О классификации почти контактных метрических структур на распределениях с внутренней симплектической связностью

№94-1,

физико-математические науки

На распределении контактной структуры с помощью внутренней симплектической связности определяется (продолженная) почти контактная метрическая структура. Находятся условия, при которых продолженная структура принадлежит заданному классу почти контактных метрических структур.

Похожие материалы

Введение

В работе [11] получены инвариантные характеристики классов Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур, определяемых на касательных расслоений почти симплектических многообразий. В работе [5] рассматривается нечетный аналог касательного расслоения почти симплектического многообразия — распределение контактной структуры. На распределении контактной структуры с помощью внутренней симплектической связности определяется почти контактная метрическая структура. Изучаются простейшие свойства полученной структуры. Настоящая работа является продолжением работы [5]. Используя классификацию Д. Чинья и С. Гонзалез [9], мы выделяем класс почти контактных метрических пространств, характеризующийся тождеством

(\nabla_{\vec{x}}\Omega)(\vec{y},\vec{z})=-\eta(\vec{x})(\nabla_{\vec{\xi}}\Omega)(\vec{y},\vec{z}).

Находятся условия, при которых продолженная структура принадлежит заданному классу.

Внутренняя симплектическая связность на многообразии с контактной структурой

Рассматривается гладкое многообразие M нечетной размерности n=2m+1 с заданной на нем контактной структурой (M, \vec{\xi}, \eta, D), где \eta и \vec{\xi} 1-форма и векторное поле, порождающие, соответственно, распределения D и D^{\bot} таким образом, чтобы выполнялось равенство TM=D\oplus D^{\bot}. При этом выполняется равенство: rk(\omega)=2m, где \omega=d\eta. Многообразие M будем называть контактным многообразием.

Пусть \nabla [1-4] внутренняя линейная связность на многообразии M, т.е. отображение \nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D), удовлетворяющее следующим условиям:

  1. \nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}};
  2. \nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y},
  3. \nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z},

где \Gamma(D) — модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению D).

Карту K(x^{\alpha})(\alpha,\beta,\gamma=1,...,n; a,b,c=1,...,2m; i,j,k=1,...,2n-1) многообразия M называется адаптированной к распределению D, если \partial_n=\vec{\xi} [6]. Пусть P:TM\rightarrow D — проектор, определяемый разложением TM=D\oplus D^{\bot}, и K(x^{\alpha}) — адаптированная карта. Векторные поля P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n} линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение D: D=Span(\vec{e}_{a}).

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения \nabla_{\vec{e}_a}\vec{e}_b=\Gamma^c_{ab}\vec{e}_c. Из равенств \vec{e}_{a}=A^{a`}_a\vec{e}_{a`}, где A^a_{a`}=\frac{\partial x^a}{\partial x^{a`}}, обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов внутренней связности:

\Gamma^c_{ab}=A^{a`}_a A^{b`}_b A^c_{c`}\Gamma^{c`}_{a`b`}+A^c_{c`}\vec{e}_{a}A^{c`}_b.

Кручением и кривизной внутренней связности назовем, соответственно, допустимые тензорные поля [6, 7]:

S(\vec{x},\vec{y})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}],

R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}],

где Q=1-P, \vec{x},\vec{y},\vec{z} \in \Gamma(D). Тензор R(\vec{x},\vec{y})\vec{z} будем называть тензором кривизны контактного многообразия.

Известно [8], что на контактном многообразии существует внутренняя симплектическая связность без кручения, сохраняющая 2-форму \omega. Такую связность будем называть внутренней симплектической связностью. Внутренних симплектических связностей бесконечно много. Зафиксируем одну из них и обозначим ее коэффициенты \Gamma^b_{ac}.

Продолженные почти контактные метрические структуры на распределениях контактных многообразий с внутренней симплектической связностью

Распределение D контактного многообразия является гладким многообразием размерности 2n-1. Векторные поля

(\vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-\Gamma^{b}_{ac}x^{n+c}\partial_{n+b},\partial_{n},\partial_{n+a})=(A_i)

определяют [10, 12] на распределении D неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы

(dx^a,\Theta^{n}=dx^{a}+\Gamma^{n}_{a}dx^{a},\Theta^{n+a}=dx^{n+a}+\Gamma^a_{bc}x^{n+c}dx^b)

соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\vec{\varepsilon}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_n+x^{n+d}R^{c}_{bad}\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\partial_n]=x^{n+d}\partial_n\Gamma^c_{ad}\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\partial_{n+b}]=\Gamma^{c}_{ab}\partial_{n+c},

где R^c_{bad} — компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах [12]:

R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]c}+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c}.

