Связность над распределением в главном расслоенном пространстве допустимых реперов

№59-2,

физико-математические науки

Связность над распределением в главном расслоенном пространстве допустимых реперов определяется таким образом, чтобы ее тензор кривизны совпал с тензором кривизны Вагнера.

Похожие материалы

Введение

Если связность позволяет параллельно переносить касательный вектор вдоль любой кривой на многообразии, то связность над распределением позволяет параллельно переносить касательный вектор, принадлежащий распределению, вдоль любой кривой на многообразии, всюду касающейся распределения. Связность над распределением используется в приложениях к механике [21-23, 46, 49, 50, 52, 56, 60, 63]. Вот как связность над распределением определяется в работе [24] А.М. Вершика и В.Я. Гершковича: «Пусть X - многообразие, E\rightarrow X, - расслоение и V - распределение на X, связность над распределением V в E - это G-инвариантное распределение H в E, которое трансверсально с вертикальным распределением, а \pi H=V». Автор настоящей статьи определяет в более ранних своих работах [27-31, 40, 41, 51] связность над распределением как горизонтальное распределение, заданное на исходном распределении, выполняющим роль тотального пространства векторного расслоения (см., также, работы [1-4, 6, 10, 16, 17, 19, 20, 33-39, 42-45, 47, 48, 53-55, 72, 80, 81, 96-101]). В частности, для случая контактного распределения автором решена задача продолжения связности над распределением до связности над многообразием. В настоящей работе проблема продолжения связности решается для случая задания связности в главном расслоении допустимых реперов.

Пусть M - гладкое многообразие нечетной размерности с заданной на нем контактной формой \eta. Ядро формы \eta определяет гладкое распределение D - пространство векторного расслоения (D,\pi,M). Определяемая в более ранних работах автора N-связность является связностью в расслоении (D,\pi,M). Идея построения N-связностей берет начало в геометрической теории неголономной механики. С геометрической точки зрения уравнения движения неголономной динамической системы интерпретируются как уравнения геодезических внутренней связности [21-23, 46, 49, 50, 52, 56, 60, 63], заданной на неголономном многообразии – конфигурационном пространстве механической системы. Интегрирование уравнений движения во многом зависит от удачного выбора системы координат [21-26]. В некоторых случаях, геометрические свойства неголономного многообразия позволяют выбрать такую специальную систему координат, в которой уравнения движения неголономной динамической системы принимают наиболее простой вид. Поиск необходимых геометрических инвариантов приводит В.В. Вагнера к построению тензора кривизны неголономного многообразия, называемого сегодня тензором кривизны Вагнера. В работах [28, 31] показано, что в случае контактного многообразия тензор кривизны Вагнера совпадает с тензором кривизны некоторой связности в векторном расслоении (D,\pi,M), пространством которого является распределение D контактной структуры (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi). Необходимую для получения тензора кривизны Вагнера связность будем называть связностью Вагнера. Задание связности Вагнера сводится к продолжению внутренней связности до связности в векторном расслоении с помощью эндоморфизма N: D\rightarrow D, имеющего специальное строение. В настоящей статье рассматривается альтернативный подход, когда сначала определяется связность над распределением в главном расслоенном пространстве (R(M,D),p,M) допустимых реперов, а затем полученная связность продолжается до связности в главном расслоении (R(M,D),p,M).

Предлагаемая работа устроена следующим образом. Во втором разделе на почти контактном метрическом многообразии M определяются внутренняя и N-продолженная связности и изучаются их основные свойства. В третьем разделе определяется обобщенный тензор кривизны Вагнера, и изучаются его свойства. Доказывается, что обращение в нуль обобщенного тензора кривизны Вагнера влечет существование постоянного допустимого векторного поля любого направления. В четвертом разделе определяется связность над распределением в главном расслоенном пространстве допустимых реперов и соответствующая ей продолженная связность. Показывается, что продолженная связность в главном расслоении допустимых реперов (R(M,D),p,M) определяет N-продолженную связность в ассоциированном расслоении (D,\pi,M).

Внутренняя и N-продолженная связности

Пусть M – гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1, m>1, \Gamma(TM) - модуль гладких векторных полей на M. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса C^{\infty}. Предположим, что на M задана почти контактная метрическая структура (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi) [69], где \varphi - тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, \vec{\xi} и \eta - вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, g – (псевдо) риманова метрика. Мы требуем, чтобы \vec{\xi}\in \ker \omega, где \omega=d\eta. Кососимметрический тензор \Omega(\vec{x},\vec{y})=g(\vec{x},\varphi\vec{y}) называется фундаментальной формой структуры. Почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой, если выполняется равенство \Omega=d \eta. Пусть D - гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формой \eta, D^{\bot}=Span(\vec{\xi}), - его оснащение: TM=D\oplus D^{\bot}. В контактном случае вектор \vec{\xi} однозначно определяется из условий \eta(\vec{\xi})=1, \ker \omega=Span (\vec{\xi}) и называется вектором Риба. Будем называть D распределением почти контактной метрической структуры. В работе, в частности, рассматривается пространство (многообразие) Сасаки – контактное метрическое пространство, удовлетворяющее дополнительному условию N_\varphi +2d\eta\otimes \vec{\xi}=0, где N_\varphi (\vec{x},\vec{y})=[\varphi \vec{x},\varphi\vec{y}]+\varphi^2 [\vec{x},\vec{y}]-\varphi[\varphi\vec{x},\vec{y}]-\varphi[\vec{x},\varphi\vec{y}] - тензор Нейенхейса эндоморфизма \varphi. Выполнение условия N_\varphi +2d\eta\otimes \vec{\xi}=0 означает, что пространство Сасаки является нормальным пространством.

