Адаптация МПТМ минимальных поправок решения сеточных уравнений диффузии — конвекции — реакции для задач приземной аэродинамики многокомпонентной воздушной среды

NovaInfo 32
Опубликовано
Раздел: Технические науки
Просмотров за месяц: 0
CC BY-NC

Аннотация

Работа посвящена исследованию эффективности модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода (МПТМ) минимальных поправок решения сеточных для задач диффузии–конвекции применительно к расчету распространения многокомпонентной примеси в приземном слое атмосферы. В рамках разработки программного комплекса, предназначенного для решения задачи движения многокомпонентной воздушной среды, была построена библиотека двухслойных итерационных методов, предназначенных для решения пятидиагональных сеточных уравнений. Получены табличные значения зависимости количества итераций, необходимых для решения сеточного уравнения различными итерационными методами от шага по временной переменной и табличные значения зависимости количества итераций решения сеточных уравнений на основе МПТМ от шага по временной переменной и размера сетки. Показана эффективность МПТМ для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором в широком диапазоне задаваемых параметров.

Ключевые слова

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД, ПРИЗЕМНАЯ АЭРОДИНАМИКА, УРАВНЕНИЕ ДИФФУЗИИ-КОНВЕКЦИИ

Текст научной работы

Введение

Эффективным инструментом прогнозирования качества воздушной среды является математическое моделирование изменчивости газового и аэрозольного ее состава, а также оценка влияния атмосферных примесей на окружающую среду. Многие процессы трансформации газовых примесей и аэрозолей протекают в турбулентной атмосфере.

Важной проблемой, связанной с экологией воздушной среды, является прогнозирование распространения загрязняющих веществ (ЗВ) в ней. В области математического моделирования движения загрязнений в атмосфере и разработки численных методов для этих целей, в настоящее время, сложилась ситуация, при которой проводимые исследования рассматривают отдельные явления и не охватывают их в комплексе. Поэтому для решения проблем, связанных с распространением загрязняющих веществ, необходима разработка новых математических моделей, базирующихся на уравнениях газовой динамики и законах сохранения вещества, с учетом многокомпонентности среды, пространственного распределения субстанций и неоднородности их термодинамических характеристик и фазовых переходов. В силу сказанного является актуальной задачей разработка программного обеспечения, предназначенного для моделирования распространения многокомпонентной примеси в приземном слое атмосферы.

Описание программного комплекса

Программный комплекс «AeroEcology» предназначен для построения турбулентных потоков поля скорости движения многокомпонентной воздушной среды на сетках с высокой разрешающей способностью, а также расчет концентрации загрязняющих веществ и транспорт тепла [1-3]. Данный программный комплекс используется для расчета процессов транспорта загрязняющих веществ, находящихся в газообразном и аэрозольном состояниях. Программный комплекс «AeroEcology» учитывает такие физические процессы как: транспорт загрязняющих веществ и тепла; изменение коэффициента турбулентного обмена; переход воды из жидкого в газообразное состояние; осаждение вещества; изменение температуры за счет конденсации и испарения аэрозоли; турбулентное перемешивание многокомпонентной воздушной среды; теплообмен между жидкими и газообразными состояниями; наличие распределенных источников вещества и температуры; силу Архимеда; тангенциальное напряжение на границах раздела сред; переменную плотность, зависящую от: концентрации загрязняющих веществ, температуры, давления; сжимаемость среды за счет: изменения температуры, испарения и конденсации жидкости, изменения давления, наличия источников. Программный комплекс «AeroEcology» обеспечивает выполнение следующих функций:

  • расчет поля скорости без учета давления;
  • расчет давления;
  • расчет поля скорости с учетом давления;
  • расчет коэффициентов турбулентного обмена;
  • расчет концентрации воды, находящейся в газообразном состоянии;
  • расчет концентрации газообразных загрязняющих веществ;
  • расчет концентрации воздуха;
  • расчет концентрации воды, находящейся в жидком состоянии;
  • расчет концентрации твердых взвешенных частиц;
  • расчет температуры аэрозоли;
  • расчет температуры газообразной среды;
  • расчет плотности.

