О геометрии многообразия Схоутена-Эйнштейна

№92-1,

физико-математические науки

Вводится понятие многообразия Схоутена-Эйнштейна. Находятся условия, при которых многообразие Схоутена-Эйнштейна является η-Эйнштейновым многообразием.

Похожие материалы

Введение

Понятие η-Эйнштейнова многообразия введено Окумурой [9]. η-Эйнштейновым многообразием названо многообразие Сасаки с тензором Риччи \tilde{r}, имеющим следующее строение:

\tilde{r}=ag+b\eta\otimes\eta.

Здесь a,b\in \mathbb{R}. Позже понятие η-Эйнштейнова многообразия было перенесено на более широкий класс почти контактных метрических многообразий [10-12]. В настоящей работе вводится понятие многообразия Схоутена-Эйнштейна — неголономного аналога многообразия Эйнштейна. Идея определения многообразия Схоутена-Эйнштейна основана на использовании внутренней геометрии [5, 6] почти контактных метрических многообразий. К основным инвариантам внутренней геометрии почти контактных метрических многообразий отнесены: тензор кривизны Схоутена R; дифференциальная 2-форма \omega=d\eta; производная Ли L_{\vec{\xi}}g метрического тензора g вдоль векторного поля \vec{\xi}; тензорное поле P, компоненты которого в адаптированных координатах [1-4] выражаются с помощью равенств P^c_{ad}=\partial_n\Gamma^c_{ad}; тензор Схоутена-Риччи r(\vec{x},\vec{z})=tr(\vec{y})\rightarrow R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}, \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D). В адаптированных координатах тензора Схоутена-Риччи имеет вид r_{ab}=R^c_{acb}.

Мы определяем многообразие Схоутена-Эйнштейна как такое почти контактное метрическое многообразие, для которого выполняется следующее условие:

r(\vec{x},\vec{y})=\lambda g(\vec{x},\vec{y}), \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D), \lambda\in \mathbb{R}.

В статье находятся условия, при которых К-контактное многообразие Схоутена-Эйнштейна является η-Эйнштейновым многообразием.

Внутренняя геометрия многообразий Схоутена-Эйнштейна

Пусть M(\varphi, \vec{\xi}, \eta,g,D) контактное метрическое многообразие размерности n=2m+1, m\geq 1, где контактная метрическая структура (\varphi, \vec{\xi}, \eta,g,D) удовлетворяет следующим требованиям:

\varphi^2=-I+\eta\otimes \vec{\xi}, \eta(\vec{\xi})=1, g(\varphi\vec{x},\varphi\vec{y})=g(\vec{x},\vec{y})-\eta(\vec{x})\eta(\vec{y}), d\eta(\vec{x},\vec{y})=\Omega(\vec{x},\vec{y}), \vec{x}, \vec{y} \in \Gamma(TM).

Здесь \Omega — фундаментальная 2-форма, определяемая равенством:

\Omega(\vec{x},\vec{y})=g(\vec{x},\varphi\vec{y}).

Следующие равенства являются следствиями выписанных выше равенств

\varphi\vec{\xi}=0, \eta \circ \varphi=0, d\eta(\vec{\xi},\vec{x})=0,

\eta(\vec{x})=g(\vec{x},\vec{\xi}).

Пусть D — гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формой \eta, D^{\bot}=Span(\vec{\xi}) — его оснащение: TM=D\oplus D^{\bot}. Вектор \vec{\xi} однозначно определяется из условий \eta(\vec{\xi})=1, \ker\omega=Span(\vec{\xi}) и называется вектором Риба. Будем называть D распределением почти контактной метрической структуры. Контактное метрическое многообразие называется К-контактным, если \partial_{n}=0.

Многообразием Сасаки называется контактное метрическое многообразие, удовлетворяющее дополнительному условию N_\varphi +2d\eta\otimes \vec{\xi}=0, где N_\varphi (\vec{x},\vec{y})=[\varphi \vec{x},\varphi\vec{y}]+\varphi^2 [\vec{x},\vec{y}]-\varphi[\varphi\vec{x},\vec{y}]-\varphi[\vec{x},\varphi\vec{y}] — тензор Нейенхейса эндоморфизма \varphi.

Карту K(x^{\alpha})(\alpha,\beta,\gamma=1,...,n; a,b,c=1,...,n-1) многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если \partial_n=\vec{\xi} [7, 8]. Пусть P:TM\rightarrow D — проектор, определяемый разложением TM=D\oplus D^{\bot}, и K(x^{\alpha}) — адаптированная карта. Векторные поля P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n} линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают систему D: D=Span(\vec{e}_{a}). Неголономному полю базисов (\vec{e}_\alpha)=(\vec{e}_{a},\partial_{n}) и соответствуют поле кобазисов (dx^a,\eta=\Theta^{n}=dx^{n}+\Gamma^{n}_{a}dx^{a}). Непосредственно проверяется, что [\vec{e}_{a},\vec{e}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_n. Условие \vec{\xi}\in ker \omega влечет справедливость равенства \partial_{n}\Gamma^{n}_{a}=0. Пусть K(x^{\alpha}) и K`(x^{\alpha`}) — адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат:

x^a=x^a(x^{a`}), x^n=x^{n`}+x^n(x^{a`}).

