначала рассмотрим интегралы по граням параллелепипеда G_{1\varepsilon} и найдем пределы этих интегралов.

Пусть S_1: \; z=z_0, \;\; x_0 \leq x \leq z_0 - \varepsilon, \;\; y_0 \leq y \leq x_0 - \varepsilon. Здесь nx = ny = 0, nz = 1, поэтому

I_1 = - \int\limits_{S_1}\!\!\!\int H \, dS = - \int\limits_{x_0}^{z_0-\varepsilon} dx \int\limits_{y_0}^{x_0-\varepsilon} H \left( x, y, z_0; M_0 \right) \, dy;

A_1 = \lim\limits_{\varepsilon \to 0} I_1 =  - \int\limits_{x_0}^{z_0} dx \int\limits_{y_0}^{x_0} H \left( x, y, z_0; M_0 \right) \, dy.

Так как при z = z0 имеем R=1, Rx = Ry = Rxy = 0, то

A_1 = -2 \int\limits_{x_0}^{z_0} dx \int\limits_{y_0}^{x_0} u_{xy} \left( x, y, z_0 \right) \, dy = -2 u \left( x_0, y_0, z_0 \right) - 2 u \left( z_0, x_0, z_0 \right)+

+ 2 u \left( x_0, x_0, z_0 \right) +2 u \left( z_0, y_0, z_0 \right).

Или, учитывая граничные условия, получим

A_1 = -2 u \left( x_0, y_0, z_0 \right) - 2 g \left( z_0, x_0 \right)+ 2 g \left( z_0, y_0 \right) +2 f \left( x_0, z_0 \right).

Интегралы I2 и I3 на гранях параллелепипеда y = y0 и x = x0 и их пределы вычисляются аналогично:

A_2 = -2 u \left( x_0, y_0, z_0 \right) - 2 h \left( z_0, y_0 \right)+ 2 h \left( x_0, y_0 \right) +2 g \left( z_0, y_0 \right),

A_3 = -2 u \left( x_0, y_0, z_0 \right) + 2 f \left( x_0, z_0 \right)+ 2 h \left( x_0, y_0 \right) -2 h \left( x_0, x_0 \right).

На грани z = a:

I_4 = \int\limits_{S_4}\!\!\!\int H \, dS =  \int\limits_{x_0}^{z_0-\varepsilon} dx \int\limits_{y_0}^{x_0-\varepsilon} H \left( x, y, a; M_0 \right) \, dy.

Так как u \left( x, y, a \right) = h \left( x, y \right), то

A_4 = \int\limits_{x_0}^{z_0} dx \int\limits_{y_0}^{x_0} \left[\right. 2R \left( x, y, a; M_0 \right) h_{xy} \left( x, y \right) + 2 h \left( x, y \right) R_{xy} \left( x, y, a; M_0 \right) -

- R_x \left( x, y, a; M_0 \right) h_y \left( x, y \right) - R_y \left( x, y, a; M_0 \right) h_x \left( x, y \right) \left.\right] \, dy.

Пределы интегралов по граням параллелепипеда x = z_0 - \varepsilon и y = x_0 - \varepsilon содержат неизвестные значения искомой функции и ее производных.

A_5 = \int\limits_{y_0}^{x_0}\!\! dy \!\!\int\limits_{z_0}^{a} \left[  2R \left( z_0, y, z; M_0 \right)u_{yz} \left( z_0, y, z \right)+ 2 u \left( z_0, y, z \right) R_{yz} \left( z_0, y, z; M_0 \right)\! -\right.

- R_y \left( z_0, y, z; M_0 \right) u_z \left( z_0, y, z \right)  - R_z \left( z_0, y, z; M_0 \right) u_y \left( z_0, y, z \right) \left. \right] \, dz,

A_6 = \int\limits_{x_0}^{z_0}\!\! dx\!\! \int\limits_{z_0}^{a} \left[  2R \left( x, x_0, z; M_0 \right)u_{xz} \left( x, x_0, z \right)+ 2 u \left( x, x_0, z \right) R_{xz} \left( x, x_0, z; M_0 \right) \!- \right.

- R_x \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_z \left( x, x_0, z \right) - R_z \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_x \left( x, x_0, z \right) \left. \right] \, dz.

