Фрактальные объекты, согласно своему определению по Мандельброту, имеют размерности, строго превышающие топологическую размерность элементов, их составляющих.
Английский математик Льюис Фрай Ричардсон еще примерно в 20-х годах 20 века обратил внимание на то, что длины границ государств будут зависеть от того, какова цена деления инструмента измерения длины (фактически он обратил внимание на многомасштабность). В 30-х годах польские геодезисты при измерении длины реки Висла также выяснили, что ее длина при измерении в разных масштабах будет разная: длина реки возрастает с уменьшением масштаба (т.к. при этом в расчет добавляются все новые и новые изрезанности берега). Постоянно уменьшая масштаб можно, таким образом, прийти к выводу, что береговая линия, ограничивая конечную площадь (например, реки, озера, государства), будет иметь бесконечную длину (этот парадокс получил название парадокса Ричардсона). Однако на эти факты еще долгое время не обращали внимания и относили их в большей степени к математическим курьезам.
Поясним более подробно, в чем кроется причина наблюдаемых отличий в приведенных выше задачах измерения длины.
Рассмотрим некоторую произвольную кривую линию на плоскости. Тогда процесс измерения ее длины сведется к тому, чтобы выяснить, какое количество раз заранее выбранный масштаб уложится на этой кривой. Обозначим масштаб измерения через a. Тогда, если его достаточно приложить к линии, например, 3 раза, то длина линии в этом масштабе будет равна 3a. На практике для таких измерений чаще используют циркуль, однако существует и стандартный клеточный метод (при этом лист с кривой покрывают сеткой ячеек со стороной a, и длина кривой находится как произведение размера ячейки на число ячеек, в которых находится рассматриваемая кривая линия).
Возьмем циркуль с раствором a, и подсчитаем количество целых шагов N(a), необходимых для обхода всей линии. Тогда длина всей линии определится как L=N(a)⋅ a.
Предположим, что в случае, изображенном на рис. 1, масштаб a1 принят равным единице. Тогда в таком случае N1=4, и длина всей линии получится равной L1=4⋅ 1=4. Теперь уменьшим масштаб в 2 раза, т.е. возьмем a2=a1/2=1/2. Теперь, согласно рис. 2, получим N2=10 и L2=10⋅1/2=5. Таким образом, длина линии, измеренной в масштабе a2 выросла, т.к. такой масштаб позволил более точно учесть форму линии. Продолжая уменьшать масштаб, будем получать все большую длину линии. Однако, конечно, мы не получим для такой линии значение длины, равной бесконечности, т.к. приведенная линия не была фрактальной.
Традиционно для описания геометрии природных объектов использовали евклидову геометрию: прямые, окружности и другие фигуры, из которых строились пространства с целочисленной размерностью. Однако такой классический набор геометрических фигур на самом деле не применим для описания природных объектов, по крайней мере, большинства из них. Поэтому для описания природных объектов и явлений необходимо использовать средства новой фрактальной геометрии. Так, формы облаков, гор и береговых линий, турбулентные течения, ветви и листья деревьев, пламя костра, разряд молнии в воздухе, пористые материалы, кровеносная система, и многие другие [2, 3] могут быть достаточно точно описаны лишь с точки зрения фрактальной геометрии. Здесь выражение «могут быть достаточно точно описаны» говорит о том, что в природе (в реальном мире) не существует фракталов, просто фрактальная геометрия точнее описывает природные системы, объекты, а также динамику реальных процессов.
Еще почти за полвека до появления фрактальной геометрии, в 1938 году, чешский географ Яромир Корчак провел статистические исследования количества больших островов в различных регионах мира и обнаружил определенную закономерность [6]. Для данной площади S он вычислил число островов с площадью, превышающей S. Подсчитав количество островов N(S) для каждого S, он заметил, что N обратно пропорционально S, возведенной в некоторую степень D, т.е.
где c — некоторая константа.
