О геометрии многообразия Схоутена-Эйнштейна

Букушева, Алия Владимировна

Введение

Понятие η-Эйнштейнова многообразия введено Окумурой [9]. η-Эйнштейновым многообразием названо многообразие Сасаки с тензором Риччи $\tilde{r}$ , имеющим следующее строение:

$\tilde{r}=ag+b\eta\otimes\eta$ .

Здесь $a,b\in \mathbb{R}$ . Позже понятие η-Эйнштейнова многообразия было перенесено на более широкий класс почти контактных метрических многообразий [10-12]. В настоящей работе вводится понятие многообразия Схоутена-Эйнштейна — неголономного аналога многообразия Эйнштейна. Идея определения многообразия Схоутена-Эйнштейна основана на использовании внутренней геометрии [5, 6] почти контактных метрических многообразий. К основным инвариантам внутренней геометрии почти контактных метрических многообразий отнесены: тензор кривизны Схоутена R; дифференциальная 2-форма $\omega=d\eta$ ; производная Ли $L_{\vec{\xi}}g$ метрического тензора g вдоль векторного поля $\vec{\xi}$ ; тензорное поле P, компоненты которого в адаптированных координатах [1-4] выражаются с помощью равенств $P^c_{ad}=\partial_n\Gamma^c_{ad}$ ; тензор Схоутена-Риччи $r(\vec{x},\vec{z})=tr(\vec{y})\rightarrow R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}$ , $\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D)$ . В адаптированных координатах тензора Схоутена-Риччи имеет вид $r_{ab}=R^c_{acb}$ .

Мы определяем многообразие Схоутена-Эйнштейна как такое почти контактное метрическое многообразие, для которого выполняется следующее условие:

$r(\vec{x},\vec{y})=\lambda g(\vec{x},\vec{y})$ , $\vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D)$ , $\lambda\in \mathbb{R}$ .

В статье находятся условия, при которых К-контактное многообразие Схоутена-Эйнштейна является η-Эйнштейновым многообразием.

Внутренняя геометрия многообразий Схоутена-Эйнштейна

Пусть $M(\varphi, \vec{\xi}, \eta,g,D)$ контактное метрическое многообразие размерности n=2m+1, $m\geq 1$ , где контактная метрическая структура $(\varphi, \vec{\xi}, \eta,g,D)$ удовлетворяет следующим требованиям:

$\varphi^2=-I+\eta\otimes \vec{\xi}$ , $\eta(\vec{\xi})=1$ , $g(\varphi\vec{x},\varphi\vec{y})=g(\vec{x},\vec{y})-\eta(\vec{x})\eta(\vec{y})$ , $d\eta(\vec{x},\vec{y})=\Omega(\vec{x},\vec{y})$ , $\vec{x}, \vec{y} \in \Gamma(TM)$ .

Здесь $\Omega$ — фундаментальная 2-форма, определяемая равенством:

$\Omega(\vec{x},\vec{y})=g(\vec{x},\varphi\vec{y})$ .

Следующие равенства являются следствиями выписанных выше равенств

$\varphi\vec{\xi}=0$ , $\eta \circ \varphi=0$ , $d\eta(\vec{\xi},\vec{x})=0$ ,

$\eta(\vec{x})=g(\vec{x},\vec{\xi})$ .

Пусть D — гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формой $\eta$ , $D^{\bot}=Span(\vec{\xi})$ — его оснащение: $TM=D\oplus D^{\bot}$ . Вектор $\vec{\xi}$ однозначно определяется из условий $\eta(\vec{\xi})=1$ , $\ker\omega=Span(\vec{\xi})$ и называется вектором Риба. Будем называть D распределением почти контактной метрической структуры. Контактное метрическое многообразие называется К-контактным, если $\partial_{n}=0$ .

Многообразием Сасаки называется контактное метрическое многообразие, удовлетворяющее дополнительному условию $N_\varphi +2d\eta\otimes \vec{\xi}=0$ , где $N_\varphi (\vec{x},\vec{y})=[\varphi \vec{x},\varphi\vec{y}]+\varphi^2 [\vec{x},\vec{y}]-\varphi[\varphi\vec{x},\vec{y}]-\varphi[\vec{x},\varphi\vec{y}]$ — тензор Нейенхейса эндоморфизма $\varphi$ .

Карту $K(x^{\alpha})$ $(\alpha,\beta,\gamma=1,...,n; a,b,c=1,...,n-1)$ многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если $\partial_n=\vec{\xi}$ [7, 8]. Пусть $P:TM\rightarrow D$ — проектор, определяемый разложением $TM=D\oplus D^{\bot}$ , и $K(x^{\alpha})$ — адаптированная карта. Векторные поля $P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}$ линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают систему D: $D=Span(\vec{e}_{a})$ . Неголономному полю базисов $(\vec{e}_\alpha)=(\vec{e}_{a},\partial_{n})$ и соответствуют поле кобазисов $(dx^a,\eta=\Theta^{n}=dx^{n}+\Gamma^{n}_{a}dx^{a})$ . Непосредственно проверяется, что $[\vec{e}_{a},\vec{e}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_n$ . Условие $\vec{\xi}\in ker \omega$ влечет справедливость равенства $\partial_{n}\Gamma^{n}_{a}=0$ . Пусть $K(x^{\alpha})$ и $K`(x^{\alpha`})$ — адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат:

$x^a=x^a(x^{a`})$ , $x^n=x^{n`}+x^n(x^{a`})$ .