Под внутренней линейной связностью [5, 6] на многообразии с почти контактной структурой понимается отображение \nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D), удовлетворяющее следующим условиям:

  1. \nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}};
  2. \nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y},
  3. \nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z},

где \Gamma(D) — модуль допустимых векторных полей. Коэффициенты линейной связности определяются из соотношения \nabla_{\vec{e}_a}\vec{e}_b=\Gamma^c_{ab}\vec{e}_c. Из равенства \vec{e}_{a}=A^{a`}_a\vec{e}_{a`}, где A^a_{a`}=\frac{\partial x^a}{\partial x^{a`}}, обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов связности:

\Gamma^c_{ab}=A^{a`}_a A^{b`}_b A^c_{c`}\Gamma^{c`}_{a`b`}+A^c_{c`}\vec{e}_{a}A^{c`}_b.

Кручение внутренней линейной связности S по определению полагается равным

S(\vec{x},\vec{y})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}].

Таким образом, в адаптированных координатах мы имеем

S^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab}-\Gamma^{c}_{ba}.

Допустимое тензорное поле, определяемое равенством

R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}],

где Q=1-P, называется тензором кривизны Схоутена. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид:

R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]}c+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c}.

Пусть r(\vec{x},\vec{z})=tr(\vec{y})\rightarrow R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}, \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D) — тензор Схоутена-Риччи. Назовем многообразием Схоутена-Эйнштейна К-контактное метрическое многообразие, для которого выполняется следующее условие:

r(\vec{x},\vec{y})=\lambda g(\vec{x},\vec{y}), \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D), \lambda\in \mathbb{R}.

Многообразия Схоутена-Эйнштейна и η-Эйнштейновы многообразия

Пусть \tilde{\nabla}, \tilde{\Gamma}^\alpha_{\beta \gamma} — связность и коэффициенты связности Леви-Чивита В результате непосредственных вычислений убеждаемся в справедливости следующего предложения.

Предложение 1. Коэффициенты связности Леви-Чивита К-контактного метрического многообразия в адаптированных координатах имеют вид:

\tilde{\Gamma}^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab}, \tilde{\Gamma}^{n}_{ab}=\omega_{ba}, \tilde{\Gamma}^{b}_{an}=\tilde{\Gamma}^{b}_{na}=-\varphi^b_a, \tilde{\Gamma}^n_{na}=\tilde{\Gamma}^a_{nn}=0,

где \Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_{d}g_{bc}).

Пусть K(\vec{x},\vec{y})\vec{z} — тензор кривизны связности Леви-Чивита К-контактного метрического многообразия и r(\vec{x},\vec{z})=tr(\vec{y})\rightarrow K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}, \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(TM) — тензор Риччи.

Предложение 2. Для тензоров Риччи и Схоутена-Риччи К-контактного метрического многообразия выполняются следующие соотношения:

\tilde{r}_{ac}=r_{ac}, \tilde{r}_{an}=\tilde{r}_{na}=\nabla_c\varphi^c_a, \tilde{r}_{nn}=2m.

Для η-Эйнштейнова многообразия, по определению, выполняется равенство

\tilde{r}(\vec{x},\vec{y})=ag(\vec{x},\vec{y})+b\eta(\vec{x})\eta(\vec{y}).

Отсюда следует: \tilde{r}_{ac}=ag_{ac}, \tilde{r}_{an}=0, \tilde{r}_{nn}=a+b.

Сравнивая последние равенства с равенствами из предложения 2, убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Теорема. Пусть M — К-контактное метрическое многообразие, тогда:

1. Если M — многообразие Сасаки, то оно является многообразием Схоутена-Эйнштейна.

2. Если M — многообразие Схоутена-Эйнштейна, то оно является η-Эйнштейновым многообразием тогда и только тогда, когда \nabla_c\varphi^c_a=0.

Список литературы

  1. Bukusheva A.V., Galaev S.V. Almost contact metric structures defined by connection over distribution // Bulletin of the Transilvania University of Brasov Series III: Mathematics, Informatics, Physics. 2011. Т. 4. №2. Р. 13-22.
  2. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул: Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.
  3. Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.
  4. Букушева А.В. Когомологии оснащенных распределений // Математика. Механика. 2014. №.16. С.15-18.
  5. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. №4-1 (48). С. 14-16.
  6. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. №5-1 (49). С. 20-22.
  7. Галаев С.В., Гохман А.В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях со связностью // Математика. Механика. 2000. №2. С. 16-19.
  8. Галаев С.В. Продолженные структуры на кораспределениях контактных метрических многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17. № 2. С. 138-147.
  9. Okumura M. Some remarks on space with a certain contact structure // Tohoku Math. J., 1962. №14. P. 135-145.
  10. Chern S.S. Pseudogroupes continues infinis // Colloques Internat. Centre Nat. Rech. Sci. 1953. V. 52. P. 119-136.
  11. Gray J.W. Some global properties of contact structures // Ann. Of Math. (2). 1959. V. 69. №2. P. 421-450.
  12. Chern S.S. Pseudogroupes continues infinis // Colloques Internat. Centre Nat. Rech. Sci. 1953. V. 52. P. 119-136.