Популярно о фракталах: исторический экскурс

№38-1,

Технические науки

Ежедневно мы сталкиваемся с множеством предметов, явлений, процессов, окружающих нас в повседневной жизни, при этом зачастую совершенно не задумываясь о природе того, с чем мы имеем дело. В качестве одного из подтверждений только что сказанному хотелось бы рассказать о фракталах, с которыми мы встречаемся практически каждый день.

Похожие материалы

«Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака – это не сферы, горы – это не конусы, линяя берега – это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой… Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно».

Бенуа Мандельброт.

Итак, что же такое фрактал?

Если говорить о понятии «фрактал», то оно образовано от латинского fractus, означающего «состоящий из фрагментов». Впервые понятие фрактала было введено для обозначения нерегулярных самоподобных структур в 1975 году французским математиком Бенуа Мандельбротом, который определил его следующим образом: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому» [5, 8].

В более поздней работе Леверье [11] фрактал определяется как геометрическая фигура, в которой один и тот же фрагмент повторяется при каждом уменьшении масштаба. Фракталы, обладающие таким свойством, чаще называют конструктивными фракталами, они имеют «тонкую» структуру (содержат произвольно малые масштабы) и их можно получить как результат выполнения простой рекурсивной процедуры.

Главным свойством фрактала является самоподобие – небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале (см., например, рис. 1), поэтому можно говорить о масштабной инвариантности фракталов: рассматривая любое приближение фрактала, мы будем видеть или одно и то же, или нечто подобное. Самоподобие может быть частичным или закономерно изменяющимся, что является следствием сложной внутренней структуры фрактала. Так, например, наряду с конструктивными фракталами были обнаружены другие множества, похожие на фракталы и названные динамическими фракталами, – они обладают масштабной инвариантностью лишь в некотором приближении. Строгое определение самоподобных множеств было введено в 1981 году в работе Дж. Хатчинсона [9].

Самоподобие или инвариантность при изменении масштабов или размеров лежит в основе не только фракталов, но и хаоса, степенных рядов, оно играет формообразующую роль в нашей Вселенной, и потому присуще многим законам природы и огромному количеству явлений в окружающем нас мире [6, 15].

После выхода в свет книги Мандельброта «Fractals: Form, Chance, and Dimension» [12] в 1977 г., термин «фрактал» получил широкое распространение. Несколько позднее, в 1982 г., вышла переработанная редакция – монография «The Fractal Geometry of Nature», ставшая своего рода основополагающим научным трудом по фрактальной геометрии [13] (в русском переводе – «Фрактальная геометрия природы» [3]), связанной с изучением нерегулярных множеств [7], основателем которой по праву считается Бенуа Мандельброт.

Пример фрактала: Треугольник Серпинского

Рис. 1. Пример фрактала: Треугольник Серпинского [2]

Стоит отметить, что математическая база для создания теории фракталов была заложена еще до рождения Мандельброта (предпосылки развития и первые идеи фрактальной геометрии возникли еще в 19 веке), однако развить ее не удавалось до появления ЭВМ и компьютерного моделирования. Поэтому работы, посвященные изучению фракталов, в то время носили в основном эпизодический характер.

Так, в 1872 г. немецкий математик Карл Вейерштрасс привел пример непрерывной, нигде не дифференцируемой функции:

y(x)=\sum_{n=0}^{r}b^n\cos(a^n\pi x),

где a – произвольное нечетное число, b – некоторое положительное число (меньшее единицы). Однако построение такой функции для того времени было лишь абстрактным, и потому трудным для восприятия.

Ниже на рис. 2 показан график функции Вейерштрасса для случая a=5, b=0.33 на интервале [-3; 3]. Отчетливо видно, что график носит фрактальный характер, демонстрируя самоподобие.

В 1883 г. Кантор на основе рекурсивной (повторяющейся) процедуры описал один из простейших фракталов, представляющий собой подмножество единичного отрезка вещественной прямой (можно сказать, «превратил» линию в совокупность точек, названных впоследствии «Пыль Кантора»). Алгоритм построения был следующим. Из отрезка прямой удалялась его центральная часть, после чего эта операция повторялась над оставшимися двумя отрезками, затем над получившимися четырьмя, и т.д.

В 1890 г. Джузеппе Пеано изобразил особый вид линии, которая получалась путем применения следующего алгоритма. Отрезок прямой линии единичного размера заменялся на 9 отрезков, длина каждого из которых в 3 раза меньше длины исходного отрезка. После этого такое же правило применялось к каждому из этих девяти отрезков, и т.д. В результате последовательного применения алгоритма получалась линия, названная впоследствии кривой Пеано. Уникальность этой кривой заключается в том, что если выполнять алгоритм до бесконечности, то кривая полностью заполнит квадратную область площадью 2. На рис. 3 изображены несколько последовательных этапов применения алгоритма Пеано.

График функции Вейерштрасса

Рис. 2. График функции Вейерштрасса

Пыль Кантора и кривая Пеано по своим свойствам выходят за рамки привычных геометрических объектов, т.к., например, не имеют четкой размерности. Пыль Кантора строится на основании одномерной прямой, однако состоит из точек, следовательно, ее размерность 0. Кривая Пеано строится также на основании одномерной линии, однако напротив, превращается во фрагмент плоскости, и ее размерность равна 2.