Теперь вычислим пределы интегралов по граням прямой призмы G_{2 \varepsilon}.

На грани x = z_0 + \varepsilon имеем:

I_7 = - \int\limits_{y_0}^{x_0-\varepsilon} dy \int\limits_{z_0}^{a} P \left( z_0 + \varepsilon, y, z; M_0 \right) \, dz,

A_7 = - \int\limits_{y_0}^{x_0}\!\! dy\!\! \int\limits_{z_0}^{a} \left[  2 v_2 \left( z_0, y, z; M_0 \right)u_{yz} \left( z_0, y, z \right)+ 2 u \left( z_0, y, z \right) v_2 \,{}_{yz} \left( z_0, y, z; M_0 \right)\! - \right.

- v_2 \,{}_y \left( z_0, y, z; M_0 \right) u_z \left( z_0, y, z \right) - v_2 \,{}_z \left( z_0, y, z; M_0 \right) u_y \left( z_0, y, z \right) \left. \right] \, dz.

На грани z = a имеем:

I_8 = \int\limits_{z_0+\varepsilon}^{a} dx \int\limits_{y_0}^{x_0-\varepsilon} H \left( x, y, a; M_0 \right) \, dy,

A_8 = \int\limits_{z_0 }^{a} dx \int\limits_{y_0}^{x_0} \left[ \right. 2 v_2 \left( x, y, a; M_0 \right) h_{xz} \left( x, y \right) + 2 h \left( x, y \right) v_2 \,{}_{xz} \left( x, y, a; M_0 \right) -

- v_2 \,{}_x \left( x, y, a; M_0 \right) h_y \left( x, y \right) - v_2 \,{}_y \left( x, y, a; M_0 \right) h_x \left( x, y \right) \left.\right] \, dz.

На грани y = y0:

I_9 = - \int\limits_{z_0+\varepsilon}^{a} \!\! dx \!\! \int\limits_{x}^{a} \left[  2 v_2 \left( x, y_0, z; M_0 \right) u_{xz} \left( x, y_0, z \right)+ 2 u \left( x, y_0, z \right) v_2 \,{}_{xz} \left( x, y_0, z; M_0 \right)\! - \right.

- v_2 \,{}_x \left( x, y_0, z; M_0 \right) u_z \left( x, y_0, z \right) - v_2 \,{}_z \left( x, y_0, z; M_0 \right) u_x \left( x, y_0, z \right) \left. \right] \, dz.

Здесь v_2 = R \left( x, y, z; M_0 \right) - R \left( z, y, x; M_0 \right), и легко видеть, что v2 и ее производные v_2 \,{}_x, \; v_2 \,{}_z, \; v_2 \,{}_{xz} равны нулю при y = y0, так что:

I_9 = 0, \quad A_9 = 0.

Пусть S_{10}: \; z=x, \;\; z_0 + \varepsilon \leq x \leq a, \;\; y_0 \leq y \leq x_0 - \varepsilon. Здесь n_x = \frac{1}{\sqrt{2}},\; n_y = 0, \; n_z = -\frac{1}{\sqrt{2}}.

I_{10}  = \frac{1}{\sqrt{2}} \int\limits_{S_{10}}\!\!\!\int \left( P - H \right) \, dS = \frac{1}{\sqrt{2}} \int\limits_{S_{10}}\!\!\!\int \left[  2 v_2 \left( u_{yz} - u_{xy} \right)+ \right.

\left.{} + 2 u \left( v_2\,{}_{yz} - v_2\,{}_{xy} \right)  - v_2 \,{}_y \left( u_{z} - u_{x} \right)- u_y \left( v_2\,{}_{z} - v_2\,{}_{x}  \right) \right] \, dS.

Так как по определению v_2|_{z=x} \equiv 0 , то v_2\,{}_y|_{z=x} \equiv 0, и поэтому, проецируя S10 на плоскость xOy и переходя к пределу при \varepsilon \to 0, получим:

A_{10} = \int\limits_{z_0 }^{a} dx \int\limits_{y_0}^{x_0} \left[  2 g \left( x, y \right) \Bigl( v_2 \,{}_{yz} \left( x, y, x; M_0 \right) - v_2 \,{}_{xy} \left( x, y, x; M_0 \right) \Bigr) - \right.

