Об одном классе продолженных Би-метрических структур на распределениях субримановых многообразий

№88-1,

физико-математические науки

Находятся ограничения на инварианты внутренней геометрии субриманова многообразия, порождающего продолженную структуру из заданного класса Би-метрических пространств.

Похожие материалы

Введение

Понятие почти контактного Би-метрического многообразия (ПКБМ) как многообразия, оснащенного почти контактной Би-метрической структурой, введено в работе [13]. В той же работе предложена классификация ПКБМ, в основу которой положено строение фундаментального, ассоциированного с Би-метрической структурой тензора F типа (0, 3). В соответствии с указанной классификацией выделяется 211 классов ПКБМ, в том числе, — 11 базисных классов. Понятие почти контактного Би-метрического многообразия является общим по сравнению с понятием многообразия с метрикой Нордена [14]. В других работах [15-19], посвященных исследованию ПКБМ, приводятся примеры Би-метрических многообразий различных классов. В настоящей работе продолжается исследование почти контактных Би-метрических структур, определяемых на распределениях субримановых многообразий контактного типа. Такие структуры введены в работе [8]. Под субримановым многообразием контактного типа [8] понимается гладкое многообразие M с заданной на нем субримановой структурой (M, \vec{\xi}, \eta, g, D), где: \eta — 1-форма, порождающая распределение D: D=ker(\eta); \vec{\xi} — векторное поле, порождающее оснащение D^{\bot} распределения D: D^{\bot}=span(\vec{\xi}); g — риманова метрика на многообразии M, относительно которой распределения D и D^{\bot} взаимно ортогональны. При этом выполняются равенства \eta(\vec{\xi})=1 и g(\vec{\xi},\vec{\xi})=1. На основе конструкции продолжения [1-12] почти контактных метрических структур, продолженная почти контактная структура с Би-метрикой была определена на тотальном пространстве D векторного расслоения (D,\pi,M) [8]. В работе [8] исследовался случай субриманова многообразия с нулевым тензором Схоутена. Особенностью продолженной почти контактной структурой с Би-метрикой является то, что значения ассоциированного с ней тензорного поля F [13] выражаются через инварианты внутренней геометрии [12] субримановых многообразий. К инвариантам внутренней геометрии субримановых многообразий в работе [8] отнесены: тензор кривизны Схоутена R; дифференциальная 2-форма \omega=d\eta; производная Ли L_{\vec{\xi}}g метрического тензора g вдоль векторного поля \vec{\xi}; тензорное поле P, компоненты которого в адаптированных координатах [12] выражаются с помощью равенств P^c_{ad}=\partial_n \Gamma^c_{ad}.

Целью работы является исследование инвариантов внутренней геометрии субримановых многообразий, порождающих продолженную структуру из класса F_{1}\oplus F_{2}\oplus F_{3}\oplus F_{10}. При этом мы опираемся на следующее утверждение [13]: если почти контактная Би-метрическая структура обладает тем свойством, что \nabla\vec{\xi}=\vec{0}, то она принадлежит классу F_{1}\oplus F_{2}\oplus F_{3}\oplus F_{10}.

Основные сведения из геометрии продолженных структур

Пусть M — гладкое многообразие размерности n с заданной на нем субримановой структурой (M, \vec{\xi}, \eta, g, D), где \eta и \vec{\xi} 1-форма и единичное векторное поле, порождающие, соответственно, ортогональные между собой распределения D и D^{\bot}. Внутренней линейной связностью \nabla [12] на субримановом многообразии называется отображение \nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D), удовлетворяющее следующим условиям:

  1. \nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}};
  2. \nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y},
  3. \nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z},

где \Gamma(D) — модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению D).

Карту K(x^{\alpha})(\alpha,\beta,\gamma=1,...,n; a,b,c=1,...,n-1,i,j,k=2n-1) многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если \partial_n=\vec{\xi} [12]. Пусть P:TM\rightarrow D — проектор, определяемый разложением TM=D\oplus D^{\bot}, и K(x^{\alpha}) — адаптированная карта. Векторные поля P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n} линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение D=Span(\vec{e}_{a}).

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения \nabla_{\vec{e}_a}\vec{e}_b=\Gamma^c_{ab}\vec{e}_c.

Кручением и кривизной внутренней связности назовем, соответственно, допустимые тензорные поля:

S(\vec{x},\vec{y})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}],

R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}],

где Q=I-P, \vec{x},\vec{y},\vec{z} \in \Gamma(D). Тензор R(\vec{x},\vec{y})\vec{z} называется тензором кривизны субриманова многообразия.

