О некоторых свойствах продолженных структур на распределениях Би-метрических многообразий

№88-1,

физико-математические науки

На распределении почти контактного Би-метрического многообразия определяется продолженная почти контактная структура с Би-метрикой. Доказывается, что продолженная структура принадлежит тому же классу, что и исходная почти контактная структура с Би-метрикой.

Похожие материалы

Введение

Геометрия почти контактных многообразий с Би-метрикой хорошо изучена (см, например, [13-19]). В работе [13] осуществлена классификация таких многообразий. В основу указанной классификации положены свойства фундаментального тензора типа (0, 3). В предлагаемой работе над Би-метрическим многообразием M определяется векторное расслоение (D,\pi,M), тотальное пространство которого наделяется почти контактной структурой с Би-метрикой, называемой продолженной структурой. Коэффициенты связности Леви-Чивита продолженной структуры используются для выражения тензора F через значения геометрических инвариантов исходного многообразия M. Основным результатом работы является теорема, утверждающая, что продолженная структура принадлежит тому же классу, что и исходная почти контактная структура с Би-метрикой.

Почти контактная структура с Би-метрикой

Пусть M — гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1, m\geq 1, с заданной на нем почти контактной структурой (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, D), где φ — тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, \vec{\xi} и η — вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой такие, что

\varphi^2=-I+\eta\otimes \vec{\xi}, \eta(\vec{\xi})=1. (1)

Здесь \vec{\xi}\in \ker \omega, где \omega=d\eta. Почти контактная структура называется контактной структурой, если rk \omega=2m. Многообразие, оснащенное (почти) контактной структурой, будем называть (почти) контактным многообразием. Гладкое распределение D=ker \eta называется распределением почти контактной структуры.

Если почти контактная структура (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, D) согласована с псевдо-римановой метрикой g таким образом, что

g(\varphi\vec{x},\varphi\vec{y})=-g(\vec{x},\vec{y})+\eta(\vec{x})\eta(\vec{y}), (2)

где \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(TM),\Gamma(TM) — модуль векторных полей на многообразии M, то структура (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g, D) называется почти контактной структурой с Би-метрикой, а многообразие M — почти контактным многообразием с Би-метрикой. Из (1), (2) следует, что \varphi\vec{\xi}=\vec{0},\eta\circ \varphi=0,\eta(\vec{x})=g(\vec{x},\vec{\xi}),g(\varphi\vec{x},\vec{y})=g(\vec{x},\varphi \vec{y}).

Тензорное поле F(\vec{x},\vec{y},\vec{z})=g((\nabla_{\vec{x}}\varphi)\vec{y},\vec{z}), где ∇ — связность Леви-Чивита, названо в работе [13] фундаментальным тензорным полем. В зависимости от строения поля F выделяются 2^{11} классов почти контактных структур с Би-метрикой.

Пусть K(x^{\alpha})(\alpha,\beta,\gamma=1,...,n; a,b,c=1,...,n-1) — адаптированная карта многообразия M к распределению D: \partial_n=\vec{\xi} [12]. Пусть P:TM\rightarrow D — проектор, определяемый разложением TM=D\oplus D^{\bot}, и K(x^{\alpha}) — адаптированная карта. Векторные поля P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n} в области определения соответствующей карты порождают распределение D: D=Span(\vec{e}_{a}). Соответствующее неголономному полю базисов (\vec{e}_\alpha)=(\vec{e}_{a},\partial_{n}) поле кобазисов принимает вид (dx^a, \eta=\Theta^n=dx^a+\Gamma^n_a dx^a). Непосредственно проверяется, что [\vec{e}_{a},\vec{e}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_n. Базис \vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}, как базис, определяемый адаптированной картой, будем называть адаптированным базисом. Для адаптированного базиса выполняются равенства \partial_{n}\Gamma^{n}_{a}=0.

Для адаптированных карт K(x^{\alpha}) и K`(x^{\alpha`}) получаем следующие формулы преобразования координат:

x^a=x^a(x^{a`}),x^n=x^{n`}+x^n(x^{a`}).

