Поднятие подмногообразия в распределение субриманова многообразия

№93-1,

физико-математические науки

Находятся условия, при которых ковариантно постоянное векторное поле определяет вполне геодезическое подмногообразие распределения субриманова многообразия.

Похожие материалы

Введение

В работах [9-12] изучались гладкие векторные поля, заданные на римановом многообразии M. На касательном расслоении TM многообразия M определялась метрика Сасаки и находились условия, при которых образы векторных полей образовывали вполне геодезические подмногообразия касательного расслоения. Так, например, Вальчак [11] доказал, что если \vec{u} — параллельное векторное поле на M, то \vec{u}(M) вполне геодезическое подмногообразие в TM.

В настоящей работе в качестве аналога касательного расслоения TM рассматривается распределение D субриманова многообразия M. В отличие от TM, многообразие D имеет нечетную размерность и, тем самым, является подходящим кандидатом для задания на нем структуры почти контактного метрического многообразия. В работах [1-8] изучались различные свойства многообразия D, оснащенного метрикой типа Сасаки. Опираясь на полученные в этих работах результаты, мы находим условия, при которых отображение \vec{u}:M\rightarrow D определяет вполне геодезические подмногообразия многообразия D.

Некоторые свойства кривизны внутренней связности субриманова многообразия

Пусть M — гладкое многообразие размерности n с заданной на нем субримановой структурой (M, \vec{\xi}, \eta,g,D), где \eta и \vec{\xi} 1-форма и единичное векторное поле, порождающие, соответственно, ортогональные между собой распределения D и D^{\bot}. Внутренней линейной связностью \nabla [5,6] на субримановом многообразии называется отображение \nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D), удовлетворяющее следующим условиям:

  1. \nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}};
  2. \nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y},
  3. \nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z},

где \Gamma(D) — модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению D).

Карту K(x^{\alpha})(\alpha,\beta,\gamma=1,...,n; a,b,c=1,...,n-1; i,j,k=1,...,2n-1) многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если \partial_n=\vec{\xi} [1-4]. Пусть P:TM\rightarrow D — проектор, определяемый разложением TM=D\oplus D^{\bot}, и K(x^{\alpha}) — адаптированная карта. Векторные поля P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n} линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение D: D=Span(\vec{e}_{a}).

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения \nabla_{\vec{e}_a}\vec{e}_b=\Gamma^c_{ab}\vec{e}_c. Из равенств \vec{e}_{a}=A^{a`}_a\vec{e}_{a`}, где A^a_{a`}=\frac{\partial x^a}{\partial x^{a`}}, обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов внутренней связности:

\Gamma^c_{ab}=A^{a`}_a A^{b`}_b A^c_{c`}\Gamma^{c`}_{a`b`}+A^c_{c`}\vec{e}_{a}A^{c`}_b.

Кручением и кривизной внутренней связности назовем, соответственно, допустимые тензорные поля:

S(\vec{x},\vec{y})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}],

R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}],

где Q=1-P, \vec{x},\vec{y},\vec{z} \in \Gamma(D). Тензор R(\vec{x},\vec{y})\vec{z} носит название тензора кривизны субриманова многообразия.

Пусть D — распределение субриманова многообразия контактного типа. Векторные поля (\vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-\Gamma^{b}_{ac}x^{n+c}\partial_{n+b},\partial_{n},\partial_{n+a})=(A_i) определяют [1, 5] на распределении D как на гладком многообразии неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы (dx^a,\Theta^{n}=dx^{a}+\Gamma^{n}_{a}dx^{a},\Theta^{n+a}=dx^{n+a}+\Gamma^a_{bc}x^{n+c}dx^b) соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\vec{\varepsilon}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_n+x^{n+d}R^{c}_{bad}\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\partial_n]=x^{n+d}\partial_n\Gamma^c_{ad}\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\partial_{n+b}]=\Gamma^{c}_{ab}\partial_{n+c},

где R^c_{bad} — компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах [1, 2]:

R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]}c+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c}.

