О некоторых классах N-связностей многообразий Кенмоцу

Букушева, Алия Владимировна

Введение

Начало изучению геометрии многообразий Кенмоцу положила работа [11]. Многообразия Кенмоцу обладают интересными геометрическими свойствами, благодаря чему занимают почетное место в исследованиях геометрических свойств почти контактных метрических многообразий [12]. Наибольшим интересом среди связностей, определяемых на почти контактных метрических многообразиях [5, 6, 8, 9], пользуется четвертьсимметрическая связность, введенная в 1975 г. С. Голабом [10]. Другой класс связностей с кручением образуют N-связности [5, 6], включающие в себя, в частности, связности Танака-Вебстера, Схоутена-ван Кампена. Метрическая N-связность характеризуется следующими условиями [5, 6]:

$S(\vec{x},\vec{y})=2\omega(\vec{x},\vec{y})\vec{\xi}+\eta(\vec{x})N\vec{y}-\eta(\vec{y})N\vec{x}$ , $\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(TM)$ ;
$\nabla^N_{\vec{x}}g(\vec{y},\vec{z})=0$ , $\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D)$ ;
$\nabla^N_{\vec{x}}\vec{\xi}=0$ , $\vec{x}\in \Gamma(TM)$ ;
$\nabla^N_{\vec{x}}\eta=0$ , $\vec{x}\in \Gamma(TM)$ .

Внутренняя связность и N-связность

Пусть M — гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1, $m\geq 1$ , $\Gamma(TM)$ — модуль гладких векторных полей на M. Предположим, что на M задана почти контактная метрическая структура $(M, \vec{\xi}, \eta, \varphi)$ [1, 12], где $\varphi$ — тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, $\vec{\xi}$ и $\eta$ — вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, g — (псевдо) риманова метрика. Кососимметрический тензор $\Omega(\vec{x},\vec{y})=g(\vec{x},\varphi\vec{y})$ называется фундаментальной формой структуры. Почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой, если выполняется равенство $\Omega=d\eta$ . Пусть D — гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формой $\eta$ , $D^{\bot}=span(\vec{\xi})$ — его оснащение: $TM=D\oplus D^{\bot}$ .

Карту $K(x^{\alpha})$ $(\alpha,\beta,\gamma=1,...,n; a,b,c=1,...,n-1)$ многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если $\partial_n=\vec{\xi}$ [3]. Пусть $P:TM\rightarrow D$ — проектор, определяемый разложением $TM=D\oplus D^{\bot}$ , и $K(x^{\alpha})$ — адаптированная карта. Векторные поля $P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}$ линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают систему D: $D=Span(\vec{e}_{a})$ . Неголономному полю базисов $(\vec{e}_\alpha)=(\vec{e}_{a},\partial_{n})$ соответствует поле кобазисов $(dx^a,\eta=\Theta^{n}=dx^{n}+\Gamma^{n}_{a}dx^{a})$ .

Используемые в работе допустимые тензорные поля [4, 5], определяемые равенствами $h\vec{x}=\frac{1}{2}(L_{\vec{\xi}}\varphi)(\vec{x})$ , $C(\vec{x},\vec{y})=\frac{1}{2}(L_{\vec{\xi}}g)(\vec{x},\vec{y})$ , $g(C\vec{x},\vec{y})=C(\vec{x},\vec{y})$ , $L \vec{x}=C\vec{x}-\varphi \vec{x}$ , $\vec{x},\vec{y} \in \Gamma (TM)$ , в адаптированных координатах получают следующее координатное представление:

$h^a_b=\frac{1}{2}\partial_n \varphi^a_b$ , $C_{ab}=\frac{1}{2}\partial_n g_{ab}$ , $C^a_b=g^{da}C_{db}$ , $\varphi ^c_a=g^{bc}\omega_{ab}$ .

Пусть $\nabla$ — внутренняя линейная связность [2, 3], т.е. отображение $\nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D)$ , удовлетворяющее следующим условиям:

$\nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}}$ ;
$\nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y}$ ,
$\nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z}$ ,

где $\Gamma(D)$ — модуль допустимых векторных полей. Коэффициенты линейной связности определяются из соотношения $\nabla_{\vec{e}_a}\vec{e}_b=\Gamma^c_{ab}\vec{e}_c$ . Пусть $\tilde{\nabla}$ — связность Леви-Чивита. N-связность $\nabla^N_{\vec{x}}$ определяется с помощью равенства [5, 6]:

$\nabla^N_{\vec{x}}\vec{y}=\tilde{\nabla}_{\vec{x}}\vec{y}-\eta(\vec{x})\tilde{\nabla}_{\vec{y}}\vec{\xi}-\eta(\vec{y})\tilde{\nabla}_{\vec{x}}\vec{\xi}+(\omega+c)(\vec{x},\vec{y})\vec{\xi}+\eta(\vec{x})N\vec{y}$ .