Тензорное поле t типа (p,q), заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению ), если его координатное представление в адаптированных координатах имеет вид:

t=t^{a_1 ...a_p}_{b_1 ... b_q}\vec{e}_{a_1}\otimes ... \otimes \vec{e}_{a_p} \otimes dx^{b_1}\otimes...\otimes dx^{b_q}.

Продолженные почти контактные структуры с Би-метрикой

Пусть M — гладкое многообразие с заданной на нем почти контактной структурой (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g, D) с Би-метрикой g. Распределение D является гладким многообразием размерности 4m+1 [6-11]. Пусть

\Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_{d}g_{bc})

коэффициенты внутренней связности ∇ [1-5].

Внутренняя линейная связность ∇ на многообразии с почти контактной метрической структурой представляет собой отображение \nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D), удовлетворяющее следующим условиям:

1) \nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}};

2) \nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y},

3) \nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z},

где \Gamma(D) — модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению D).

Действие внутренней связности обычным образом продолжается на допустимые тензорные поля. Так, например, для структурного эндоморфизма выполняется равенство

(\nabla_{\vec{x}}\varphi)\vec{y}=\nabla_{\vec{x}}(\varphi\vec{y})-\varphi(\nabla_{\vec{x}}\vec{y}),\vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D).

Коэффициенты внутренней линейной связности задаются соотношениями \nabla_{\vec{e}_a}\vec{e}_b=\Gamma^c_{ab}\vec{e}_c. Равенства \vec{e}_a=A^{a`}_a\vec{e}_{a`}, где A^{a`}_a=\frac{\partial x^{a`}}{\partial x^a}, обычным образом влекут формулу преобразования для коэффициентов внутренней связности:

\Gamma^c_{ab}=A^{a`}_aA^{b`}_bA^{c`}_c\Gamma^{c`}_{a`b`}+A^c_{c`}\vec{e}_aA^{c`}_b.

Кручением внутренней связности назовем допустимое тензорное поле S(\vec{x},\vec{y})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}],\vec{x},\vec{y} \in \Gamma(D).

Внутреннюю связность будем называть симметричной, если ее кручение равно нулю. В случае симметричности внутренней связности в адаптированных координатах получаем:

S^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab}-\Gamma^{c}_{ba}, или,\Gamma^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ba}.

Предложение 1

Коэффициенты связности Леви-Чивита многообразия M в адаптированных координатах имеют вид:

\tilde{\Gamma}^c_{ab}=\Gamma^c_{ab},

\tilde{\Gamma}^n_{ab}=\omega_{ba}-C_{ab},

\tilde{\Gamma}^b_{an}=\tilde{\Gamma}^b_{na}=C^b_a-\varphi^b_a,

\tilde{\Gamma}^n_{na}=\tilde{\Gamma}^a_{nn}=0,

где \Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_{d}g_{bc}).

Векторные поля (\vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-\Gamma^{b}_{ac}x^{n+c}\partial_{n+b},\partial_{n},\partial_{n+a})=(A_i) (i, j, k=1,...,4m+1) определяют на D неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы (dx^a, \Theta^n=dx^a+\Gamma^n_a dx^a, \Theta^{n+a}=dx^{n+a}+\Gamma^a_{bc} x^{n+c}dx^b) — соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\vec{\varepsilon}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_{n}+x^{n+d}R^{c}_{bad}\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\partial_{n}]=x^{n+d}\partial_n\Gamma^c_{ad}\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\partial_{n+b}]=\Gamma^{c}_{ab}\partial_{n+c},

где R^c_{bad} — компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах [7].

Тензор Схоутена является допустимым тензорным полем и определяется равенством R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}], где Q=I-P. Тензор Схоутена будем называть тензором кривизны внутренней связности. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид: R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]}c+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c}.