Библиотека двухслойных итерационных методов

В рамках разработки программного комплекса «AeroEcology», предназначенного для решения задачи движения многокомпонентной воздушной среды, была построена библиотека двухслойных итерационных методов, предназначенных для решения пятидиагональных сеточных уравнений. Данная библиотека решателей систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) состоит из:

  • метода Якоби [4];
  • метода минимальных поправок;
  • метода скорейшего спуска;
  • метода Зейделя;
  • метода верхней релаксации;
  • адаптивный МПТМ вариационного типа [5-7].

Разработанная библиотека итерационных методов была протестирована на модельной задаче диффузии–конвекции–реакции [8, 9].

Задача решалась на сетке размерами 100×100, шаги по пространственным переменным равнялись 1 м., коэффициент турбулентного обмена μ=10 м2/с, скорость конвективного переноса равнялась нулю. Функция, описывающая распределение и интенсивность источников веществ, представлена точечным источником.

Для решения модельной задачи использованы схемы с весами, при этом вес схемы задавался равным 0,5. Шаг по временной переменной менялся от 0,001 до 1000 с. Завершение работы решателей СЛАУ происходило при выполнении следующего условия: равномерная норма вектора невязки меньше заданного значения [10].

В таблице 1 приведены зависимости количества итераций, необходимых для решения модельной задачи от шага по временной переменной.

Из приведенных в таблице значений количества итераций, необходимых для решения модельных задач диффузии–конвекции–реакции, видно, что чем больше шаг по временной переменной, тем больше итераций требуется для решения данной задачи. Это связано с тем, что при увеличении шага по временной переменной уменьшается диагональное преобладание, вследствие чего растет число обусловленности матрицы коэффициентов. Как показано выше скорость сходимости напрямую зависит от числа обусловленности матрицы коэффициентов. Этим и связан рост числа итераций, необходимых для решения сеточных уравнений итерационными методами.

Таблица 1. Зависимости количества итераций решения сеточных уравнений итерационными методами от шага по временной переменной

Шаг по временной переменной

Количество итераций

Метод Якоби

Метод минимальных поправок

Метод скорейшего спуска

Метод Зейделя

Метод верхней релаксации

МПТМ

0.001

6

6

6

5

43

5

0.005

8

8

8

8

43

6

0.01

10

10

10

8

45

6

0.05

23

23

23

15

56

10

0.1

37

36

37

22

61

12

0.5

138

134

138

70

60

27

1

256

247

256

126

60

28

5

1138

1077

1138

558

131

50

10

2233

2110

2233

1073

246

72

50

10160

9523

10160

4774

1074

158

100

19966

18625

19966

9320

2096

218

500

99651

92789

99651

46383

10399

1281

1000

199295

185529

199295

92739

20781

4382

Не трудно заметить, что МПТМ является наиболее эффективным из предложенных методов. При больших шагах по временной переменной МПТМ требуется наименьшее количество итераций, по сравнению с остальными методами. Так же свою эффективность показал метод верхней релаксации, но при малых шагах по временной переменной его использовать не целесообразно. При решении сеточных уравнений методы Якоби, Зейделя и вариационного типа показали свою эффективность в узком диапазоне задаваемых параметров, но использовать данные методы при решении плохо обусловленных задач не целесообразно.

В таблице 2 приведено количество итераций, необходимые для решения задачи диффузии-конвекции-реакции адаптивным МПТМ вариационного типа.

При решении модельной задачи были использованы расчетные сетки размерами от 10×10 до 1000×1000. Шаги по пространственным переменным менялись в диапазоне от 10 см. до 10 м., при этом размеры расчетной области равнялись 100×100 м. Коэффициент турбулентного обмена μ=10 м2/с, скорость конвективного переноса u=1 м/с. Функция, описывающая распределение и интенсивность источников веществ, представлена точечным источником. Для решения модельной задачи применены схемы с весами, при этом вес схемы задавался равным 0,5. Шаг по временной переменной менялся от 0,001 до 100 с. Завершение работы МПТМ происходило при выполнении условия: равномерная норма вектора невязки меньше заданного значения.

