О некоторых свойствах продолженных структур на распределениях Би-метрических многообразий

Букушева, Алия Владимировна

Введение

Геометрия почти контактных многообразий с Би-метрикой хорошо изучена (см, например, [13-19]). В работе [13] осуществлена классификация таких многообразий. В основу указанной классификации положены свойства фундаментального тензора типа (0, 3). В предлагаемой работе над Би-метрическим многообразием M определяется векторное расслоение $(D,\pi,M)$ , тотальное пространство которого наделяется почти контактной структурой с Би-метрикой, называемой продолженной структурой. Коэффициенты связности Леви-Чивита продолженной структуры используются для выражения тензора F через значения геометрических инвариантов исходного многообразия M. Основным результатом работы является теорема, утверждающая, что продолженная структура принадлежит тому же классу, что и исходная почти контактная структура с Би-метрикой.

Почти контактная структура с Би-метрикой

Пусть M — гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1, $m\geq 1$ , с заданной на нем почти контактной структурой $(M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, D)$ , где φ — тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, $\vec{\xi}$ и η — вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой такие, что

$\varphi^2=-I+\eta\otimes \vec{\xi}, \eta(\vec{\xi})=1$ . (1)

Здесь $\vec{\xi}\in \ker \omega$ , где $\omega=d\eta$ . Почти контактная структура называется контактной структурой, если $rk \omega=2m$ . Многообразие, оснащенное (почти) контактной структурой, будем называть (почти) контактным многообразием. Гладкое распределение $D=ker \eta$ называется распределением почти контактной структуры.

Если почти контактная структура $(M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, D)$ согласована с псевдо-римановой метрикой g таким образом, что

$g(\varphi\vec{x},\varphi\vec{y})=-g(\vec{x},\vec{y})+\eta(\vec{x})\eta(\vec{y})$ , (2)

где $\vec{x},\vec{y}\in \Gamma(TM),\Gamma(TM)$ — модуль векторных полей на многообразии M, то структура $(M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g, D)$ называется почти контактной структурой с Би-метрикой, а многообразие M — почти контактным многообразием с Би-метрикой. Из (1), (2) следует, что $\varphi\vec{\xi}=\vec{0},\eta\circ \varphi=0,\eta(\vec{x})=g(\vec{x},\vec{\xi}),g(\varphi\vec{x},\vec{y})=g(\vec{x},\varphi \vec{y})$ .

Тензорное поле $F(\vec{x},\vec{y},\vec{z})=g((\nabla_{\vec{x}}\varphi)\vec{y},\vec{z})$ , где ∇ — связность Леви-Чивита, названо в работе [13] фундаментальным тензорным полем. В зависимости от строения поля F выделяются $2^{11}$ классов почти контактных структур с Би-метрикой.

Пусть $K(x^{\alpha})$ $(\alpha,\beta,\gamma=1,...,n; a,b,c=1,...,n-1)$ — адаптированная карта многообразия M к распределению D: $\partial_n=\vec{\xi}$ [12]. Пусть $P:TM\rightarrow D$ — проектор, определяемый разложением $TM=D\oplus D^{\bot}$ , и $K(x^{\alpha})$ — адаптированная карта. Векторные поля $P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}$ в области определения соответствующей карты порождают распределение D: $D=Span(\vec{e}_{a})$ . Соответствующее неголономному полю базисов $(\vec{e}_\alpha)=(\vec{e}_{a},\partial_{n})$ поле кобазисов принимает вид $(dx^a, \eta=\Theta^n=dx^a+\Gamma^n_a dx^a)$ . Непосредственно проверяется, что $[\vec{e}_{a},\vec{e}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_n$ . Базис $\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}$ , как базис, определяемый адаптированной картой, будем называть адаптированным базисом. Для адаптированного базиса выполняются равенства $\partial_{n}\Gamma^{n}_{a}=0$ .

Для адаптированных карт $K(x^{\alpha})$ и $K`(x^{\alpha`})$ получаем следующие формулы преобразования координат:

$x^a=x^a(x^{a`}),x^n=x^{n`}+x^n(x^{a`})$ .

Тензорное поле t типа (p,q), заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению ), если его координатное представление в адаптированных координатах имеет вид:

$t=t^{a_1 ...a_p}_{b_1 ... b_q}\vec{e}_{a_1}\otimes ... \otimes \vec{e}_{a_p} \otimes dx^{b_1}\otimes...\otimes dx^{b_q}$ .

Продолженные почти контактные структуры с Би-метрикой

Пусть M — гладкое многообразие с заданной на нем почти контактной структурой $(M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g, D)$ с Би-метрикой g. Распределение D является гладким многообразием размерности 4m+1 [6-11]. Пусть

$\Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_{d}g_{bc})$

коэффициенты внутренней связности ∇ [1-5].