Карту K(x^\alpha)(\alpha,\beta,\gamma=1,...,n;a,b,c=1,...,n-1) многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если \partial_n=\vec{\xi}. Пусть P:TM\rightarrow D - проектор, определяемый разложением TM=D\oplus D^{\bot}, и K(x^\alpha) - адаптированная карта. Векторные поля P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n} линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают систему D: D=Span(\vec{e}_{a}). Таким образом, мы имеем на многообразии M неголономное поле базисов (\vec{e}_\alpha)=(\vec{e}_{a},\partial_{n}) и соответствующее ему поле кобазисов (dx^a,\eta=\Theta^{n}=dx^{n}+\Gamma^{n}_{a}dx^{a}). Непосредственно проверяется, что [\vec{e}_{a},\vec{e}_{b}]=2\omega_{ba}\partial_{n}. Адаптированным будем называть также базис \vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}, как базис, определяемый адаптированной картой. Условие \vec{\xi}\in \text{ker}\omega влечет справедливость равенства \partial_n\Gamma^n_a=0. Пусть K(x^{\alpha}) и K'(x^{\alpha'}) - адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат:

x^a=x^a(x^{a'}), x^n=x^{n'}+x^n(x^{a'}).

Тензорное поле t типа (p,q), заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению </em><em>D</em><em>), если t обращается в нуль каждый раз, когда среди его аргументов встречаются \vec{\xi} или \eta. Координатное представление допустимого тензорного поля в адаптированной карте имеет вид:

t=t^{a_1 ...a_p}_{b_1 ... b_q}\vec{e}_{a_1}\otimes ... \otimes \vec{e}_{a_p} \otimes dx^{b_1}\otimes...\otimes dx^{b_q}.

Преобразование компонент допустимого тензорного поля в адаптированных координатах подчиняется следующему закону:

t^a_b =A^a_{a'}A^{b'}_b t^{a'}_{b'}, где A^{a'}_a=\frac{\partial x^{a'}}{\partial x^a}.

Из формул преобразования компонент допустимого тензорного поля следует, что производные \partial_nt^a_b являются компонентами допустимого тензорного поля. Заметим, что обращение в нуль производных \partial_nt^a_b не зависит от выбора адаптированных координат.

Введем в рассмотрение допустимые тензорные поля, определяемые равенствами h\vec{x}=\frac{1}{2}(L_{\vec{\xi}}\varphi)(\vec{x}),

C(\vec{x},\vec{y})=\frac{1}{2}(L_{\vec{\xi}}g)(\vec{x},\vec{y}),

g(C\vec{x},\vec{y})=C(\vec{x},\vec{y}), L\vec{x}=C\vec{x}-\varphi \vec{x}, \vec{x},\vec{y} \in \Gamma (TM). В адаптированных координатах получаем:

h^a_b=\frac{1}{2}\partial_n \varphi^a_b,

C_{ab}=\frac{1}{2}\partial_n g_{ab}, C^a_b=g^{da}C_{db}, \varphi^c_a=g^{bc}\omega_{ab}.

Будем использовать следующие обозначения для связности и коэффициентов связности Леви-Чивита тензора g: \widetilde{\nabla}, \widetilde{\Gamma}^\alpha_{\beta \gamma}. В результате непосредственных вычислений убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Теорема 1. Коэффициенты связности Леви-Чивита почти контактного метрического пространства в адаптированных координатах имеют вид:

\widetilde{\Gamma}^c_{ab}=\Gamma^c_{ab},

\widetilde{\Gamma}^n_{ab}=\omega_{ba}-C_{ab},

\widetilde{\Gamma}^b_{an}=\widetilde{\Gamma}^b_{na}=C^b_a-\varphi^b_a,

\widetilde{\Gamma}^n_{na}=\widetilde{\Gamma}^a_{nn}=0,

где \Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_dg_{bc}).

Под внутренней линейной связностью на многообразии с контактной метрической структурой понимается отображение

\nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D),

удовлетворяющее следующим условиям:

  1. \nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}};
  2. \nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y},
  3. \nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z},

где \Gamma(D) - модуль допустимых векторных полей. Коэффициенты линейной связности определяются из соотношения \nabla_{\vec{e}_{a}}\vec{e}_{b}=\Gamma^{c}_{ab}\vec{e}_{c}. Из равенства \vec{e}_a=A^{a'}_{a}\vec{e}_{a'}, где

A^{a'}_{a}=\frac{\partial x^{a'}}{\partial x^a}, (1)

обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов связности:

\Gamma^c_{ab}=A^{a'}_aA^{b'}_bA^{c}_{c'}\Gamma^{c'}_{a'b'}+A^{c}_{c'}\vec{e}_aA^{c'}_b. (2)

Кручение внутренней линейной связности S по определению полагается равным

S(\vec{x},\vec{y})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}].

Таким образом, в адаптированных координатах мы имеем

S^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab}-\Gamma^{c}_{ba}.

Координатное представление тензора кручения внутренней связности указывает на целесообразность называть внутреннюю связность с нулевым кручением симметричной связностью. Действие внутренней линейной связности обычным образом продолжается на произвольные допустимые тензорные поля. Если кручение внутренней связности равно нулю и \nabla g=0, то соответствующую связность будем называть внутренней метрической связностью без кручения.

Внутренняя линейная связность может быть определена заданием горизонтального распределения над пространством векторного расслоения (D,\pi,M). Будем говорить, что над распределением D задана связность, если распределение \widetilde{D}=\pi^{-1}_{*}(D), где \pi:D \rightarrow M - естественная проекция, раскладывается в прямую сумму вида \widetilde{D}=HD \oplus VD, где VD - вертикальное распределение на тотальном пространстве D.

