Популярно о фракталах: применение фракталов и обзор программ

№38-1,

технические науки

Данная статья является заключительной из цикла статей, призванных познакомить читателя с многообразием и богатством мира фракталов. В ней рассказывается об областях, в которых находят применения фракталы, а также делается краткий обзор компьютерных программ, использующихся для построения фракталов.

Похожие материалы

Фрактальная геометрия позволяет наиболее удобным способом моделировать окружающую действительность, что проявляется в способности виртуальных компьютерных фракталов достаточно хорошо имитировать реальные объекты как живого, так и неживого мира. Это дает возможность выполнять компьютерные эксперименты, воспроизводящие такие явления и процессы, с которыми по ряду причин невозможно провести эксперименты в реальном мире.

Фрактальные модели позволяют обнаружить отдельные закономерности и упорядоченность даже в таких системах, в которых, на первый взгляд, присутствует только беспорядок и хаос (состояние хаоса не эквивалентно случайному поведению, т.к. наблюдаемые в состоянии хаоса флуктуации только на первый взгляд кажутся случайными, на самом же деле их значения полностью предопределены входными параметрами системы).

В настоящее время на основе сравнительно простых алгоритмов существует возможность создания трехмерных изображений оригинальных ландшафтов и форм, способных преобразовываться с течением времени в совершенно захватывающие изображения. При этом очень часто генерируемые компьютерной программой искусственные изображения фракталов настолько схожи с естественными природными объектами или явлениями, что их очень сложно отличить друг от друга [10, 16, 19, 20].

Действительно, схожие с различными фрактальными структурами геометрические формы, явления и объекты природы можно встретить в различных областях науки [5, 6]. В астрофизике – при изучении процессов звездообразования и неоднородного распределения вещества во Вселенной (например, процесс кластеризации галактик, первая попытка моделирования которого была предпринята группой ученых под руководством Лучано Пьетронеро в 1987 г.), в картографии – при изучении форм береговых линий и сетей русел рек, в биологии – при анализе строения кровеносной, мочевыделительной и нервной систем, изучении сердечного ритма, моделировании популяций [1, 8, 12, 14, 15, 17, 18, 21]. При этом некоторые из древовидных фракталов применяются для моделирования не только растений и деревьев, но и для моделирования почек, кровеносной системы, бронхиального дерева.

Фрактальная геометрия может использоваться при моделировании структуры пористой среды (например, упрощенные модели пористых сред, принятые в работах [3, 4, 9, 11], могут быть вполне заменены фрактальными аналогами), изучении турбулентных явлений и биосенсорных взаимодействий, поглощения и рассеяния излучений в пористых средах, социальных и политических процессов, при моделировании свойств поверхностей твердых тел, жидкостей и почв (рис. 1), для моделирования молнии (рис. 2) и изучении электрического пробоя, при исследовании процессов разрушения материалов и стадий роста и агрегации вещества (например, процессы электролиза, осаждения, фильтрации), в компьютерных играх (на рис. 3 показано изображение планеты, сгенерированное на основе фрактала), при анализе колебаний курсов валют и ценных бумаг, при описании хаотического поведения нелинейных диссипативных и динамических систем [1, 7, 11, 15].

Структура высохшей почвы, напоминающая фрактал

Рис. 1. Структура высохшей почвы, напоминающая фрактал

Фрактальные структуры образуются в растворе при образовании геля (кластера, состоящего из соединенных частиц-золей); при образовании подобных систем в дымах и туманах; при образовании пленок на поверхности в процессе напыления их из струи, содержащей аэрозоли; при образовании кластеров из частиц, находящихся в суспензиях и коллоидных растворах.

Алгебраические фракталы, как уже было отмечено выше, можно рассматривать как поведение нелинейной динамической системы в фазовом пространстве. Другими словами итерации, определяемые некоторой простой формулой, описывают траекторию системы в этом фазовом пространстве. При этом совокупность всех возможных начальных условий системы в большинстве своем представляет собой фрактал, а значит, изучая взаимодействие отдельных определяющих факторов системы, можно с достаточно высокой точностью предсказывать пути эволюции системы.

Сложная самоподобная структура молнии

Рис. 2. Сложная самоподобная структура молнии

Изображение планеты, полученное на основе фрактала

Рис. 3. Изображение планеты, полученное на основе фрактала

Рассмотрим некоторые направления использования фракталов и возможности их применения более подробно.

