О классификации почти контактных метрических структур на распределениях с внутренней симплектической связностью

Букушева, Алия Владимировна

О классификации почти контактных метрических структур на распределениях с внутренней симплектической связностью

№94-1, 15.12.2018

физико-математические науки

Букушева Алия Владимировна, кандидат наук, доцент
Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

ВНУТРЕННЯЯ СВЯЗНОСТЬ
ПОЧТИ КОНТАКТНАЯ МЕТРИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА

На распределении контактной структуры с помощью внутренней симплектической связности определяется (продолженная) почти контактная метрическая структура. Находятся условия, при которых продолженная структура принадлежит заданному классу почти контактных метрических структур.

Похожие материалы

Введение

В работе [11] получены инвариантные характеристики классов Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур, определяемых на касательных расслоений почти симплектических многообразий. В работе [5] рассматривается нечетный аналог касательного расслоения почти симплектического многообразия — распределение контактной структуры. На распределении контактной структуры с помощью внутренней симплектической связности определяется почти контактная метрическая структура. Изучаются простейшие свойства полученной структуры. Настоящая работа является продолжением работы [5]. Используя классификацию Д. Чинья и С. Гонзалез [9], мы выделяем класс почти контактных метрических пространств, характеризующийся тождеством

$(\nabla_{\vec{x}}\Omega)(\vec{y},\vec{z})=-\eta(\vec{x})(\nabla_{\vec{\xi}}\Omega)(\vec{y},\vec{z})$ .

Находятся условия, при которых продолженная структура принадлежит заданному классу.

Внутренняя симплектическая связность на многообразии с контактной структурой

Рассматривается гладкое многообразие M нечетной размерности n=2m+1 с заданной на нем контактной структурой $(M, \vec{\xi}, \eta, D)$ , где $\eta$ и $\vec{\xi}$ 1-форма и векторное поле, порождающие, соответственно, распределения D и $D^{\bot}$ таким образом, чтобы выполнялось равенство $TM=D\oplus D^{\bot}$ . При этом выполняется равенство: $rk(\omega)=2m$ , где $\omega=d\eta$ . Многообразие M будем называть контактным многообразием.

Пусть $\nabla$ [1-4] внутренняя линейная связность на многообразии M, т.е. отображение $\nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D)$ , удовлетворяющее следующим условиям:

$\nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}}$ ;
$\nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y}$ ,
$\nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z}$ ,

где $\Gamma(D)$ — модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению D).

Карту $K(x^{\alpha})$ $(\alpha,\beta,\gamma=1,...,n; a,b,c=1,...,2m; i,j,k=1,...,2n-1)$ многообразия M называется адаптированной к распределению D, если $\partial_n=\vec{\xi}$ [6]. Пусть $P:TM\rightarrow D$ — проектор, определяемый разложением $TM=D\oplus D^{\bot}$ , и $K(x^{\alpha})$ — адаптированная карта. Векторные поля $P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}$ линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение D: $D=Span(\vec{e}_{a})$ .

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения $\nabla_{\vec{e}_a}\vec{e}_b=\Gamma^c_{ab}\vec{e}_c$ . Из равенств $\vec{e}_{a}=A^{a`}_a\vec{e}_{a`}$ , где $A^a_{a`}=\frac{\partial x^a}{\partial x^{a`}}$ , обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов внутренней связности:

$\Gamma^c_{ab}=A^{a`}_a A^{b`}_b A^c_{c`}\Gamma^{c`}_{a`b`}+A^c_{c`}\vec{e}_{a}A^{c`}_b$ .

Кручением и кривизной внутренней связности назовем, соответственно, допустимые тензорные поля [6, 7]:

$S(\vec{x},\vec{y})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}]$ ,

$R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}]$ ,

где Q=1-P, $\vec{x},\vec{y},\vec{z} \in \Gamma(D)$ . Тензор $R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}$ будем называть тензором кривизны контактного многообразия.

Известно [8], что на контактном многообразии существует внутренняя симплектическая связность без кручения, сохраняющая 2-форму $\omega$ . Такую связность будем называть внутренней симплектической связностью. Внутренних симплектических связностей бесконечно много. Зафиксируем одну из них и обозначим ее коэффициенты $\Gamma^b_{ac}$ .

Продолженные почти контактные метрические структуры на распределениях контактных многообразий с внутренней симплектической связностью

Распределение D контактного многообразия является гладким многообразием размерности 2n-1. Векторные поля

$(\vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-\Gamma^{b}_{ac}x^{n+c}\partial_{n+b},\partial_{n},\partial_{n+a})=(A_i)$

определяют [10, 12] на распределении D неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы

$(dx^a,\Theta^{n}=dx^{a}+\Gamma^{n}_{a}dx^{a},\Theta^{n+a}=dx^{n+a}+\Gamma^a_{bc}x^{n+c}dx^b)$

соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

$[\vec{\varepsilon}_{a},\,\vec{\varepsilon}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_n+x^{n+d}R^{c}_{bad}\partial_{n+c}$ ,

$[\vec{\varepsilon}_{a},\partial_n]=x^{n+d}\partial_n\Gamma^c_{ad}\partial_{n+c}$ ,

$[\vec{\varepsilon}_{a},\,\partial_{n+b}]=\Gamma^{c}_{ab}\partial_{n+c}$ ,

где $R^c_{bad}$ — компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах [12]:

$R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]c}+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c}$ .

