Особые свойства треугольника с углом 60 градусов

Докажем свойство треугольника с углом 60 градусов.

Теорема. Если треугольник с углом 60 градусов не является правильным, то его углы составляют арифметическую прогрессию.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC угол B равен 60^о, а угол A=α (рис.1). Так как сумма углов треугольника равна 180^о, то ÐA+ÐC=120^o. Тогда, ÐС=120^o−α.

Таким образом, ÐA=α, ÐB=60^o=α+(60^o−α), ÐC=120^o−α=α+2(60^o−α) (1)

Из соотношения (1) видно, что углы треугольника составляют арифметическую прогрессию с разностью 60^o−α. Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение.

Теорема. Если углы треугольника составляют арифметическую прогрессию, то один из углов равен 60^о.

Доказательство:

Пусть ÐA=α, ÐB=α+d, ÐC=α+2d (рис.2). Сумма углов треугольника равна 180^о, поэтому α+α+d+α+2d=180^o=>3α+3d=180^o=>α+d=60^o=>d=60^o−α.

Отсюда ÐB=α+60^o−α=60^o. Теорема доказана.

Существуют и другие необычные свойства треугольников с углами 60^о.

Для треугольника 45^о, 60^о, 75^о ортоцентрическим является треугольник с углами 30^о, 60^о, 90^о. Если продолжить высоты треугольника до их пересечения с описанной окружностью, то получим треугольник подобный высотному (рис.3).

Назовём инцентрическим треугольник, образованный основаниями перпендикуляров опущенных из центра вписанной окружности на стороны. Для треугольника с углами 30^о, 60^о, 90^о инцентрическим будет треугольник с углами 45^о, 60^о, 75^о (рис.4).