Введем на D структуру гладкого многообразия, поставив в соответствие каждой адаптированной карте K(x^{\alpha}) на многообразии M сверхкарту \tilde{K}=(x^{\alpha},\,x^{n+a}) на многообразии D, где x^{n+a} - координаты допустимого вектора в базисе \vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}. Построенную сверхкарту также будем называть адаптированной. Задание связности над распределением эквивалентно заданию объекта G^{a}_{b}(x^{a},x^{n+a}) такого, что HD=Span(\vec{\varepsilon}_{a}), где \vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-G^{b}_{a}\partial_{n+b}. В случае, когда G^{a}_{b}(x^{a},x^{n+a})=\Gamma^{a}_{bc}(x^{a})x^{n+c}, связность над распределением определяется внутренней линейной связностью. В настоящей работе уточняется введенное ранее понятие продолженной связности. Пусть \nabla - внутренняя линейная связность, определяемая горизонтальным распределением HD, и N:D\rightarrow D - поле допустимого тензора типа (1,1). N-продолженной связностью назовем связность в векторном расслоении (D,\pi,M), определяемую разложением TD=\widetilde{HD}\oplus VD, такую, что \widetilde{HD}=HD\oplus\,Span(\vec{u}), \vec{u}_{\vec{x}}=\vec{\varepsilon}-(N\vec{x})^v, \vec{\varepsilon}=\partial_n\vec{x}\in D, (N\vec{x})^v - вертикальный лифт. Относительно базиса (\vec{\varepsilon}_{a},\partial_n,\partial_{n+a}) поле \vec{u} получает следующее координатное представление: \vec{u}=\partial_{n}-N^{a}_{b}x^{n+b}\partial_{n+a}.

Под кручением N-продолженной связности будем понимать кручение исходной внутренней связности. Будем использовать следующее обозначение для N-продолженной связности: \nabla^N=(\nabla,N), где \nabla - внутренняя связность. N-продолженную связность назовем метрической, если \nabla - внутренняя симметричная метрическая связность и выполняется равенство

\nabla^N_{\vec{\xi}}g_{ab}=\partial_ng_{ab}-N^c_ag_{cb}-N^c_bg_{ac}=0.

Если не оговорено противное, на протяжении всей работы под связностью \nabla будет пониматься внутренняя симметричная метрическая связность.

Допустимое тензорное поле, определяемое равенством

R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}],

где Q=I-P, названо Вагнером [22] тензором кривизны Схоутена. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид:

R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]c}+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c}.

Тензор кривизны Схоутена возникает в результате альтернирования вторых ковариантных производных:

2\nabla_{[a}\nabla_{b]}v^c=R^c_{abe}v^e+4\omega_{ba}\partial_n v^c.

Обращение в нуль тензора кривизны Схоутена равносильно тому, что параллельный перенос допустимых векторов вдоль допустимых кривых не зависит от пути переноса. Назовем тензор Схоутена тензором кривизны распределения D, а распределение D, в случае обращения в нуль тензора Схоутена, - распределением нулевой кривизны. Из формул (1), (2) следует, что частные производные \partial_n\Gamma^a_{bc}=P^a_{bc} являются компонентами допустимого тензорного поля, обозначаемого в дальнейшем P(\vec{x},\vec{y}).

Для К-контактных [62] пространств тензор кривизны Схоутена наделен теми же формальными свойствами, что и тензор кривизны риманова многообразия. В более общем случае препятствием к этому выступает наличие производных \partial_n g_{bc} в равенстве \nabla_{[e}\nabla_{a]}g_{bc}=2\omega_{ea}\partial_n g_{bc}-g_{dc}R^d_{eab}-g_{bd}R^d_{eac}.

Векторные поля

(\vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-\Gamma^{b}_{ac}x^{n+c}\partial_{n+b},\vec{u}=\partial_{n}-N^{a}_{b}x^{n+b}\partial_{n+a},\partial_{n+a})

определяют на D неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы

(dx^a, \Theta^n=dx^n+\Gamma^n_a dx^a, \Theta^{n+a}=dx^{n+a}+\Gamma^a_{bc} x^{n+c}dx^b+N^a_b x^{n+b} dx^n) - соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\vec{\varepsilon}_{b}]=2\omega_{ba} \vec{u}+x^{n+d}(2\omega_{ba}N^c_d+R^{c}_{bad})\partial_{n+c}, (3)

[\vec{\varepsilon}_{a},\vec{u}]=x^{n+d}(\partial_n\Gamma^c_{ad}-\nabla_aN^c_d)\partial_{n+c}, (4)

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\partial_{n+b}]=\Gamma^{c}_{ab}\partial^{n+c},

[\vec{u},\partial_{n+a}]=N^c_a\partial_{n+c}.

Из (3), (4) получаем выражение для тензора кривизны N-продолженной связности:

K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=2\omega(\vec{x},\vec{y})N\vec{z}+R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}, (5)

K(\vec{\xi},\vec{x})\vec{y}=P(\vec{x},\vec{y})-(\nabla_{\vec{x}}N)\vec{y}, (6)

где \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D).

Как следует из (5), (6), тензор кривизны N-продолженной связности полностью определяется допустимыми тензорными полями. Если положить в адаптированных координатах N^a_b=\frac{1}{4m}\omega^{cd}R^a_{cdb}, то соответствующую N-продолженную связность и ее тензор кривизны будем называть связностью Вагнера и тензором кривизны Вагнера соответственно. В более общем случае назовем тензор кривизны N-продолженной связности обобщенным тензором кривизны Вагнера. Для связности Вагнера будем использовать обозначение \nabla^W. Эндоморфизм N^a_b=\frac{1}{4m}\omega^{cd}R^a_{cdb} получен Вагнером [22] при построении тензора кривизны неголономного многообразия коразмерности 1.

Выбор эндоморфизма N определяется предпочитаемыми свойствами конструируемой связности.

Теорема 2. На многообразии с контактной метрической структурой существует N-продолженная метрическая связность, однозначно определяемая следующими условиями:

  1. \vec{z}g(\vec{x},\vec{y})=g(\nabla_{\vec{z}}\vec{x},\vec{y})+g(\vec{x},\nabla_{\vec{z}}\vec{y}) (свойство метричности),
  2. \nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}]=\vec{0} (отсутствие кручения),
  3. N - симметрический оператор, такой, что

g(N\vec{x},\vec{y})=\frac{1}{2}L_{\vec{\xi}}g(\vec{x},\vec{y}), (7)

где \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D) - сечения распределения D.