Под внутренней линейной связностью [5, 6] на многообразии с почти контактной структурой понимается отображение $\nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D)$ , удовлетворяющее следующим условиям:

$\nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}}$ ;
$\nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y}$ ,
$\nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z}$ ,

где $\Gamma(D)$ — модуль допустимых векторных полей. Коэффициенты линейной связности определяются из соотношения $\nabla_{\vec{e}_a}\vec{e}_b=\Gamma^c_{ab}\vec{e}_c$ . Из равенства $\vec{e}_{a}=A^{a`}_a\vec{e}_{a`}$ , где $A^a_{a`}=\frac{\partial x^a}{\partial x^{a`}}$ , обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов связности:

$\Gamma^c_{ab}=A^{a`}_a A^{b`}_b A^c_{c`}\Gamma^{c`}_{a`b`}+A^c_{c`}\vec{e}_{a}A^{c`}_b$ .

Кручение внутренней линейной связности S по определению полагается равным

$S(\vec{x},\vec{y})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}]$ .

Таким образом, в адаптированных координатах мы имеем

$S^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab}-\Gamma^{c}_{ba}$ .

Допустимое тензорное поле, определяемое равенством

$R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}]$ ,

где Q=1-P, называется тензором кривизны Схоутена. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид:

$R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]}c+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c}$ .

Пусть $r(\vec{x},\vec{z})=tr(\vec{y})\rightarrow R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}$ , $\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D)$ — тензор Схоутена-Риччи. Назовем многообразием Схоутена-Эйнштейна К-контактное метрическое многообразие, для которого выполняется следующее условие:

$r(\vec{x},\vec{y})=\lambda g(\vec{x},\vec{y})$ , $\vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D)$ , $\lambda\in \mathbb{R}$ .

Многообразия Схоутена-Эйнштейна и η-Эйнштейновы многообразия

Пусть $\tilde{\nabla}$ , $\tilde{\Gamma}^\alpha_{\beta \gamma}$ — связность и коэффициенты связности Леви-Чивита В результате непосредственных вычислений убеждаемся в справедливости следующего предложения.

Предложение 1. Коэффициенты связности Леви-Чивита К-контактного метрического многообразия в адаптированных координатах имеют вид:

$\tilde{\Gamma}^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab}$ , $\tilde{\Gamma}^{n}_{ab}=\omega_{ba}$ , $\tilde{\Gamma}^{b}_{an}=\tilde{\Gamma}^{b}_{na}=-\varphi^b_a$ , $\tilde{\Gamma}^n_{na}=\tilde{\Gamma}^a_{nn}=0$ ,

где $\Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_{d}g_{bc})$ .

Пусть $K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}$ — тензор кривизны связности Леви-Чивита К-контактного метрического многообразия и $r(\vec{x},\vec{z})=tr(\vec{y})\rightarrow K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}$ , $\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(TM)$ — тензор Риччи.

Предложение 2. Для тензоров Риччи и Схоутена-Риччи К-контактного метрического многообразия выполняются следующие соотношения:

$\tilde{r}_{ac}=r_{ac}$ , $\tilde{r}_{an}=\tilde{r}_{na}=\nabla_c\varphi^c_a$ , $\tilde{r}_{nn}=2m$ .

Для η-Эйнштейнова многообразия, по определению, выполняется равенство

$\tilde{r}(\vec{x},\vec{y})=ag(\vec{x},\vec{y})+b\eta(\vec{x})\eta(\vec{y})$ .

Отсюда следует: $\tilde{r}_{ac}=ag_{ac}$ , $\tilde{r}_{an}=0$ , $\tilde{r}_{nn}=a+b$ .

Сравнивая последние равенства с равенствами из предложения 2, убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Теорема. Пусть M — К-контактное метрическое многообразие, тогда:

1. Если M — многообразие Сасаки, то оно является многообразием Схоутена-Эйнштейна.

2. Если M — многообразие Схоутена-Эйнштейна, то оно является η-Эйнштейновым многообразием тогда и только тогда, когда $\nabla_c\varphi^c_a=0$ .

О геометрии многообразия Схоутена-Эйнштейна

физико-математические науки

Похожие материалы

Введение

Внутренняя геометрия многообразий Схоутена-Эйнштейна

Многообразия Схоутена-Эйнштейна и η-Эйнштейновы многообразия

Список литературы