Об одном классе метрической N-связности почти контактного кэлерова многообразия

№92-1,

физико-математические науки

Находятся условия, при которых N-связность с заданным эндоморфизмом N:D → D распределения почти контактного Кэлерова многообразия является адаптированной к соответствующей почти контактной метрической структуре.

Похожие материалы

Введение

В настоящей работе на гладком многообразии M с почти контактной кэлеровой структурой (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi,g) наряду со связностью Леви-Чивита рассматривается N-связность \nabla^N_{\vec{x}}, однозначно определяемая следующими условиями:

  1. S(\vec{x},\vec{y})=2\omega(\vec{x},\vec{y})\vec{\xi}+\eta(\vec{x})N\vec{y}-\eta(\vec{y})N\vec{x}, \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(TM);
  2. \nabla^N_{\vec{x}}g(\vec{y},\vec{z})=0, \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D);
  3. \nabla^N_{\vec{x}}\vec{\xi}=0, \vec{x}\in \Gamma(TM);
  4. \nabla^N_{\vec{x}}\eta=0, \vec{x}\in \Gamma(TM),

где S(\vec{x},\vec{y}) — кручение связности, N:D\rightarrow D — эндоморфизм распределения структуры. Тензор кривизны K(\vec{x},\vec{y})\vec{z} N-связности находится по формуле

K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=2\omega(\vec{x},\vec{y})N\vec{z}+R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}+\eta(\vec{x})(P(\vec{y},\vec{z})-(\nabla^N_{P\vec{y}}N)\vec{z})-\eta(\vec{y})(P(\vec{x},\vec{z})-(\nabla^N_{P\vec{x}}N)\vec{z}),

\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(TM), где R(\vec{x},\vec{y})\vec{z} — тензор кривизны Схоутена [1-3].

N-связность может быть отождествлена с парой (\nabla,N), где \nabla — внутренняя связность, осуществляющая параллельный перенос допустимых векторов вдоль допустимых кривых.

Вообще говоря, N-связность \nabla^N_{\vec{x}} не является метрической связностью. Выбирая соответствующим образом эндоморфизм N, можно получить хорошо известные в геометрии почти контактных метрических пространств N-связности: связность Танака-Вебстера, связность Схоутена-ван Кампена и другие связности [4, 9-12].

В работе определяется такой эндоморфизм N, при котором соответствующая связность \nabla^N_{\vec{x}} является метрической связностью. Находятся условия, при которых полученная связность сохраняет структурный эндоморфизм \varphi.

N-продолженная связность, определяемая внутренней связностью

Пусть M — гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1, m\geq 1, \Gamma(TM) — модуль гладких векторных полей на M. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса C^\infty. Предположим, что на M задана почти контактная кэлерова структура (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi) [5, 6], где \varphi — тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, \vec{\xi} и \eta — вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, g — (псевдо) риманова метрика. Кососимметрический тензор \Omega(\vec{x},\vec{y})=g(\vec{x},\varphi\vec{y}) называется фундаментальной формой структуры. Почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой, если выполняется равенство \Omega=d\eta. Пусть D — гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формой \eta, D^{\bot}=Span(\vec{\xi}) — его оснащение: TM=D\oplus D^{\bot}. В контактном случае вектор \vec{\xi} однозначно определяется из условий \eta(\vec{\xi})=1, \ker\omega=Span(\vec{\xi}) и называется вектором Риба. Будем называть D распределением почти контактной метрической структуры. В работе рассматривается специальный класс почти контактных метрических многообразий: почти контактные кэлеровы многообразия — почти нормальные многообразия с замкнутой фундаментальной формой [7, 8]. Почти контактные метрические многообразия называются нормальными, если для них выполняется равенство

N_\varphi +2d\eta\otimes \vec{\xi}=0.

Здесь N_\varphi (\vec{x},\vec{y})=[\varphi \vec{x},\varphi\vec{y}]+\varphi^2 [\vec{x},\vec{y}]-\varphi[\varphi\vec{x},\vec{y}]-\varphi[\vec{x},\varphi\vec{y}] — тензор Нейенхейса эндоморфизма \varphi.