Таблица 2. Зависимости количества итераций решения сеточных уравнений на основе МПТМ от шага по временной переменной и размера сетки

Шаг по временной переменной

Размеры сетки

10х10

20х20

50х50

100х100

200х200

500х500

1000х1000

Количество итераций

0.001

3

4

4

5

6

10

14

0.005

3

4

5

6

8

15

32

0.01

4

4

5

6

10

22

38

0.05

4

5

5

9

18

47

61

0.1

4

5

8

13

25

57

110

0.5

5

7

11

25

43

95

117

1

6

8

17

31

53

103

135

5

9

15

27

47

112

527

1592

10

11

18

38

81

219

1116

2740

50

19

30

83

425

1112

5324

13556

100

23

44

116

651

2498

10003

27326

Из таблицы 2 видно, что МПТМ показал свою эффективность для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором в широком диапазоне задаваемых параметров. Следует отметить, что адаптивный МПТМ нашел свое применение при решении трехмерных задач диффузии-конвекции [11, 12].

Заключение

Работа посвящена описанию численных методов решения сеточных уравнений приземной аэродинамики. В статье описан вариант модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода минимальных поправок, а также приведена адаптация МПТМ минимальных поправок решения сеточных уравнений диффузии–конвекции–реакции для задач приземной аэродинамики многокомпонентной воздушной среды. Получены табличные значения зависимости количества итераций, необходимых для решения сеточного уравнения различными итерационными методами от шага по временной переменной и табличные значения зависимости количества итераций решения сеточных уравнений на основе МПТМ от шага по временной переменной и размера сетки.

Читайте также

Список литературы

  1. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Хачунц Д.С. Математическое моделирование движения многокомпонентной воздушной среды и транспорта загрязняющих веществ// Известия ЮФУ. Технические науки. –2011. №8(121). – С 73-79.
  2. Чистяков А.Е., Хачунц Д.С. Программная реализация двумерной задачи движения воздушной среды // Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2013. № 4. С. 15-20.
  3. Сухинов А.И., Хачунц Д.С. Задача движения многокомпонентной воздушной среды с учетом парообразования и конденсации // Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2013. № 4. С. 87-98.
  4. Самарский А.А. Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. –М.: Наука, – 1978 – 588 с.
  5. Сухинов А.И., Чистяков А.Е. Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором// Математическое моделирование. – 2012. – Т.24, №1, – С. 3–21.
  6. Коновалов А.Н. Метод скорейшего спуска с адаптивным попеременно-треугольным переобусловливателем// Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. № 7. С. 953.
  7. Коновалов А.Н. К теории попеременно-треугольного итерационного метода// Сибирский математический журнал. 2002. Т. 43. № 3. С. 552.
  8. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Шишеня А.В. Оценка погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами// Математическое моделирование. 2013. Т. 25. № 11. С. 53-64.
  9. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Фоменко Н.А. Методика построения разностных схем для задачи диффузии-конвекции-реакции, учитывающих степень заполненности контрольных ячеек // Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2013. № 4. С. 87-98.
  10. Самарский А.А. Теория разностных схем. М. Наука, 1989.
  11. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежной зоне мелководных водоемов//Математическое моделирование. 2013. Т. 25. № 12. С. 65-82.
  12. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежных водных системах на многопроцессорной вычислительной системе// Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2014. Т. 15. № 4. С. 610-620.

Цитировать

Колосов, С.Ю. Адаптация МПТМ минимальных поправок решения сеточных уравнений диффузии — конвекции — реакции для задач приземной аэродинамики многокомпонентной воздушной среды / С.Ю. Колосов, Д.С. Хачунц. — Текст : электронный // NovaInfo, 2015. — № 32. — URL: https://novainfo.ru/article/3292 (дата обращения: 24.01.2022).

Поделиться