\left.{}  - g_y \left( x, y \right) \Bigl( v_2 \,{}_{z} \left( x, y, x; M_0 \right) - v_2 \,{}_{x} \left( x, y, x; M_0 \right)\Bigr) \right] \,dy.

Предел интеграла I11 по грани y=x_0 - \varepsilon вычисляется как A6.

A_{11} = \int\limits_{z_0}^{a}\!\! dx\!\! \int\limits_{x}^{a} \left[  2 v_2 \left( x, x_0, z; M_0 \right)u_{xz} \left( x, x_0, z \right)+ 2 u \left( x, x_0, z \right) v_2 \,{}_{xz} \left( x, x_0, z; M_0 \right)\! - \right.

\left.{}  - v_2 \,{}_x \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_z \left( x, x_0, z \right) - v_2 \,{}_z \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_x \left( x, x_0, z \right) \right] \, dz.

Теперь вычислим интегралы по границе области G_3 {}_\varepsilon и их пределы.

Пусть S_{12}: \; y=x_0 + \varepsilon, \;\; x_0 + \varepsilon \leq x \leq z_0 - \varepsilon, \;\; z_0 \leq z \leq a.

I_{12} = - \int\limits_{x_0+\varepsilon}^{z_0 - \varepsilon} dx \int\limits_{z_0}^{a} Q \left( x, x_0+\varepsilon, z; M_0 \right) \, dz,

A_{12} = -\!\! \int\limits_{x_0}^{z_0} \!\! dx \!\! \int\limits_{z_0}^{a} \!\! \left[  2 v_3 \! \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_{xz} \! \left( x, x_0, z \right)+ 2 u \! \left( x, x_0, z \right) v_3 \,{}_{xz} \! \left( x, x_0, z; M_0 \right)\! - \right.

\left.{}  - v_3 \,{}_x \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_z \left( x, x_0, z \right) - v_3 \,{}_z \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_x \left( x, x_0, z \right) \right] \, dz.

На грани S13 области G_3:\; v_3 = v_3 \,{}_{x} = v_3 \,{}_{y} = v_3 \,{}_{xy} \equiv 0, поэтому

A_{13} = 0.

На грани z = a:

I_{14} = \int\limits_{x_0+\varepsilon}^{z_0 - \varepsilon} dx</p><p>\int\limits_{x_0+\varepsilon}^{x} H \left( x, y, a; M_0 \right) \, dy,

A_{14} = \int\limits_{x_0}^{z_0} \! dx \! \int\limits_{x_0}^{x} \! \left[  2 v_3  \left( x, y, a; M_0 \right) h_{xy}  \left( x, y \right)+ 2 h  \left( x, y \right) v_3 \,{}_{xy}  \left( x, y, a; M_0 \right) - \right.

\left.{}  - v_3 \,{}_x \left( x, y, a; M_0 \right) h_y \left( x, y \right) - v_3 \,{}_y \left( x, y, a; M_0 \right) h_x \left( x, y \right) \right] \, dy.

Пусть S_{15}: \; y=x, \;\; x_0 + \varepsilon \leq x \leq z_0 - \varepsilon, \;\; z_0 \leq z \leq a. Здесь n_x = - \frac{1}{\sqrt{2}},\; n_y = \frac{1}{\sqrt{2}}, \; n_z = 0. Тогда

I_{15} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int\limits_{S_{15}}\!\!\!\int \left( Q - P \right) \, dS.

Проецируя S15 на плоскость xOy, и учитывая, что v_3 = v_3 \,{}_z \equiv 0 при x=y, после перехода к пределу получим:

A_{15} = \int\limits_{x_0 }^{z_0} dx \int\limits_{z_0}^{a} \left[  2 f \left( x, z \right) \Bigl( v_3 \,{}_{xz} \left( x, x, z; M_0 \right) - v_3 \,{}_{yz} \left( x, x, z; M_0 \right) \Bigr) - \right.

\left.{}  - f_z \left( x, z \right) \Bigl( v_3 \,{}_{x} \left( x, x, z; M_0 \right) - v_3 \,{}_{y} \left( x, x, z; M_0 \right)\Bigr) \right] \,dz.