Первое практическое применение фракталам нашел Лорен Карпентер в 1978 году, через 3 года после опубликования Б. Мандельбротом своих работ по фракталам. Карпентер применил фрактальные алгоритмы при создании горных массивов в компьютерной графике и обнаружил, что они удивительно реалистичны. Идея алгоритма была проста: Карпентер, используя более крупные треугольники, делил их на четыре мелких и затем применял эту процедуру к каждому из получившихся мелких треугольников до тех пор, пока не получался реалистичный горный ландшафт. На каждой итерации он приподнимал или опускал вершины мелких треугольников на определенную величину.

Прошло чуть менее 40 лет, и сегодня роль фракталов в машинной графике просто огромна. Фракталы приходят на помощь, когда необходимо на основе всего лишь нескольких коэффициентов задать линии, поверхности и другие объекты очень сложной формы. Фрактальная геометрия просто незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря, искусственного ландшафта, и т.д. Еще одно интересное применение фракталы нашли в такой области как компьютерное искусство (рис. 4, 5). Здесь они не только служат науке, но и помогают художникам создавать самые фантастические картины.

Фракталы используются и в сфере передачи информации. Так, одним из перспективных направлений использования фракталов является фрактальное сжатие изображений, которое позволяет добиться высокой степени сжатия при малых потерях качества. Ведущий разработчик в этом направлении – Майкл Барнсли, основавший совместно с Аланом Слоаном в 1987 г. компанию Iterated Systems Inc. По оценкам, приведенным в работах [2, 13], в отдельных случаях коэффициент фрактального сжатия может достигать 2000.

Компьютерное искусство: Роза

Рис. 4. Компьютерное искусство: Роза

Компьютерное искусство: Леопард

Рис. 5. Компьютерное искусство: Леопард

Еще одна область использования фрактальных структур – в радиоэлектронике, а именно, в конструкции антенн. Первым воплотил идею использования фрактала в качестве антенны радиолюбитель Натан Коэн, причем сделал он это не осознанно, после посещения лекции Б. Мандельброта. Стремление Н. Коэна создать антенну с более высокой чувствительностью при небольших размерах являлось целью всех его экспериментов. Небольшие размеры были как одно из обязательных условий в силу того, что Коэн снимал жилье в центре Бостона и владелец жилья был категорически против размещения больших антенн на крыше здания. Эксперименты с различными формами антенн и увлечение фракталами привели Н. Коэна к изготовлению антенны в форме кривой Коха. Антенна была сделана из обычной проволоки и подключена к радиоприемнику. Оказалось, что чувствительность такой антенны была намного выше, чем у всех других сконструированных антенн. Проведя дополнительные исследования, было также обнаружено, что антенна в форме кривой Коха покрывает куда более широкий диапазон частот и имеет очень высокий КПД по сравнению с другими классическими решениями. Форма самой антенны при этом позволила существенно уменьшить ее геометрические размеры. Коэн запатентовал свое открытие и вскоре основал фирму по разработке и изготовлению фрактальных антенн (Fractal Antenna Systems). Технологии фрактальных антенн в настоящее время используются в сотовых телефонах.

Фракталы находят применение и в таких отраслях, в которых их использование на первый взгляд совсем не очевидно. Так, например, музыкант Джонатан Колтон на основе фрактальных алгоритмов пишет музыку. По его утверждениям фрактальные мелодии наиболее полно соответствуют природной гармонии. Все свои произведения Колтон публикует под лицензией, предусматривающей их свободное распространение, копирование и передачу.

Японский дизайнер Такеши Миякава использовал принцип фрактальности при создании мебели, а именно одной из моделей тумбочек. Она состоит из 23 ящиков, причем ящики расположены так, что практически полностью используют все выделенное под тумбочку пространство в форме куба (рис. 6).

Оригинальное дизайнерское решение: тумбочка-фрактал

Рис. 6. Оригинальное дизайнерское решение: тумбочка-фрактал

Если рассмотреть человека в целом, то окажется, что он, по сути, тоже представляет собой фрактал в некотором приближении. Действительно, во-первых, человеческий организм состоит из множества взаимосвязанных структурно-функциональных звеньев. Во-вторых, человеку, как открытой системе, свойственна саморегуляция и самоорганизация. В-третьих, человеческому организму свойственно самоподобие, проявляющееся на разных уровнях его организации.

