Решение краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерной области

Балабаева, Наталья Петровна; Энбом, Екатерина Александровна

Данная работа посвящена обоснованию существования и единственности решения краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка гиперболического типа. Уравнение рассматривается в неограниченной трехмерной области специального вида, обладающей определенной конфигурацией. Заметим, что в современной теории краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования именно гиперболических уравнений [1]. Особый интерес к такого рода уравнениям объясняется и теоретической значимостью результатов, и их качественным приложениям в различных областях естествознания. Актуальность постановки и доказательства существования и единственности различных краевых задач обусловлена именно тем, что гиперболические уравнения являются моделями реальных процессов, протекающих в природе и рассматриваемых в технике [2], [3], [4]. Важную роль в изучении различных процессов и явлений играют не только уравнения второго порядка, но и уравнения третьего порядка [5] и порядка выше третьего. В настоящее время разработаны разнообразные методы решения таких задач: метод Римана, метод Римана-Адамара, метод общих и специальных решений и другие [6], [7]. Рассмотрение частных случаев уравнений третьего порядка в трехмерном пространстве представляет определенный интерес с точки зрения построения общей теории.

Постановка задачи

Уравнение

$L[u] \equiv u_{xyz} - A(x)\cdot A(y)\cdot A(z)\cdot u = 0$

будем рассматривать в области $\Omega = \left\{ (x,y,z): y$

$\alpha_1 : y=x,\; x \leq z \leq a;\quad \alpha_2 : z=x,\; y \leq x \leq a;\quad \alpha_3 : z=a,\; y \leq x \leq a.$

Задача Дарбу. В области $\Omega$ требуется найти функцию u(x,y,z) со следующими свойствами:

$u \in C \left( \overline{\Omega} \right)$ ;
$u_{xyz} \in C \left( \Omega \right)$ и $L[u] \equiv 0$ в $\Omega$ ;
искомая функция удовлетворяет граничным условиям:

$u|_{\alpha_1} = f(x, z), \quad u|_{\alpha_2} = g(x, y), \quad u|_{\alpha_3} = h(x, y)$ .

Граничные функции непрерывны и имеют непрерывные смешанные производные второго порядка в области своего определения.

Таким образом, значения искомой функции задаются на одной характеристической плоскости z=a и на двух нехарактеристических плоскостях y=x и z=x.

Построение функции Римана-Адамара

Для решения задачи применен метод Римана-Адамара. Функция Римана для гиперболического уравнения известна [8], она имеет вид:

$R \left( M, \, M_0 \right) = R \left( x, y, z; x_0, y_0, z_0 \right) = {}_0 F_2 (1, 1; \sigma)$ ,

$\sigma = \int\limits_x^{x_0} A(t)\, dt\, \int\limits_y^{y_0} A(t)\, dt\, \int\limits_z^{z_0} A(t)\, dt.$

Функция ${}_0 F_2 (1, 1; \sigma)$ , согласно [9], определяется формулой:

${}_0 F_2 (1, 1; \sigma)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{\sigma^n}{(n!)^3}.$

Симметрия рассматриваемого гиперболического уравнения относительно переменных x, y и z позволила построить функцию Римана-Адамара, которая сыграла основную роль при доказательстве существования и единственности поставленной задачи Дарбу.

Идея построения функции Римана-Адамара исходя именно из симметрии уравнения заимствована из работы С.П. Пулькина [10].

Пусть $M_0 \left( x_0, y_0, z_0 \right)$ – произвольная точка области $\Omega$ . Проведем через нее характеристические плоскости x=x₀, y=y₀, z=z₀, которые вместе с гранями $\alpha_1$ , $\alpha_2$ , $\alpha_3$ образуют две ограниченные области. Мы возьмем ту из них, в которой x>x₀, и обозначим ее через G. Область G представляет собой шестигранник. Проведем плоскости x=x₀, y=y₀, z=z₀. Они разделят область G на пять областей G_k, $k=\overline{1,5}$ :

$G_1 = \{(x,y,z): x_0 \leq x \leq z_0, y_0 \leq y \leq x_0, z_0 \leq z \leq a\}$ ;

$G_2 = \{ (x,y,z): z_0 \leq x \leq a, y_0 \leq y \leq x_0, x \leq z \leq a \};$

$G_3 = \{ ( x,y,z): x_0 \leq x \leq z_0, z_0 \leq z \leq a, x_0 \leq y \leq x \};$

$G_4 = \{ ( x,y,z): z_0 \leq x \leq a, x_0 \leq y \leq z_0, x \leq z \leq a \}$ ;

$G_5 = \{ ( x,y,z): z_0 \leq x \leq a, z_0 \leq y \leq x, x \leq z \leq a \}.$

G₁ – прямоугольный параллелепипед; G₂, G₃, G₄ – прямые треугольные призмы; G₅ – четырехгранник.