На грани x = z_0 - \varepsilon:

I_{16} = \int\limits_{x_0+\varepsilon}^{z_0 - \varepsilon} dy</p><p>\int\limits_{z_0}^{a} P \left( z_0-\varepsilon, y, z; M_0 \right) \, dz,

A_{16} = \int\limits_{x_0}^{z_0} \!\! dy \!\! \int\limits_{z_0}^{a} \!\! \left[  2 v_3 \! \left( z_0, y, z; M_0 \right) u_{yz} \! \left( z_0, y, z \right)+ 2 u \! \left( z_0, y, z \right) v_3 \,{}_{yz} \! \left( z_0, y, z; M_0 \right)\! - \right.

\left.{}  - v_3 \,{}_y \left( z_0, y, z; M_0 \right) u_z \left( z_0, y, z \right) - v_3 \,{}_z \left( z_0, y, z; M_0 \right) u_y \left( z_0, y, z \right) \right] \, dz.

При вычислении оставшихся девяти интегралов по границам областей G_4 \,{}_{\varepsilon} и G_5 \,{}_{\varepsilon} и их пределов, примем во внимание, что v_4, \,v_5, \,v_4 \,{}_y, \, v_5 \,{}_y равны нулю при z=x, а v5, v5, z равны нулю при y=x.

Как показывают вычисления:

A_{17} = -\!\! \int\limits_{x_0}^{z_0} \! dy \! \int\limits_{z_0}^{a} \! \left[ 2 v_4 \! \left( z_0, y, z; M_0 \right) u_{yz} \! \left( z_0, y, z \right).

+ 2 u \! \left( z_0, y, z \right) v_4 \,{}_{yz} \! \left( z_0, y, z; M_0 \right)\! - \right

\left.{}  - v_4 \,{}_y \left( z_0, y, z; M_0 \right) u_z \left( z_0, y, z \right) - v_4 \,{}_z \left( z_0, y, z; M_0 \right) u_y \left( z_0, y, z \right) \right] \, dz;

A_{18} = -\!\! \int\limits_{z_0}^{a} \! dy \!\! \int\limits_{x}^{a} \! \left[  2 v_4 \! \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_{xz} \! \left( x, x_0, z \right)+ 2 u \! \left( x, x_0, z \right) v_4 \,{}_{xz} \! \left( x, x_0, z; M_0 \right)\! - \right.

\left.{}  - v_4 \,{}_x \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_z \left( x, x_0, z \right) - v_4 \,{}_z \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_x \left( x, x_0, z \right) \right] \, dz;

A_{19} = -\!\! \int\limits_{z_0}^{a} \! dx \! \int\limits_{x_0}^{z_0} \! \left[  2 v_4  \left( x, y, a; M_0 \right) h_{xy}  \left( x, y \right)+ 2 h  \left( x, y \right) v_4 \,{}_{xy}  \left( x, y, a; M_0 \right) - \right.

\left.{}  - v_4 \,{}_x \left( x, y, a; M_0 \right) h_y \left( x, y \right) - v_4 \,{}_y \left( x, y, a; M_0 \right) h_x \left( x, y \right) \right] \, dy;

A_{20} = \int\limits_{z_0 }^{a} dx \int\limits_{x_0}^{z_0} \left[  2 g \left( x, y \right) \Bigl( v_4 \,{}_{yz} \left( x, y, x; M_0 \right) - v_4 \,{}_{xy} \left( x, y, x; M_0 \right) \Bigr) - \right.

\left.{}  - g_y \left( x, y \right) \Bigl( v_4 \,{}_{z} \left( x, y, x; M_0 \right) - v_4 \,{}_{x} \left( x, y, x; M_0 \right)\Bigr) \right] \,dy;

A_{21} = \int\limits_{z_0}^{a}\!\! dx\!\! \int\limits_{x}^{a} \left[  2 v_4 \left( x, z_0, z; M_0 \right)u_{xz} \left( x, z_0, z \right)+ 2 u \left( x, z_0, z \right) v_4 \,{}_{xz} \left( x, z_0, z; M_0 \right)\! - \right.

\left.{}  - v_4 \,{}_x \left( x, z_0, z; M_0 \right) u_z \left( x, z_0, z \right) - v_4 \,{}_z \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_x \left( x, x_0, z \right) \right] \, dz;

A_{22} = -\!\! \int\limits_{z_0}^{a}\!\! dx\!\! \int\limits_{x}^{a} \left[  2 v_5 \left( x, z_0, z; M_0 \right)u_{xz} \left( x, z_0, z \right)+ 2 u \left( x, z_0, z \right) v_5 \,{}_{xz} \left( x, z_0, z; M_0 \right)\! - \right.

