О классификации почти контактных метрических структур на распределениях с внутренней симплектической связностью

NovaInfo 94, с.1-5, скачать PDF
Опубликовано
Раздел: Физико-математические науки
Язык: Русский
Просмотров за месяц: 2
CC BY-NC

Аннотация

На распределении контактной структуры с помощью внутренней симплектической связности определяется (продолженная) почти контактная метрическая структура. Находятся условия, при которых продолженная структура принадлежит заданному классу почти контактных метрических структур.

Ключевые слова

ВНУТРЕННЯЯ СВЯЗНОСТЬ, ПОЧТИ КОНТАКТНАЯ МЕТРИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА

Текст научной работы

Введение

В работе [11] получены инвариантные характеристики классов Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур, определяемых на касательных расслоений почти симплектических многообразий. В работе [5] рассматривается нечетный аналог касательного расслоения почти симплектического многообразия — распределение контактной структуры. На распределении контактной структуры с помощью внутренней симплектической связности определяется почти контактная метрическая структура. Изучаются простейшие свойства полученной структуры. Настоящая работа является продолжением работы [5]. Используя классификацию Д. Чинья и С. Гонзалез [9], мы выделяем класс почти контактных метрических пространств, характеризующийся тождеством

(\nabla_{\vec{x}}\Omega)(\vec{y},\vec{z})=-\eta(\vec{x})(\nabla_{\vec{\xi}}\Omega)(\vec{y},\vec{z}).

Находятся условия, при которых продолженная структура принадлежит заданному классу.

Внутренняя симплектическая связность на многообразии с контактной структурой

Рассматривается гладкое многообразие M нечетной размерности n=2m+1 с заданной на нем контактной структурой (M, \vec{\xi}, \eta, D), где \eta и \vec{\xi} 1-форма и векторное поле, порождающие, соответственно, распределения D и D^{\bot} таким образом, чтобы выполнялось равенство TM=D\oplus D^{\bot}. При этом выполняется равенство: rk(\omega)=2m, где \omega=d\eta. Многообразие M будем называть контактным многообразием.

Пусть \nabla [1-4] внутренняя линейная связность на многообразии M, т.е. отображение \nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D), удовлетворяющее следующим условиям:

  1. \nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}};
  2. \nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y};
  3. \nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z}.

где \Gamma(D) — модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению D).

Карту K(x^{\alpha})(\alpha,\beta,\gamma=1,…,n; a,b,c=1,…,2m; i,j,k=1,…,2n-1) многообразия M называется адаптированной к распределению D, если \partial_n=\vec{\xi} [6]. Пусть P:TM\rightarrow D — проектор, определяемый разложением TM=D\oplus D^{\bot}, и K(x^{\alpha}) — адаптированная карта. Векторные поля P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n} линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение D: D=Span(\vec{e}_{a}).

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения \nabla_{\vec{e}_a}\vec{e}_b=\Gamma^c_{ab}\vec{e}_c. Из равенств \vec{e}_{a}=A^{a`}_a\vec{e}_{a`}, где A^a_{a`}=\frac{\partial x^a}{\partial x^{a`}}, обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов внутренней связности:

\Gamma^c_{ab}=A^{a`}_a A^{b`}_b A^c_{c`}\Gamma^{c`}_{a`b`}+A^c_{c`}\vec{e}_{a}A^{c`}_b.

Кручением и кривизной внутренней связности назовем, соответственно, допустимые тензорные поля [6, 7]:

S(\vec{x},\vec{y})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}],

R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}],

где Q=1-P, \vec{x},\vec{y},\vec{z} \in \Gamma(D). Тензор R(\vec{x},\vec{y})\vec{z} будем называть тензором кривизны контактного многообразия.

Известно [8], что на контактном многообразии существует внутренняя симплектическая связность без кручения, сохраняющая 2-форму \omega. Такую связность будем называть внутренней симплектической связностью. Внутренних симплектических связностей бесконечно много. Зафиксируем одну из них и обозначим ее коэффициенты \Gamma^b_{ac}.

Продолженные почти контактные метрические структуры на распределениях контактных многообразий с внутренней симплектической связностью

Распределение D контактного многообразия является гладким многообразием размерности 2n-1. Векторные поля

(\vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-\Gamma^{b}_{ac}x^{n+c}\partial_{n+b},\partial_{n},\partial_{n+a})=(A_i)

определяют [10, 12] на распределении D неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы

(dx^a,\Theta^{n}=dx^{a}+\Gamma^{n}_{a}dx^{a},\Theta^{n+a}=dx^{n+a}+\Gamma^a_{bc}x^{n+c}dx^b)

соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\vec{\varepsilon}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_n+x^{n+d}R^{c}_{bad}\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\partial_n]=x^{n+d}\partial_n\Gamma^c_{ad}\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\partial_{n+b}]=\Gamma^{c}_{ab}\partial_{n+c},

где R^c_{bad} — компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах [12]:

R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]c}+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c}.