В области G определим функцию Римана-Адамара $v \left( M, M_0 \right)$ , полагая

$v \left( M, M_0 \right) = v_1 =R \left( x, y, z; M_0 \right), \quad ( x,y,z) \in G_1,$

$v \left( M, M_0 \right) = v_2 = R \left( x, y, z; M_0 \right)-R \left( z, y, x; M_0 \right), \quad ( x,y,z) \in G_2,$

$v \left( M, M_0 \right) = v_3 =R \left( x, y, z; M_0 \right)-R \left( y, x, z; M_0 \right), \quad ( x,y,z) \in G_3,$

$v \left( M, M_0 \right) = v_4 = R \left( x, y, z; M_0 \right)-R \left( z, y, x; M_0 \right) - R \left( y, x, z; M_0 \right)+$

$+ R \left( y, z, x; M_0 \right), \quad ( x,y,z) \in G_4,$

$v \left( M, M_0 \right) = v_5 = R \left( x, y, z; M_0 \right)-R \left( z, y, x; M_0 \right) - R \left( y, x, z; M_0 \right)+$

$+R \left( z, x, y; M_0 \right) - R \left( x, z, y; M_0 \right)+R \left( y, z, x; M_0 \right), \quad ( x,y,z) \in G_5.$

Заметим, что функция Римана-Адамара была построена исходя из требования выполнения следующих условий:

$v|_{y=x} \equiv 0, \qquad v|_{z=x} \equiv 0$ .

Решение задачи Дарбу

Для операторов $L[u] $ и $ L^{*}[v]=-v_{xyz}-A(x)\cdot A(y)\cdot A(z)\cdot v$ имеет место тождество:

$v \cdot L[u] - u \cdot L^{*}[v] \equiv \frac{1}{6} \left( P_x + Q_y + H_z \right),$

где

$P = 2vu_{yz} + 2uv_{yz} - v_y u_z - v_z u_y,$

$Q = 2vu_{xz} + 2uv_{xz} - v_x u_z - v_z u_x,$

$H = 2vu_{xy} + 2uv_{xy} - v_x u_y - v_y u_x.$

Пусть в этом тождестве u – есть решение задачи Дарбу, а v – функция Римана-Адамара, тогда имеем тождество:

$P_x + Q_y + H_z = 0$ .

Для функции v плоскости x=z₀, y=x₀, y=z₀ являются поверхностями разрыва первого рода. Поэтому для того, чтобы иметь возможность применить теорему Остроградского-Гаусса, проведем плоскости:

$x=z_0-\varepsilon, \quad x=z_0+\varepsilon, \quad y=x_0-\varepsilon, \quad y=x_0+\varepsilon, \quad y=z_0-\varepsilon, \quad y=z_0+\varepsilon$ ,

где $\varepsilon > 0$ достаточно мало. Эти плоскости отделяют от областей G_k поверхности разрыва функции v.

То есть фактически мы отступаем на достаточно малую величину $\varepsilon > 0$ от плоскостей, где функция Римана-Адамара терпит разрыв, и строим вспомогательную область. Области G_k, урезанные выше названными плоскостями, обозначим $G_{k \varepsilon}$ и положим $G_{\varepsilon} = \bigcup\limits_{k=1}^5 G_{k \varepsilon}$ . Проинтегрируем рассматриваемое тождество по области $G_{\varepsilon}$ и применим теорему Остроградского-Гаусса, получим:

$\int\limits_S\!\!\!\int \left( P n_x + Q n_y + H n_z \right) \, dS = 0,$

где S – граница области $G_{\varepsilon}$ , а n_x, n_y, n_z – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S. Так как S состоит из 25 плоских фигур, то полученное после интегрирования тождество можно записать в виде:

$\sum\limits_{k=1}^{25} I_k = 0,$

где

$I_k = \int\limits_{S_k}\!\!\!\int \left( P n_x + Q n_y + H n_z \right) \, dS$ ,

S_k – плоские фигуры, составляющие границу S области $G_{\varepsilon}$ . Нумерация S_k произвольная.

Обозначим через A_k пределы при $\varepsilon \to 0$ интегралов I_k и вычислим их. Сначала рассмотрим интегралы по граням параллелепипеда $G_{1\varepsilon}$ и найдем пределы этих интегралов.

