Об одном классе метрической N-связности почти контактного кэлерова многообразия

Букушева, Алия Владимировна

Введение

В настоящей работе на гладком многообразии M с почти контактной кэлеровой структурой $(M, \vec{\xi}, \eta, \varphi,g)$ наряду со связностью Леви-Чивита рассматривается N-связность $\nabla^N_{\vec{x}}$ , однозначно определяемая следующими условиями:

$S(\vec{x},\vec{y})=2\omega(\vec{x},\vec{y})\vec{\xi}+\eta(\vec{x})N\vec{y}-\eta(\vec{y})N\vec{x}$ , $\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(TM)$ ;
$\nabla^N_{\vec{x}}g(\vec{y},\vec{z})=0$ , $\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D)$ ;
$\nabla^N_{\vec{x}}\vec{\xi}=0$ , $\vec{x}\in \Gamma(TM)$ ;
$\nabla^N_{\vec{x}}\eta=0$ , $\vec{x}\in \Gamma(TM)$ ,

где $S(\vec{x},\vec{y})$ — кручение связности, $N:D\rightarrow D$ — эндоморфизм распределения структуры. Тензор кривизны $K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}$ N-связности находится по формуле

$K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=2\omega(\vec{x},\vec{y})N\vec{z}+R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}+\eta(\vec{x})(P(\vec{y},\vec{z})-(\nabla^N_{P\vec{y}}N)\vec{z})-\eta(\vec{y})(P(\vec{x},\vec{z})-(\nabla^N_{P\vec{x}}N)\vec{z})$ ,

$\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(TM)$ , где $R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}$ — тензор кривизны Схоутена [1-3].

N-связность может быть отождествлена с парой $(\nabla,N)$ , где $\nabla$ — внутренняя связность, осуществляющая параллельный перенос допустимых векторов вдоль допустимых кривых.

Вообще говоря, N-связность $\nabla^N_{\vec{x}}$ не является метрической связностью. Выбирая соответствующим образом эндоморфизм N, можно получить хорошо известные в геометрии почти контактных метрических пространств N-связности: связность Танака-Вебстера, связность Схоутена-ван Кампена и другие связности [4, 9-12].

В работе определяется такой эндоморфизм N, при котором соответствующая связность $\nabla^N_{\vec{x}}$ является метрической связностью. Находятся условия, при которых полученная связность сохраняет структурный эндоморфизм $\varphi$ .

N-продолженная связность, определяемая внутренней связностью

Пусть M — гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1, $m\geq 1$ , $\Gamma(TM)$ — модуль гладких векторных полей на M. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса $C^\infty$ . Предположим, что на M задана почти контактная кэлерова структура $(M, \vec{\xi}, \eta, \varphi)$ [5, 6], где $\varphi$ — тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, $\vec{\xi}$ и $\eta$ — вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, g — (псевдо) риманова метрика. Кососимметрический тензор $\Omega(\vec{x},\vec{y})=g(\vec{x},\varphi\vec{y})$ называется фундаментальной формой структуры. Почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой, если выполняется равенство $\Omega=d\eta$ . Пусть D — гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формой $\eta$ , $D^{\bot}=Span(\vec{\xi})$ — его оснащение: $TM=D\oplus D^{\bot}$ . В контактном случае вектор $\vec{\xi}$ однозначно определяется из условий $\eta(\vec{\xi})=1$ , $\ker\omega=Span(\vec{\xi})$ и называется вектором Риба. Будем называть D распределением почти контактной метрической структуры. В работе рассматривается специальный класс почти контактных метрических многообразий: почти контактные кэлеровы многообразия — почти нормальные многообразия с замкнутой фундаментальной формой [7, 8]. Почти контактные метрические многообразия называются нормальными, если для них выполняется равенство

$N_\varphi +2d\eta\otimes \vec{\xi}=0$ .

Здесь $N_\varphi (\vec{x},\vec{y})=[\varphi \vec{x},\varphi\vec{y}]+\varphi^2 [\vec{x},\vec{y}]-\varphi[\varphi\vec{x},\vec{y}]-\varphi[\vec{x},\varphi\vec{y}]$ — тензор Нейенхейса эндоморфизма $\varphi$ .

