Метод расчета заземляющих устройств произвольной конфигурации в неоднородных грунтах

№2-1,

технические науки

Предлагается метод расчета потенциала точечного источника тока в многослойной плоскопараллельной модели земли основанный на решении СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений) граничных условий и аппроксимации частных решений подынтегральной функции в уравнении Грина экспоненциальным многочленом по методу Прони для взятия несобственного интеграла тождеством Вебера-Липшица.

Похожие материалы

Предлагается метод расчета потенциала точечного источника тока в многослойной плоскопараллельной модели земли основанный на решении СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений) граничных условий и аппроксимации частных решений подынтегральной функции в уравнении Грина экспоненциальным многочленом по методу Прони для взятия несобственного интеграла тождеством Вебера-Липшица.

Современное заземляющее устройство (ЗУ) есть сложная многофункциональная система, характеристики которой должны обеспечивать в нормальных и аварийных условиях выполнение эксплуатационных параметров электроустановки. Наряду с основными группами функций ЗУ (рабочее, защитное и молниезащитное) в нормативной документации за последние годы уделяется большое внимание к «помехозащитным» свойствам заземлителей в связи с массовым внедрением микропроцессорной техники на энергообъектах. Дилетантство в вопросах электромагнитной совместимости (ЭМС) на этапе принятия проектных решений обычно приводит к выполнению дорогостоящих мероприятий по реорганизации системы заземления уже эксплуатируемого энергообъекта. Поэтому качественный расчет параметров ЗУ необходим при проектировании, модернизации или ремонте, а так же при анализе условий электробезопасности и ЭМС ЭС и ПС. Безусловно, в решении данной задачи неоценим вклад ведущих организаций по созданию и совершенствованию алгоритмов различной сложности. Однако работы в данном направлении считать завершенными нельзя, так как превалирующая часть существующих алгоритмов расчета ЗУ имеет ограничение по расчетной модели грунта. Для реализации большинства алгоритмов выполняется замена реальной многослойной структуры земли эквивалентной двухслойной моделью или однородным проводящим полупространством, что часто приводит к значительным погрешностям расчета [1].

Наибольшее распространение для расчета ЗУ получил метод наведенного потенциала [2] основанный на решении уравнения, связывающего поверхностную плотность тока J(κ)η, стекающую с заземлителя в точке κ, и потенциал в точке η, которая может находиться как в грунте, так и на поверхности заземлителя:

Функция Ψ(κ,η) – потенциал, создаваемый в точке η единичным источником тока, расположенным точке κ. Решение уравнения (1) основано на дискретизации поверхности сложного заземлителя на простые элементы, при этом интеграл (1) представляется сумой интегралов по длинам элементов дробления, обладающих постоянной плотностью тока (кусочно-постоянной для элементов, пересекающих границу раздела слоев). Потенциал в произвольной точке является суперпозицией потенциалов, создаваемых отдельными элементами. Определение потенциала, создаваемого точечным источником, является ключевой задачей любых методов расчета ЗУ.

Модифицированный метод оптической аналогии (МОА) [3], суть которого заключается в замене исходного источника двумя «вторичными» отражениями от первых границ слоев, позволяет рассчитать потенциал медленно сходящимся рядом. Отказ от ввода фиктивной границы позволяет сократить число членов ряда в 10 раз по сравнению классическим МОА. Несмотря на это временные затраты на расчет характеристик сложных ЗУ остаются большими, так как значение старшей степени многочлена остается велико (более тридцати).

Авторами статьи разработан метод расчета потенциала точечного источника тока произвольно ориентированного в пространстве n-слойной плоскопараллельной модели грунта, который основан на решении уравнения Лапласа (2) путем аппроксимации подынтегральной функции экспоненциальным многочленом по методу Прони, что позволяет произвести взятие несобственного интеграла, используя тождество Вебера-Липшица:

где N– старшая степень аппроксимирующего многочлена соответствует количеству слоев исследуемой модели грунта; J(λr) – функция Бесселя нулевого порядка; AS, BS– коэффициенты аппроксимации;; x, y, z– координаты расчетной точки; x0, y0, z0– координаты источника тока.

 

В предлагаемом методе точечный источник тока, находящийся в i-м слое n-слойного грунта, заменяется системой фиктивных зарядов величиной ASрасположенных в однородном грунте с удельным сопротивлением i-го слоя на расстоянии друг от друга BS(рис. 1). Метод Прони, основанный на аппроксимации данных с использованием детерминированной экспоненциальной модели [4], является наиболее эффективным и устойчивым при расчете потенциала точечного источника тока в многослойном грунте в сравнении с методом представления функции Ф(λ,z0,z) в виде сумы экспонент с предварительно выбранными показателями.

Алгоритм расчета коэффициентов аппроксимации AS, BSсостоит из трех этапов:

  • определение корней разностного уравнения за счет подгонки Nэкспонент к 2Nотчетам данных через обратную матрицу тёплицевой структуры;
  • формирование полинома из полученных коэффициентов линейного предсказания и определение его экспоненциальных корней р=е-Bs;
  • решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), сформированной корнями полинома в виде матрицы Вандермонда относительно коэффициентов AS. Полученные коэффициенты ВSне знакопеременны, что является основным условием использования тождества Вебера-Липшица.