Пусть $S_1: \; z=z_0, \;\; x_0 \leq x \leq z_0 - \varepsilon, \;\; y_0 \leq y \leq x_0 - \varepsilon.$ Здесь n_x = n_y = 0, n_z = 1, поэтому

$I_1 = - \int\limits_{S_1}\!\!\!\int H \, dS = - \int\limits_{x_0}^{z_0-\varepsilon} dx \int\limits_{y_0}^{x_0-\varepsilon} H \left( x, y, z_0; M_0 \right) \, dy;$

$A_1 = \lim\limits_{\varepsilon \to 0} I_1 = - \int\limits_{x_0}^{z_0} dx \int\limits_{y_0}^{x_0} H \left( x, y, z_0; M_0 \right) \, dy.$

Так как при z = z₀ имеем R=1, R_x = R_y = R_xy = 0, то

$A_1 = -2 \int\limits_{x_0}^{z_0} dx \int\limits_{y_0}^{x_0} u_{xy} \left( x, y, z_0 \right) \, dy = -2 u \left( x_0, y_0, z_0 \right) - 2 u \left( z_0, x_0, z_0 \right)+$

$+ 2 u \left( x_0, x_0, z_0 \right) +2 u \left( z_0, y_0, z_0 \right)$ .

Или, учитывая граничные условия, получим

$A_1 = -2 u \left( x_0, y_0, z_0 \right) - 2 g \left( z_0, x_0 \right)+ 2 g \left( z_0, y_0 \right) +2 f \left( x_0, z_0 \right).$

Интегралы I₂ и I₃ на гранях параллелепипеда y = y₀ и x = x₀ и их пределы вычисляются аналогично:

$A_2 = -2 u \left( x_0, y_0, z_0 \right) - 2 h \left( z_0, y_0 \right)+ 2 h \left( x_0, y_0 \right) +2 g \left( z_0, y_0 \right),$

$A_3 = -2 u \left( x_0, y_0, z_0 \right) + 2 f \left( x_0, z_0 \right)+ 2 h \left( x_0, y_0 \right) -2 h \left( x_0, x_0 \right).$

На грани z = a:

$I_4 = \int\limits_{S_4}\!\!\!\int H \, dS = \int\limits_{x_0}^{z_0-\varepsilon} dx \int\limits_{y_0}^{x_0-\varepsilon} H \left( x, y, a; M_0 \right) \, dy.$

Так как $u \left( x, y, a \right) = h \left( x, y \right),$ то

$A_4 = \int\limits_{x_0}^{z_0} dx \int\limits_{y_0}^{x_0} \left[\right. 2R \left( x, y, a; M_0 \right) h_{xy} \left( x, y \right) + 2 h \left( x, y \right) R_{xy} \left( x, y, a; M_0 \right) -$

$- R_x \left( x, y, a; M_0 \right) h_y \left( x, y \right) - R_y \left( x, y, a; M_0 \right) h_x \left( x, y \right) \left.\right] \, dy$ .

Пределы интегралов по граням параллелепипеда $x = z_0 - \varepsilon$ и $y = x_0 - \varepsilon$ содержат неизвестные значения искомой функции и ее производных.

$A_5 = \int\limits_{y_0}^{x_0}\!\! dy \!\!\int\limits_{z_0}^{a} \left[ 2R \left( z_0, y, z; M_0 \right)u_{yz} \left( z_0, y, z \right)$ $+ 2 u \left( z_0, y, z \right) R_{yz} \left( z_0, y, z; M_0 \right)\! -\right$ .

$- R_y \left( z_0, y, z; M_0 \right) u_z \left( z_0, y, z \right) - R_z \left( z_0, y, z; M_0 \right) u_y \left( z_0, y, z \right) \left. \right] \, dz$ ,

$A_6 = \int\limits_{x_0}^{z_0}\!\! dx\!\! \int\limits_{z_0}^{a} \left[ 2R \left( x, x_0, z; M_0 \right)u_{xz} \left( x, x_0, z \right)$ $+ 2 u \left( x, x_0, z \right) R_{xz} \left( x, x_0, z; M_0 \right) \!- \right$ .

$- R_x \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_z \left( x, x_0, z \right) - R_z \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_x \left( x, x_0, z \right) \left. \right] \, dz$ .

Теперь вычислим пределы интегралов по граням прямой призмы $G_{2 \varepsilon}$ .

На грани $x = z_0 + \varepsilon$ имеем:

$I_7 = - \int\limits_{y_0}^{x_0-\varepsilon} dy \int\limits_{z_0}^{a} P \left( z_0 + \varepsilon, y, z; M_0 \right) \, dz,$

$A_7 = - \int\limits_{y_0}^{x_0}\!\! dy\!\! \int\limits_{z_0}^{a} \left[ 2 v_2 \left( z_0, y, z; M_0 \right)u_{yz} \left( z_0, y, z \right)$ $+ 2 u \left( z_0, y, z \right) v_2 \,{}_{yz} \left( z_0, y, z; M_0 \right)\! - \right$ .

