О приливных силах

NovaInfo 33, скачать PDF
Опубликовано
Раздел: Физико-математические науки
Просмотров за месяц: 3
CC BY-NC

Аннотация

Вследствие неоднородности гравитации, возникают так называемые приливные силы. В статье рассматриваются приливные силы с классической точки зрения и случай сферически симметричного стационарного решения уравнения Эйнштейна общей теории относительности (метрика Шварцшильда).

Ключевые слова

МЕТРИКА ШВАРЦШИЛЬДА, ПРИЛИВНЫЕ СИЛЫ, НЕОДНОРОДНОСТЬ ГРАВИТАЦИИ, КОЛЛАПСИРУЮЩАЯ ЗВЕЗДА, СУДЬБА ЧЕЛОВЕКА

Текст научной работы

Введение

В 1916 году Эйнштейн публикует работу: «Общая теория относительности». В ее основе лежит идея описания гравитационного поля с помощью геометрической модели поля.

G_{ik}=\frac{8\pi GT_{ik}}{c^{4}} (1)

где Gik — тензор Эйнштейна, Tik — тензор материи, G — гравитационная постоянная, c — скорость света [1].

Следствием из теории относительности является принцип эквивалентности. Он заключается в равенстве гравитационной и инерциальной масс, т. е. невозможно отличить движение тел под действием гравитации от движения в системе, движущейся с ускорением относительно инерциальной системы отсчета.

Однако, данный принцип справедлив локально, т. е. на небольшом интервале пространства. Гравитация же проявляет себя нелокально, и никаким подбором системы координат невозможно исключить ее действие [2].

Гравитационное поле неоднородно, и, если в нем находится объект конечного размера, то разные его точки будут испытывать разные ускорения, что приведет к деформации объекта. Такое явление называют «приливным эффектом» или «приливными силами» [3].

Классический подход

Степень неоднородности гравитационного поля можно оценить, исходя из формулы гравитационного ускорения:

\vec{a}\left(\vec{r} \right)=-\frac{Gm\vec{r}}{r^{3}} (2)

Направление приливных сил вблизи точки А.
Рисунок 1. Направление приливных сил вблизи точки А

В соотношении (2): m — масса тела, создающего гравитационное поле, точка А находится на расстоянии r от тела В (Рисунок 1).

Определим насколько отличается ускорение в точках, удаленных от точки А на расстояние Δr \left(\Delta r\ll r \right).

Разница ускорений в направлении прямой AB:

\Delta a=-2\frac{Gm\Delta r}{r^{3}} (3)

Разница ускорений в плоскости, перпендикулярной прямой AB:

\Delta a=-\frac{Gm\Delta r}{r^{3}} (4)

Таким образом, если в точку А поместить тело, то приливные силы будут стараться растянуть его в направлении оси на возмущающую массу и сжать в направлениях, перпендикулярных этой оси.

В теории Эйнштейна пространство характеризуется кривизной, которая в свою очередь описывается тензором Римана. А разность ускорений определяется уравнением девиации геодезических.

\frac{d^2n^i}{ds^2}=u^jn^ku^lR_{jkl}^i (5)

где uj — 4-мерная скорость, R_{jkl}^i — тензор кривизны Римана, nk — пространственноподобный вектор расстояния от одной геодезической до другой.

Решением уравнения Эйнштейна для случая сферически симметричного не вращающегося тела является решение Шварцшильда.

Метрика Шварцшильда

ds^{2}=\left(1-\frac{2GM}{c^{2}r} \right)c^{2}dt^{2}-\left(1-\frac{2GM}{c^{2}r} \right)^{-1}dr^{2}-r^{2}\left(d\theta ^{2} +sin^{2}\theta d\varphi ^{2}\right) (6)

Представим, что на поверхности коллапсирующей к R=0 Шварцшильдовской звезды, стоит человек [4].

В ходе коллапса различные части тела человека испытывают различные гравитационные силы:

  • Ноги притягиваются к центру нарастающей до бесконечности гравитационной силой;
  • Голова, т.к. находится дальше от центра, ускоряется вниз с меньшей силой.

Чем меньше радиус звезды, тем больше разность ускорений между ногами и головой. Одновременно с растяжением в направлении голова — ноги, тело человека сжимается со всех сторон. Тогда; в пределе R→0 человек будет сдавлен до нулевого объема и вытянут на неопределенную длину.

Разность ускорений (приливные силы) можно определить из уравнений девиации геодезических, выраженных в ортогональной системе отсчета человека.