Имеет место

Предложение 1. [12]. Пусть \nabla — внутренняя симплектическая связность с тензором кривизны Схоутена R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}. Тогда для всех \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D) и \vec{p}\in D имеют место следующие равенства

[\vec{x}^{h},\vec{y}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{y}]^{h}-\left\{R(\vec{x},\vec{y})\vec{p}\right\}^{v}, (1)

[\vec{x}^{h},\vec{\xi}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{\xi}]^{h}+\left\{P(\vec{x},\vec{p})\right\}^{v}, (2)

[\vec{x}^{h},\vec{y}^{v}]=(\nabla_{\vec{x}}\vec{y})^{v}, (3)

[\vec{x}^{v},\vec{\xi}^{h}]=[\vec{x},\vec{\xi}]^{v}. (4)

Определим на многообразии D почти контактную метрическую структуру (\tilde{D},J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_*,D), полагая:

J\vec{x}^h=\vec{x}^v, J\vec{x}^v=-\vec{x}^h,

g=\omega_{ab}dx^a\otimes \theta^{n+b}-\omega_{ab}\theta^{n+a}\otimes dx^b+\theta^n\otimes\theta^n.

Предложение 2. Пусть \tilde{\nabla} — связность Леви-Чивита на почти контактном метрическом многообразии D, тогда ее ненулевые коэффициенты \tilde{\Gamma}^{i}_{jk} в адаптированных координатах получают следующее представление:

\tilde{\Gamma}^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab},

\tilde{\Gamma}^{n+c}_{ab}=\omega^{ce}(R^{d}_{ab}\omega_{de}+ R^{d}_{ea}\omega_{db}+ R^{d}_{eb}\omega_{da}),

\tilde{\Gamma}^{n}_{ab}=\omega_{ba},

\tilde{\Gamma}^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^{c}_{ab},

Здесь R^{d}_{ab}= R^{d}_{abc}x^{n+c}.

При доказательстве предложения 2 используются равенства (1)-(4), а также выражения для коэффициентов связности:

2\Gamma^{m}_{ij}=g^{km}(A_{i}g_{jk}+A_{j}g_{ik}-A_{k}g_{ij}+\Omega^{l}_{kj}g_{li}+\Omega^{l}_{ki}g_{lj})+\Omega^{m}_{ij},

где \Omega^n_{ab}=2\omega_{ba}, \Omega^{n+c}_{ab}=R^{c}_{bad}x^{n+d}, \Omega^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^{c}_{ab}, \Omega^{n+c}_{an}=\partial_{n}\Gamma^c_{ab}x^{n+b}.

Говорят, что почти контактная метрическая структура принадлежит классу C_{11} [11], если выполняется равенство

(\nabla_{\vec{x}}\Omega)(\vec{y},\vec{z})=-\eta(\vec{x})(\nabla_{\vec{\xi}}\Omega)(\vec{y},\vec{z}).

Теорема. Продолженная почти контактная метрическая структура (\tilde{D},J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_*,D) принадлежит классу C_{11} тогда и только тогда, когда выполняется равенство

R^{d}_{ab}\omega_{de}+ R^{d}_{ea}\omega_{db}+ R^{d}_{eb}\omega_{da}=0.

Доказательство теоремы проводится в координатах и опирается на равенство

\Omega_{ab}=\Omega_{n+a,n+b}=\omega_{ab}.

Читайте также

Список литературы

  1. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении почти контактной метрической структуры // Математика. Механика. 2015. №.17. С. 6-8.
  2. Букушева А.В. Использование систем компьютерной математики для решения геометрических задач сложного уровня // Информационные технологии в образовании: Материалы VI Всероссийской научно-практической конференции. – Саратов: ООО "Издательский центр "Наука"". 2014. С. 76-77.
  3. Букушева А.В. Связности с кручением и неголономная геометрия // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения – 2016. Материалы научной конференции, 11–15 апреля 2016 г. – СПб.: Изд. РГПУ им. А.И. Герцена, 2016. С. 146-150.
  4. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении с обобщенной лагранжевой метрикой // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. 2015. № 46. С.58-62.
  5. Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые симплектической связностью над распределением // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №2. С. 136-141.
  6. Галаев С.В. Продолженные структуры на кораспределениях контактных метрических многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17. № 2. С. 138-147.
  7. Галаев С.В. Почти контактные метрические многообразия с распределением нулевой кривизны // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2017. №6(225). С. 36-43.
  8. Галаев С.В. О распределениях со специальной квази-сасакиевой структурой // Математическая физика и компьютерное моделирование. 2017. №2 (39). С. 6-17.
  9. Паньженский В.И., Сухова О.В. Почти эрмитовы структуры на касательном расслоении почти симплектического многообразия // Изв. Вузов, Математика. 2007. №11. С. 75-78.
  10. Bukusheva A.V., Galaev S.V. Almost contact metric structures defined by connection over distribution // Bulletin of the Transilvania University of Brasov Series III: Mathematics, Informatics, Physics. 2011. Т. 4. №2. С. 13-22.
  11. Chinea D., Gonzalez C. Classification of almost contact metric structures // Annali di Matematica pura ed applicata (IV). V. CLVI. 1990. P. 15-36.
  12. Galaev S.V. Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Т. 31. №1. С. 35-46.

Цитировать

Букушева, А.В. О классификации почти контактных метрических структур на распределениях с внутренней симплектической связностью / А.В. Букушева. — Текст : электронный // NovaInfo, 2018. — № 94. — С. 1-5. — URL: https://novainfo.ru/article/16060 (дата обращения: 07.02.2023).

Поделиться