Об одном классе продолженных Би-метрических структур на распределениях субримановых многообразий

Букушева, Алия Владимировна

Введение

Понятие почти контактного Би-метрического многообразия (ПКБМ) как многообразия, оснащенного почти контактной Би-метрической структурой, введено в работе [13]. В той же работе предложена классификация ПКБМ, в основу которой положено строение фундаментального, ассоциированного с Би-метрической структурой тензора F типа (0, 3). В соответствии с указанной классификацией выделяется 2¹¹ классов ПКБМ, в том числе, — 11 базисных классов. Понятие почти контактного Би-метрического многообразия является общим по сравнению с понятием многообразия с метрикой Нордена [14]. В других работах [15-19], посвященных исследованию ПКБМ, приводятся примеры Би-метрических многообразий различных классов. В настоящей работе продолжается исследование почти контактных Би-метрических структур, определяемых на распределениях субримановых многообразий контактного типа. Такие структуры введены в работе [8]. Под субримановым многообразием контактного типа [8] понимается гладкое многообразие M с заданной на нем субримановой структурой $(M, \vec{\xi}, \eta, g, D)$ , где: $\eta$ — 1-форма, порождающая распределение D: $D=ker(\eta)$ ; $\vec{\xi}$ — векторное поле, порождающее оснащение $D^{\bot}$ распределения D: $D^{\bot}=span(\vec{\xi})$ ; g — риманова метрика на многообразии M, относительно которой распределения D и $D^{\bot}$ взаимно ортогональны. При этом выполняются равенства $\eta(\vec{\xi})=1$ и $g(\vec{\xi},\vec{\xi})=1$ . На основе конструкции продолжения [1-12] почти контактных метрических структур, продолженная почти контактная структура с Би-метрикой была определена на тотальном пространстве D векторного расслоения $(D,\pi,M)$ [8]. В работе [8] исследовался случай субриманова многообразия с нулевым тензором Схоутена. Особенностью продолженной почти контактной структурой с Би-метрикой является то, что значения ассоциированного с ней тензорного поля F [13] выражаются через инварианты внутренней геометрии [12] субримановых многообразий. К инвариантам внутренней геометрии субримановых многообразий в работе [8] отнесены: тензор кривизны Схоутена R; дифференциальная 2-форма $\omega=d\eta$ ; производная Ли $L_{\vec{\xi}}g$ метрического тензора g вдоль векторного поля $\vec{\xi}$ ; тензорное поле P, компоненты которого в адаптированных координатах [12] выражаются с помощью равенств $P^c_{ad}=\partial_n \Gamma^c_{ad}$ .

Целью работы является исследование инвариантов внутренней геометрии субримановых многообразий, порождающих продолженную структуру из класса $F_{1}\oplus F_{2}\oplus F_{3}\oplus F_{10}$ . При этом мы опираемся на следующее утверждение [13]: если почти контактная Би-метрическая структура обладает тем свойством, что $\nabla\vec{\xi}=\vec{0}$ , то она принадлежит классу $F_{1}\oplus F_{2}\oplus F_{3}\oplus F_{10}$ .

Основные сведения из геометрии продолженных структур

Пусть M — гладкое многообразие размерности n с заданной на нем субримановой структурой $(M, \vec{\xi}, \eta, g, D)$ , где $\eta$ и $\vec{\xi}$ 1-форма и единичное векторное поле, порождающие, соответственно, ортогональные между собой распределения D и $D^{\bot}$ . Внутренней линейной связностью $\nabla$ [12] на субримановом многообразии называется отображение $\nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D)$ , удовлетворяющее следующим условиям:

$\nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}}$ ;
$\nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y}$ ,
$\nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z}$ ,

где $\Gamma(D)$ — модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению D).

Карту $K(x^{\alpha})$ $(\alpha,\beta,\gamma=1,...,n; a,b,c=1,...,n-1,i,j,k=2n-1)$ многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если $\partial_n=\vec{\xi}$ [12]. Пусть $P:TM\rightarrow D$ — проектор, определяемый разложением $TM=D\oplus D^{\bot}$ , и $K(x^{\alpha})$ — адаптированная карта. Векторные поля $P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}$ линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение $D=Span(\vec{e}_{a})$ .

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения $\nabla_{\vec{e}_a}\vec{e}_b=\Gamma^c_{ab}\vec{e}_c$ .

Кручением и кривизной внутренней связности назовем, соответственно, допустимые тензорные поля:

$S(\vec{x},\vec{y})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}]$ ,

$R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}]$ ,

где Q=I-P, $\vec{x},\vec{y},\vec{z} \in \Gamma(D)$ . Тензор $R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}$ называется тензором кривизны субриманова многообразия.

Пусть M — гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1, $m\geq 1$ , с заданной на нем почти контактной структурой $(M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, D)$ , где $\varphi$ — тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, $\vec{\xi}$ и $\eta$ — вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, такие, что:

$\varphi\vec{\xi}=\vec{0}$ , $\varphi^2=-I+\eta\otimes \vec{\xi}$ , $\eta\circ \varphi=0$ , $\eta(\vec{\xi})=1$ .

Если почти контактная структура $(M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, D)$ согласована с псевдо-римановой метрикой g таким образом, что

$g(\varphi\vec{x},\varphi\vec{y})=-g(\vec{x},\vec{y})+\eta(\vec{x})\eta(\vec{y})$ ,

где $\vec{x},\vec{y}\in \Gamma(TM)$ , $\Gamma(TM)$ — модуль векторных полей на многообразии M, то структура $(M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g, D)$ называется почти контактной структурой с Би-метрикой, а многообразие M — почти контактным Би-метрическим многообразием. Распределение $D=ker (\eta)$ называется распределением Би-метрического многообразия, а распределение $D^{\bot}=span(\vec{\xi})$ — оснащением распределения D.