Пусть M — гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1, m\geq 1, с заданной на нем почти контактной структурой (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, D), где \varphi — тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, \vec{\xi} и \eta — вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, такие, что:

\varphi\vec{\xi}=\vec{0}, \varphi^2=-I+\eta\otimes \vec{\xi}, \eta\circ \varphi=0, \eta(\vec{\xi})=1.

Если почти контактная структура (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, D) согласована с псевдо-римановой метрикой g таким образом, что

g(\varphi\vec{x},\varphi\vec{y})=-g(\vec{x},\vec{y})+\eta(\vec{x})\eta(\vec{y}),

где \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(TM), \Gamma(TM) — модуль векторных полей на многообразии M, то структура (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g, D) называется почти контактной структурой с Би-метрикой, а многообразие M — почти контактным Би-метрическим многообразием. Распределение D=ker (\eta) называется распределением Би-метрического многообразия, а распределение D^{\bot}=span(\vec{\xi}) — оснащением распределения D.

Тензорное поле F(\vec{x},\vec{y},\vec{z})=g((\nabla_{\vec{x}}\varphi)\vec{y},\vec{z}), где \nabla — связность Леви-Чивита, называется фундаментальным тензорным полем, ассоциированным со структурой Би-метрического многообразия.

Векторные поля (\vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-\Gamma^{b}_{ac}x^{n+c}\partial_{n+b},\partial_{n},\partial_{n+a})=(A_i) определяют [8] на распределении D как на гладком многообразии неголономное (адаптированное) поле базисов. Имеют место [8] следующие структурные уравнения:

[\vec{\varepsilon}_{a},\vec{\varepsilon}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_{n}+x^{n+d}R^{c}_{bad}\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\partial_{n}]=x^{n+d}\partial_n\Gamma^c_{ad}\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\partial_{n+b}]=\Gamma^{c}_{ab}\partial_{n+c},

где R^c_{bad} — компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах:

R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]}c+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c}.

Эндоморфизм J почти контактной структуры (\tilde{D},J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_*,D) определяется с помощью равенства J\vec{x}^h=\vec{x}^v, J\vec{x}^v=-\vec{x}^h. Здесь (D,\pi,M) — естественная проекция. Определим на многообразии D метрику \tilde{g}, полагая:

\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^h)=-\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{y}^v)=g(\vec{x},\vec{y}), \tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^v)=\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{u})=\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{u})=0.

Здесь \vec{u}=\partial_{n}.

Имеют место следующие предложения [8].

Предложение 1

Структура (\tilde{D},J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_*,D) является почти контактной структурой с Би-метрикой.

Предложение 2

Пусть \tilde{\nabla} — связность Леви-Чивита на Би-метрическом многообразии D, тогда ее коэффициенты \tilde{\Gamma}^{i}_{jk} в адаптированных координатах получают следующее представление:

\tilde{\Gamma}^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab},

2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{ab}=R^{c}_{bad}x^{n+d},

2\tilde{\Gamma}^{n}_{ab}=2\omega_{ba}-\partial_{n}g_{ab},

2\tilde{\Gamma}^{c}_{a,n+b}=R^{c}_{bda}x^{n+d},

2\tilde{\Gamma}^{c}_{n+b,a}=R^{c}_{adb}x^{n+d},

\tilde{\Gamma}^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^{c}_{ab},

2\tilde{\Gamma}^{n}_{a,n+b}=2\tilde{\Gamma}^{n}_{n+b,a}=\partial_{n}\Gamma^{e}_{ac}x^{n+c}g_{eb},

2\tilde{\Gamma}^{n}_{n+a,n+b}=\partial_{n}g_{ab},

2\tilde{\Gamma}^{c}_{an}=2\tilde{\Gamma}^{c}_{na}=g^{cd}(2\omega_{ad}+\partial_{n}g_{ad}),

2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{an}=\partial_{n}\Gamma^{c}_{ad}x^{n+d}=-2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{an},

2\tilde{\Gamma}^{c}_{n+a,n}=2\tilde{\Gamma}^{c}_{n,n+a}=-g^{cd}\partial_n\Gamma^e_{db}x^{n+b}g_{ae},

2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{n+a,n}=2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{n,n+a}=g^{cd}\partial_{n}g_{ad}.