\left.{}  - v_5 \,{}_x \left( x, z_0, z; M_0 \right) u_z \left( x, z_0, z \right) - v_5 \,{}_z \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_x \left( x, x_0, z \right) \right] \, dz;

A_{23} = \int\limits_{z_0}^{a} \! dx \! \int\limits_{z_0}^{x} \! \left[  2 v_5  \left( x, y, a; M_0 \right) h_{xy}  \left( x, y \right)+ 2 h  \left( x, y \right) v_5 \,{}_{xy}  \left( x, y, a; M_0 \right) - \right.

\left.{}  - v_5 \,{}_x \left( x, y, a; M_0 \right) h_y \left( x, y \right) - v_5 \,{}_y \left( x, y, a; M_0 \right) h_x \left( x, y \right) \right] \, dy;

A_{24} = \int\limits_{z_0 }^{a} dx \int\limits_{z_0}^{x} \left[  2 g \left( x, y \right) \Bigl( v_5 \,{}_{yz} \left( x, y, x; M_0 \right) - v_5 \,{}_{xy} \left( x, y, x; M_0 \right) \Bigr) - \right.

\left.{}  - g_y \left( x, y \right) \Bigl( v_5 \,{}_{z} \left( x, y, x; M_0 \right) - v_5 \,{}_{x} \left( x, y, x; M_0 \right)\Bigr) \right] \,dy;

A_{25} = \int\limits_{z_0 }^{a} dx \int\limits_{x}^{a} \left[  2 f \left( x, z \right) \Bigl( v_5 \,{}_{xz} \left( x, x, z; M_0 \right) - v_5 \,{}_{yz} \left( x, x, z; M_0 \right) \Bigr) - \right.

\left.{}  - f_z \left( x, z \right) \Bigl( v_5 \,{}_{x} \left( x, x, z; M_0 \right) - v_5 \,{}_{y} \left( x, x, z; M_0 \right)\Bigr) \right] \,dz.

Интегралы Ak по граням x = z0, y = x0, z = z0, расположенным внутри области G , содержат неизвестную функцию u \left( x, y, z \right) и ее производные. Преобразуем эти интегралы, рассматривая их попарно.

A_5 + A_7 = -\!\! \int\limits_{y_0}^{x_0}\!\! dy \!\!\int\limits_{z_0}^{a} \Bigl\{ 2 \left[ v_2 \left( z_0, y, z; M_0 \right)- R \left( z_0, y, z; M_0 \right)\right] u_{yz} \left( z_0, y, z \right) + \Bigr.

+ 2 u \left( z_0, y, z \right) \left[ v_2 \,{}_{yz} \left( z_0, y, z; M_0 \right) - R_{yz} \left( z_0, y, z; M_0 \right)\right] -

- u_z \left( z_0, y, z \right) \left[v_2 \,{}_y \left( z_0, y, z; M_0 \right) - R_y \left( z_0, y, z; M_0 \right) \right] -

- u_y \left( z_0, y, z \right)\left[v_2 \,{}_z \left( z_0, y, z; M_0 \right) - R_z \left( z_0, y, z; M_0 \right)\right] \Bigr\}\, dz.

Разность v_2 - R = {}- R \left( z, y, z; M_0 \right), и так как R \left( z, y, z; M_0 \right)=1, то v_2 - R = - 1 при x=z0.

Все остальные квадратные скобки равны нулю, поэтому:

A_5 + A_7  = 2 \int\limits_{y_0}^{x_0} dy \int\limits_{z_0}^{a} u_{yz} \left( z_0, y, z \right)\, dz =

{} =  2 \left[ u \left( z_0, x_0, a \right) - u \left( z_0, y_0, a \right) - u \left( z_0, x_0, z_0 \right) + u \left( z_0, y_0, z_0 \right) \left. \right] =

{}  =  2 h \left( z_0, x_0 \right)-2 h \left( z_0, y_0 \right)- 2 g \left( z_0, x_0 \right) + 2 g \left( z_0, y_0 \right).