Имеет место

Предложение 2

Пусть ∇ — внутренняя связность с тензором кривизны Схоутена R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}. Тогда для всех \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D) и \vec{p}\in D имеют место следующие равенства

[\vec{x}^{h},\vec{y}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{y}]^{h}-\left\{R(\vec{x},\vec{y})\vec{p}\right\}^{v}, (3)

[\vec{x}^{h},\vec{\xi}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{\xi}]^{h}+\left\{P(\vec{x},\vec{p})\right\}^{v}, (4)

[\vec{x}^{h},\vec{y}^{v}]=(\nabla_{\vec{x}}\vec{y})^{v}, (5)

[\vec{x}^{v},\vec{\xi}^{h}]=[\vec{x},\vec{\xi}]^{v}. (6)

Определим на многообразии D почти контактную структуру (\tilde{D},J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_*,D), полагая J\vec{x}^h=(\varphi\vec{x})^h,J\vec{x}^v=(\varphi\vec{x})^v. Определим на многообразии M метрику \tilde{g}, подчиняющуюся равенствам:

\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^h)= \tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{y}^v)=g(\vec{x},\vec{y}),\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^v)=\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{u})=\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{u})=0.

Имеют место следующие предложения.

Предложение 3

Структура (\tilde{D},J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_*,\tilde{g},D) является почти контактной структурой с Би-метрикой.

Доказательство. В соответствии с определением тензоров J,\tilde{g} получаем:

\tilde{g}(J\vec{x}^h,J\vec{y}^h)=\tilde{g}((\varphi\vec{x})^h,(\varphi \vec{y})^h)=g(\varphi \vec{x},\varphi\vec{y})=-g(\vec{x},\vec{y})=-\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^h);

\tilde{g}(J\vec{x}^v,J\vec{y}^v)=\tilde{g}((\varphi\vec{x})^v,(\varphi \vec{y})^v)=g(\varphi \vec{x},\varphi\vec{y})=-g(\vec{x},\vec{y})=-\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{y}^v),

где \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D).

Предложение 4

Пусть \tilde{\nabla} — связность Леви-Чивита, тогда выполняется равенство:

\tilde{\nabla}_{\vec{x}^h}\vec{y}^h=(\nabla_{\vec{x}}\vec{y})^h-\frac{1}{2}(R(\vec{x},\vec{y})\vec{p})^v+(\omega(\vec{y},\vec{x})-C(\vec{x},\vec{y}))\vec{\xi}^h.

Доказательство предложения 4 основано на использовании равенств (3)-(6), а также выражения для коэффициентов \tilde{\Gamma}^m_{ij} связности \tilde{\nabla}:

2\tilde{\Gamma}^m_{ij}=g^{km}(A_ig_{jk}+A_jg_{ik}-A_kg_{ij}+\Omega^l_{kj}g_{li}+\Omega^l_{ki}g_{lj})+\Omega^m_{ij},

где \Omega^n_{ab}=2\omega_{ba},\Omega^{n+c}_{ab}=R^{n+c}_{ab},\Omega^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^c_{ab},\Omega^{n+c}_{an}=\partial_n\Gamma^c_{ab}x^{n+b}.

Координатное представление коэффициентов \tilde{\Gamma}^m_{ij} для разных значений индексов имеет следующий вид:

\tilde{\Gamma}^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab},

2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{ab}=R^{c}_{bad}x^{n+d},

\tilde{\Gamma}^{n}_{ab}=2\omega_{ba}-\partial_{n}g_{ab},

\tilde{\Gamma}^{c}_{a,n+b}=R^{c}_{bda}x^{n+d},

\tilde{\Gamma}^{c}_{n+b,a}=R^{c}_{adb}x^{n+d},

\tilde{\Gamma}^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^{c}_{ab},

2\tilde{\Gamma}^{n}_{a,n+b}=2\tilde{\Gamma}^{n}_{n+b,a}=\partial_{n}\Gamma^{e}_{ac}x^{n+c}g_{eb},

2\tilde{\Gamma}^{n}_{n+a,n+b}=\partial_{n}g_{ab},

2\tilde{\Gamma}^{c}_{an}=2\tilde{\Gamma}^{c}_{na}=g^{cd}(2\omega_{ad}+\partial_{n}g_{ad}),

2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{an}=\partial_{n}\Gamma^{c}_{ad}x^{n+d}=-2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{an},

2\tilde{\Gamma}^{c}_{n+a,n}=2\tilde{\Gamma}^{c}_{n,n+a}=-g^{cd}\partial_n\Gamma^e_{db}x^{n+b}g_{ae},

2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{n+a,n}=2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{n,n+a}=g^{cd}\partial_{n}g_{ad}.