$- v_2 \,{}_y \left( z_0, y, z; M_0 \right) u_z \left( z_0, y, z \right) - v_2 \,{}_z \left( z_0, y, z; M_0 \right) u_y \left( z_0, y, z \right) \left. \right] \, dz$ .

На грани z = a имеем:

$I_8 = \int\limits_{z_0+\varepsilon}^{a} dx \int\limits_{y_0}^{x_0-\varepsilon} H \left( x, y, a; M_0 \right) \, dy,$

$A_8 = \int\limits_{z_0 }^{a} dx \int\limits_{y_0}^{x_0} \left[ \right. 2 v_2 \left( x, y, a; M_0 \right) h_{xz} \left( x, y \right) + 2 h \left( x, y \right) v_2 \,{}_{xz} \left( x, y, a; M_0 \right) -$

$- v_2 \,{}_x \left( x, y, a; M_0 \right) h_y \left( x, y \right) - v_2 \,{}_y \left( x, y, a; M_0 \right) h_x \left( x, y \right) \left.\right] \, dz.$

На грани y = y₀:

$I_9 = - \int\limits_{z_0+\varepsilon}^{a} \!\! dx \!\! \int\limits_{x}^{a} \left[ 2 v_2 \left( x, y_0, z; M_0 \right) u_{xz} \left( x, y_0, z \right)$ $+ 2 u \left( x, y_0, z \right) v_2 \,{}_{xz} \left( x, y_0, z; M_0 \right)\! - \right$ .

$- v_2 \,{}_x \left( x, y_0, z; M_0 \right) u_z \left( x, y_0, z \right) - v_2 \,{}_z \left( x, y_0, z; M_0 \right) u_x \left( x, y_0, z \right) \left. \right] \, dz.$

Здесь $v_2 = R \left( x, y, z; M_0 \right) - R \left( z, y, x; M_0 \right)$ , и легко видеть, что v₂ и ее производные $v_2 \,{}_x, \; v_2 \,{}_z, \; v_2 \,{}_{xz}$ равны нулю при y = y₀, так что:

$I_9 = 0, \quad A_9 = 0.$

Пусть $S_{10}: \; z=x, \;\; z_0 + \varepsilon \leq x \leq a, \;\; y_0 \leq y \leq x_0 - \varepsilon.$ Здесь $n_x = \frac{1}{\sqrt{2}},\; n_y = 0, \; n_z = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$I_{10} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int\limits_{S_{10}}\!\!\!\int \left( P - H \right) \, dS = \frac{1}{\sqrt{2}} \int\limits_{S_{10}}\!\!\!\int \left[ 2 v_2 \left( u_{yz} - u_{xy} \right)+ \right$ .

$\left.{} + 2 u \left( v_2\,{}_{yz} - v_2\,{}_{xy} \right) - v_2 \,{}_y \left( u_{z} - u_{x} \right)- u_y \left( v_2\,{}_{z} - v_2\,{}_{x} \right) \right] \, dS$ .

Так как по определению $v_2|_{z=x} \equiv 0$ , то $v_2\,{}_y|_{z=x} \equiv 0$ , и поэтому, проецируя S₁₀ на плоскость xOy и переходя к пределу при $\varepsilon \to 0$ , получим:

$A_{10} = \int\limits_{z_0 }^{a} dx \int\limits_{y_0}^{x_0} \left[ 2 g \left( x, y \right) \Bigl( v_2 \,{}_{yz} \left( x, y, x; M_0 \right) - v_2 \,{}_{xy} \left( x, y, x; M_0 \right) \Bigr) - \right.$

$\left.{} - g_y \left( x, y \right) \Bigl( v_2 \,{}_{z} \left( x, y, x; M_0 \right) - v_2 \,{}_{x} \left( x, y, x; M_0 \right)\Bigr) \right] \,dy$ .

Предел интеграла I₁₁ по грани $y=x_0 - \varepsilon$ вычисляется как A₆.

$A_{11} = \int\limits_{z_0}^{a}\!\! dx\!\! \int\limits_{x}^{a} \left[ 2 v_2 \left( x, x_0, z; M_0 \right)u_{xz} \left( x, x_0, z \right)$ $+ 2 u \left( x, x_0, z \right) v_2 \,{}_{xz} \left( x, x_0, z; M_0 \right)\! - \right$ .

$\left.{} - v_2 \,{}_x \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_z \left( x, x_0, z \right) - v_2 \,{}_z \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_x \left( x, x_0, z \right) \right] \, dz$ .

Теперь вычислим интегралы по границе области $G_3 {}_\varepsilon$ и их пределы.