Пример фрактала: кривая Пеано

Рис. 3. Пример фрактала: кривая Пеано

В 1904 г. шведский математик Хельге фон Кох предложил непрерывную кривую, представляющую собой типичный геометрический фрактал [14]. Для ее построения возьмем единичный отрезок, разделим его на 3 равные части и центральную часть заменим равносторонним треугольником (без основания), боковые стороны которого равны . На следующем шаге повторим операцию для каждого из четырех получившихся отрезков, затем повторяем эту операцию еще и еще для вновь получающихся отрезков. В результате получим фрактал, называемый кривой Коха. На рис. 4 показан внешний вид кривой через определенное число итераций n.

Если взять правильный треугольник с длинами сторон, равными единице и построить на каждой из них кривую Коха, то получим замкнутую кривую бесконечной длины, называемую «снежинка Коха» (рис. 5).

Значительный вклад в развитие будущей фрактальной геометрии внесли работы французских математиков Гастона Жюлиа (1893-1978) и Пьера Фату (1878-1929), занимавшихся теорией рациональных отображений в комплексной плоскости. По выражению Мандельброта, «их публикации являются шедеврами классического комплексного анализа, ими восхищаются математики, однако на их фундаменте чрезвычайно сложно что-либо построить» [4]. Так, Г. Жюлиа одним из первых описал в 1918 г. динамические фракталы [10] (однако в его работе по понятным причинам отсутствовали графические изображения). Справедливости ради стоит отметить, что эти работы начала XX века были практически полностью заброшены вплоть до восьмидесятых годов, и получили новое неожиданное развитие лишь с появлением ЭВМ, когда математикам удалось получить замечательные картины, демонстрирующие примеры таких отображений [1].

Пример фрактала: кривая Коха

Рис. 4. Пример фрактала: кривая Коха

Пример фрактала: снежинка Коха

Рис. 5. Пример фрактала: снежинка Коха

Феликсом Хаусдорфом в 1919 г. было введено понятие дробной (не целой) размерности множеств, а также приведены примеры таких множеств с указанием их размерности (множество Кантора, кривая Коха, и др.). Понятие фрактала как раз и было впоследствии введено Мандельбротом, основываясь на теории дробной размерности Хаусдорфа. Идеи Хаусдорфа в дальнейшем были существенно развиты Безиковичем.

Работал над изучением самоподобных структур и французский математик Поль Леви, будущий наставник Мандельброта. В 1938 г. им была опубликована статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой привел описание нового вида кривой – С-кривой Леви. На рис. 6 представлен вид кривой Леви после 12 итераций, построение выполнено в L-системе, написанной авторами. Интересно, что кривая Леви представляет собой крону дерева Пифагора – другого фрактала, впервые построенного А.Е. Босманом во время второй мировой войны.

Вид кривой Леви после 12 итераций

Рис. 6. Вид кривой Леви после 12 итераций

Подводя итог краткому историческому экскурсу, можно заключить, что работы Мандельброта объединили в единую систему научные результаты таких ученых, как Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф, Безикович, и некоторых других, работавших в период 1875-1940 годов в той же области.

Список литературы

  1. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2001. – 128 с.
  2. Дмитриев В.Л. Теория и практика решения задач по программированию. Ч.1. Уфа: РИЦ БашГУ. 2007. – 264 с.
  3. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – Москва: Институт компьютерных исследований. 2002. – 656 с.
  4. Мандельброт Б.Б. Фракталы и хаос. Множество Мандельброта и другие чудеса. – М-Ижевск.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2009. – 392 с.
  5. Федер Е. Фракталы. Пер. с англ. – М.: Мир. 1991. – 254 с.
  6. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконеч-ного рая. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2001. – 528 с.
  7. Falconer K.J. Fractal Geometry: Mathematical Foundation and Applications. – New York: John Wiley. 1990.
  8. Feder J. Fractals. – New York: Plenum Press. 1988. – 312 p.
  9. Hutchinson J. Fractals and Self Similarity // Indiana Univ. Math. Journal. Vol. 30, No. 5. 1981. – P. 713-747.
  10. Julia G. Memoire sur l’iteration des functions rationnelles. – J. de Mathematiques pures et appliquees. – 8 ser. V.1. 1918. – P. 47-245.
  11. Lauwerier H.A. Fractals – images of chaos. – Princetion Univ. Press. 1991.
  12. Mandelbrot B.B. Fractals: Form, Chance, and Dimension. – San Francisco CA and Reading UK: W.H. Freeman & Co. 1977. – 365 p.
  13. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. – New York US and Oxford UK: W.H. Freeman and Company. 1982. – 460 p.
  14. Von Koch H. Sur une courbe continue sans tangent, obtenue par une construction geometrique elementaire. – Arkiv for Matematik, Astronomi och Fysik. 1904, 1. – P. 681-704.
  15. Weyl H. Symmetrie. – Basel: Birkhauser. 1981. [Русский перевод с более раннего американского издания: Вейль Г. Симметрия. – М: Наука. 1968.]