Введение
В работе [11] получены инвариантные характеристики классов Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур, определяемых на касательных расслоений почти симплектических многообразий. В работе [5] рассматривается нечетный аналог касательного расслоения почти симплектического многообразия — распределение контактной структуры. На распределении контактной структуры с помощью внутренней симплектической связности определяется почти контактная метрическая структура. Изучаются простейшие свойства полученной структуры. Настоящая работа является продолжением работы [5]. Используя классификацию Д. Чинья и С. Гонзалез [9], мы выделяем класс почти контактных метрических пространств, характеризующийся тождеством
.
Находятся условия, при которых продолженная структура принадлежит заданному классу.
Внутренняя симплектическая связность на многообразии с контактной структурой
Рассматривается гладкое многообразие M нечетной размерности n=2m+1 с заданной на нем контактной структурой , где и 1-форма и векторное поле, порождающие, соответственно, распределения D и таким образом, чтобы выполнялось равенство . При этом выполняется равенство: , где . Многообразие M будем называть контактным многообразием.
Пусть [1-4] внутренняя линейная связность на многообразии M, т.е. отображение , удовлетворяющее следующим условиям:
- ;
- ;
- .
где — модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению D).
Карту многообразия M называется адаптированной к распределению D, если [6]. Пусть — проектор, определяемый разложением , и — адаптированная карта. Векторные поля линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение D: .
Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения . Из равенств , где , обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов внутренней связности:
.
Кручением и кривизной внутренней связности назовем, соответственно, допустимые тензорные поля [6, 7]:
,
,
где Q=1-P, . Тензор будем называть тензором кривизны контактного многообразия.
Известно [8], что на контактном многообразии существует внутренняя симплектическая связность без кручения, сохраняющая 2-форму . Такую связность будем называть внутренней симплектической связностью. Внутренних симплектических связностей бесконечно много. Зафиксируем одну из них и обозначим ее коэффициенты .
Продолженные почти контактные метрические структуры на распределениях контактных многообразий с внутренней симплектической связностью
Распределение D контактного многообразия является гладким многообразием размерности 2n-1. Векторные поля
определяют [10, 12] на распределении D неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы
соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:
,
,
,
где — компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах [12]:
.
Имеет место
Предложение 1. [12]. Пусть — внутренняя симплектическая связность с тензором кривизны Схоутена . Тогда для всех и имеют место следующие равенства
, (1)
, (2)
, (3)
. (4)
Определим на многообразии D почти контактную метрическую структуру , полагая:
, ,
.
Предложение 2. Пусть — связность Леви-Чивита на почти контактном метрическом многообразии D, тогда ее ненулевые коэффициенты в адаптированных координатах получают следующее представление:
,
,
,
,
Здесь .
При доказательстве предложения 2 используются равенства (1)-(4), а также выражения для коэффициентов связности:
,
где , , , .
Говорят, что почти контактная метрическая структура принадлежит классу [11], если выполняется равенство
.
Теорема. Продолженная почти контактная метрическая структура принадлежит классу тогда и только тогда, когда выполняется равенство
.
Доказательство теоремы проводится в координатах и опирается на равенство
.