Доказательство. Первые два условия теоремы однозначно определяют внутреннюю метрическую связность [22]. В случае, когда L_{\vec{\xi}}g=0, полагаем N=0. Пусть, теперь, L_{\vec{\xi}}g\neq 0. Альтернируя вторую ковариантную производную, получаем: \nabla_{[e}\nabla_{a]}g_{bc}=2\omega_{ea}\partial_ng_{bc}-g_{dc}R^d_{eab}-g_{bd}R^d_{eac}.

Предполагая, что существует N-продолженная метрическая связность, удовлетворяющая условиям теоремы, и, сравнивая полученный результат с (5), находим явное выражение для эндоморфизма N:

N^f_b=\frac{1}{4m}\omega^{ea}(R^f_{eab}+g_{bd}g^{cf}R^d_{eac}).

Далее, с помощью прямого вычисления убеждаемся в справедливости равенства \nabla_ng_{ab}=0 для найденного выше эндоморфизма N.

Тем самым теорема доказана.

N-продолженные связности и специальные связности в почти контактном метрическом пространстве

Пусть \nabla^N - N-продолженная связность на многообразии с почти контактной метрической структурой (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi). Поставим в соответствие связности \nabla^N линейную связность на многообразии M, обозначаемую тем же символом \nabla^N и удовлетворяющую следующим условиям:

  1. S(\vec{x},\vec{y})=2\omega(\vec{x},\vec{y})\vec{\xi}+\eta(\vec{x})N\vec{y}-\eta(\vec{y})N\vec{x}, \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(TM),
  2. \nabla^N_{\vec{x}}g(\vec{y},\vec{z})=0, \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D),
  3. \nabla^N_{\vec{x}}\vec{\xi}=0, \vec{x}\in \Gamma(TM),
  4. \nabla^N_{\vec{x}}\eta=0, \vec{x}\in \Gamma(TM),

где S(\vec{x},\vec{y}) - тензор кручения связности \nabla^N_{\vec{x}}.

Имеет место

Теорема 3. Пусть (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi) – почти контактная метрическая структура, заданная на многообразии M. Тогда на многообразии M существует единственная связность \nabla^N_{\vec{x}} такая, что выполняются следующие условия:

S(\vec{x},\vec{y})=2\omega(\vec{x},\vec{y})\vec{\xi}+\eta(\vec{x})N\vec{y}-\eta(\vec{y})N\vec{x},\, \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(TM), (8)

\nabla^N_{\vec{x}}g(\vec{y},\vec{z})=0, \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D), (9)

\nabla^N_{\vec{x}}\vec{\xi}=0, \vec{x}\in \Gamma(TM), (10)

\nabla^N_{\vec{x}}\eta=0, \vec{x}\in \Gamma(TM), (11)

где N: D\rightarrow D - эндоморфизм распределения D.

Доказательство. Из предположения существования связности, докажем ее единственность. Получим явное выражение для коэффициентов \Gamma^\alpha_{\beta \gamma} связности \nabla^N_{\vec{x}} в адаптированных координатах. Условия (8), (9) определяют коэффициенты \Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_dg_{bc}). Из условий (10), (11) следует справедливость следующих равенств: \Gamma^a_{bn}=\Gamma^n_{an}=\Gamma^a_{nn}=\Gamma^n_{ab}=\Gamma^n_{nb}=\Gamma^n_{nn}=0. Повторно используя условие (8), получаем, что \Gamma^b_{na}=N^b_a. Что и доказывает единственность. Определим теперь отличные от нуля коэффициенты связности \nabla^N_{\vec{x}}, положив \Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_dg_{bc}), \Gamma^b_{na}=N^b_a. Непосредственно проверяется, что определяемая тем самым связность удовлетворяет условиям (8)-(11). Теорема доказана.

Теорема 3 указывает на биективное соответствие между множеством N-продолженных связностей и множеством N-связностей. Следующее утверждение позволяет построить N-связность, используя связность Леви-Чивита.

Теорема 4. Пусть (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi) – почти контактная метрическая структура, заданная на многообразии M. Тогда определяемая с помощью равенства

\nabla^N_{\vec{x}}\vec{y}=\tilde{\nabla}_{\vec{x}}\vec{y}-\eta(\vec{x})\tilde{\nabla}_{\vec{y}} \vec{\xi}-\eta(\vec{y})\tilde{\nabla}_{\vec{x}} \vec{\xi}+(\omega+c)(\vec{x},\vec{y})\vec{\xi}+\eta(\vec{x})N\vec{y}

связность \nabla^N_{\vec{x}} совпадает с N-связностью с соответствующим эндоморфизмом N: D\rightarrow D.

Доказательство теоремы сводится вычислению коэффициентов связности \nabla^N_{\vec{x}} в адаптированных координатах.

Используя равенства (5), (6), получаем выражение для тензора кривизны N-связности \nabla^N_{\vec{x}}:

K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=2\omega(\vec{x},\vec{y})N\vec{z}+R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}+\eta(\vec{x})(P(\vec{y},\vec{z})-(\nabla_{P\vec{y}}N)\vec{z})-\eta(\vec{y})(P(\vec{x},\vec{z})-(\nabla_{P\vec{x}}N)\vec{z}),

\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(TM).

Назовем тензор кривизны N-связности, также как и тензор кривизны соответствующей N-продолженной связности, обобщенным тензором кривизны Вагнера.