Карту K(x^{\alpha})(\alpha,\beta,\gamma=1,...,n; a,b,c=1,...,n-1) многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если \partial_n=\vec{\xi} [5, 6]. Пусть P:TM\rightarrow D — проектор, определяемый разложением TM=D\oplus D^{\bot}, и K(x^{\alpha}) — адаптированная карта. Векторные поля P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n} линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают систему D: D=Span(\vec{e}_{a}). На многообразии M неголономному полю базисов (\vec{e}_\alpha)=(\vec{e}_{a},\partial_{n}) соответствует поле кобазисов (dx^a,\eta=\Theta^{n}=dx^{n}+\Gamma^{n}_{a}dx^{a}). Непосредственно проверяется, что [\vec{e}_{a},\vec{e}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_n. Адаптированным будем называть также базис \vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}, как базис, определяемый адаптированной картой. Условие \vec{\xi}\in ker \omega влечет справедливость равенства \partial_{n}\Gamma^{n}_{a}=0. Пусть K(x^{\alpha}) и K`(x^{\alpha`}) — адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат:

x^a=x^a(x^{a`}), x^n=x^{n`}+x^n(x^{a`}).

Преобразование компонент допустимого тензорного поля в адаптированных координатах подчиняется следующему закону: t^a_b =A^a_{a`}A^{b`}_b t^{a`}_{b`}, где A^{a`}_a=\frac{\partial x^{a`}}{\partial x^a}.

Известно, что производные \partial_{n}t^{a}_{b}=0 компонент допустимого тензорного поля являются компонентами допустимого тензорного поля того же типа.

Используя адаптированные координаты, введем следующие допустимые тензорные поля: h^a_b=\frac{1}{2}\partial_n \varphi^a_b, C_{ab}=\frac{1}{2}\partial_n g_{ab}, C^a_b=g^{da}C_{db}, \psi^c_a=g^{bc}\omega_{ab}. Будем использовать следующие обозначения для связности и коэффициентов связности Леви-Чивита тензора g: \tilde{\nabla}, \tilde{\Gamma}^\alpha_{\beta \gamma}. В результате непосредственных вычислений убеждаемся в справедливости следующей теоремы. Известно, что коэффициенты связности Леви-Чивита почти контактного метрического пространства в адаптированных координатах имеют вид: \tilde{\Gamma}^c_{ab}=\Gamma^c_{ab}, \tilde{\Gamma}^n_{ab}=\omega_{ba}-C_{ab}, \tilde{\Gamma}^b_{an}=\tilde{\Gamma}^b_{na}=C^b_a-\psi^b_a, \tilde{\Gamma}^n_{na}=\tilde{\Gamma}^a_{nn}=0, где \Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_{d}g_{bc}). Для почти контактных кэлеровых пространств выражения для коэффициентов связности принимают более простой вид: \tilde{\Gamma}^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab}, \tilde{\Gamma}^{n}_{ab}=\omega_{ba}, \tilde{\Gamma}^{b}_{an}=\tilde{\Gamma}^{b}_{na}=-\psi^b_a, \tilde{\Gamma}^n_{na}=0, \tilde{\Gamma}^a_{nn}=0.

Под внутренней линейной связностью на многообразии с контактной метрической структурой [5, 6] понимается отображение \nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D), удовлетворяющее следующим условиям:

1) \nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}};

2) \nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y},

3) \nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z},

где \Gamma(D) — модуль допустимых векторных полей. Коэффициенты линейной связности определяются из соотношения \nabla_{\vec{e}_a}\vec{e}_b=\Gamma^c_{ab}\vec{e}_c.

Кручение внутренней линейной связности S по определению полагается равным S(\vec{x},\vec{y})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}].

Таким образом, в адаптированных координатах мы имеем

S^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab}-\Gamma^{c}_{ba}.

Под кручением N-продолженной связности будем понимать кручение исходной внутренней связности. Будем использовать следующее обозначение для N-продолженной связности: \nabla^N=(\nabla,N), где \nabla — внутренняя связность. N-продолженную связность назовем метрической, если \nabla — внутренняя симметричная метрическая связность и выполняется равенство

\nabla^N_{\vec{\xi}}g_{ab}=\partial_ng_{ab}-N^c_ag_{cb}-N^c_bg_{ac}=0.

Если не оговорено противное, на протяжении всей работы под связностью \nabla будет пониматься внутренняя симметричная метрическая связность.

Допустимое тензорное поле, определяемое равенством

R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}],

где Q=1-P, называется тензором кривизны Схоутена. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид:

R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]}c+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c}.

