Докажем свойство треугольника с углом 60 градусов.
Теорема. Если треугольник с углом 60 градусов не является правильным, то его углы составляют арифметическую прогрессию.

Доказательство:
Пусть в треугольнике ABC угол B равен 60о, а угол A=α (рис.1). Так как сумма углов треугольника равна 180о, то ÐA+ÐC=120o. Тогда, ÐС=120o−α.
Таким образом, ÐA=α, ÐB=60o=α+(60o−α), ÐC=120o−α=α+2(60o−α) (1)
Из соотношения (1) видно, что углы треугольника составляют арифметическую прогрессию с разностью 60o−α. Теорема доказана.
Справедливо и обратное утверждение.
Теорема. Если углы треугольника составляют арифметическую прогрессию, то один из углов равен 60о.

Доказательство:
Пусть ÐA=α, ÐB=α+d, ÐC=α+2d (рис.2). Сумма углов треугольника равна 180о, поэтому α+α+d+α+2d=180o=>3α+3d=180o=>α+d=60o=>d=60o−α.
Отсюда ÐB=α+60o−α=60o. Теорема доказана.
Существуют и другие необычные свойства треугольников с углами 60о.
Для треугольника 45о, 60о, 75о ортоцентрическим является треугольник с углами 30о, 60о, 90о. Если продолжить высоты треугольника до их пересечения с описанной окружностью, то получим треугольник подобный высотному (рис.3).

Назовём инцентрическим треугольник, образованный основаниями перпендикуляров опущенных из центра вписанной окружности на стороны. Для треугольника с углами 30о, 60о, 90о инцентрическим будет треугольник с углами 45о, 60о, 75о (рис.4).