Пусть $S_{12}: \; y=x_0 + \varepsilon, \;\; x_0 + \varepsilon \leq x \leq z_0 - \varepsilon, \;\; z_0 \leq z \leq a.$

$I_{12} = - \int\limits_{x_0+\varepsilon}^{z_0 - \varepsilon} dx \int\limits_{z_0}^{a} Q \left( x, x_0+\varepsilon, z; M_0 \right) \, dz,$

$A_{12} = -\!\! \int\limits_{x_0}^{z_0} \!\! dx \!\! \int\limits_{z_0}^{a} \!\! \left[ 2 v_3 \! \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_{xz} \! \left( x, x_0, z \right)$ $+ 2 u \! \left( x, x_0, z \right) v_3 \,{}_{xz} \! \left( x, x_0, z; M_0 \right)\! - \right$ .

$\left.{} - v_3 \,{}_x \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_z \left( x, x_0, z \right) - v_3 \,{}_z \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_x \left( x, x_0, z \right) \right] \, dz$ .

На грани S₁₃ области $G_3:\; v_3 = v_3 \,{}_{x} = v_3 \,{}_{y} = v_3 \,{}_{xy} \equiv 0$ , поэтому

$A_{13} = 0.$

На грани z = a:

$I_{14} = \int\limits_{x_0+\varepsilon}^{z_0 - \varepsilon} dx\int\limits_{x_0+\varepsilon}^{x} H \left( x, y, a; M_0 \right) \, dy,$

$A_{14} = \int\limits_{x_0}^{z_0} \! dx \! \int\limits_{x_0}^{x} \! \left[ 2 v_3 \left( x, y, a; M_0 \right) h_{xy} \left( x, y \right)$ $+ 2 h \left( x, y \right) v_3 \,{}_{xy} \left( x, y, a; M_0 \right) - \right$ .

$\left.{} - v_3 \,{}_x \left( x, y, a; M_0 \right) h_y \left( x, y \right) - v_3 \,{}_y \left( x, y, a; M_0 \right) h_x \left( x, y \right) \right] \, dy$ .

Пусть $S_{15}: \; y=x, \;\; x_0 + \varepsilon \leq x \leq z_0 - \varepsilon, \;\; z_0 \leq z \leq a.$ Здесь $n_x = - \frac{1}{\sqrt{2}},\; n_y = \frac{1}{\sqrt{2}}, \; n_z = 0.$ Тогда

$I_{15} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int\limits_{S_{15}}\!\!\!\int \left( Q - P \right) \, dS.$

Проецируя S₁₅ на плоскость xOy, и учитывая, что $v_3 = v_3 \,{}_z \equiv 0$ при x=y, после перехода к пределу получим:

$A_{15} = \int\limits_{x_0 }^{z_0} dx \int\limits_{z_0}^{a} \left[ 2 f \left( x, z \right) \Bigl( v_3 \,{}_{xz} \left( x, x, z; M_0 \right) - v_3 \,{}_{yz} \left( x, x, z; M_0 \right) \Bigr) - \right.$

$\left.{} - f_z \left( x, z \right) \Bigl( v_3 \,{}_{x} \left( x, x, z; M_0 \right) - v_3 \,{}_{y} \left( x, x, z; M_0 \right)\Bigr) \right] \,dz$ .

На грани $x = z_0 - \varepsilon:$

$I_{16} = \int\limits_{x_0+\varepsilon}^{z_0 - \varepsilon} dy\int\limits_{z_0}^{a} P \left( z_0-\varepsilon, y, z; M_0 \right) \, dz,$

$A_{16} = \int\limits_{x_0}^{z_0} \!\! dy \!\! \int\limits_{z_0}^{a} \!\! \left[ 2 v_3 \! \left( z_0, y, z; M_0 \right) u_{yz} \! \left( z_0, y, z \right)$ $+ 2 u \! \left( z_0, y, z \right) v_3 \,{}_{yz} \! \left( z_0, y, z; M_0 \right)\! - \right$ .

$\left.{} - v_3 \,{}_y \left( z_0, y, z; M_0 \right) u_z \left( z_0, y, z \right) - v_3 \,{}_z \left( z_0, y, z; M_0 \right) u_y \left( z_0, y, z \right) \right] \, dz$ .

При вычислении оставшихся девяти интегралов по границам областей $G_4 \,{}_{\varepsilon}$ и $G_5 \,{}_{\varepsilon}$ и их пределов, примем во внимание, что $v_4, \,v_5, \,v_4 \,{}_y, \, v_5 \,{}_y$ равны нулю при z=x, а v₅, v₅, z равны нулю при y=x.

Как показывают вычисления:

$A_{17} = -\!\! \int\limits_{x_0}^{z_0} \! dy \! \int\limits_{z_0}^{a} \! \left[ 2 v_4 \! \left( z_0, y, z; M_0 \right) u_{yz} \! \left( z_0, y, z \right)$ .