Нелинейность и фрактальность наблюдается во всех системах и органах человека. Рассмотрим лишь некоторые примеры.

Так, кровеносные сосуды (аорты, вены, капилляры) образуют своего рода сплошную среду и отражают свою фрактальную природу. Многократно делясь и разветвляясь, они пронизывают все ткани и органы человека (общая протяженность всех сосудов человека около 100 тыс. км).

Легкие, представляющие собой пористое тело, демонстрируют уникальный пример того, как огромная площадь размещена в очень маленьком пространстве: в среднем общая площадь внутренней поверхности альвеол в моменты выдоха и вдоха изменяется от 40 до 120 м2, само же количество альвеол у взрослого человека достигает порядка 700 млн. При этом лабиринты дыхательных путей легких пронизаны сложнейшей сетью артерий и вен. Описание такой сети также вполне точно описывается фрактальным изображением.

Рассматривая электрокардиограмму сердца, также можно сделать вывод, что электрическая активность сердца фрактальный процесс.

Печень, почки, иммунная и нервная системы, вестибулярный аппарат – все это тоже фрактальные структуры. Так, фильтрационная поверхность почки может достигать 1,5 м2, а длина капиллярной системы – около 25 км; общая протяженность нервных окончаний человека – порядка 75 км.

Наконец, человеческий мозг (кстати, на 80% состоящий из воды и содержащий на момент рождения порядка 14 млрд. клеток) рекурсивен по своей природе. Процесс мышления, не изученный до конца до сих пор, является результатом взаимодействия стабильности и хаоса, линейной нелинейной активности. Профессором психологии Оклендского университета (Новая Зеландия), Майклом Корбаллисом, выдвинуто утверждение о том, что именно рекурсия делает человека человеком. Корбаллис уверен, что именно рекурсия позволяет человеку мыслить во времени, оценивать настоящее, вспоминать прошлое и задумываться о будущем. Он отмечает, что рекурсия ответственна и за то, что человек способен к фантазиям: мы можем смешивать реальное и вымышленное.

Учитывая вышесказанное, можно выдвинуть предположение о том, что как сам человек, так и любой продукт взаимодействия людей может демонстрировать (или демонстрирует) фрактальную природу.

Обзор компьютерных программ для построения фракталов

Перечислим и кратко охарактеризуем ряд программ, которые предназначены для работы с фрактальной графикой.

Art Dabbler. Пакет создан фирмой Fractal Design, принадлежащей теперь Corel. Редактор обладает достаточно мощными средствами рисования и редактирования изображений, позволяющими создавать вполне реалистичные результаты.

Apophysis 7x. Редактор фрактальной графики с открытым исходным кодом для генерации фракталов на основе базовых формул. Включает в себя редактор для редактирования как отдельных, так и составных фрактальных изображений. Так, редактор позволяет выполнять трансформацию фрактала либо изменением лежащих в основе него треугольников, либо применением методов преобразования (перспектива, размытие по Гауссу, искажение, и др.). Отдельно стоит отметить возможность экспериментирования с цветами.

Fractal Explorer. Позволяет создавать изображения фракталов и трехмерных аттракторов. Предусмотрено два способа генерации фракталов: на основе базовых фрактальных изображений (строятся по определенным формулам) и на основе своей формулы (при этом можно выбрать тип фрактала из порядка 150 вариантов).

ChaosPro. Можно сказать, что это один из лучших бесплатных генераторов фракталов. Позволяет строить фракталы с изменением большого количества настроек (количество итераций, степень размытия, цветовая палитра, размер изображения, особенности проецирования, и т.д.). Имеется поддержка многослойных изображений с настройкой режимов смешивания слоев и серия специальных фильтров. Возможно создание трехмерного представления фрактала на основе двумерных изображений.

Mystica. В отличие от перечисленных выше программ является платной. Позволяет генерировать уникальные двумерные и трехмерные изображения и текстуры. Программа может использоваться для создания трехмерных сцен (ландшафтов) при разработке компьютерных игр. Генерация изображений выполняется на основе заложенных в пакет фрактальных формул с дальнейшей тонкой настройкой множества параметров (в том числе применение фильтров, изменение освещенности, корректировка цвета, внедрение стохастических структур).