Зададим на многообразии D метрический тензор \tilde{g}, полагая

\tilde{g}(\vec{\varepsilon}_{a},\,\vec{\varepsilon}_{b})=\tilde{g}(\partial_{n+a},\partial_{n+b})=g_{ab},

\tilde{g}(\vec{\varepsilon}_{a},\partial_{n+b})=\tilde{g}(\vec{\varepsilon}_a,\partial_n)=\tilde{g}(\partial_n,\partial_{n+b})=0, \tilde{g}(\partial_n,\partial_n)=1.

Имеет место

Предложение 1 [5]. Пусть \nabla — внутренняя связность с тензором кривизны Схоутена R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}. Тогда для всех \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D) и \vec{p}\in D имеют место следующие равенства

[\vec{x}^{h},\vec{y}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{y}]^{h}-\left\{R(\vec{x},\vec{y})\vec{p}\right\}^{v},

[\vec{x}^{h},\vec{\xi}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{\xi}]^{h}+\left\{P(\vec{x},\vec{p})\right\}^{v},

[\vec{x}^{h},\vec{y}^{v}]=(\nabla_{\vec{x}}\vec{y})^{v},

[\vec{x}^{v},\vec{\xi}^{h}]=[\vec{x},\vec{\xi}]^{v}.

Предложение 2 [5]. Пусть \tilde{\nabla} — связность Леви-Чивита на многообразии D, тогда ее коэффициенты \tilde{\Gamma}^{i}_{jk} в адаптированных координатах получают следующее представление:

\tilde{\Gamma}^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab},

2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{ab}=R^{c}_{bad}x^{n+d},

2\tilde{\Gamma}^{n}_{ab}=2\omega_{ba}-\partial_{n}g_{ab},

2\tilde{\Gamma}^{c}_{a,n+b}=R^{c}_{bda}x^{n+d},

2\tilde{\Gamma}^{c}_{n+b,a}=R^{c}_{adb}x^{n+d},

\tilde{\Gamma}^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^{c}_{ab},

2\tilde{\Gamma}^{n}_{a,n+b}=2\tilde{\Gamma}^{n}_{n+b,a}=\partial_{n}\Gamma^{e}_{ac}x^{n+c}g_{eb},

2\tilde{\Gamma}^{n}_{n+a,n+b}=\partial_{n}g_{ab},

2\tilde{\Gamma}^{c}_{an}=2\tilde{\Gamma}^{c}_{na}=g^{cd}(2\omega_{ad}+\partial_{n}g_{ad}),

2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{an}=\partial_{n}\Gamma^{c}_{ad}x^{n+d}=-2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{an},

2\tilde{\Gamma}^{c}_{n+a,n}=2\tilde{\Gamma}^{c}_{n,n+a}=-g^{cd}\partial_n\Gamma^e_{db}x^{n+b}g_{ae},

2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{n+a,n}=2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{n,n+a}=g^{cd}\partial_{n}g_{ad}.

Доказательство предложения 2 основано на использовании выражения для коэффициентов связности:

2\Gamma^{m}_{ij}=g^{km}(A_{i}g_{jk}+A_{j}g_{ik}-A_{k}g_{ij}+\Omega^{l}_{kj}g_{li}+\Omega^{l}_{ki}g_{lj})+\Omega^{m}_{ij},

где \Omega^n_{ab}=2\omega_{ba}, \Omega^{n+c}_{ab}=R^{c}_{bad}x^{n+d}, \Omega^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^{c}_{ab}, \Omega^{n+c}_{an}=\partial_{n}\Gamma^c_{ab}x^{n+b}.

Пусть \vec{u}\in \Gamma(TM) — допустимое векторное поле [6].

Предложение 2. Пусть \vec{u}\in \Gamma(D) — допустимое векторное поле и \nabla — внутренняя линейная связность на субримановом многообразии M. Тогда имеет место следующее равенство

2\nabla_{[a}\nabla_{b]}u^c=R^c_{abd}u^d+2\omega_{ab}\partial_n u^c.