$+ 2 u \! \left( z_0, y, z \right) v_4 \,{}_{yz} \! \left( z_0, y, z; M_0 \right)\! - \right$

$\left.{} - v_4 \,{}_y \left( z_0, y, z; M_0 \right) u_z \left( z_0, y, z \right) - v_4 \,{}_z \left( z_0, y, z; M_0 \right) u_y \left( z_0, y, z \right) \right] \, dz$ ;

$A_{18} = -\!\! \int\limits_{z_0}^{a} \! dy \!\! \int\limits_{x}^{a} \! \left[ 2 v_4 \! \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_{xz} \! \left( x, x_0, z \right)$ $+ 2 u \! \left( x, x_0, z \right) v_4 \,{}_{xz} \! \left( x, x_0, z; M_0 \right)\! - \right$ .

$\left.{} - v_4 \,{}_x \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_z \left( x, x_0, z \right) - v_4 \,{}_z \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_x \left( x, x_0, z \right) \right] \, dz$ ;

$A_{19} = -\!\! \int\limits_{z_0}^{a} \! dx \! \int\limits_{x_0}^{z_0} \! \left[ 2 v_4 \left( x, y, a; M_0 \right) h_{xy} \left( x, y \right)$ $+ 2 h \left( x, y \right) v_4 \,{}_{xy} \left( x, y, a; M_0 \right) - \right$ .

$\left.{} - v_4 \,{}_x \left( x, y, a; M_0 \right) h_y \left( x, y \right) - v_4 \,{}_y \left( x, y, a; M_0 \right) h_x \left( x, y \right) \right] \, dy$ ;

$A_{20} = \int\limits_{z_0 }^{a} dx \int\limits_{x_0}^{z_0} \left[ 2 g \left( x, y \right) \Bigl( v_4 \,{}_{yz} \left( x, y, x; M_0 \right) - v_4 \,{}_{xy} \left( x, y, x; M_0 \right) \Bigr) - \right.$

$\left.{} - g_y \left( x, y \right) \Bigl( v_4 \,{}_{z} \left( x, y, x; M_0 \right) - v_4 \,{}_{x} \left( x, y, x; M_0 \right)\Bigr) \right] \,dy$ ;

$A_{21} = \int\limits_{z_0}^{a}\!\! dx\!\! \int\limits_{x}^{a} \left[ 2 v_4 \left( x, z_0, z; M_0 \right)u_{xz} \left( x, z_0, z \right)$ $+ 2 u \left( x, z_0, z \right) v_4 \,{}_{xz} \left( x, z_0, z; M_0 \right)\! - \right$ .

$\left.{} - v_4 \,{}_x \left( x, z_0, z; M_0 \right) u_z \left( x, z_0, z \right) - v_4 \,{}_z \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_x \left( x, x_0, z \right) \right] \, dz$ ;

$A_{22} = -\!\! \int\limits_{z_0}^{a}\!\! dx\!\! \int\limits_{x}^{a} \left[ 2 v_5 \left( x, z_0, z; M_0 \right)u_{xz} \left( x, z_0, z \right)$ $+ 2 u \left( x, z_0, z \right) v_5 \,{}_{xz} \left( x, z_0, z; M_0 \right)\! - \right$ .

$\left.{} - v_5 \,{}_x \left( x, z_0, z; M_0 \right) u_z \left( x, z_0, z \right) - v_5 \,{}_z \left( x, x_0, z; M_0 \right) u_x \left( x, x_0, z \right) \right] \, dz$ ;

$A_{23} = \int\limits_{z_0}^{a} \! dx \! \int\limits_{z_0}^{x} \! \left[ 2 v_5 \left( x, y, a; M_0 \right) h_{xy} \left( x, y \right)$ $+ 2 h \left( x, y \right) v_5 \,{}_{xy} \left( x, y, a; M_0 \right) - \right$ .

$\left.{} - v_5 \,{}_x \left( x, y, a; M_0 \right) h_y \left( x, y \right) - v_5 \,{}_y \left( x, y, a; M_0 \right) h_x \left( x, y \right) \right] \, dy$ ;

$A_{24} = \int\limits_{z_0 }^{a} dx \int\limits_{z_0}^{x} \left[ 2 g \left( x, y \right) \Bigl( v_5 \,{}_{yz} \left( x, y, x; M_0 \right) - v_5 \,{}_{xy} \left( x, y, x; M_0 \right) \Bigr) - \right.$

$\left.{} - g_y \left( x, y \right) \Bigl( v_5 \,{}_{z} \left( x, y, x; M_0 \right) - v_5 \,{}_{x} \left( x, y, x; M_0 \right)\Bigr) \right] \,dy$ ;

$A_{25} = \int\limits_{z_0 }^{a} dx \int\limits_{x}^{a} \left[ 2 f \left( x, z \right) \Bigl( v_5 \,{}_{xz} \left( x, x, z; M_0 \right) - v_5 \,{}_{yz} \left( x, x, z; M_0 \right) \Bigr) - \right.$

$\left.{} - f_z \left( x, z \right) \Bigl( v_5 \,{}_{x} \left( x, x, z; M_0 \right) - v_5 \,{}_{y} \left( x, x, z; M_0 \right)\Bigr) \right] \,dz$ .