Задавая надлежащим образом эндоморфизм N: D\rightarrow D, получаем специальные классы N-связностей:

1. Связность Бежанку \nabla^B с нулевым эндоморфизмом N=0. Бежанку [69] определяет связность \nabla^B на почти контактном метрическом многообразии с помощью формулы \nabla^B_{\vec{x}}\vec{y}=\tilde{\nabla}_{\vec{x}}\vec{y}-\eta(\vec{x})\tilde{\nabla}_{\vec{y}} \vec{\xi}-\eta(\vec{y})\tilde{\nabla}_{\vec{x}} \vec{\xi} +(\omega+c)(\vec{x},\vec{y})\vec{\xi}. В адаптированных координатах отличными от нуля компонентами \Gamma^{B\alpha}_{\beta \gamma} связности \nabla^B являются \Gamma^{Ba}_{bc}=\Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_dg_{bc}). В случае многообразия Сасаки тензор кривизны связности Бежанку совпадает с тензором кривизны Схоутена. Построенная Бежанку связность, вообще говоря, не является метрической. Так как \nabla^B_{n}g_{ab}=\partial_ng_{ab}, то метричность связности Бежанку эквивалентна К-контактности контактной метрической структуры. N-связность \nabla^N на многообразии с почти контактной метрической структурой с заданным эндоморфизмом N: D\rightarrow D может быть определена с помощью равенства \nabla^N_{\vec{x}}\vec{y}=\nabla^B_{\vec{x}}\vec{y}+\eta(\vec{x})N\vec{y}.

2. Связность Танака-Вебстера \nabla^{TW} определяется как единственная связность, удовлетворяющая следующим условиям:

  1. \nabla^{TW}\eta=0,
  2. \nabla^{TW}\vec{\xi}=0,
  3. \nabla^{TW}g=0,
  4. S(\vec{x},\vec{y})=2\omega(\vec{x},\vec{y})\vec{\xi}, \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D),
  5. S(\vec{\xi},\varphi\vec{x})=-\varphi S(\vec{\xi},\vec{x}), \vec{x}\in \Gamma(TM).

Связность \nabla^{TW} является N-связностью для N=C.

3. Связность Схоутена-ван Кампена \nabla^{Sk} определяется с помощью равенства [94]: \nabla^{Sk}_{\vec{x}}\vec{y}=(\tilde{\nabla}_{\vec{x}}\vec{y}^h)^h+(\tilde{\nabla}_{\vec{x}}\vec{y}^v)^v, где \vec{y}^h=P\vec{y}, \vec{y}^v=Q\vec{y}. Непосредственно проверяется, что связность Схоутена-ван Кампена является N-связностью для случая, когда N=C-\varphi.

4. Совсем недавно было введено понятие \varphi-связности [5]. Для K-контактных метрических пространств \varphi-связность совпадает со связностью Схоутена-ван Кампена.

Пусть (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi) – контактная метрическая структура, заданная на многообразии M. Тем самым на многообразии M определена внутренняя симметричная метрическая связность \nabla с коэффициентами \Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_dg_{bc}). Имеет место следующая теорема.

Теорема 5. Пусть (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi) – почти контактная метрическая структура, заданная на многообразии M. Тогда, обращение в нуль тензора Схоутена эквивалентно существованию такого атласа, состоящего из адаптированных карт, для которого выполняются равенства \Gamma^a_{bc}=0.

Доказательство. Достаточность утверждения непосредственно подтверждается координатным представлением тензора Схоутена в адаптированных координатах. Докажем необходимость. Обращение в нуль тензора Схоутена влечет независимость коэффициентов связности \Gamma^a_{bc} от последней координаты: \partial_n\Gamma^a_{bc}=P^a_{bc}=0. Покажем, что на многообразии M можно построить атлас адаптированных карт, в которых коэффициенты связности равны нулю. Составим систему уравнений в полных дифференциалах:

\partial_af^{b'}=A^{b'}_a,\,\partial_aA^{c'}_b=\Gamma^c_{ab}A^{c'}_c. (12)

Условия интегрируемости полученной системы сводятся к следующим соотношениям:

S^c_{ab}A^{c'}_c=0,\,R^d_{abc}A^{d'}_d=0,

которые выполняются тождественно. Следовательно, система (12) вполне интегрируема и имеет решение с произвольными начальными условиями, что и завершает доказательство теоремы.

Теорема 6. Пусть (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi) – контактная метрическая структура, заданная на многообразии M. Обобщенный тензор кривизны Вагнера тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда N=0 и существует постоянное допустимое векторное поле любого направления.

Доказательство. Предположим, что обобщенный тензор кривизны Вагнера тождественно равен нулю. Из равенства (5) заключаем, что 2\omega(\vec{x},\vec{y})N\vec{z}+R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\vec{0}. В качестве следствия легко проверяемого тождества

R^d_{[abc]}=0,

получаем равенство N^b_a(m-1)=0. Т.к., m>1, то отсюда следует, что N=0. Что, в свою очередь, влечет обращение в нуль тензора Схоутена. Оставшиеся рассуждения можно провести, опираясь на теорему 5.

Связность над распределением в главном расслоенном пространстве допустимых реперов

Пусть M – гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1, m>1, с заданной на нем контактной метрической структурой (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g). Для проведения необходимых построений ограничимся рассмотрением контактной формы \eta. Пусть, далее, (R(M,D),p,M) - главное расслоение допустимых реперов со структурной группой GL(n,\mathbb{R}), обозначаемой в дальнейшим символом G. Каждая точка многообразия R(M,D) представляет собой пару \tau=(x,(\vec{f_a})), где x\in M, (\vec{f}_a) - базис пространства D_x. Размерность многообразия R(M,D) равна n+(n-1)^2. Ограничимся использованием на многообразия R(M,D) сверхкарт, порождаемых адаптированными картами, заданными на базе M. А именно, пусть K(x^\alpha) - адаптированная карта, заданная на многообразии M. Если K:x\rightarrow (x^\alpha), то \tilde{K}:(x,(\vec{f_a}))\rightarrow (x^\alpha,u^b_a), где \vec{f}_a=u^b_a\vec{e}_b.

