О некоторых классах N-связностей многообразий Кенмоцу

№91-1,

физико-математические науки

В терминах N-связности находятся необходимые и достаточные условия принадлежности почти контактного метрического многообразия к классу многообразий Кенмоцу.

Похожие материалы

Введение

Начало изучению геометрии многообразий Кенмоцу положила работа [11]. Многообразия Кенмоцу обладают интересными геометрическими свойствами, благодаря чему занимают почетное место в исследованиях геометрических свойств почти контактных метрических многообразий [12]. Наибольшим интересом среди связностей, определяемых на почти контактных метрических многообразиях [5, 6, 8, 9], пользуется четвертьсимметрическая связность, введенная в 1975 г. С. Голабом [10]. Другой класс связностей с кручением образуют N-связности [5, 6], включающие в себя, в частности, связности Танака-Вебстера, Схоутена-ван Кампена. Метрическая N-связность характеризуется следующими условиями [5, 6]:

  1. S(\vec{x},\vec{y})=2\omega(\vec{x},\vec{y})\vec{\xi}+\eta(\vec{x})N\vec{y}-\eta(\vec{y})N\vec{x}, \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(TM);
  2. \nabla^N_{\vec{x}}g(\vec{y},\vec{z})=0, \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D);
  3. \nabla^N_{\vec{x}}\vec{\xi}=0, \vec{x}\in \Gamma(TM);
  4. \nabla^N_{\vec{x}}\eta=0, \vec{x}\in \Gamma(TM).

Внутренняя связность и N-связность

Пусть M — гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1, m\geq 1, \Gamma(TM) — модуль гладких векторных полей на M. Предположим, что на M задана почти контактная метрическая структура (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi) [1, 12], где \varphi — тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, \vec{\xi} и \eta — вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, g — (псевдо) риманова метрика. Кососимметрический тензор \Omega(\vec{x},\vec{y})=g(\vec{x},\varphi\vec{y}) называется фундаментальной формой структуры. Почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой, если выполняется равенство \Omega=d\eta. Пусть D — гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формой \eta, D^{\bot}=span(\vec{\xi}) — его оснащение: TM=D\oplus D^{\bot}.

Карту K(x^{\alpha})(\alpha,\beta,\gamma=1,...,n; a,b,c=1,...,n-1) многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если \partial_n=\vec{\xi} [3]. Пусть P:TM\rightarrow D — проектор, определяемый разложением TM=D\oplus D^{\bot}, и K(x^{\alpha}) — адаптированная карта. Векторные поля P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n} линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают систему D: D=Span(\vec{e}_{a}). Неголономному полю базисов (\vec{e}_\alpha)=(\vec{e}_{a},\partial_{n}) соответствует поле кобазисов (dx^a,\eta=\Theta^{n}=dx^{n}+\Gamma^{n}_{a}dx^{a}).

Используемые в работе допустимые тензорные поля [4, 5], определяемые равенствами h\vec{x}=\frac{1}{2}(L_{\vec{\xi}}\varphi)(\vec{x}), C(\vec{x},\vec{y})=\frac{1}{2}(L_{\vec{\xi}}g)(\vec{x},\vec{y}), g(C\vec{x},\vec{y})=C(\vec{x},\vec{y}), L \vec{x}=C\vec{x}-\varphi \vec{x}, \vec{x},\vec{y} \in \Gamma (TM), в адаптированных координатах получают следующее координатное представление:

h^a_b=\frac{1}{2}\partial_n \varphi^a_b, C_{ab}=\frac{1}{2}\partial_n g_{ab}, C^a_b=g^{da}C_{db}, \varphi ^c_a=g^{bc}\omega_{ab}.

Пусть \nabla — внутренняя линейная связность [2, 3], т.е. отображение \nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D), удовлетворяющее следующим условиям:

  1. \nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}};
  2. \nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y},
  3. \nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z},

где \Gamma(D) — модуль допустимых векторных полей. Коэффициенты линейной связности определяются из соотношения \nabla_{\vec{e}_a}\vec{e}_b=\Gamma^c_{ab}\vec{e}_c. Пусть \tilde{\nabla} — связность Леви-Чивита. N-связность \nabla^N_{\vec{x}} определяется с помощью равенства [5, 6]:

\nabla^N_{\vec{x}}\vec{y}=\tilde{\nabla}_{\vec{x}}\vec{y}-\eta(\vec{x})\tilde{\nabla}_{\vec{y}}\vec{\xi}-\eta(\vec{y})\tilde{\nabla}_{\vec{x}}\vec{\xi}+(\omega+c)(\vec{x},\vec{y})\vec{\xi}+\eta(\vec{x})N\vec{y}.

В адаптированных координатах равенство \nabla^Ng=0 переписывается в виде:

\nabla^N_{c}g_{ab}=\vec{e}_{c}g_{ab}-\Gamma^d_{ca}g_{db}-\Gamma^d_{cb}g_{ad}=0,

\nabla^N_{n}g_{ab}=\partial_{n}g_{ab}-N^c_{a}g_{cb}-N^c_{b}g_{ac}=0.