Интегралы A_k по граням x = z₀, y = x₀, z = z₀, расположенным внутри области G , содержат неизвестную функцию $u \left( x, y, z \right)$ и ее производные. Преобразуем эти интегралы, рассматривая их попарно.

$A_5 + A_7 = -\!\! \int\limits_{y_0}^{x_0}\!\! dy \!\!\int\limits_{z_0}^{a} \Bigl\{ 2 \left[ v_2 \left( z_0, y, z; M_0 \right)$ $- R \left( z_0, y, z; M_0 \right)\right] u_{yz} \left( z_0, y, z \right) + \Bigr$ .

$+ 2 u \left( z_0, y, z \right) \left[ v_2 \,{}_{yz} \left( z_0, y, z; M_0 \right) - R_{yz} \left( z_0, y, z; M_0 \right)\right] -$

$- u_z \left( z_0, y, z \right) \left[v_2 \,{}_y \left( z_0, y, z; M_0 \right) - R_y \left( z_0, y, z; M_0 \right) \right] -$

$- u_y \left( z_0, y, z \right)\left[v_2 \,{}_z \left( z_0, y, z; M_0 \right) - R_z \left( z_0, y, z; M_0 \right)\right] \Bigr\}\, dz$ .

Разность $v_2 - R = {}- R \left( z, y, z; M_0 \right)$ , и так как $R \left( z, y, z; M_0 \right)=1$ , то $v_2 - R = - 1$ при x=z₀.

Все остальные квадратные скобки равны нулю, поэтому:

$A_5 + A_7 = 2 \int\limits_{y_0}^{x_0} dy \int\limits_{z_0}^{a} u_{yz} \left( z_0, y, z \right)\, dz =$

${} = 2 \left[ u \left( z_0, x_0, a \right) - u \left( z_0, y_0, a \right) - u \left( z_0, x_0, z_0 \right) + u \left( z_0, y_0, z_0 \right) \left. \right] =$

${} = 2 h \left( z_0, x_0 \right)-2 h \left( z_0, y_0 \right)- 2 g \left( z_0, x_0 \right) + 2 g \left( z_0, y_0 \right).$

Аналогично показывается, что

$A_6 + A_{12} = 2 h \left( z_0, x_0 \right)-2 h \left( x_0, x_0 \right)- 2 g \left( z_0, x_0 \right) + 2 f \left( x_0, z_0 \right),$

$A_{11} + A_{18} = 0, \quad A_{16} + A_{17} = 0, \quad A_{21} + A_{22} = 0.$

В оставшихся десяти двойных интегралах путем интегрирования по частям освободимся от производных граничных функций. Будем иметь:

$A_{15} + A_{25} = - \int\limits_{x_0}^{z_0} f \left( x, z_0 \right) \left[ v_3 \,{}_{x} \left( x, x, z_0; M_0 \right) - v_3 \,{}_{y} \left( x, x, z_0; M_0 \right)\right]\, dx -$

$- \int\limits_{x_0 }^{z_0} f \left( x, a \right) \left[ v_3 \,{}_{x} \left( x, x, a; M_0 \right) - v_3 \,{}_{y} \left( x, x, a; M_0 \right)\right]\, dx +$

$+ \int\limits_{z_0 }^{a} f \left( x, x \right) \left[ v_5 \,{}_{x} \left( x, x, x; M_0 \right) - v_5 \,{}_{y} \left( x, x, x; M_0 \right)\right]\, dx -$

$- \int\limits_{z_0 }^{a} f \left( x, a \right) \left[ v_5 \,{}_{x} \left( x, x, a; M_0 \right) - v_5 \,{}_{y} \left( x, x, a; M_0 \right)\right]\, dx +$

$+ 6 \int\limits_{x_0 }^{z_0} dx \int\limits_{z_0}^{a} f \left( x, z \right) v_3 \,{}_{xz} \left( x, x, z; M_0 \right)\, dz +$

$+ 6 \int\limits_{z_0 }^{a} dx \int\limits_{x}^{a} f \left( x, z \right) v_5 \,{}_{xz} \left( x, x, z; M_0 \right)\, dz.$

Двойные интегралы, поменяв в них порядок интегрирования, можно объединить в один, и учитывая, что:

$v_3 \,{}_{x} \left( x, x, z_0; M_0 \right) - v_3 \,{}_{y} \left( x, x, z_0; M_0 \right) \equiv 0,$