Внутренняя линейная связность ∇ на многообразии с почти контактной метрической структурой представляет собой отображение $\nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D)$ , удовлетворяющее следующим условиям:

$1) \nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}}$ ;

$2) \nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y}$ ,

$3) \nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z}$ ,

где $\Gamma(D)$ — модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению D).

Действие внутренней связности обычным образом продолжается на допустимые тензорные поля. Так, например, для структурного эндоморфизма выполняется равенство

$(\nabla_{\vec{x}}\varphi)\vec{y}=\nabla_{\vec{x}}(\varphi\vec{y})-\varphi(\nabla_{\vec{x}}\vec{y}),\vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D)$ .

Коэффициенты внутренней линейной связности задаются соотношениями $\nabla_{\vec{e}_a}\vec{e}_b=\Gamma^c_{ab}\vec{e}_c$ . Равенства $\vec{e}_a=A^{a`}_a\vec{e}_{a`}$ , где $A^{a`}_a=\frac{\partial x^{a`}}{\partial x^a}$ , обычным образом влекут формулу преобразования для коэффициентов внутренней связности:

$\Gamma^c_{ab}=A^{a`}_aA^{b`}_bA^{c`}_c\Gamma^{c`}_{a`b`}+A^c_{c`}\vec{e}_aA^{c`}_b$ .

Кручением внутренней связности назовем допустимое тензорное поле $S(\vec{x},\vec{y})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}],\vec{x},\vec{y} \in \Gamma(D)$ .

Внутреннюю связность будем называть симметричной, если ее кручение равно нулю. В случае симметричности внутренней связности в адаптированных координатах получаем:

$S^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab}-\Gamma^{c}_{ba}$ , или $,\Gamma^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ba}$ .

Предложение 1

Коэффициенты связности Леви-Чивита многообразия M в адаптированных координатах имеют вид:

$\tilde{\Gamma}^c_{ab}=\Gamma^c_{ab}$ ,

$\tilde{\Gamma}^n_{ab}=\omega_{ba}-C_{ab}$ ,

$\tilde{\Gamma}^b_{an}=\tilde{\Gamma}^b_{na}=C^b_a-\varphi^b_a$ ,

$\tilde{\Gamma}^n_{na}=\tilde{\Gamma}^a_{nn}=0$ ,

где $\Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_{d}g_{bc})$ .

Векторные поля $(\vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-\Gamma^{b}_{ac}x^{n+c}\partial_{n+b},\partial_{n},\partial_{n+a})=(A_i)$ (i, j, k=1,...,4m+1) определяют на D неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы $(dx^a, \Theta^n=dx^a+\Gamma^n_a dx^a, \Theta^{n+a}=dx^{n+a}+\Gamma^a_{bc} x^{n+c}dx^b)$ — соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

$[\vec{\varepsilon}_{a},\,\vec{\varepsilon}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_{n}+x^{n+d}R^{c}_{bad}\partial_{n+c}$ ,

$[\vec{\varepsilon}_{a},\partial_{n}]=x^{n+d}\partial_n\Gamma^c_{ad}\partial_{n+c}$ ,

$[\vec{\varepsilon}_{a},\partial_{n+b}]=\Gamma^{c}_{ab}\partial_{n+c}$ ,

где $R^c_{bad}$ — компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах [7].

Тензор Схоутена является допустимым тензорным полем и определяется равенством $R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}]$ , где Q=I-P. Тензор Схоутена будем называть тензором кривизны внутренней связности. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид: $R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]}c+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c}$ .

Имеет место

Предложение 2

Пусть ∇ — внутренняя связность с тензором кривизны Схоутена $R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}$ . Тогда для всех $\vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D)$ и $\vec{p}\in D$ имеют место следующие равенства

$[\vec{x}^{h},\vec{y}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{y}]^{h}-\left\{R(\vec{x},\vec{y})\vec{p}\right\}^{v}$ , (3)

$[\vec{x}^{h},\vec{\xi}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{\xi}]^{h}+\left\{P(\vec{x},\vec{p})\right\}^{v}$ , (4)

$[\vec{x}^{h},\vec{y}^{v}]=(\nabla_{\vec{x}}\vec{y})^{v}$ , (5)

$[\vec{x}^{v},\vec{\xi}^{h}]=[\vec{x},\vec{\xi}]^{v}$ . (6)

Определим на многообразии D почти контактную структуру $(\tilde{D},J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_*,D)$ , полагая $J\vec{x}^h=(\varphi\vec{x})^h,J\vec{x}^v=(\varphi\vec{x})^v$ . Определим на многообразии M метрику $\tilde{g}$ , подчиняющуюся равенствам:

$\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^h)= \tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{y}^v)=g(\vec{x},\vec{y}),\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^v)=\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{u})=\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{u})=0$ .