Доказательство предложения 2 основано на использовании структурных уравнений, а также выражения для коэффициентов связности:

2\Gamma^{m}_{ij}=g^{km}(A_{i}g_{jk}+A_{j}g_{ik}-A_{k}g_{ij}+\Omega^{l}_{kj}g_{li}+\Omega^{l}_{ki}g_{lj})+\Omega^{m}_{ij},

где \Omega^n_{ab}=2\omega_{ba}, \Omega^{n+c}_{ab}=R^{c}_{bad}x^{n+d}, \Omega^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^{c}_{ab}, \Omega^{n+c}_{an}=\partial_{n}\Gamma^c_{ab}x^{n+b}.

Основной результат

Теорема

Если инварианты внутренней геометрии \omega=d\eta, L_{\vec{\xi}}g субриманова многообразия M обращаются в нуль, то продолженная Би-метрическая структура принадлежит классу F_{1}\oplus F_{2}\oplus F_{3}\oplus F_{10}.

Доказательство. Обращение в нуль инварианта L_{\vec{\xi}}g влечет справедливость равенства P^c_{ad}=\partial_{n} \Gamma^c_{ad}=0. Если условия теоремы выполняются, то оказываются справедливыми следующие равенства:

2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{an}=\partial_{n}\Gamma^{c}_{ad}x^{n+d}=-2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{na}=0,

2\tilde{\Gamma}^{c}_{n+a,n}=2\tilde{\Gamma}^{c}_{n,n+a}=-g^{cd}\partial_{n}\Gamma^{e}_{db}x^{n+b}g_{ae}=0,

2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{n+a,n}=2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{n,n+a}=g^{cd}\partial_{n}g_{ad}=0.

Отсюда следует равенство \nabla\vec{\xi}=\vec{0}, что является необходимым условием [13] принадлежности продолженной структуры классу F_{1}\oplus F_{2}\oplus F_{3}\oplus F_{10}.

Что и доказывает теорему.

Список литературы

  1. Букушева А.В. Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1 (49). С. 23-24.
  2. Букушева А.В. Об алгебре Ли преобразований продолженной почти контактной метрической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С. 11-13.
  3. Букушева А.В. О некоторых классах почти параконтактных метрических многообразий // Математика. Механика. 2013. №.15. С. 8-11.
  4. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул: Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.
  5. Букушева А.В. Решение учебно-исследовательских задач с использованием систем компьютерной математики // Информационные технологии в образовании: Материалы VII Всеросс. научно-практ. конф. – Саратов: ООО "Издательский центр "Наука"", 2015. С.185-187.
  6. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. №4-1 (48). С. 14-16.
  7. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. №5-1 (49). С. 20-22.
  8. Галаев С.В. О классификации продолженных Би-метрических структур на субримановых многообразиях с нулевым тензором кривизны Схоутена // Вестник Башкирского университета. 2017. Т. 22. №4. С. 936-939.
  9. Галаев С.В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17. №3(59). С. 53-63.
  10. Галаев С.В. Продолженные структуры на кораспределениях контактных метрических многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 2. С. 138-147.
  11. Галаев С.В., Гохман А.В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях со связностью // Математика. Механика. 2000. №2. С. 16-19.
  12. Galaev S.V. Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Vol. 31. №1. P. 35-46.
  13. Ganchev G., Mihova V., Gribachev K., Almost contact manifolds with B-metric. Math. Balkanica (N.S.). 1993. 7(3-4). P. 261-276.
  14. Gribachev K., Mekerov D., Djelepov G. On the geometry of almost B-manifolds. C. R. Acad. Bulgare Sci. 1985. 38. P. 563-566.
  15. Manev H. Almost contact B-metric structures and the Bianchi classification of the three-dimensional Lie algebras, Annuaire Univ. Sofia Fac. Math. Inform. 2015. 102. P. 133-144.
  16. Manev H. Matrix Lie groups as 3-dimensional almost contact B-metric manifolds, Facta Univ. Ser. Math. Inform. 2015. 30(3). P. 341-351.
  17. Manev H., Mekerov D. Lie groups as 3-dimensional almost contact B-metric manifolds, J. Geom. 2015. 106. P. 229-242.
  18. Manev M. Curvature properties on some classes of almost contact manifolds with B-metric. C. R. Acad. Bulgare Sci. 2012. 65(5). P. 283-290.
  19. Manev M., Ivanova M. A natural connection on some classes of almost contact manifolds with B-metric. C. R. Acad. Bulg. Sci. 2012. 65(4). P. 429-436.