$v_5 \,{}_{x} \left( x, x, x; M_0 \right) - v_5 \,{}_{y} \left( x, x, x; M_0 \right)\equiv 0,$

получаем:

$A_{15} + A_{25} = \int\limits_{x_0 }^{z_0} f \left( x, a \right) \left[ v_3 \,{}_{x} \left( x, x, a; M_0 \right) - v_3 \,{}_{y} \left( x, x, a; M_0 \right)\right]\, dx{} -{}$

${} - \int\limits_{z_0 }^{a} f \left( x, a \right) \left[ v_5 \,{}_{x} \left( x, x, a; M_0 \right) - v_5 \,{}_{y} \left( x, x, a; M_0 \right)\right]\, dx {} +{}$

${} + 6 \int\limits_{z_0 }^{a} dz \int\limits_{x_0}^{z} f \left( x, z \right) v_{xz} \left( x, x, z; M_0 \right)\, dx.$

Интегралы A₁₀, A₂₀, A₂₄, содержащие функцию g(x,y) и ее производные, преобразуются аналогично, при этом сумма определенных интегралов, возникающих при интегрировании по частям, равна нулю, и мы получим:

$A_{10} + A_{20} + A_{24} = 6 \int\limits_{z_0 }^{a} dx \int\limits_{y_0}^{x} g \left( x, y \right) v{}_{yz} \left( x,y, x; M_0 \right)\, dy$ .

Аналогичное преобразование интегралов, содержащих h(x,y) и ее производные, дает:

$A_{4} + A_{8} +A_{14} + A_{19} =$

$= 2 h \left( x_0, y_0 \right)+ 2 h \left( z_0, x_0 \right)- 2 h \left( z_0, y_0 \right) - 2 h \left( x_0, x_0 \right)-$

${}- \int\limits_{x_0 }^{z_0} h \left( x, x \right) v_3 \,{}_{x} \left( x, x, a; M_0 \right) - \int\limits_{z_0 }^{a} h \left( x, x \right) v_5 \,{}_{x} \left( x, x, a; M_0 \right) +$

${}+ 3 \int\limits_{x_0 }^{z_0} h \left( y, y \right) v_3 \,{}_{y} \left( y, y, a; M_0 \right) + 3 \int\limits_{z_0 }^{a} h \left( y, y \right) v_5 \,{}_{y} \left( y, y, a; M_0 \right) +$

${}+ 6 \int\limits_{x_0 }^{a} dx \int\limits_{y_0}^{x} h \left( x, y \right) v_{xy} \left( x, y, a; M_0 \right)\, dy.$

С учетом того, что h(x, x) = f(x, a), сумма определенных интегралов даст:

$6 \int\limits_{x_0 }^{z_0} h \left( y, y \right) v_3 \,{}_{y} \left( y, y, a; M_0 \right)\, dy + 6 \int\limits_{z_0 }^{a} h \left( y, y \right) v_5 \,{}_{y} \left( y, y, a; M_0 \right) \, dy.$

Таким образом, из полученного в результате предельного перехода тождества, в левой части которого будет сумма пределов A_k, получаем следующее явное представление искомой функции:

$u \left( x_0, y_0, z_0 \right) = f \left( x_0, z_0 \right)- g \left( z_0, x_0 \right) + g \left( z_0, y_0 \right) + h \left( x_0, y_0 \right)+ h \left( z_0, x_0 \right) -$

${}- h \left( z_0, y_0 \right) - h \left( x_0, x_0 \right) + \int\limits_{x_0 }^{z_0} h \left( y, y \right) v_3 \,{}_{y} \left( y, y, a; M_0 \right)\, dy +$

${}+ \int\limits_{z_0 }^{a} h \left( y, y \right) v_5 \,{}_{y} \left( y, y, a; M_0 \right)\, dy +$ $\int\limits_{x_0 }^{a} dx \int\limits_{y_0}^{x} h \left( x, y \right) v_{xy} \left( x, y, a; M_0 \right)\, dy +$

${}+ \int\limits_{z_0 }^{a} dz \int\limits_{x_0}^{z} f \left( x, z \right) v_{xz} \left( x, x, z; M_0 \right)\, dx +$ $\int\limits_{z_0 }^{a} dx \int\limits_{y_0}^{x} g \left( x, y \right) v_{yz} \left( x, y, x; M_0 \right)\, dy$ .

Анализ этого представления позволяет сделать вывод о том, что найденная функция удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым ей в формулировке задачи.

Решение краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерной области

Физико-математические науки

Похожие материалы

Постановка задачи

Построение функции Римана-Адамара

Решение задачи Дарбу

Список литературы

Завершение формирования электронного архива по направлению «Науки о Земле и энергетика»

Создание электронного архива по направлению «Науки о Земле и энергетика»