Аналогично показывается, что

A_6 + A_{12}   =  2 h \left( z_0, x_0 \right)-2 h \left( x_0, x_0 \right)- 2 g \left( z_0, x_0 \right) + 2 f \left( x_0, z_0 \right),

A_{11} + A_{18} = 0, \quad  A_{16} + A_{17} = 0, \quad  A_{21} + A_{22} = 0.

В оставшихся десяти двойных интегралах путем интегрирования по частям освободимся от производных граничных функций. Будем иметь:

A_{15} + A_{25} = - \int\limits_{x_0}^{z_0} f \left( x, z_0 \right) \left[ v_3 \,{}_{x} \left( x, x, z_0; M_0 \right) - v_3 \,{}_{y} \left( x, x, z_0; M_0 \right)\right]\, dx -

- \int\limits_{x_0 }^{z_0} f \left( x, a \right) \left[ v_3 \,{}_{x} \left( x, x, a; M_0 \right) - v_3 \,{}_{y} \left( x, x, a; M_0 \right)\right]\, dx +

+ \int\limits_{z_0 }^{a} f \left( x, x \right) \left[ v_5 \,{}_{x} \left( x, x, x; M_0 \right) - v_5 \,{}_{y} \left( x, x, x; M_0 \right)\right]\, dx -

- \int\limits_{z_0 }^{a} f \left( x, a \right) \left[ v_5 \,{}_{x} \left( x, x, a; M_0 \right) - v_5 \,{}_{y} \left( x, x, a; M_0 \right)\right]\, dx +

+ 6 \int\limits_{x_0 }^{z_0} dx \int\limits_{z_0}^{a} f \left( x, z \right) v_3 \,{}_{xz} \left( x, x, z; M_0 \right)\, dz +

+ 6  \int\limits_{z_0 }^{a} dx \int\limits_{x}^{a} f \left( x, z \right) v_5 \,{}_{xz} \left( x, x, z; M_0 \right)\, dz.

Двойные интегралы, поменяв в них порядок интегрирования, можно объединить в один, и учитывая, что:

v_3 \,{}_{x} \left( x, x, z_0; M_0 \right) - v_3 \,{}_{y} \left( x, x, z_0; M_0 \right) \equiv 0,

v_5 \,{}_{x} \left( x, x, x; M_0 \right) - v_5 \,{}_{y} \left( x, x, x; M_0 \right)\equiv 0,

получаем:

A_{15} + A_{25} = \int\limits_{x_0 }^{z_0} f \left( x, a \right) \left[ v_3 \,{}_{x} \left( x, x, a; M_0 \right) - v_3 \,{}_{y} \left( x, x, a; M_0 \right)\right]\, dx{} -{}

{} - \int\limits_{z_0 }^{a} f \left( x, a \right) \left[ v_5 \,{}_{x} \left( x, x, a; M_0 \right) - v_5 \,{}_{y} \left( x, x, a; M_0 \right)\right]\, dx {} +{}

{} +  6  \int\limits_{z_0 }^{a} dz \int\limits_{x_0}^{z} f \left( x, z \right) v_{xz} \left( x, x, z; M_0 \right)\, dx.

Интегралы A10, A20, A24, содержащие функцию g(x,y) и ее производные, преобразуются аналогично, при этом сумма определенных интегралов, возникающих при интегрировании по частям, равна нулю, и мы получим:

A_{10} + A_{20} + A_{24} = 6 \int\limits_{z_0 }^{a} dx \int\limits_{y_0}^{x} g \left( x, y \right) v{}_{yz} \left( x,y, x; M_0 \right)\, dy.

Аналогичное преобразование интегралов, содержащих h(x,y) и ее производные, дает:

A_{4} + A_{8} +A_{14} + A_{19}  =

= 2 h \left( x_0, y_0 \right)+ 2 h \left( z_0, x_0 \right)- 2 h \left( z_0, y_0 \right) - 2 h \left( x_0, x_0 \right)-

{}- \int\limits_{x_0 }^{z_0} h \left( x, x \right) v_3 \,{}_{x} \left( x, x, a; M_0 \right) - \int\limits_{z_0 }^{a} h \left( x, x \right) v_5 \,{}_{x} \left( x, x, a; M_0 \right) +

{}+ 3 \int\limits_{x_0 }^{z_0} h \left( y, y \right) v_3 \,{}_{y} \left( y, y, a; M_0 \right) + 3 \int\limits_{z_0 }^{a} h \left( y, y \right) v_5 \,{}_{y} \left( y, y, a; M_0 \right) +

{}+ 6  \int\limits_{x_0 }^{a} dx \int\limits_{y_0}^{x} h \left( x, y \right) v_{xy} \left( x, y, a; M_0 \right)\, dy.