Имеет место

Предложение 1. [12]. Пусть \nabla — внутренняя симплектическая связность с тензором кривизны Схоутена R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}. Тогда для всех \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D) и \vec{p}\in D имеют место следующие равенства

[\vec{x}^{h},\vec{y}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{y}]^{h}-\left\{R(\vec{x},\vec{y})\vec{p}\right\}^{v}, (1)

[\vec{x}^{h},\vec{\xi}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{\xi}]^{h}+\left\{P(\vec{x},\vec{p})\right\}^{v}, (2)

[\vec{x}^{h},\vec{y}^{v}]=(\nabla_{\vec{x}}\vec{y})^{v}, (3)

[\vec{x}^{v},\vec{\xi}^{h}]=[\vec{x},\vec{\xi}]^{v}. (4)

Определим на многообразии D почти контактную метрическую структуру (\tilde{D},J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_*,D), полагая:

J\vec{x}^h=\vec{x}^v, J\vec{x}^v=-\vec{x}^h,

g=\omega_{ab}dx^a\otimes \theta^{n+b}-\omega_{ab}\theta^{n+a}\otimes dx^b+\theta^n\otimes\theta^n.

Предложение 2. Пусть \tilde{\nabla} — связность Леви-Чивита на почти контактном метрическом многообразии D, тогда ее ненулевые коэффициенты \tilde{\Gamma}^{i}_{jk} в адаптированных координатах получают следующее представление:

\tilde{\Gamma}^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab},

\tilde{\Gamma}^{n+c}_{ab}=\omega^{ce}(R^{d}_{ab}\omega_{de}+ R^{d}_{ea}\omega_{db}+ R^{d}_{eb}\omega_{da}),

\tilde{\Gamma}^{n}_{ab}=\omega_{ba},

\tilde{\Gamma}^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^{c}_{ab},

Здесь R^{d}_{ab}= R^{d}_{abc}x^{n+c}.

При доказательстве предложения 2 используются равенства (1)-(4), а также выражения для коэффициентов связности:

2\Gamma^{m}_{ij}=g^{km}(A_{i}g_{jk}+A_{j}g_{ik}-A_{k}g_{ij}+\Omega^{l}_{kj}g_{li}+\Omega^{l}_{ki}g_{lj})+\Omega^{m}_{ij},

где \Omega^n_{ab}=2\omega_{ba}, \Omega^{n+c}_{ab}=R^{c}_{bad}x^{n+d}, \Omega^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^{c}_{ab}, \Omega^{n+c}_{an}=\partial_{n}\Gamma^c_{ab}x^{n+b}.

Говорят, что почти контактная метрическая структура принадлежит классу C_{11} [11], если выполняется равенство

(\nabla_{\vec{x}}\Omega)(\vec{y},\vec{z})=-\eta(\vec{x})(\nabla_{\vec{\xi}}\Omega)(\vec{y},\vec{z}).

Теорема. Продолженная почти контактная метрическая структура (\tilde{D},J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_*,D) принадлежит классу C_{11} тогда и только тогда, когда выполняется равенство

R^{d}_{ab}\omega_{de}+ R^{d}_{ea}\omega_{db}+ R^{d}_{eb}\omega_{da}=0.

Доказательство теоремы проводится в координатах и опирается на равенство

\Omega_{ab}=\Omega_{n+a,n+b}=\omega_{ab}.

Список литературы

  1. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении почти контактной метрической структуры // Математика. Механика. 2015. №.17. С. 6-8.
  2. Букушева А.В. Использование систем компьютерной математики для решения геометрических задач сложного уровня // Информационные технологии в образовании: Материалы VI Всероссийской научно-практической конференции. – Саратов: ООО "Издательский центр "Наука"". 2014. С. 76-77.
  3. Букушева А.В. Связности с кручением и неголономная геометрия // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения – 2016. Материалы научной конференции, 11–15 апреля 2016 г. – СПб.: Изд. РГПУ им. А.И. Герцена, 2016. С. 146-150.
  4. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении с обобщенной лагранжевой метрикой // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. 2015. № 46. С.58-62.
  5. Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые симплектической связностью над распределением // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №2. С. 136-141.
  6. Галаев С.В. Продолженные структуры на кораспределениях контактных метрических многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17. № 2. С. 138-147.
  7. Галаев С.В. Почти контактные метрические многообразия с распределением нулевой кривизны // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2017. №6(225). С. 36-43.
  8. Галаев С.В. О распределениях со специальной квази-сасакиевой структурой // Математическая физика и компьютерное моделирование. 2017. №2 (39). С. 6-17.
  9. Паньженский В.И., Сухова О.В. Почти эрмитовы структуры на касательном расслоении почти симплектического многообразия // Изв. Вузов, Математика. 2007. №11. С. 75-78.
  10. Bukusheva A.V., Galaev S.V. Almost contact metric structures defined by connection over distribution // Bulletin of the Transilvania University of Brasov Series III: Mathematics, Informatics, Physics. 2011. Т. 4. №2. С. 13-22.
  11. Chinea D., Gonzalez C. Classification of almost contact metric structures // Annali di Matematica pura ed applicata (IV). V. CLVI. 1990. P. 15-36.
  12. Galaev S.V. Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Т. 31. №1. С. 35-46.