Предложение 1. Пусть \tilde{A} - фундаментальное векторное поле, определяемое матрицей A, принадлежащей алгебре Ли группы Ли G. Тогда имеет место равенство \tilde{A}(\tau)=u^a_bA^b_c\partial^c_a, где \partial^c_a=\frac{\partial}{\partial u^a_c}.

Связностью над распределением в главном расслоенном пространстве допустимых реперов (R(M,D),p,M) будем называть сопоставление подпространства H_\tau из T_{\tau}(R(M,D)) каждой точке \tau\in R(M,D) такое, что

  1. T_{\tau}(R(M,D))=H_\tau \oplus V_\tau;
  2. H_{\tau g}=(R_g)_{*} H_{\tau};
  3. H - гладкое распределение на многообразии R(M,D)
  4. Имеет место равенство p_{*}(H_\tau)=D_x.

Распределения H,V называются горизонтальным и вертикальным распределением соответственно связности над распределением. Любая связность \tilde{\Gamma} с горизонтальным распределением \tilde{H} в главном расслоенном пространстве допустимых реперов называется продолжением связности над распределением \Gamma с горизонтальным распределением H, если H\subset \tilde{H}.

Имеет место

Предложение 2. Пусть \vec{v}=(v^\alpha) - точка арифметического пространства \mathbb{R}^n. Существует и при том единственное горизонтальное векторное поле B(\vec{v}) такое, что выполняется условие

p_{*}B_{\tau}(\vec{v})=v^a\vec{f}_a+v^n\partial_n,

где \tau=(x,(\vec{f_a})). Очевидно, что B_{\tau}(0,...,0,1)=\partial_n-N^b_aC^a_b, где C^a_b - стандартные фундаментальные векторные поля. Векторные поля B(\vec{v}), где \vec{v} пробегает значения стандартного базиса пространства \mathbb{R}^n, называются стандартными базисными векторными полями.

Предложение 3. Задание связности в главном расслоенном пространстве допустимых реперов определяет поле эндоморфизмов N: D\rightarrow D с компонентами N^b_a.

Окончательно получаем следующую теорему.

Теорема 7. N-продолженная связность совпадает со связностью в присоединенном расслоении к главному расслоению допустимых реперов с продолженной связностью.

Заключение

Инфинитезимальные преобразования продолженных почти контактных метрических структур изучались в работах [1-3, 32]. Аналоги полученных в этих работах результатов можно найти в работах [65, 66]. Исследованиям геометрии расслоения реперов посвящены работы [74-76, 79, 85, 87-89, 90]. Продолжения структур в тензорные расслоения изучались в [67, 68, 71, 72, 77, 78, 80, 82-84, 86, 91-93, 95]. Все более активно при изучении геометрических структур используются пакеты прикладных программ [13-15].