Приведение земли n-слойной электрической структуры с источником в первом слое (а) к однородной среде (б)

Рис. 1. Приведение земли n-слойной электрической структуры с источником в первом слое (а) к однородной среде (б)

 

Разработан алгоритм расчета значений подынтегральной функции Ф(λ,z0,z)однозначно определяющий математическую модель слоистой среды. В общем случае для n-слойной модели грунтаформируется система 2(n-1) уравнений относительно2nискомых постоянных aiиbiисходя из условий непрерывности потенциала и нормальной составляющей плотности тока на границе раздела между слоями [2]:

S– матрица-столбец (4) характеризует потенциал в окрестностях источника тока в однородном проводящем пространстве. В зависимости от аппликаты z0точечного источника тока определяется какой вид примет правая часть системы (3). Если точечный источник тока расположен в первом слое n-слойной электрической структуры, то есть z0<H1, то правая часть системы определяется выражением (4.1). Если точечный источник находится в k-м слое n-слойной электрической структуры, (Hk-1<z0<Hk), то правой части системы соответствует выражение (4.2). При z0>Hnправая часть системы принимает вид (4.3). Индекс Т характеризует операцию транспонирования:

где постоянная Сk=Iρk/4π; I– ток, стекающий с заземлителя; ρk– удельное электрическое сопротивление k-го слоя, Нk– толщина k-го слоя.

Для автоматизации расчета на первом этапе формируется блочная двухдиагональная матрица (5), преобразующаяся впоследствии в системную матрицу выражения (3). При этом добавляется первая строка, характеризующая граничное условие земля-воздух и последний столбец, который несет информацию о n-м слое, где an=0.

Разработанный алгоритм автоматизированного расчета значений функции Ф(λ,z0,z)для n-слойной модели земли позволяет отказаться от вывода громоздких расчетных формул.

Эффективность предлагаемого метода подтверждается численным экспериментом. На рис. 2 представлено отклонение результатов расчета сопротивления полупогруженной сферы по предлагаемому методу относительно результатов метода интегральных уравнений (МИУ) в трехслойной модели земли.

 Расхождения при расчете сопротивления полупогруженной сферы в трехслойной среде предлагаемым методом и МИУ, Á1=100 Ом∙м 

Рис. 2. Расхождения при расчете сопротивления полупогруженной сферы в трехслойной среде предлагаемым методом и МИУ, ρ1=100 Ом∙м

 

Для проверки метода выполнены сравнительные расчеты потенциала точечного источника тока, расположенного не на границе слоев трехслойного грунта, предлагаемым методом и модифицированным МОА [3]. Отклонение результатов составляет не более 16 %. Для точного расчета потенциала классическим МОА необходимо около 300 членов бесконечного ряда, его модификация позволяет сократить их число до 30-ти. В предлагаемом методе старшая степень многочлена равна трем (N=3). Использование разработанного метода экспоненциальной аппроксимации оправдывается значительным сокращением числа членов ряда, что при прочих одинаковых условиях позволяет на порядок сократить время, затрачиваемое на расчет потенциалов точечных источников другими методами.

Потенциал стержня в однородной среде определяется координатами двух крайних точек [5], его расчет сводится к векторным операциям в виде функции:

где  – координаты расчетной точки, – координаты начала стержня, – вектор оси стержня.

 

Для горизонтальных элементов ЗУ интегрирование по длине стержня выполняется в плоскости XoY, поэтому поправка на неоднородность структуры грунта может быть учтена выражением (6) преобразованным в виде:

Поправка на неоднородность грунта в расчёте потенциала вертикального стержня определяется методом прямоугольников, произведением потенциала точечного источника тока на длину отрезка дробления:

В расчетной модели ЗУ исключены повторные итерации для идентичных аппликат источников тока (z0) и расчетных точек(z), благодаря чему выполняется плотная дискретизация ЗУ исходя их условия постоянства плотности тока, что повышает точность расчета не вызывая усложнения расчетной модели. Разработанная модель ЗУ в многослойном горизонтально-слоистом грунте позволяет в результате алгебраизации интегрального уравнения (1) в виде (6)-(8) получить СЛАУ (9). Разработанная математическая модель задает потенциал на поверхности заземлителя как наведенный стекающим с элементов заземлителя током:

где  - расчетный потенциал заземлителя.

Решением системы (9) с полученной матрицей коэффициентов находим расчетный ток, интегрируя расчетную плотность тока τ’ по длине элементов дробления. Реальные значения плотности тока и потенциала заземлителя в I/I'раз больше расчетных величин, где I– заданный ток заземлителя.

Алгоритмизация разработанного метода выполнена в математическом редакторе MathCAD в виде программного комплекса«Erdung». Программа выполняет расчет электрических характеристик ЗУ в модели грунта максимально приближенной к её реальной структуре. В сравнении с методами реализованными преимущественно медленно сходящимися рядами в разработанном методе старшая степень многочлена N(2) всегда равна количеству слоев модели, что при прочих одинаковых условиях позволяет на порядок сократить время, затрачиваемое на расчет потенциалов другими методами.

Список литературы

  1. Ослон, А.Б. Применение оптической аналогии к расчету электрических полей в многослойных грунтах / А.Б. Ослон, И.Н. Станкеева // Электричество. – 1977. – №11. – С. 77-79.
  2. Бургсдорф, В.В. Заземляющие устройства электроустановок / В.В. Бургсдорф, А.И. Якобс. – М.: Энергоатомиздат, 1987.– 400 с.
  3. Нестеров, С.В. Применение интегральных уравнений для расчета заземлителя произвольной конфигурации в неоднородном грунте / С.В. Нестеров // Вторая Российская конференция по заземляющим устройствам: Сборник докладов. – 2005. – С. 51-58.
  4. Марпл, С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / С.Л. Марпл.  М: Мир, 1990. – 548 с.
  5. Шишигин, С.Л. Векторная форма записи потенциала стержневого заземлителя в однородной и двухслойной земле / С.Л. Шишигин // Электричество. – 2007. – №7. – С. 22-27.