Карту $K(x^{\alpha})$ $(\alpha,\beta,\gamma=1,...,n; a,b,c=1,...,n-1)$ многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если $\partial_n=\vec{\xi}$ [5, 6]. Пусть $P:TM\rightarrow D$ — проектор, определяемый разложением $TM=D\oplus D^{\bot}$ , и $K(x^{\alpha})$ — адаптированная карта. Векторные поля $P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}$ линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают систему D: $D=Span(\vec{e}_{a})$ . На многообразии M неголономному полю базисов $(\vec{e}_\alpha)=(\vec{e}_{a},\partial_{n})$ соответствует поле кобазисов $(dx^a,\eta=\Theta^{n}=dx^{n}+\Gamma^{n}_{a}dx^{a})$ . Непосредственно проверяется, что $[\vec{e}_{a},\vec{e}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_n$ . Адаптированным будем называть также базис $\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}$ , как базис, определяемый адаптированной картой. Условие $\vec{\xi}\in ker \omega$ влечет справедливость равенства $\partial_{n}\Gamma^{n}_{a}=0$ . Пусть $K(x^{\alpha})$ и $K`(x^{\alpha`})$ — адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат:

$x^a=x^a(x^{a`})$ , $x^n=x^{n`}+x^n(x^{a`})$ .

Преобразование компонент допустимого тензорного поля в адаптированных координатах подчиняется следующему закону: $t^a_b =A^a_{a`}A^{b`}_b t^{a`}_{b`}$ , где $A^{a`}_a=\frac{\partial x^{a`}}{\partial x^a}$ .

Известно, что производные $\partial_{n}t^{a}_{b}=0$ компонент допустимого тензорного поля являются компонентами допустимого тензорного поля того же типа.

Используя адаптированные координаты, введем следующие допустимые тензорные поля: $h^a_b=\frac{1}{2}\partial_n \varphi^a_b$ , $C_{ab}=\frac{1}{2}\partial_n g_{ab}$ , $C^a_b=g^{da}C_{db}$ , $\psi^c_a=g^{bc}\omega_{ab}$ . Будем использовать следующие обозначения для связности и коэффициентов связности Леви-Чивита тензора g: $\tilde{\nabla}$ , $\tilde{\Gamma}^\alpha_{\beta \gamma}$ . В результате непосредственных вычислений убеждаемся в справедливости следующей теоремы. Известно, что коэффициенты связности Леви-Чивита почти контактного метрического пространства в адаптированных координатах имеют вид: $\tilde{\Gamma}^c_{ab}=\Gamma^c_{ab}$ , $\tilde{\Gamma}^n_{ab}=\omega_{ba}-C_{ab}$ , $\tilde{\Gamma}^b_{an}=\tilde{\Gamma}^b_{na}=C^b_a-\psi^b_a$ , $\tilde{\Gamma}^n_{na}=\tilde{\Gamma}^a_{nn}=0$ , где $\Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_{d}g_{bc})$ . Для почти контактных кэлеровых пространств выражения для коэффициентов связности принимают более простой вид: $\tilde{\Gamma}^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab}$ , $\tilde{\Gamma}^{n}_{ab}=\omega_{ba}$ , $\tilde{\Gamma}^{b}_{an}=\tilde{\Gamma}^{b}_{na}=-\psi^b_a$ , $\tilde{\Gamma}^n_{na}=0$ , $\tilde{\Gamma}^a_{nn}=0$ .

Под внутренней линейной связностью на многообразии с контактной метрической структурой [5, 6] понимается отображение $\nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D)$ , удовлетворяющее следующим условиям:

$1) \nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}}$ ;

$2) \nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y}$ ,

$3) \nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z}$ ,

где $\Gamma(D)$ — модуль допустимых векторных полей. Коэффициенты линейной связности определяются из соотношения $\nabla_{\vec{e}_a}\vec{e}_b=\Gamma^c_{ab}\vec{e}_c$ .

Кручение внутренней линейной связности S по определению полагается равным $S(\vec{x},\vec{y})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}]$ .

Таким образом, в адаптированных координатах мы имеем

$S^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab}-\Gamma^{c}_{ba}$ .

