Поднятие подмногообразия в распределение субриманова многообразия

Букушева, Алия Владимировна

Введение

В работах [9-12] изучались гладкие векторные поля, заданные на римановом многообразии M. На касательном расслоении TM многообразия M определялась метрика Сасаки и находились условия, при которых образы векторных полей образовывали вполне геодезические подмногообразия касательного расслоения. Так, например, Вальчак [11] доказал, что если $\vec{u}$ — параллельное векторное поле на M, то $\vec{u}(M)$ вполне геодезическое подмногообразие в TM.

В настоящей работе в качестве аналога касательного расслоения TM рассматривается распределение D субриманова многообразия M. В отличие от TM, многообразие D имеет нечетную размерность и, тем самым, является подходящим кандидатом для задания на нем структуры почти контактного метрического многообразия. В работах [1-8] изучались различные свойства многообразия D, оснащенного метрикой типа Сасаки. Опираясь на полученные в этих работах результаты, мы находим условия, при которых отображение $\vec{u}:M\rightarrow D$ определяет вполне геодезические подмногообразия многообразия D.

Некоторые свойства кривизны внутренней связности субриманова многообразия

Пусть M — гладкое многообразие размерности n с заданной на нем субримановой структурой $(M, \vec{\xi}, \eta,g,D)$ , где $\eta$ и $\vec{\xi}$ 1-форма и единичное векторное поле, порождающие, соответственно, ортогональные между собой распределения D и $D^{\bot}$ . Внутренней линейной связностью $\nabla$ [5,6] на субримановом многообразии называется отображение $\nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D)$ , удовлетворяющее следующим условиям:

$\nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}}$ ;
$\nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y}$ ,
$\nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z}$ ,

где $\Gamma(D)$ — модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению D).

Карту $K(x^{\alpha})$ $(\alpha,\beta,\gamma=1,...,n; a,b,c=1,...,n-1; i,j,k=1,...,2n-1)$ многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если $\partial_n=\vec{\xi}$ [1-4]. Пусть $P:TM\rightarrow D$ — проектор, определяемый разложением $TM=D\oplus D^{\bot}$ , и $K(x^{\alpha})$ — адаптированная карта. Векторные поля $P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}$ линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение D: $D=Span(\vec{e}_{a})$ .

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения $\nabla_{\vec{e}_a}\vec{e}_b=\Gamma^c_{ab}\vec{e}_c$ . Из равенств $\vec{e}_{a}=A^{a`}_a\vec{e}_{a`}$ , где $A^a_{a`}=\frac{\partial x^a}{\partial x^{a`}}$ , обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов внутренней связности:

$\Gamma^c_{ab}=A^{a`}_a A^{b`}_b A^c_{c`}\Gamma^{c`}_{a`b`}+A^c_{c`}\vec{e}_{a}A^{c`}_b$ .

Кручением и кривизной внутренней связности назовем, соответственно, допустимые тензорные поля:

$S(\vec{x},\vec{y})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}]$ ,

$R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}]$ ,

где Q=1-P, $\vec{x},\vec{y},\vec{z} \in \Gamma(D)$ . Тензор $R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}$ носит название тензора кривизны субриманова многообразия.

Пусть D — распределение субриманова многообразия контактного типа. Векторные поля $(\vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-\Gamma^{b}_{ac}x^{n+c}\partial_{n+b},\partial_{n},\partial_{n+a})=(A_i)$ определяют [1, 5] на распределении D как на гладком многообразии неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы $(dx^a,\Theta^{n}=dx^{a}+\Gamma^{n}_{a}dx^{a},\Theta^{n+a}=dx^{n+a}+\Gamma^a_{bc}x^{n+c}dx^b)$ соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

$[\vec{\varepsilon}_{a},\,\vec{\varepsilon}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_n+x^{n+d}R^{c}_{bad}\partial_{n+c}$ ,

$[\vec{\varepsilon}_{a},\partial_n]=x^{n+d}\partial_n\Gamma^c_{ad}\partial_{n+c}$ ,

$[\vec{\varepsilon}_{a},\,\partial_{n+b}]=\Gamma^{c}_{ab}\partial_{n+c}$ ,

где $R^c_{bad}$ — компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах [1, 2]:

$R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]}c+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c}$ .

Зададим на многообразии D метрический тензор $\tilde{g}$ , полагая

$\tilde{g}(\vec{\varepsilon}_{a},\,\vec{\varepsilon}_{b})=\tilde{g}(\partial_{n+a},\partial_{n+b})=g_{ab}$ ,

$\tilde{g}(\vec{\varepsilon}_{a},\partial_{n+b})=\tilde{g}(\vec{\varepsilon}_a,\partial_n)=\tilde{g}(\partial_n,\partial_{n+b})=0$ , $\tilde{g}(\partial_n,\partial_n)=1$ .

Имеет место

Предложение 1 [5]. Пусть $\nabla$ — внутренняя связность с тензором кривизны Схоутена $R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}$ . Тогда для всех $\vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D)$ и $\vec{p}\in D$ имеют место следующие равенства

$[\vec{x}^{h},\vec{y}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{y}]^{h}-\left\{R(\vec{x},\vec{y})\vec{p}\right\}^{v}$ ,

$[\vec{x}^{h},\vec{\xi}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{\xi}]^{h}+\left\{P(\vec{x},\vec{p})\right\}^{v}$ ,

$[\vec{x}^{h},\vec{y}^{v}]=(\nabla_{\vec{x}}\vec{y})^{v}$ ,

$[\vec{x}^{v},\vec{\xi}^{h}]=[\vec{x},\vec{\xi}]^{v}$ .