Имеет место

Предложение 1. [12]. Пусть $\nabla$ — внутренняя симплектическая связность с тензором кривизны Схоутена $R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}$ . Тогда для всех $\vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D)$ и $\vec{p}\in D$ имеют место следующие равенства

$[\vec{x}^{h},\vec{y}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{y}]^{h}-\left\{R(\vec{x},\vec{y})\vec{p}\right\}^{v}$ , (1)

$[\vec{x}^{h},\vec{\xi}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{\xi}]^{h}+\left\{P(\vec{x},\vec{p})\right\}^{v}$ , (2)

$[\vec{x}^{h},\vec{y}^{v}]=(\nabla_{\vec{x}}\vec{y})^{v}$ , (3)

$[\vec{x}^{v},\vec{\xi}^{h}]=[\vec{x},\vec{\xi}]^{v}$ . (4)

Определим на многообразии D почти контактную метрическую структуру $(\tilde{D},J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_*,D)$ , полагая:

$J\vec{x}^h=\vec{x}^v$ , $J\vec{x}^v=-\vec{x}^h$ ,

$g=\omega_{ab}dx^a\otimes \theta^{n+b}-\omega_{ab}\theta^{n+a}\otimes dx^b+\theta^n\otimes\theta^n$ .

Предложение 2. Пусть $\tilde{\nabla}$ — связность Леви-Чивита на почти контактном метрическом многообразии D, тогда ее ненулевые коэффициенты $\tilde{\Gamma}^{i}_{jk}$ в адаптированных координатах получают следующее представление:

$\tilde{\Gamma}^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab}$ ,

$\tilde{\Gamma}^{n+c}_{ab}=\omega^{ce}(R^{d}_{ab}\omega_{de}+ R^{d}_{ea}\omega_{db}+ R^{d}_{eb}\omega_{da})$ ,

$\tilde{\Gamma}^{n}_{ab}=\omega_{ba}$ ,

$\tilde{\Gamma}^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^{c}_{ab}$ ,

Здесь $R^{d}_{ab}= R^{d}_{abc}x^{n+c}$ .

При доказательстве предложения 2 используются равенства (1)-(4), а также выражения для коэффициентов связности:

$2\Gamma^{m}_{ij}=g^{km}(A_{i}g_{jk}+A_{j}g_{ik}-A_{k}g_{ij}+\Omega^{l}_{kj}g_{li}+\Omega^{l}_{ki}g_{lj})+\Omega^{m}_{ij}$ ,

где $\Omega^n_{ab}=2\omega_{ba}$ , $\Omega^{n+c}_{ab}=R^{c}_{bad}x^{n+d}$ , $\Omega^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^{c}_{ab}$ , $\Omega^{n+c}_{an}=\partial_{n}\Gamma^c_{ab}x^{n+b}$ .

Говорят, что почти контактная метрическая структура принадлежит классу $C_{11}$ [11], если выполняется равенство

$(\nabla_{\vec{x}}\Omega)(\vec{y},\vec{z})=-\eta(\vec{x})(\nabla_{\vec{\xi}}\Omega)(\vec{y},\vec{z})$ .

Теорема. Продолженная почти контактная метрическая структура $(\tilde{D},J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_*,D)$ принадлежит классу $C_{11}$ тогда и только тогда, когда выполняется равенство

$R^{d}_{ab}\omega_{de}+ R^{d}_{ea}\omega_{db}+ R^{d}_{eb}\omega_{da}=0$ .

Доказательство теоремы проводится в координатах и опирается на равенство

$\Omega_{ab}=\Omega_{n+a,n+b}=\omega_{ab}$ .

Список литературы

Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении почти контактной метрической структуры // Математика. Механика. 2015. №.17. С. 6-8.
Букушева А.В. Использование систем компьютерной математики для решения геометрических задач сложного уровня // Информационные технологии в образовании: Материалы VI Всероссийской научно-практической конференции. – Саратов: ООО "Издательский центр "Наука"". 2014. С. 76-77.
Букушева А.В. Связности с кручением и неголономная геометрия // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения – 2016. Материалы научной конференции, 11–15 апреля 2016 г. – СПб.: Изд. РГПУ им. А.И. Герцена, 2016. С. 146-150.
Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении с обобщенной лагранжевой метрикой // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. 2015. № 46. С.58-62.
Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые симплектической связностью над распределением // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №2. С. 136-141.
Галаев С.В. Продолженные структуры на кораспределениях контактных метрических многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17. № 2. С. 138-147.
Галаев С.В. Почти контактные метрические многообразия с распределением нулевой кривизны // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2017. №6(225). С. 36-43.
Галаев С.В. О распределениях со специальной квази-сасакиевой структурой // Математическая физика и компьютерное моделирование. 2017. №2 (39). С. 6-17.
Паньженский В.И., Сухова О.В. Почти эрмитовы структуры на касательном расслоении почти симплектического многообразия // Изв. Вузов, Математика. 2007. №11. С. 75-78.
Bukusheva A.V., Galaev S.V. Almost contact metric structures defined by connection over distribution // Bulletin of the Transilvania University of Brasov Series III: Mathematics, Informatics, Physics. 2011. Т. 4. №2. С. 13-22.
Chinea D., Gonzalez C. Classification of almost contact metric structures // Annali di Matematica pura ed applicata (IV). V. CLVI. 1990. P. 15-36.
Galaev S.V. Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Т. 31. №1. С. 35-46.