Под кручением N-продолженной связности будем понимать кручение исходной внутренней связности. Будем использовать следующее обозначение для N-продолженной связности: $\nabla^N=(\nabla,N)$ , где $\nabla$ — внутренняя связность. N-продолженную связность назовем метрической, если $\nabla$ — внутренняя симметричная метрическая связность и выполняется равенство

$\nabla^N_{\vec{\xi}}g_{ab}=\partial_ng_{ab}-N^c_ag_{cb}-N^c_bg_{ac}=0$ .

Если не оговорено противное, на протяжении всей работы под связностью $\nabla$ будет пониматься внутренняя симметричная метрическая связность.

Допустимое тензорное поле, определяемое равенством

$R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}]$ ,

где Q=1-P, называется тензором кривизны Схоутена. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид:

$R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]}c+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c}$ .

Поставим в соответствие внутренней связности линейную связность на многообразии M, обозначаемую символом $\nabla^N$ и удовлетворяющую следующим условиям:

1) $S(\vec{x},\vec{y})=2\omega(\vec{x},\vec{y})\vec{\xi}+\eta(\vec{x})N\vec{y}-\eta(\vec{y})N\vec{x}$ , $\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(TM)$ ;

2) $\nabla^N_{\vec{x}}g(\vec{y},\vec{z})=0$ , $\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D)$ ;

3) $\nabla^N_{\vec{x}}\vec{\xi}=0$ , $\vec{x}\in \Gamma(TM)$ ;

4) $\nabla^N_{\vec{x}}\eta=0$ , $\vec{x}\in \Gamma(TM)$ ,

где $S(\vec{x},\vec{y})$ — тензор кручения связности $\nabla^N_{\vec{x}}$ .

Для тензора кривизны N-связности $\nabla^N_{\vec{x}}$ выполняется следующее соотношение

$K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=2\omega(\vec{x},\vec{y})N\vec{z}+R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}+\eta(\vec{x})(P(\vec{y},\vec{z})-(\nabla^N_{P\vec{y}}N)\vec{z})-\eta(\vec{y})(P(\vec{x},\vec{z})-(\nabla^N_{P\vec{x}}N)\vec{z})$ ,

$\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(TM)$ .

Адаптированные N-связности к почти контактной кэлеровой структуре

Введем обозначение $G^\alpha_{\beta\gamma}$ для коэффициентов N-связности. Отличными от нуля компонентами связности будут $G^a_{bc}=\Gamma^a_{bc}$ , $G^a_{nb}=N^a_b$ . В качестве эндоморфизма N выберем определенный выше эндоморфизм $\psi$ . Назовем полученную связность $\psi$ -связностью.

Теорема 1

$\psi$ -связность на почти контактном кэлеровом многообразии является метрической связностью.

Доказательство. Докажем справедливость равенства

$\nabla^\psi_ng_{ab}=\partial_ng_{ab}-\psi^c_ag_{cb}-\psi^c_bg_{ca}=0$ .

Имеем: $\nabla^\psi_ng_{ab}=-\psi^c_ag_{cb}-\psi^c_bg_{ca}=-g^{cd}\omega_{da}g_{cb}-g^{cd}\omega_{db}g_{ca}=-\delta^d_b\omega_{da}-\delta^d_a\omega_{da}=\omega_{ab}-\omega_{ab}=0$ .

Теорема доказана.

Связность $\nabla$ называется адаптированной к почти контактной метрической структуре, если выполняются равенства

$\nabla g=\nabla\varphi=\nabla\vec{\xi}=\nabla\eta=0$ .

Теорема 2

$\psi$ -связность $\nabla^\psi_n$ адаптирована к почти контактной метрической структуре тогда и только тогда, эндоморфизм $\psi$ коммутирует с эндоморфизмом $\varphi:$

$\varphi\psi-\psi\varphi=0$ .

Справедливость утверждения подтверждается равенством:

$\nabla^\psi_n\varphi^b_a=\psi^b_c\varphi^c_a-\psi^c_a\varphi^b_c=(\psi\varphi)^b_a-(\psi\varphi)^b_a$ .

Об одном классе метрической N-связности почти контактного кэлерова многообразия

физико-математические науки

Похожие материалы

Введение

N-продолженная связность, определяемая внутренней связностью

Адаптированные N-связности к почти контактной кэлеровой структуре

Список литературы