Особые свойства треугольника с углом 60 градусов

NovaInfo 32, скачать PDF
Опубликовано
Раздел: Физико-математические науки
Просмотров за месяц: 582
CC BY-NC

Аннотация

Треугольник с углом 60 градусов обладает необычными свойствами. Если этот треугольник не является правильным, то все три угла всегда образуют арифметическую прогрессию. Выполняется и обратное утверждение: Если сумма углов треугольника образует арифметическую прогрессию, то один из углов равен 60 градусам. Кроме того, между треугольниками с углами 45, 60, 75 и 30, 60, 90 градусов существует сложная взаимность.

Ключевые слова

ГЕОМЕТРИЯ, УГЛЫ, СВОЙСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА, АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ, АЛГЕБРЫ, УГОЛ 60 ГРАДУСОВ, ВЗАИМНОСТЬ

Текст научной работы

Докажем свойство треугольника с углом 60 градусов.

Теорема. Если треугольник с углом 60 градусов не является правильным, то его углы составляют арифметическую прогрессию.

Рисунок 1.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC угол B равен 60о, а угол A=α (рис.1). Так как сумма углов треугольника равна 180о, то ÐA+ÐC=120o. Тогда, ÐС=120o−α.

Таким образом, ÐA=α, ÐB=60o=α+(60o−α), ÐC=120o−α=α+2(60o−α) (1)

Из соотношения (1) видно, что углы треугольника составляют арифметическую прогрессию с разностью 60o−α. Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение.

Теорема. Если углы треугольника составляют арифметическую прогрессию, то один из углов равен 60о.

Рисунок 2.

Доказательство:

Пусть ÐA=α, ÐB=α+d, ÐC=α+2d (рис.2). Сумма углов треугольника равна 180о, поэтому α+α+d+α+2d=180o=>3α+3d=180o=>α+d=60o=>d=60o−α.

Отсюда ÐB=α+60o−α=60o. Теорема доказана.

Существуют и другие необычные свойства треугольников с углами 60о.

Для треугольника 45о, 60о, 75о ортоцентрическим является треугольник с углами 30о, 60о, 90о. Если продолжить высоты треугольника до их пересечения с описанной окружностью, то получим треугольник подобный высотному (рис.3).

Высотный треугольник и ему подобный
Рисунок 3. Высотный треугольник и ему подобный

Назовём инцентрическим треугольник, образованный основаниями перпендикуляров опущенных из центра вписанной окружности на стороны. Для треугольника с углами 30о, 60о, 90о инцентрическим будет треугольник с углами 45о, 60о, 75о (рис.4).

Инцентрический треугольник
Рисунок 4. Инцентрический треугольник

Читайте также

Список литературы

  1. Алгебра. 9 класс : учеб. для общеобразоват. организаций [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова] ; под ред. С. А. Теляковского. – 21-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 271 с.: ил.
  2. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. /Л. С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1990. – 336 с.

Цитировать

Баталаев, А.В. Особые свойства треугольника с углом 60 градусов / А.В. Баталаев. — Текст : электронный // NovaInfo, 2015. — № 32. — URL: https://novainfo.ru/article/3266 (дата обращения: 17.05.2022).

Поделиться