Допустимое тензорное поле, определяемое равенством

R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}],

где Q=1-P, называется первым тензором кривизны Схоутена. Координатное представление первого тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид:

R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]}c+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c}.

Тензор кривизны K(\vec{x},\vec{y})\vec{z} N-связности \nabla^N_{\vec{x}} выражается через K(\vec{x},\vec{y})\vec{z} и второй тензор кривизны Схоутена P(\vec{x},\vec{y}) [5,6] следующим образом:

K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=2\omega(\vec{x},\vec{y})N\vec{z}+R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}+\eta(\vec{x})(P(\vec{y},\vec{z})-(\nabla^N_{P\vec{y}}N)\vec{z})-\eta(\vec{y})(P(\vec{x},\vec{z})-(\nabla^N_{P\vec{x}}N)\vec{z}),

\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(TM).

Многообразие Кенмоцу

Многообразие Кенмоцу характеризуется следующим равенством [12]:

(\tilde{\nabla}_{\vec{x}}\varphi)\vec{y}=-\eta(\vec{y})\varphi\vec{x}-g(\vec{x},\varphi\vec{y})\vec{\xi}.

Теорема. Почти контактное метрическое многообразие является многообразием Кенмоцу тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство

(\tilde{\nabla}_{\vec{x}}\varphi)\vec{y}=-\eta(\vec{y})\varphi\vec{x}+\eta(\vec{x})(N\varphi-\varphi N)\vec{y}.

Доказательство. Приведем доказательство необходимости. Воспользуемся тем, что L_{\vec{\xi}}g=2(g-\eta\otimes\eta). Отсюда, в частности следует, что L_{\vec{\xi}}g(\vec{x},\vec{y})=2g(\vec{x},\vec{y}), \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D).

Кроме того, выполняется равенство \omega=0. Таким образом, \nabla^N_{\vec{x}}\vec{y}=\tilde{\nabla}_{\vec{x}}\vec{y}-\eta(\vec{x})\tilde{\nabla}_{\vec{x}}\vec{\xi}+C(\vec{x},\vec{y})\vec{\xi}+\eta(\vec{x})N\vec{y}.

Используя равенство \tilde{\nabla}_{\vec{x}}\vec{\xi}=\vec{x}-\eta(\vec{x})\vec{\xi} убеждаемся в справедливости теоремы.

Замечание. Условие \nabla^N_{\vec{x}}(\varphi)\vec{y}=-\eta(\vec{y})\varphi\vec{x}+\eta(\vec{x})(N\varphi-\varphi N)\vec{y} примет более простой вид в случае, когда N\varphi-\varphi N=0.

Последнее, в частности, выполняется, когда N=\varphi. В этом случае равенство \nabla^N_ng_{ab}=\partial_ng_{bc}-N^c_ag_{cb}-N^c_bg_{ac} сводится к равенству\nabla^N_ng_{ab}=\partial_ng_{ab}.

Так как для многообразия Кенмоцу \partial_ng_{ab}\neq0, то в случае N=\varphi N-связность \nabla^N_{\vec{x}} не является метрической.

Пример метрической N-связности \nabla^N_{\vec{x}}многообразия Кенмоцу.

Определим на пространстве \mathbb{R}^3 структуру многообразия Кенмоцу, полагая, что в канонических координатах (x,y,z) выполняются равенства:

g_{11}=g_{22}=e^{2z}, g_{33}=1, \varphi\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}, \varphi\frac{\partial}{\partial y}=-\frac{\partial}{\partial x}, \varphi\frac{\partial}{\partial z}=0, \vec{\xi}=\frac{\partial}{\partial z}, \eta=dz.

Не трудно проверить, что связность \nabla с коэффициентами \Gamma^a_{bc}=0, N^a_b=\delta^a_b является метрической N-связностью.

Список литературы

  1. Букушева А.В. Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1 (49). С. 23-24.
  2. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул: Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.
  3. Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.
  4. Букушева А.В. О геометрии контактных метрических пространств с $\varphi$-связностью // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. №17(214) Вып. 40. 2015. С. 20-24.
  5. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. №4-1 (48). С. 14-16.
  6. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. №5-1 (49). С. 20-22.
  7. Галаев С.В., Гохман А.В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях со связностью // Математика. Механика. 2000. №2. С. 16-19.
  8. Галаев С.В. Продолженные структуры на кораспределениях контактных метрических многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 2. С. 138–147.
  9. Bagewadi C.S., Prakasha D.G., Venkatesha Projective curvature tensor on a Kenmotsu manifold with respect to semi-symmetric metric connection, Stud. Cercet. Stiint. Ser. Mat. Univ. Bacau. 2007. 17. P. 21-32.
  10. Golab S. On semi-symmetric and quarter-symmetric linear connections, Tensor. N.S. 1975. 29. P. 293-301.
  11. Kenmotsu K. A class of almost contact Riemannian manifolds // Tohoku Math. J. 1972. V. 24. P. 93–103.
  12. Pitis G. Geometry of Kenmotsu manifolds. Publishing House of Transilvania University of Brasov, Brasov, 2007. iv+160 pp.