Список литературы

  1. Букушева А.В. Об алгебре Ли преобразований продолженной почти контактной метрической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С. 11-13.
  2. Букушева А.В. Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1 (49). С. 23-24.
  3. Букушева А.В. Об инфинитезимальных эндоморфизмах допустимой почти симплектической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 7-1(51). С. 14-16.
  4. Букушева А.В. Об одном примере гиперкэлеровой структуры на контактных кэлеровых распределениях // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 8-1 (52). С. 21-22.
  5. Букушева А.В. О геометрии контактных метрических пространств с φ-связностью // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. №17(214) Вып. 40. 2015. С. 20-24.
  6. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул : Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.
  7. Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.
  8. Букушева А.В. О некоторых классах почти параконтактных метрических многообразий // Математика. Механика. 2013. №.15. С. 8-11.
  9. Букушева А.В. Когомологии оснащенных распределений // Математика. Механика. 2014. №.16. С.15-18.
  10. Букушева А.В. Слоения на распределениях с финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т.14. №.3. С.247-251.
  11. Букушева А.В. Финслерово пространство с метрикой Бервальда-Моора как обобщение метрического пространства невырожденных поличисел // Математика. Механика. 2011. №.13. С. 6-10.
  12. Букушева А.В. О пространстве над алгеброй поличисел с метрикой Бервальда-Моора // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике. 2011. Т. 8. № 15-1. С. 99-103.
  13. Букушева А.В. Применение Wolfram Language для выделения специальных классов почти контактных метрических структур // Компьютерные науки и информационные технологии: Материалы Междунар. науч. конф. - Саратов : Издат. центр."Наука", 2016. С. 105-107.
  14. Букушева А.В. Использование Mathematica для описания геометрии динамических систем // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники: сборник трудов всероссийской конференции, Барнаул, 24 - 26 ноября 2015. - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2015. С. 248-249.
  15. Букушева А.В. Связности с кручением и неголономная геометрия // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения – 2016. Материалы научной конференции, 11–15 апреля 2016 г. – СПб.: Изд. РГПУ им. А.И. Герцена, 2016. С. 146-150.
  16. Букушева А.В., Галаев С.В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика. Механика. 2005. №7. С. 12-14.
  17. Букушева А.В., Галаев С.В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Известия высших учебных заведений. Математика. 2013. №4. С. 10-18.
  18. Букушева А.В., Галаев С.В. Условие интегрируемости метрики Бервальда-Моора // Механика. Математика. 2010. №12. С. 10-13.
  19. Букушева А.В., Галаев С.В., Иванченко И.П. О почти контактных метрических структурах, определяемых связностью над распределением с финслеровой метрикой // Механика. Математика. 2011. №13. С.10-14.
  20. Букушева А.В., Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №. 3. С. 17-22.
  21. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий: VIII Междунар. Конкурс им. Н. И. Лобачевского (1937): отчёт. Казань: Казан. физ.-мат. общ-во, 1940. 327 с.
  22. Вагнер В.В. Геометрия – мерного неголономного многообразия в -мерном пространстве // Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 173-255.
  23. Вагнер В.В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем // Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 301-327.
  24. Вершик А. М., Гершкович В. Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Итоги науки и техники. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундаментальные направления ВИНИТИ. 1987. Т. 16. С. 5–85.
  25. Вершик A.M., Фаддеев Л.Д. Дифференциальная геометрия и лагранжева механика со связями. //ДАН СССР, 1972, 202(3), 555-557.
  26. Вершик A.M., Фаддеев Л.Д. Лагранжева механика в инвариантном изложении. //Проблемы теоретической физики. Сб. ст. Л., 1975, стр. 129-141.
  27. Галаев С.В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Известия высших учебных заведений. Математика. 2017. №3. С. 15-23.
  28. Галаев С.В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. № 3(337). С. 632-640.
  29. Галаев С.В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №3. С. 551-555.
  30. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16. №3. С. 263-272.
  31. Галаев С.В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17. №3(59). С. 53-63.
  32. Галаев С.В. Замечания о контактно-геодезических преобразованиях почти контактных метрических многообразий // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. 2016. №15-1. С. 54-57.
  33. Галаев С.В. Обобщенные би-контактные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. 2016. №15-1. С. 57-59.
  34. Галаев С.В. Об одном примере допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структуры с метрикой полного лифта // Новая наука: Теоретический и практический взгляд. 2016. №10-2. С. 28-31.
  35. Галаев С.В. Примеры многообразий со специальной квази-сасакиевой структурой // Новая наука: Теоретический и практический взгляд. 2016. №10-2. С. 31-33.
  36. Галаев С.В. О продолжении почти контактных метрических структур // Актуальные вопросы и перспективы развития математических и естественных наук. Сборник научных трудов по итогам международной научно-практической конференции. Омск. Изд-во: Инновационный центр развития образования и науки. 2015. С. 21-25.
  37. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на контактных кэлеровых распределениях // Современные проблемы математических и естественных наук в мире. Сборник научных трудов по итогам международной научно-практической конференции. Казань. Изд-во: Инновационный центр развития образования и науки. 2015. С. 22-24.
  38. Галаев С.В. О контактных метрических пространствах с распределением нулевой кривизны // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул : Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 479-482.
  39. Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые симплектической связностью над распределением // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №2. С. 136-141.
  40. Галаев С.В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №3. С. 258-263.
  41. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С.14-16.
  42. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1(49). С. 20-22.
  43. Галаев С.В. Связности, совместимые с допустимой почти симплектической структурой // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 7-1(51). С. 17-19.
  44. Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые N-продолженной связностью // Математические заметки СВФУ. 2015. Т. 22. №1. С. 25-34.
  45. Галаев С.В. О некоторых классах N-продолженных связностей // Математика. Механика. 2015. №17. С. 12-15.
  46. Галаев С.В., Гохман А.В. О лагранжевых механических системах с неинтегрируемой линейной связью // Математика. Механика. 2015. №17. С. 15-18.
  47. Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Почти контактные кэлеровы пространства, определяемые симплектической связностью над распределением // Математика. Механика. 2015. №17. С. 19-21.
  48. Галаев С.В. Почти контактные кэлеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны // Известия высших учебных заведений. Математика. 2014. №8. С. 42-52.