С учетом того, что h(x, x) = f(x, a), сумма определенных интегралов даст:

6  \int\limits_{x_0 }^{z_0} h \left( y, y \right) v_3 \,{}_{y} \left( y, y, a; M_0 \right)\, dy + 6  \int\limits_{z_0 }^{a} h \left( y, y \right) v_5 \,{}_{y} \left( y, y, a; M_0 \right) \, dy.

Таким образом, из полученного в результате предельного перехода тождества, в левой части которого будет сумма пределов Ak, получаем следующее явное представление искомой функции:

u \left( x_0, y_0, z_0 \right)  =  f \left( x_0, z_0 \right)- g \left( z_0, x_0 \right) + g \left( z_0, y_0 \right) + h \left( x_0, y_0 \right)+ h \left( z_0, x_0 \right) -

{}- h \left( z_0, y_0 \right) - h \left( x_0, x_0 \right) + \int\limits_{x_0 }^{z_0} h \left( y, y \right)  v_3 \,{}_{y} \left( y, y, a; M_0 \right)\, dy +

{}+ \int\limits_{z_0 }^{a} h \left( y, y \right) v_5 \,{}_{y} \left( y, y, a; M_0 \right)\, dy +\int\limits_{x_0 }^{a} dx \int\limits_{y_0}^{x} h \left( x, y \right)  v_{xy} \left( x, y, a; M_0 \right)\, dy +

{}+ \int\limits_{z_0 }^{a} dz \int\limits_{x_0}^{z} f \left( x, z \right) v_{xz} \left( x, x, z; M_0 \right)\, dx +\int\limits_{z_0 }^{a} dx \int\limits_{y_0}^{x} g \left( x, y \right) v_{yz} \left( x, y, x; M_0 \right)\, dy.

Анализ этого представления позволяет сделать вывод о том, что найденная функция удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым ей в формулировке задачи.

Список литературы

  1. Энбом Е.А. Решение краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерной области и его применения. Самарский научный вестник. 2014. № 4(9). С. 145-147.
  2. Энбом Е.А. Некоторые краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерных областях. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Самара. 2003.
  3. Балабаева Н.П. Устойчивость нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением. В сборнике: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды тринадцатой межвузовской конференции. Редколлегия: В.П. Радченко (отв. редактор), Э.Я. Раппопорт, Е.Н. Огородников, М.Н. Саушкин (отв. секретарь). 2005. С. 31-33.
  4. Балабаева Н.П. Устойчивость систем дифференциальных включений по медленным переменным. Наука и мир. 2015. Т.1. № 3 (19). С. 19-21.
  5. Энбом Е.А. Аналог задачи Коши для уравнения третьего порядка. В сборнике: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды тринадцатой межвузовской конференции. Редколлегия: В.П. Радченко (отв. редактор), Э.Я. Раппопорт, Е.Н. Огородников, М.Н. Саушкин (отв. секретарь). 2003. С. 171-173.
  6. Ежов А.М. О функции Вольтерра для уравнения Эйлера-Пуассона и ее применении к решению задачи Коши и характеристической задачи. Краевые задачи для уравнений математической физики. Межвузовский сборник научных трудов. Куйбышев. 1990. С. 19-26.
  7. Балабаева Н.П. Исследование устойчивости дифференциальных включений методом усреднения. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Самара. 2005.
  8. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я., Быстрова О.К., Захаров В.Н. Функция Римана для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерном евклидовом пространстве и их применения. Самара.: Изд-во "Самарский университет", 1995. 76 с.
  9. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1965. 294 с.
  10. Пулькин С.П. Некоторые краевые задачи для уравнения $ u_{xx} + u_{yy} + \frac{p}{x} u_x = 0. $ Ученые записки Куйбышевского педагогического института, 1958. Выпуск 21. С. 3-54.