Необращающиеся в нуль компоненты тензора Римана имеют вид:

R_{\hat{\tau }\hat{\rho }\hat{\tau }\hat{\rho }}=\frac{2M}{r^{3}}

R_{\hat{\theta }\hat{\varphi }\hat{\theta }\hat{\varphi }}=\frac{-2M}{r^{3}},

R_{\hat{\tau }\hat{\theta }\hat{\tau }\hat{\theta }}=R_{\hat{\tau }\hat{\varphi }\hat{\tau }\hat{\varphi }}=\frac{M}{r^{3}}

R_{\hat{\rho }\hat{\theta }\hat{\rho }\hat{\theta }}=R_{\hat{\rho }\hat{\varphi }\hat{\rho }\hat{\varphi }}=-\frac{M}{r^{3}} (7)

Уравнение девиации геодезических:

\frac{d^{2}n^{\hat{j}}}{d\tau ^{2}}=-R_{\hat{\tau }\hat{k}\hat{\tau }}^{\hat{j}}n^{\hat{k}}=-R_{\hat{j}\hat{\tau }\hat{k}\hat{\tau }}n^{\hat{k}}=-R_{\hat{\tau }\hat{j}\hat{k}\hat{\tau }}n^{\hat{k}} (8)

(τ- собственное время космонавта, и n=n^{\hat{j}}e_{\hat{j}})

Используя компоненты тензора кривизны, получаем: (9)

\frac{d^{2}n^{\hat{\rho }}}{d\tau ^{2}}=\left(\frac{2M}{r^{3}} \right)n^{\hat{\rho }}

\frac{d^{2}n^{\hat{\theta }}}{d\tau ^{2}}=-\left(\frac{M}{r^{3}} \right)n^{\hat{\theta }}

\frac{d^{2}n^{\hat{\varphi }}}{d\tau ^{2}}=-\left(\frac{M}{^{3}} \right)n^{\hat{\varphi }}

Вычислим возникающие в теле человека напряжения. Будем считать тело человека прямоугольным бруском массой m=75 кг., длинной l=1,8 м., шириной/толщиной ω=0,2 м.

Для компоненты напряжения в направлении eρ получаем

T_{\rho \rho }=-\frac{1}{4}\frac{mMl}{\omega ^{2}r^{3}}\approx 1.1\times 10^{15}\frac{\frac{M}{M_{\odot }}}{r^{3}}\frac{din}{cm^{2}} (10)

Для компоненты напряжения в направлении eθ и eφ(в центре масс):

T_{\theta \theta }=T_{\varphi \varphi }=-\frac{1}{2}\frac{mM}{r^{3}l}\approx 0.7\times 10^{13}\frac{\frac{M}{M_{\odot }}}{r^{3}}\frac{din}{cm^{2}} (11)

(Давление в одну атмосферу равно 1.0\times 10^{6}\frac{din}{cm^{2}})

Человеческое тело не может выдержать натяжения или давления больше 100atm\approx 10^{8}\frac{din}{cm^{2}}; при этом оно обязательно разрушится.

Значит, человек, стоящий на свободно падающей поверхности звезды, масса которой равна массе Солнца, будет убит приливными силами при радиусе звезды R\sim 200km \ll R_{g}.

Если же радиус коллапсирующей звезды весьма велик, то у человека есть возможность попасть под гравитационный радиус Rg =2M, но тогда его ноги будут касаться поверхности звезды при одном значении t: t = tj, в то время как его голова будет находиться в другом значении t: t = th > tj. Получается, что любой человек, попавший под гравитационный радиус R_{g}=2M, погибнет.

Ниже приведена таблица (Таблица 1) значений, возникающих в результате приливного эффекта, напряжений и их соотношений с атмосферным давлением для некоторых космических тел (без учета вращения):

Таблица 1. Значения компонент (радиальных и угловых) напряженностей

Название

M/M⊙, кг

R, км

Tρρ, дин/см2

Tθθ=Tφφ дин/см2

Tρρ/ Tатм

Tφφ/ Tатм

Земля

3.02´10-6

6371

1.3´10-2

8.2´10-5

1.3´10-8

8.2´10-11

Солнце

1

695800

3.3´10-3

2.1´10-5

3.3´10-9

2.1´10-11

Сириус В Белый карлик

0.94

5566.4

5.6´103

38

5.6´10-3

38´10-5

Нейтронная звезда (типичная)

1.3

15

4.2´1011

2.7´109

4.24´105

2.7´103

Черная дыра

1

3

4.1´1013

2.6´1011

4.07´107

2.6´105

Черная дыра (массивная)

106

3´106

40

0.3

4´10-5

3´10-7

Заключение

Не смотря на то, что казалось бы, приливные силы должны быть тем больше, чем массивнее черная дыра, на гравитационном радиусе большие приливные силы возникают при меньшей массе черной дыры.

Автор благодарит своего научного руководителя, профессора А.А. Гриба, за постановку задач и внимательное руководство исследовательской деятельностью.

Читайте также

Список литературы

  1. А.А. Гриб. Основные представления современной космологии. Издательство «ФИЗМАТЛИТ», Москва, 2008 год
  2. Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер. Физика пространства – времени. Издательство «Мир». Москва 1971 год.
  3. В.Г. Сурдин. Пятая сила. Издательство Московского центра непрерывного математического образования. Москва 2014 год.
  4. Ч. Мизнер, Б. Торн, Дж.Уилер. Гравитация. Том 3. Издательство «Мир». Москва 1977 год

Цитировать

Волкова, О.А. О приливных силах / О.А. Волкова. — Текст : электронный // NovaInfo, 2015. — № 33. — URL: https://novainfo.ru/article/3552 (дата обращения: 29.09.2022).

Поделиться