  49. Галаев С.В., Гохман А.В. Внутренняя связность, ассоциированная с вполне интегрируемым лежандровым слоением // Математика. Механика. 2014. №16. С. 22-25.
  50. Галаев С.В., Гохман А.В. О первых интегралах динамических систем с неинтегрируемой линейной связью // Математика. Механика. 2013. №15. С. 23-29.
  51. Галаев С.В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №1. С. 16-22.
  52. Галаев С.В., Гохман А.В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях с почти контактной метрической структурой // Математика. Механика. 2012. №14. С. 23-27.
  53. Галаев С.В. О продолжении внутренней связности неголономного многообразия с финслеровой метрикой // Механика. Математика. 2011. №13. С.26-29.
  54. Галаев С.В., Гохман А.В. О внутренней геометрии метрических почти контактных многообразий // Механика. Математика. 2011. №13. С.29-33.
  55. Галаев С.В., Гохман А.В. Внутренние неголономные связности, совместимые с допустимой почти симплектической структурой // Механика. Математика. 2009. №11. С. 15-18.
  56. Галаев С.В., Гохман А.В. Геометрическая интерпретация движения точки переменной массы со связями // Механика. Математика. 2007. №9. С. 15-16.
  57. Галаев С.В., Гохман А.В. Пример редукции допустимой симплектической структуры // Математика. Механика. 2006. №8. С. 31-34.
  58. Галаев С.В., Гохман А.В. Условие метризуемости аффинной связности в неголономном многообразии $X^2_3$ // Математика. Механика. 2005. №7. С. 28-32.
  59. Галаев С.В., Гохман А.В. О метризуемости аффинной связности в неголономном многообразии $X^2_3$ // Математика. Механика. 2004. №6. С. 34-37.
  60. Галаев С.В., Гохман А.В. К геометрии динамики со связями одного класса точек переменной массы // Математика. Механика. 2003. №5. С. 18-22.
  61. Галаев С.В., Гохман А.В. Неголономные почти симплектические многообразия с присоединенной связностью // Математика. Механика. 2002. №4. С. 31-33.
  62. Галаев С.В., Гохман А.В. Почти симплектические связности на неголономном многообразии // Математика. Механика. 2001. №3. С. 28-31.
  63. Галаев С.В., Гохман А.В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях со связностью // Математика. Механика. 2000. №2. С. 16-19.
  64. . Манин Ю. И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. М.: Наука, 1984. 336 с.
  65. Паньженский В. И., Сухова О. В. Почти эрмитовы структуры на касательном расслоении почти симплектического многообразия // Изв. вузов. Математика. 2007. № 11. С. 75-78.
  66. Султанов А.Я. Инфинитезимальные аффинные преобразования расслоения линейных реперов со связностью полного лифта // Труды геометрического семинара. Вып. 22. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1994. С. 78-88.
  67. Abbassi M.T.K., Sarih M. On natural metrics on tangent bundles of Riemannian manifolds // Arch. Math. Brno. 2005. Vol. 41. no. 1.P. 71-92.
  68. Baird P., Wood J.C. Harmonic morphisms between Riemannian manifolds/ Oxford University Press, Oxford, 2003.
  69. Bejancu A. Kahler contact distributions // Journal of Geometry and Physics. 2010. Vol. 60. P. 1958-1967.
  70. Benyounes M., Loubeau E., Wood C.M. Harmonic sections of Riemannian vector bundles, and metrics of Cheeger-Gromoll type. Differential Geom. Appl. 2007. Vol. 25. no. 3. P. 322-334.
  71. Benyounes M., Loubeau E., Wood C.M. The geometry of generalised Cheeger-Gromoll metrics. ArXiv, http://arxiv.org/abs/math/0703059
  72. Bukusheva A.V., Galaev S.V. Almost contact metric structures defined by connection over distribution // Bulletin of the Transilvania University of Brasov Series III: Mathematics, Informatics, Physics. 2011. Т. 4. №2. Р. 13-22.
  73. Bukusheva A.V. Nonholonomic manifolds with Berwald-Moor metric // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Т. 31. №1. С. 27-34.
  74. Cordero L. A., M. de Leon Lifts of tensor fields to the frame bundle. Rend. Circ. Mat. Palermo. 1983. Vol. 32(2). no. 2. P. 236-271.
  75. Cordero L.A., M. de Leon On the curvature of the induced Riemannian metric on the frame bundle of a Riemannian manifold // J. Math. Pures Appl. 1986. Vol. 65(9). no. 1. P. 81–91.
  76. Cordero L.A, Dodson C.T.J., M de Leon Differential geometry of frame bundles. Kluwer Acad. Publ., 1989. 234 p.
  77. Dombrowski P. On the geometry of the tangent bundle // J. Reine Angew. Math. 1962. Vol. 210. P. 73–88.
  78. Etayo J. On a complete lifting of derivations. Tensor N. S. 1982. Vol. 38. P. 169-178.
  79. Falbel E., Gorodski C., Rumin M. Holonomy of Sub-Riemannian manifolds // International Journal of Mathematics. May 1997. Vol. 08. no. 3. P. 317-344.
  80. Galaev S.V. Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Vol. 31. №1. P. 35-46.
  81. Galaev S.V. Geometric interpretation of the Wagner curvature tensor in the case of a manifold with contact metric structure // Siberian Mathematical Journal. 2016. Т. 57. №3. С. 498–504.
  82. Gancarzewicz J.J. Complete lifts of tensor fields of type (1, k) to natural bundles // Zeszyty Naukowe UJ, Prace Matematyczne. 1982. Vol. 23. P. 51-84.
  83. Cengiz N., Salimov A.A. Diagonal lift in the tensor bundle $T^1_q(M_n)$ and its application // Appl. Math. And Comput. 2003. V. 142. P. 309-319.
  84. Cengiz N., Salimov A.A. Complete lifts of derivations to tensor bundles $T^1_q(M_n)$ // Bol. Soc. Mat. Mexicana. 2002. V. 8. №3. P. 75-82.
  85. Kobayashi S., Nomizu K. Foundations of Differential Geometry Vol. 1. Interscience Publ., New York, 1963.
  86. Kowalski O., Sekizawa M. Natural transformations of Riemannian metrics on manifolds to metrics on tangent bundles // Bull. Tokyo Gakugei Univ. 1988. Vol. 40(4). P. 129.
  87. Kowalski O., Sekizawa M. On curvatures of linear frame bundles with naturally lifted metrics. Rend. Semin. Mat. Univ. Politec. Torino. 2005. Vol. 63. no. 3. P. 283-295.
  88. Kowalski O., Sekizawa M. On the geometry of orthonormal frame bundles. Math. Nachr. 2008. Vol. 281. no. 12. P. 1799-1809.
  89. Kowalski O., Sekizawa M. On the geometry of orthonormal frame bundles. II // Ann. Global Anal. Geom. 2008. Vol. 33. no. 4. P. 357-371.
  90. K. P. Mok, On the differential geometry of frame bundles of Riemannian manifolds // J. Reine Angew. Math. 1978. no. 302. P. 16-31.
  91. Salimov A.A. The generalized Yano-Ako operator and the complete lift of tensor fields // Tensor. N.S. Japan. 1994. V. 55. no. 2. P. 142-146.
  92. Salimov A.A., Magden A. Complete lifts of tensor fields on a pure cross-section in the tensor bundle $T^1_q(M_n)$ // Note Di Matematica. 1998. V. 18. №1. P. 27-37.
  93. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds // Tohoku Math. J. 1958. V. 10. P. 338-354.
  94. Schouten J., van Kampen E. Zur Einbettungs-und Krümmungstheorie nichtholonomer Gebilde // Math. Ann. 1930. no. 103. P. 752-783.
  95. Yano K., Ishihara S. Tangent and cotangent bundles. - New York: Marcel Dekker Inc., 1973. - 423 p.
  96. Галаев С.В. Ассоциированная связность Обаты на почти контактных гиперкомплексных многообразиях // NovaInfo.Ru. 2017. Т.1. №58. С. 12-24.
  97. Галаев С.В. Внутренняя геометрия динамической системы с неинтегрируемой линейной связью // NovaInfo.Ru. 2017. Т.1. №58. С. 55-66.
  98. Галаев С.В. О структуре AP-многообразия на кораспределении сасакиева многообразия // NovaInfo.Ru. 2017. Т.4. №58. С. 24-36.
  99. Галаев С.В. Геометрия SQS-многообразий // NovaInfo.Ru. 2017. Т.6. №58. С. 30-42.
  100. Галаев С.В. О некоторых свойствах продолженных почти AP-структур // NovaInfo.Ru. 2017. №59-1. С. 11090.
  101. Галаев С.В. О структуре AP-многообразия на распределении контактного метрического многообразия // NovaInfo.Ru. 2017. Т.6. №58. С. 61-73.