Поставим в соответствие внутренней связности линейную связность на многообразии M, обозначаемую символом \nabla^N и удовлетворяющую следующим условиям:

1) S(\vec{x},\vec{y})=2\omega(\vec{x},\vec{y})\vec{\xi}+\eta(\vec{x})N\vec{y}-\eta(\vec{y})N\vec{x}, \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(TM);

2) \nabla^N_{\vec{x}}g(\vec{y},\vec{z})=0, \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D);

3) \nabla^N_{\vec{x}}\vec{\xi}=0, \vec{x}\in \Gamma(TM);

4) \nabla^N_{\vec{x}}\eta=0, \vec{x}\in \Gamma(TM),

где S(\vec{x},\vec{y}) — тензор кручения связности \nabla^N_{\vec{x}}.

Для тензора кривизны N-связности \nabla^N_{\vec{x}} выполняется следующее соотношение

K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=2\omega(\vec{x},\vec{y})N\vec{z}+R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}+\eta(\vec{x})(P(\vec{y},\vec{z})-(\nabla^N_{P\vec{y}}N)\vec{z})-\eta(\vec{y})(P(\vec{x},\vec{z})-(\nabla^N_{P\vec{x}}N)\vec{z}),

\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(TM).

Адаптированные N-связности к почти контактной кэлеровой структуре

Введем обозначение G^\alpha_{\beta\gamma} для коэффициентов N-связности. Отличными от нуля компонентами связности будут G^a_{bc}=\Gamma^a_{bc}, G^a_{nb}=N^a_b. В качестве эндоморфизма N выберем определенный выше эндоморфизм \psi. Назовем полученную связность \psi-связностью.

Теорема 1

\psi-связность на почти контактном кэлеровом многообразии является метрической связностью.

Доказательство. Докажем справедливость равенства

\nabla^\psi_ng_{ab}=\partial_ng_{ab}-\psi^c_ag_{cb}-\psi^c_bg_{ca}=0.

Имеем: \nabla^\psi_ng_{ab}=-\psi^c_ag_{cb}-\psi^c_bg_{ca}=-g^{cd}\omega_{da}g_{cb}-g^{cd}\omega_{db}g_{ca}=-\delta^d_b\omega_{da}-\delta^d_a\omega_{da}=\omega_{ab}-\omega_{ab}=0.

Теорема доказана.

Связность \nabla называется адаптированной к почти контактной метрической структуре, если выполняются равенства

\nabla g=\nabla\varphi=\nabla\vec{\xi}=\nabla\eta=0.

Теорема 2

\psi-связность \nabla^\psi_n адаптирована к почти контактной метрической структуре тогда и только тогда, эндоморфизм \psi коммутирует с эндоморфизмом \varphi:

\varphi\psi-\psi\varphi=0.

Справедливость утверждения подтверждается равенством:

\nabla^\psi_n\varphi^b_a=\psi^b_c\varphi^c_a-\psi^c_a\varphi^b_c=(\psi\varphi)^b_a-(\psi\varphi)^b_a.

Список литературы

  1. Bukusheva A.V., Galaev S.V. Almost contact metric structures defined by connection over distribution // Bulletin of the Transilvania University of Brasov Series III: Mathematics, Informatics, Physics. 2011. Т. 4. №2. Р. 13-22.
  2. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул: Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.
  3. Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.
  4. Букушева А.В. О геометрии контактных метрических пространств с $\varphi$-связностью // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. №17(214) Вып. 40. 2015. С. 20-24.
  5. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. №4-1 (48). С. 14-16.
  6. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. №5-1 (49). С. 20-22.
  7. Галаев С.В., Гохман А.В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях со связностью // Математика. Механика. 2000. №2. С. 16-19.
  8. Галаев С.В. Продолженные структуры на кораспределениях контактных метрических многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17. № 2. С. 138-147.
  9. Tanaka N. On non-degenerate real hypersurfaces, graded Lie algebras and Cartan connections // Japan J. Math. 1976. № 20. P. 131-190.
  10. Tanno S. Variational problems on contact Riemannian manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. Vol. 314. №1. P. 349-379.
  11. Webster S. M. Pseudo-Hermitian structures on a real hypersurface // J. Diff. Geom. 1978. №13. P. 25-41.
  12. Schouten J., van Kampen E. Zur Einbettungs-und Krümmungstheorie nichtholonomer Gebilde, Math. Ann. 1930. № 103. P. 752-783.