Решение краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерной области

Данная работа посвящена обоснованию существования и единственности решения краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка гиперболического типа. Уравнение рассматривается в неограниченной трехмерной области специального вида, обладающей определенной конфигурацией. Заметим, что в современной теории краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования именно гиперболических уравнений [1]. Особый интерес к такого рода уравнениям объясняется и теоретической значимостью результатов, и их качественным приложениям в различных областях естествознания. Актуальность постановки и доказательства существования и единственности различных краевых задач обусловлена именно тем, что гиперболические уравнения являются моделями реальных процессов, протекающих в природе и рассматриваемых в технике [2], [3], [4]. Важную роль в изучении различных процессов и явлений играют не только уравнения второго порядка, но и уравнения третьего порядка [5] и порядка выше третьего. В настоящее время разработаны разнообразные методы решения таких задач: метод Римана, метод Римана-Адамара, метод общих и специальных решений и другие [6], [7]. Рассмотрение частных случаев уравнений третьего порядка в трехмерном пространстве представляет определенный интерес с точки зрения построения общей теории.

Постановка задачи

Уравнение

будем рассматривать в области

Задача Дарбу

В области требуется найти функцию u(x,y,z) со следующими свойствами:

1. ;
2. и в ;
3. Искомая функция удовлетворяет граничным условиям:

.

Граничные функции непрерывны и имеют непрерывные смешанные производные второго порядка в области своего определения.

Таким образом, значения искомой функции задаются на одной характеристической плоскости z=a и на двух нехарактеристических плоскостях y=x и z=x.

Построение функции Римана-Адамара

Для решения задачи применен метод Римана-Адамара. Функция Римана для гиперболического уравнения известна [8], она имеет вид:

,

Функция , согласно [9], определяется формулой:

Симметрия рассматриваемого гиперболического уравнения относительно переменных x, y и z позволила построить функцию Римана-Адамара, которая сыграла основную роль при доказательстве существования и единственности поставленной задачи Дарбу.

Идея построения функции Римана-Адамара исходя именно из симметрии уравнения заимствована из работы С.П. Пулькина [10].

Пусть — произвольная точка области . Проведем через нее характеристические плоскости x=x₀, y=y₀, z=z₀, которые вместе с гранями , , образуют две ограниченные области. Мы возьмем ту из них, в которой x>x₀, и обозначим ее через G. Область G представляет собой шестигранник. Проведем плоскости x=x₀, y=y₀, z=z₀. Они разделят область G на пять областей G_k, :

;

;

G₁ — прямоугольный параллелепипед; G₂, G₃, G₄ — прямые треугольные призмы; G₅ — четырехгранник.

В области G определим функцию Римана-Адамара , полагая

Заметим, что функция Римана-Адамара была построена исходя из требования выполнения следующих условий:

.

Решение задачи Дарбу

Для операторов i имеет место тождество:

где

Пусть в этом тождестве u — есть решение задачи Дарбу, а v — функция Римана-Адамара, тогда имеем тождество:

.

Для функции v плоскости x=z₀, y=x₀, y=z₀ являются поверхностями разрыва первого рода. Поэтому для того, чтобы иметь возможность применить теорему Остроградского-Гаусса, проведем плоскости:

, , ,

где достаточно мало. Эти плоскости отделяют от областей G_k поверхности разрыва функции v.

То есть фактически мы отступаем на достаточно малую величину от плоскостей, где функция Римана-Адамара терпит разрыв, и строим вспомогательную область. Области G_k, урезанные выше названными плоскостями, обозначим и положим . Проинтегрируем рассматриваемое тождество по области и применим теорему Остроградского-Гаусса, получим:

где S — граница области , а n_x, n_y, n_z — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S. Так как S состоит из 25 плоских фигур, то полученное после интегрирования тождество можно записать в виде:

где

,

S_k — плоские фигуры, составляющие границу S области . Нумерация S_k произвольная.

Обозначим через A_k пределы при интегралов I_k и вычислим их. Сначала рассмотрим интегралы по граням параллелепипеда и найдем пределы этих интегралов.

Пусть Здесь n_x = n_y = 0, n_z = 1, поэтому

Так как при z = z₀ имеем R=1, R_x = R_y = R_xy = 0, то

.

Или, учитывая граничные условия, получим

Интегралы I₂ и I₃ на гранях параллелепипеда y = y₀ и x = x₀ и их пределы вычисляются аналогично:

На грани z = a:

Так как то

.

Пределы интегралов по граням параллелепипеда и содержат неизвестные значения искомой функции и ее производных.

,

.

.

Теперь вычислим пределы интегралов по граням прямой призмы .

На грани имеем:

.

.

На грани z = a имеем:

На грани y = y₀:

.

Здесь , и легко видеть, что v₂ и ее производные равны нулю при y = y₀, так что:

Пусть

Здесь .

,

.

Так как по определению , то , и поэтому, проецируя S₁₀ на плоскость xOy и переходя к пределу при , получим:

.

Предел интеграла I₁₁ по грани вычисляется как A₆.

.

.

Теперь вычислим интегралы по границе области и их пределы.

Пусть

.

.

На грани S₁₃ области , поэтому

На грани z = a:

.

.

Пусть Здесь Тогда

Проецируя S₁₅ на плоскость xOy, и учитывая, что при x=y, после перехода к пределу получим:

.

На грани

.

.

При вычислении оставшихся девяти интегралов по границам областей и и их пределов, примем во внимание, что равны нулю при z=x, а v₅, v₅, z равны нулю при y=x.

Как показывают вычисления:

.

;

.

;

.

;