Впоследствии результаты работы Корчака были уточнены и найдены соответствующие значения степени D для каждого региона; в целом для всей нашей планеты значение D равно 0,65.
Развивая фрактальную геометрию, Бенуа Мандельброт предложил использовать для описания природных объектов не целочисленные, а дробноразмерные пространства. Дробную размерность изучаемых объектов стали называть фрактальной размерностью, она служит количественной мерой определения самих фракталов.
С точки зрения фрактальной геометрии неизменным остается только понятие точки, а любая кривая линия приобретает новые свойства. Если в евклидовой геометрии линия представляет собой одномерный объект, то фрактальная геометрия имеет дело с фрактальной линией, для измерения длины которой требуется бесконечное число масштабов. Размерность такой фрактальной линии будет больше единицы. Фрактальная линия имеет и еще одно удивительное свойство: под каким бы увеличением на нее не смотреть, она будет представляться все такой же изрезанной и изломанной. Любой участок фрактальной линии обладает такой же фрактальной размерностью, как и вся кривая линия, — в этом и проявляется свойство самоподобия.
Прямая линия на плоскости имеет топологическую размерность, равную единице. Если же кривая заполняет всю плоскость, то ее размерность будет равна 2 (как и для всяких двумерных образований). Изломанная линия на плоскости будет иметь фрактальную размерность, принимающую любое значение из диапазона от 1 до 2.
Чтобы понять, что такое дробная размерность проведем рассуждения, аналогичные рассуждениям выше, но уже для определения длины кривой Коха. Отличия будут заключаться лишь в особых свойствах кривой Коха, о которых уже говорилось выше.
Итак, взяв в качестве a1=1/3, получим N1=4 и L1=4/3 соответственно (рис. 3). Взяв a2=1/9, для числа N2 получим значение, равное 16 и L2=16/9 (рис. 4). При a3=1/27 для N3 получим значение, равное 64 и отсюда L3=64/27. Продолжая уменьшать масштаб a на основе того же правила, т.е. в три раза (поступаем так, учитывая правило построения кривой Коха), будем получать для N значения, отличающиеся от предыдущих в 4 раза. Тогда для любого масштаба с номером i можно записать следующие выражения:
, Ni=4i
Возьмем теперь натуральный логарифм от и Ni:
,
Поделим второе выражение на первое:
Опуская в этом выражении индексы i, и обозначив правую часть выражения через D, будем иметь:
.
Несколько преобразуем соотношение (3), избавившись от логарифма:
,
N=a-D
Видно, что формула (4) сильно похожа на закон Корчака (1).
Показатель D в формуле (3) называют размерностью Хаусдорфа, или фрактальной размерностью. Поэтому результат (4) означает, что кривая Коха представляет собой фрактальный объект с размерностью D. Таким образом, фрактальная размерность D кривой Коха равна примерно 1,26186.
Отметим, что формула (4) была получена при рассмотрении кривой Коха. Тем не менее, линейная зависимость между и соблюдается для любой кривой, какую только можно изобразить. В таком общем случае формула (4) имеет несколько иной вид:
,
где c — некоторый множитель, являющийся типичным для фрактальной геометрии. Он зависит от размерности величин и их разрядов. Чтобы не отвлекаться на этот множитель, его часто называют неопределенным [1], и могут даже опускать. Тогда формулу (5) переписывают в виде
,
Длину измеряемой кривой линии можно получить, как это было сказано выше, умножая число N на масштаб a:
Формула (7) носит название формулы Мандельброта.
Из (7) ясно, что если D>1 и , то длина линии . Для частного случая — кривой Коха это следует также из (2):
Проводя рассуждения, аналогичные приведенным выше, для фрактала «Пыль Кантора» получим, что для него
,
откуда . Т.е. для фрактала «Пыль Кантора» фрактальная размерность меньше 1, при этом
.
Фрактальные размерности некоторых других фракталов можно посмотреть в работах [1, 4 — 7].