Тензорное поле $F(\vec{x},\vec{y},\vec{z})=g((\nabla_{\vec{x}}\varphi)\vec{y},\vec{z})$ , где $\nabla$ — связность Леви-Чивита, называется фундаментальным тензорным полем, ассоциированным со структурой Би-метрического многообразия.

Векторные поля $(\vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-\Gamma^{b}_{ac}x^{n+c}\partial_{n+b},\partial_{n},\partial_{n+a})=(A_i)$ определяют [8] на распределении D как на гладком многообразии неголономное (адаптированное) поле базисов. Имеют место [8] следующие структурные уравнения:

$[\vec{\varepsilon}_{a},\vec{\varepsilon}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_{n}+x^{n+d}R^{c}_{bad}\partial_{n+c}$ ,

$[\vec{\varepsilon}_{a},\partial_{n}]=x^{n+d}\partial_n\Gamma^c_{ad}\partial_{n+c}$ ,

$[\vec{\varepsilon}_{a},\partial_{n+b}]=\Gamma^{c}_{ab}\partial_{n+c}$ ,

где $R^c_{bad}$ — компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах:

$R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]}c+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c}$ .

Эндоморфизм J почти контактной структуры $(\tilde{D},J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_*,D)$ определяется с помощью равенства $J\vec{x}^h=\vec{x}^v$ , $J\vec{x}^v=-\vec{x}^h$ . Здесь $(D,\pi,M)$ — естественная проекция. Определим на многообразии D метрику $\tilde{g}$ , полагая:

$\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^h)=-\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{y}^v)=g(\vec{x},\vec{y})$ , $\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^v)=\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{u})=\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{u})=0$ .

Здесь $\vec{u}=\partial_{n}$ .

Имеют место следующие предложения [8].

Предложение 1

Структура $(\tilde{D},J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_*,D)$ является почти контактной структурой с Би-метрикой.

Предложение 2

Пусть $\tilde{\nabla}$ — связность Леви-Чивита на Би-метрическом многообразии D, тогда ее коэффициенты $\tilde{\Gamma}^{i}_{jk}$ в адаптированных координатах получают следующее представление:

$\tilde{\Gamma}^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{ab}=R^{c}_{bad}x^{n+d}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{n}_{ab}=2\omega_{ba}-\partial_{n}g_{ab}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{c}_{a,n+b}=R^{c}_{bda}x^{n+d}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{c}_{n+b,a}=R^{c}_{adb}x^{n+d}$ ,

$\tilde{\Gamma}^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^{c}_{ab}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{n}_{a,n+b}=2\tilde{\Gamma}^{n}_{n+b,a}=\partial_{n}\Gamma^{e}_{ac}x^{n+c}g_{eb}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{n}_{n+a,n+b}=\partial_{n}g_{ab}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{c}_{an}=2\tilde{\Gamma}^{c}_{na}=g^{cd}(2\omega_{ad}+\partial_{n}g_{ad})$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{an}=\partial_{n}\Gamma^{c}_{ad}x^{n+d}=-2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{an}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{c}_{n+a,n}=2\tilde{\Gamma}^{c}_{n,n+a}=-g^{cd}\partial_n\Gamma^e_{db}x^{n+b}g_{ae}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{n+a,n}=2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{n,n+a}=g^{cd}\partial_{n}g_{ad}$ .

Доказательство предложения 2 основано на использовании структурных уравнений, а также выражения для коэффициентов связности:

$2\Gamma^{m}_{ij}=g^{km}(A_{i}g_{jk}+A_{j}g_{ik}-A_{k}g_{ij}+\Omega^{l}_{kj}g_{li}+\Omega^{l}_{ki}g_{lj})+\Omega^{m}_{ij}$ ,

где $\Omega^n_{ab}=2\omega_{ba}$ , $\Omega^{n+c}_{ab}=R^{c}_{bad}x^{n+d}$ , $\Omega^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^{c}_{ab}$ , $\Omega^{n+c}_{an}=\partial_{n}\Gamma^c_{ab}x^{n+b}$ .

Основной результат

Теорема

Если инварианты внутренней геометрии $\omega=d\eta$ , $L_{\vec{\xi}}g$ субриманова многообразия M обращаются в нуль, то продолженная Би-метрическая структура принадлежит классу $F_{1}\oplus F_{2}\oplus F_{3}\oplus F_{10}$ .

Доказательство. Обращение в нуль инварианта $L_{\vec{\xi}}g$ влечет справедливость равенства $P^c_{ad}=\partial_{n} \Gamma^c_{ad}=0$ . Если условия теоремы выполняются, то оказываются справедливыми следующие равенства:

$2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{an}=\partial_{n}\Gamma^{c}_{ad}x^{n+d}=-2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{na}=0$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{c}_{n+a,n}=2\tilde{\Gamma}^{c}_{n,n+a}=-g^{cd}\partial_{n}\Gamma^{e}_{db}x^{n+b}g_{ae}=0$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{n+a,n}=2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{n,n+a}=g^{cd}\partial_{n}g_{ad}=0$ .

Отсюда следует равенство $\nabla\vec{\xi}=\vec{0}$ , что является необходимым условием [13] принадлежности продолженной структуры классу $F_{1}\oplus F_{2}\oplus F_{3}\oplus F_{10}$ .

Что и доказывает теорему.