Вполне геодезические подмногообразия распределения субриманова многообразия

Предложение 3. Пусть \vec{u}\in \Gamma(D) — допустимое векторное поле и \nabla — внутренняя линейная связность на субримановом многообразии M. Тогда для любого допустимого вектора \vec{v} выполняется следующее равенство:

\vec{v}^h+(\nabla_{\vec{v}}\vec{u})^v=\vec{u}_{*}\vec{v}.

Доказательство. Имеем:

\vec{v}^h+(\nabla_{\vec{v}}\vec{u})^v=\vec{v}^a\vec{\varepsilon}_a+\vec{v}^a\vec{e}_au^b\partial_{n+b}=v^a\vec{e}_a+v^a\vec{e}_au^b\partial_{n+b}.

С другой стороны:

\vec{u}_{*}\vec{v}=\vec{v}^a\vec{e}_a+\vec{v}^a\vec{e}_au^b\partial_{n+b}.

Непосредственным следствием предложения 3 является

Предложение 4. Пусть \vec{u}\in \Gamma(D) — допустимое ковариантно постоянное векторное поле. Тогда имеет место следующее равенство: \vec{u}_{*}D=HD.

Теорема. Пусть \vec{u}\in \Gamma(D) — допустимое ковариантно постоянное векторное поле и Y\subset M — интегральное подмногообразие максимальной размерности интегрируемого распределения D. Если выполняется равенство \partial_ng=0, то подмногообразие \vec{u}(Y)\subset D является вполне геодезическим подмногообразием.

Доказательство. Из разложения

\tilde{\nabla}_a\vec{\varepsilon}_b=\tilde{\nabla}`_a\vec{\varepsilon}_b+A(\vec{\varepsilon}_a,\vec{\varepsilon}_b),

где \tilde{\nabla}` — индуцированная на \vec{u}(Y) связность, а A- вторая квадратичная форма, получаем

A(\vec{\varepsilon}_a,\vec{\varepsilon}_b)=\tilde{\Gamma}^{n+c}_{ab}\partial_{n+c}+\tilde{\Gamma}^n_{ab}\partial_n.

Таким образом, если \tilde{\Gamma}^{n+c}_{ab}=\tilde{\Gamma}^n_{ab}\partial_n=0, то подмногообразие \vec{u}(Y)\subset D является вполне геодезическим подмногообразием.

Учитывая предложение 2, убеждаемся в справедливости теоремы.

Список литературы

  1. Bukusheva A.V., Galaev S.V. Almost contact metric structures defined by connection over distribution // Bulletin of the Transilvania University of Brasov Series III: Mathematics, Informatics, Physics. 2011. Т. 4. №2. С. 13-22.
  2. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул: Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.
  3. Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.
  4. Галаев С.В. Почти контактные метрические многообразия с распределением нулевой кривизны // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2017. №6(225). С. 36-43.
  5. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. №4-1 (48). С. 14-16.
  6. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. №5-1 (49). С. 20-22.
  7. Галаев С.В., Гохман А.В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях со связностью // Математика. Механика. 2000. №2. С. 16-19.
  8. Галаев С.В. Продолженные структуры на кораспределениях контактных метрических многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17. № 2. С. 138-147.
  9. Ямпольский А.Л. О вполне геодезических векторных полях на подмногообразии // Мат. физ., анализ, геометрия. 1996 г. Т.1, № 1-2. С.540-545.
  10. Liu M.-S. Affine maps of tangent bundles with Sasaki metric / M.-S. Liu // Tensor. N.S.. 1974. V. 28. P. 34-42.
  11. Walczak P. On totally geodesic submanifolds of tangent bundle with Sasaki metric // Bull. Acad. Pol. Sci, ser. Sci. Math. 1989. V. 28. 3-4. P. 161-165.
  12. Ewert-Krzemieniewski S. Totally Geodesic Submanifolds in Tangent Bundle with g-natural Metric // arXiv:math.DG/1310.8606 v2. 2003.