Предложение 2 [5]. Пусть $\tilde{\nabla}$ — связность Леви-Чивита на многообразии D, тогда ее коэффициенты $\tilde{\Gamma}^{i}_{jk}$ в адаптированных координатах получают следующее представление:

$\tilde{\Gamma}^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{ab}=R^{c}_{bad}x^{n+d}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{n}_{ab}=2\omega_{ba}-\partial_{n}g_{ab}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{c}_{a,n+b}=R^{c}_{bda}x^{n+d}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{c}_{n+b,a}=R^{c}_{adb}x^{n+d}$ ,

$\tilde{\Gamma}^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^{c}_{ab}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{n}_{a,n+b}=2\tilde{\Gamma}^{n}_{n+b,a}=\partial_{n}\Gamma^{e}_{ac}x^{n+c}g_{eb}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{n}_{n+a,n+b}=\partial_{n}g_{ab}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{c}_{an}=2\tilde{\Gamma}^{c}_{na}=g^{cd}(2\omega_{ad}+\partial_{n}g_{ad})$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{an}=\partial_{n}\Gamma^{c}_{ad}x^{n+d}=-2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{an}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{c}_{n+a,n}=2\tilde{\Gamma}^{c}_{n,n+a}=-g^{cd}\partial_n\Gamma^e_{db}x^{n+b}g_{ae}$ ,

$2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{n+a,n}=2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{n,n+a}=g^{cd}\partial_{n}g_{ad}$ .

Доказательство предложения 2 основано на использовании выражения для коэффициентов связности:

$2\Gamma^{m}_{ij}=g^{km}(A_{i}g_{jk}+A_{j}g_{ik}-A_{k}g_{ij}+\Omega^{l}_{kj}g_{li}+\Omega^{l}_{ki}g_{lj})+\Omega^{m}_{ij}$ ,

где $\Omega^n_{ab}=2\omega_{ba}$ , $\Omega^{n+c}_{ab}=R^{c}_{bad}x^{n+d}$ , $\Omega^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^{c}_{ab}$ , $\Omega^{n+c}_{an}=\partial_{n}\Gamma^c_{ab}x^{n+b}$ .

Пусть $\vec{u}\in \Gamma(TM)$ — допустимое векторное поле [6].

Предложение 2. Пусть $\vec{u}\in \Gamma(D)$ — допустимое векторное поле и $\nabla$ — внутренняя линейная связность на субримановом многообразии M. Тогда имеет место следующее равенство

$2\nabla_{[a}\nabla_{b]}u^c=R^c_{abd}u^d+2\omega_{ab}\partial_n u^c$ .

Вполне геодезические подмногообразия распределения субриманова многообразия

Предложение 3. Пусть $\vec{u}\in \Gamma(D)$ — допустимое векторное поле и $\nabla$ — внутренняя линейная связность на субримановом многообразии M. Тогда для любого допустимого вектора $\vec{v}$ выполняется следующее равенство:

$\vec{v}^h+(\nabla_{\vec{v}}\vec{u})^v=\vec{u}_{*}\vec{v}$ .

Доказательство. Имеем:

$\vec{v}^h+(\nabla_{\vec{v}}\vec{u})^v=\vec{v}^a\vec{\varepsilon}_a+\vec{v}^a\vec{e}_au^b\partial_{n+b}=v^a\vec{e}_a+v^a\vec{e}_au^b\partial_{n+b}$ .

С другой стороны:

$\vec{u}_{*}\vec{v}=\vec{v}^a\vec{e}_a+\vec{v}^a\vec{e}_au^b\partial_{n+b}$ .

Непосредственным следствием предложения 3 является

Предложение 4. Пусть $\vec{u}\in \Gamma(D)$ — допустимое ковариантно постоянное векторное поле. Тогда имеет место следующее равенство: $\vec{u}_{*}D=HD$ .

Теорема. Пусть $\vec{u}\in \Gamma(D)$ — допустимое ковариантно постоянное векторное поле и $Y\subset M$ — интегральное подмногообразие максимальной размерности интегрируемого распределения D. Если выполняется равенство $\partial_ng=0$ , то подмногообразие $\vec{u}(Y)\subset D$ является вполне геодезическим подмногообразием.

Доказательство. Из разложения

$\tilde{\nabla}_a\vec{\varepsilon}_b=\tilde{\nabla}`_a\vec{\varepsilon}_b+A(\vec{\varepsilon}_a,\vec{\varepsilon}_b)$ ,

где $\tilde{\nabla}`$ — индуцированная на $\vec{u}(Y)$ связность, а A- вторая квадратичная форма, получаем

$A(\vec{\varepsilon}_a,\vec{\varepsilon}_b)=\tilde{\Gamma}^{n+c}_{ab}\partial_{n+c}+\tilde{\Gamma}^n_{ab}\partial_n$ .

Таким образом, если $\tilde{\Gamma}^{n+c}_{ab}=\tilde{\Gamma}^n_{ab}\partial_n=0$ , то подмногообразие $\vec{u}(Y)\subset D$ является вполне геодезическим подмногообразием.

Учитывая предложение 2, убеждаемся в справедливости теоремы.

Поднятие подмногообразия в распределение субриманова многообразия

физико-математические науки

Похожие материалы

Введение

Некоторые свойства кривизны внутренней связности субриманова многообразия

Вполне геодезические подмногообразия распределения субриманова многообразия

Список литературы

Завершение формирования электронного архива по направлению «Науки о Земле и энергетика»

Создание электронного архива по направлению «Науки о Земле и энергетика»