Ultra Fractal. Видимо, лучшее платное решение для создания уникальных фрактальных изображений профессионального качества. Генерация фракталов выполняется или в ручном режиме (на основе собственной формулы), или на основе большого количества прилагаемых в поставке программы формул. На любом этапе работы формулу можно редактировать. Поддерживается настройка огромного количества параметров, влияющих на конечный вид фрактала, в том числе работа со слоями, разнообразными эффектами и масками.

Список литературы

  1. Балханов В.К. Основы фрактальной геометрии и фрактального исчисле-ния / отв. ред. Ю.Б. Башкуев. – Улан-Удэ: Изд-во Бурятского госуниверситета. 2013. – 224 с.
  2. Бондаренко В.А., Дольников В.Л. Фрактальное сжатие изображений по Барнсли-Слоану // Автоматика и телемеханика. 1994. №5. – С. 12-20.
  3. Гималтдинов И.К., Дмитриев В.Л., Ситдикова Л.Ф. Об эволюции звуковых волн во влажных пористых средах // Фундаментальные исследования. 2013. №10. – С. 2198-2202.
  4. Гималтдинов И.К., Дмитриев В.Л., Ситдикова Л.Ф. Динамика звуковых волн в насыщенных парогазовой смесью пористых средах // ТВТ. 2014. Т. 52. №4. – С. 572-580.
  5. Дмитриев В.Л. Нелинейность как универсальное и фундаментальное свой-ство Вселенной // NovaInfo. 2015. №35. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://novainfo.ru/archive/35/nelineynost-kak-universalnoe-i-fundamentalnoe-svoystvo-vselennoy (дата обращения: 06.07.2015).
  6. Дмитриев В.Л. Самоорганизующиеся системы в природе // NovaInfo. 2015. №36. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://novainfo.ru/archive/36/samoorganizuyushchiesya-sistemy-v-prirode (дата обращения: 28.08.2015).
  7. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – Москва: Институт компьютерных исследований. 2002. – 656 с.
  8. Мандельброт Б.Б. Фракталы и хаос. Множество Мандельброта и другие чудеса. – М-Ижевск.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2009. – 392 с.
  9. Ситдикова Л.Ф., Гималтдинов И.К., Дмитриев В.Л. Учет массо- и теплооб-мена при распространении акустической волны в пористой среде // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. №4. – С. 1109-1111.
  10. Федер Е. Фракталы. Пер. с англ. – М.: Мир. 1991. – 254 с.
  11. Шагапов В.Ш., Насырова Л.А., Потапов А.А., Дмитриев В.Л. Тепловой удар под воздействием энергии излучения на пористую среду, частично заполненную газогидратом // Инженерно-физический журнал. 2003. Т.76. №5. – С. 47-53.
  12. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2001. – 528 с.
  13. Методы сжатия данных. Устройство архиваторов, сжатие изображений и видео / Д. Ватолин, А. Ратушняк, М. Смирнов, В. Юкин – М.: Диалог-МИФИ. 2002. – 384 с.
  14. Ferraro P., Godin C., Prusinkiewicz P. Toward a quantification of self-similarity in plants // Fractals. Vol. 13. No.2. 2005. – P. 91-109.
  15. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. – New York US and Oxford UK: W.H. Freeman and Company. 1982. – 460 p.
  16. Peitgen H.-O., Richter P.H. The Beauty of Fractals. – Berlin: Springer. 1986. [Русский перевод: Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. – М.: Мир. 1993.]
  17. Prusinkiewicz P., Lindenmayer A. The Algorithmic Beauty of Plants. – New York: Springer-Verlag. 1996. – 230 p.
  18. Prusinkiewicz P. Selfsimilarity in plants: integrating mathematical and biological perspectives. In Novak M.M., editor, Thinking in Patterns: Fractals and Related Phenomena in Nature. – Singapore: World Scientific. 2004. – P. 103-118.
  19. Russ J.C. Fractal Surface. – New York and London: Plenum Press. 1994.
  20. Wegner T., Peterson M., Tyler B., Branderhorst P. Fractals for Windows. – Weit Group Press. 1992.
  21. Proceedings of the 5th International Workshop on Functional-Structural Plant Models. Abstracts of Papers and Posters. / Przemyslaw Prusinkiewicz, Jim Hanan, and Brendan Lane. – Napier, New Zealand. 2007. – 333 p.