Имеют место следующие предложения.

Предложение 3

Структура $(\tilde{D},J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_*,\tilde{g},D)$ является почти контактной структурой с Би-метрикой.

Доказательство. В соответствии с определением тензоров J $,\tilde{g}$ получаем:

$\tilde{g}(J\vec{x}^h,J\vec{y}^h)=\tilde{g}((\varphi\vec{x})^h,(\varphi \vec{y})^h)=g(\varphi \vec{x},\varphi\vec{y})=-g(\vec{x},\vec{y})=-\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^h)$ ;

$\tilde{g}(J\vec{x}^v,J\vec{y}^v)=\tilde{g}((\varphi\vec{x})^v,(\varphi \vec{y})^v)=g(\varphi \vec{x},\varphi\vec{y})=-g(\vec{x},\vec{y})=-\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{y}^v)$ ,

где $\vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D)$ .

Предложение 4

Пусть $\tilde{\nabla}$ — связность Леви-Чивита, тогда выполняется равенство:

$\tilde{\nabla}_{\vec{x}^h}\vec{y}^h=(\nabla_{\vec{x}}\vec{y})^h-\frac{1}{2}(R(\vec{x},\vec{y})\vec{p})^v+(\omega(\vec{y},\vec{x})-C(\vec{x},\vec{y}))\vec{\xi}^h$ .

Доказательство предложения 4 основано на использовании равенств (3)-(6), а также выражения для коэффициентов $\tilde{\Gamma}^m_{ij}$ связности $\tilde{\nabla}$ :

$2\tilde{\Gamma}^m_{ij}=g^{km}(A_ig_{jk}+A_jg_{ik}-A_kg_{ij}+\Omega^l_{kj}g_{li}+\Omega^l_{ki}g_{lj})+\Omega^m_{ij}$ ,

где $\Omega^n_{ab}=2\omega_{ba},\Omega^{n+c}_{ab}=R^{n+c}_{ab},\Omega^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^c_{ab},\Omega^{n+c}_{an}=\partial_n\Gamma^c_{ab}x^{n+b}$ .

Координатное представление коэффициентов $\tilde{\Gamma}^m_{ij}$ для разных значений индексов имеет следующий вид:

$\tilde{\Gamma}^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{ab}=R^{c}_{bad}x^{n+d}$ ,

$\tilde{\Gamma}^{n}_{ab}=2\omega_{ba}-\partial_{n}g_{ab}$ ,

$\tilde{\Gamma}^{c}_{a,n+b}=R^{c}_{bda}x^{n+d}$ ,

$\tilde{\Gamma}^{c}_{n+b,a}=R^{c}_{adb}x^{n+d}$ ,

$\tilde{\Gamma}^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^{c}_{ab}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{n}_{a,n+b}=2\tilde{\Gamma}^{n}_{n+b,a}=\partial_{n}\Gamma^{e}_{ac}x^{n+c}g_{eb}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{n}_{n+a,n+b}=\partial_{n}g_{ab}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{c}_{an}=2\tilde{\Gamma}^{c}_{na}=g^{cd}(2\omega_{ad}+\partial_{n}g_{ad})$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{an}=\partial_{n}\Gamma^{c}_{ad}x^{n+d}=-2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{an}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{c}_{n+a,n}=2\tilde{\Gamma}^{c}_{n,n+a}=-g^{cd}\partial_n\Gamma^e_{db}x^{n+b}g_{ae}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{n+a,n}=2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{n,n+a}=g^{cd}\partial_{n}g_{ad}$ .

Предложение 5

Имеет место равенство

$\tilde{F}(\vec{x}^h,\vec{y}^h,\vec{z}^h)= F(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ .

Доказательство.

$\tilde{F}(\vec{x}^h,\vec{y}^h,\vec{z}^h)=\tilde{g}((\tilde{\nabla}_{\vec{x}^h} J)\vec{y}^h,\vec{z}^h)=$

$=\tilde{g}(\tilde{\nabla}_{\vec{x}^h}J\vec{y}^h-J\tilde{\nabla}_{\vec{x}^h}\vec{y}^h,\vec{z}^h)=$

$\tilde{g}((\nabla_{\vec{x}}\varphi\vec{y})^h-(\varphi\nabla_{\vec{x}}\vec{y})^h,\vec{z}^h)=$

$=g(\nabla_{\vec{x}}\varphi\vec{y}-\varphi\nabla_{\vec{x}}\vec{y},\vec{z})=F(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ .

В качестве следствия предложения 5 получаем следующую теорему.

Теорема

Продолженная почти контактная структура с Би-метрикой принадлежит тому же классу, что и исходная структура.

О некоторых свойствах продолженных структур на распределениях Би-метрических многообразий

физико-математические науки

Похожие материалы