Предложение 5

Имеет место равенство

\tilde{F}(\vec{x}^h,\vec{y}^h,\vec{z}^h)= F(\vec{x},\vec{y},\vec{z}).

Доказательство.

\tilde{F}(\vec{x}^h,\vec{y}^h,\vec{z}^h)=\tilde{g}((\tilde{\nabla}_{\vec{x}^h} J)\vec{y}^h,\vec{z}^h)=

=\tilde{g}(\tilde{\nabla}_{\vec{x}^h}J\vec{y}^h-J\tilde{\nabla}_{\vec{x}^h}\vec{y}^h,\vec{z}^h)=

\tilde{g}((\nabla_{\vec{x}}\varphi\vec{y})^h-(\varphi\nabla_{\vec{x}}\vec{y})^h,\vec{z}^h)=

=g(\nabla_{\vec{x}}\varphi\vec{y}-\varphi\nabla_{\vec{x}}\vec{y},\vec{z})=F(\vec{x},\vec{y},\vec{z}).

В качестве следствия предложения 5 получаем следующую теорему.

Теорема

Продолженная почти контактная структура с Би-метрикой принадлежит тому же классу, что и исходная структура.

Список литературы

  1. Букушева А.В. Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1 (49). С. 23-24.
  2. Букушева А.В. Об алгебре Ли преобразований продолженной почти контактной метрической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С. 11-13.
  3. Букушева А.В. О некоторых классах почти параконтактных метрических многообразий // Математика. Механика. 2013. №.15. С. 8-11.
  4. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул: Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.
  5. Букушева А.В. Решение учебно-исследовательских задач с использованием систем компьютерной математики // Информационные технологии в образовании: Материалы VII Всеросс. научно-практ. конф. – Саратов: ООО "Издательский центр "Наука"", 2015. С.185-187.
  6. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. №4-1 (48). С. 14-16.
  7. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. №5-1 (49). С. 20-22.
  8. Галаев С.В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №3. С. 551-555.
  9. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16. №3. С. 263-272.
  10. Галаев С.В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17. №3(59). С. 53-63.
  11. Галаев С.В. Продолженные структуры на кораспределениях контактных метрических многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17. № 2. С. 138-147.
  12. Галаев С.В., Гохман А.В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях со связностью // Математика. Механика. 2000. №2. С. 16-19.
  13. Ganchev G., Mihova V., Gribachev K., Almost contact manifolds with B-metric. Math. Balkanica (N.S.). 1993. 7(3-4). P. 261-276.
  14. Gribachev K., Mekerov D., Djelepov G. On the geometry of almost B-manifolds. C. R. Acad. Bulgare Sci. 1985. 38. P. 563-566.
  15. Manev H. Almost contact B-metric structures and the Bianchi classification of the three-dimensional Lie algebras, Annuaire Univ. Sofia Fac. Math. Inform. 2015. 102. P. 133-144.
  16. Manev H. Matrix Lie groups as 3-dimensional almost contact B-metric manifolds, Facta Univ. Ser. Math. Inform. 2015. 30(3). P. 341-351.
  17. Manev H., Mekerov D. Lie groups as 3-dimensional almost contact B-metric manifolds, J. Geom. 2015. 106. P. 229-242.
  18. Manev M. Curvature properties on some classes of almost contact manifolds with B-metric. C. R. Acad. Bulgare Sci. 2012. 65(5). P. 283-290.
  19. Manev M., Ivanova M. A natural connection on some classes of almost contact manifolds with B-metric. C. R. Acad. Bulg. Sci. 2012. 65(4). P. 429-436.