В адаптированных координатах равенство $\nabla^Ng=0$ переписывается в виде:

$\nabla^N_{c}g_{ab}=\vec{e}_{c}g_{ab}-\Gamma^d_{ca}g_{db}-\Gamma^d_{cb}g_{ad}=0$ ,

$\nabla^N_{n}g_{ab}=\partial_{n}g_{ab}-N^c_{a}g_{cb}-N^c_{b}g_{ac}=0$ .

Допустимое тензорное поле, определяемое равенством

$R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}]$ ,

где Q=1-P, называется первым тензором кривизны Схоутена. Координатное представление первого тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид:

$R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]}c+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c}$ .

Тензор кривизны $K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}$ N-связности $\nabla^N_{\vec{x}}$ выражается через $K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}$ и второй тензор кривизны Схоутена $P(\vec{x},\vec{y})$ [5,6] следующим образом:

$K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=2\omega(\vec{x},\vec{y})N\vec{z}+R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}+\eta(\vec{x})(P(\vec{y},\vec{z})-(\nabla^N_{P\vec{y}}N)\vec{z})-\eta(\vec{y})(P(\vec{x},\vec{z})-(\nabla^N_{P\vec{x}}N)\vec{z})$ ,

$\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(TM)$ .

Многообразие Кенмоцу

Многообразие Кенмоцу характеризуется следующим равенством [12]:

$(\tilde{\nabla}_{\vec{x}}\varphi)\vec{y}=-\eta(\vec{y})\varphi\vec{x}-g(\vec{x},\varphi\vec{y})\vec{\xi}$ .

Теорема. Почти контактное метрическое многообразие является многообразием Кенмоцу тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство

$(\tilde{\nabla}_{\vec{x}}\varphi)\vec{y}=-\eta(\vec{y})\varphi\vec{x}+\eta(\vec{x})(N\varphi-\varphi N)\vec{y}$ .

Доказательство. Приведем доказательство необходимости. Воспользуемся тем, что $L_{\vec{\xi}}g=2(g-\eta\otimes\eta)$ . Отсюда, в частности следует, что $L_{\vec{\xi}}g(\vec{x},\vec{y})=2g(\vec{x},\vec{y})$ , $\vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D)$ .

Кроме того, выполняется равенство $\omega=0$ . Таким образом, $\nabla^N_{\vec{x}}\vec{y}=\tilde{\nabla}_{\vec{x}}\vec{y}-\eta(\vec{x})\tilde{\nabla}_{\vec{x}}\vec{\xi}+C(\vec{x},\vec{y})\vec{\xi}+\eta(\vec{x})N\vec{y}$ .

Используя равенство $\tilde{\nabla}_{\vec{x}}\vec{\xi}=\vec{x}-\eta(\vec{x})\vec{\xi}$ убеждаемся в справедливости теоремы.

Замечание. Условие $\nabla^N_{\vec{x}}(\varphi)\vec{y}=-\eta(\vec{y})\varphi\vec{x}+\eta(\vec{x})(N\varphi-\varphi N)\vec{y}$ примет более простой вид в случае, когда $N\varphi-\varphi N=0$ .

Последнее, в частности, выполняется, когда $N=\varphi$ . В этом случае равенство $\nabla^N_ng_{ab}=\partial_ng_{bc}-N^c_ag_{cb}-N^c_bg_{ac}$ сводится к равенству $\nabla^N_ng_{ab}=\partial_ng_{ab}$ .

Так как для многообразия Кенмоцу $\partial_ng_{ab}\neq0$ , то в случае $N=\varphi$ N-связность $\nabla^N_{\vec{x}}$ не является метрической.

Пример метрической N-связности $\nabla^N_{\vec{x}}$ многообразия Кенмоцу.

Определим на пространстве $\mathbb{R}^3$ структуру многообразия Кенмоцу, полагая, что в канонических координатах (x,y,z) выполняются равенства:

$g_{11}=g_{22}=e^{2z}$ , $g_{33}=1$ , $\varphi\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}$ , $\varphi\frac{\partial}{\partial y}=-\frac{\partial}{\partial x}$ , $\varphi\frac{\partial}{\partial z}=0$ , $\vec{\xi}=\frac{\partial}{\partial z}$ , $\eta=dz$ .