Текстовые задачи, обычно решаемые в школьном курсе математики, по мнению Л. М. Фридмана, представляют собой словесные модели задач, в которых учащемуся необходимо найти значения некоторой неизвестной величины (или нескольких величин). Нахождение этого значения возможно потому, что оно однозначно определяется другими известными и неизвестными величинами и их взаимными связями с неизвестной величиной [7]. В задаче имеются все данные для решения, но неизвестны операции, которые должны к нему привести. Основная трудность заключается в определении пути решения. При этом сложность структуры, ее индивидуальность нередко скрывает математическую общность многих задач и вынуждает каждый раз строить особое рассуждение, подходящие к данному случаю.
По определению Ю.М. Колягина, текстовой задачей является описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения [2].
Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса). В условии сообщаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекты, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними. Требование задачи – это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме.
Решить задачу – это значит через логически верную последовательность действий и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числами, величинами, отношениями выполнить требование задачи, т.е. ответить на ее вопрос.
Термин «решение задачи» широко применяется в математике. Этим термином обозначают связанные между собой, но все же, неодинаковые понятия:
- решением задачи называют результат, т.е. ответ на требование задачи;
- решением задачи называют процесс нахождения этот результата, т.е. вся деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения до окончания решения;
- решением задачи называют лишь те действия, которые производят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи.
В истории использования задач в обучении математике можно выделить следующие этапы:
- изучение математики с целью обучения решению задач;
- обучение математике, сопровождаемое решением задач;
- обучение математике через решение задач.
В учебных пособиях по методике обучения математике роль и место задач в обучении несколько занижены. Например, в книге «Педагогика математики» А. А. Столяра обучение через задачи представлено схемой «задачи - теория - задачи», из которой понятно, что задачи рассматриваются автором как источник возникновения теории и средство ее применения. Так, задачи (упражнения) при формировании понятий призваны: способствовать мотивации введения понятия; выявлять существенные свойства понятия; способствовать их усвоению; способствовать усвоению терминологии, символики, пониманию смысла каждого слова в определении, запоминанию определения, овладению объемом понятия; раскрывать взаимосвязи понятия с другими понятиями; обучать применению понятия [6]. Выполнение упражнений должно обеспечить овладение умениями распознавать объекты, принадлежащие понятию, выводить следствия из принадлежности объекта понятию; переходить от определения понятия к его признакам, переосмысливать объекты с точки зрения других понятий.
С изменением роли и места задач в обучении обновляются и сами задачи. Если ранее требование задачи выражалось словами «найти», «построить»; «вычислить», «доказать», то теперь – «объяснить», «выбрать из различных способов решения оптимальный», «выделить все эвристики, используемые при решении задачи», «исследовать», «спрогнозировать различные способы решения» и т. д. Среди функций задач важное место занимает функция управления математической деятельностью школьника, и в частности его развитием. Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваивается математическая теория, развиваются их творческие способности и самостоятельность мышления, является решение задач.
При решении задач важным является эмоциональное восприятие решаемой задачи, которое оказывает активное воздействие на деятельность творческого воображения. Воображение, возникая в ответ на стремление и побуждение учащихся, реализуется в их творческой деятельности [4, С.14].
Функции задач в обучении математике взаимосвязаны, однако в каждом конкретном случае выделяется ведущая функция задачи в соответствии с целевой установкой ее применения.
Использование в обучении математике задач означает, что они могут иметь своей дидактической целью:
- обоснование полезности и необходимости изучения того или иного теоретического материала;
- подготовку к введению новых понятий;
- ознакомление с конкретными методами абстрактной теории;
- выявление некоторых свойств известных математических объектов;
- установление связей изученной теории с новой;
- подготовку к доказательству сложных предложений;
- ознакомление с новым методом решения задач;
- сравнение эффективности различных методов решения одной и той же задачи.
На уроках математики учащиеся оперируют всеми формами мышления: понятиями, суждениями, умозаключениями [5, С.93]. Вообще, чтобы научиться решать задачи надо их решать, причем решать различные задачи и по-разному, то есть разными способами, анализировать решения, сравнивать, находить преимущества и недостатки в каждом конкретном случае. Но, в то же время, умение решать задачи не находится в прямой зависимости от числа решенных задач, поэтому в психолого-педагогических и методических исследованиях отдается предпочтение приемам формирования общих подходов к задаче как к объекту изучения, ее анализу и поиску ее решений.
Основная задача современного учителя математики – не создание у учащихся механического применения полученных навыков, а формирование умения их применять в нестандартных ситуациях.
Роль задач при обучении математики чрезвычайно велика. В процессе обучения математике они имеют большое и многостороннее значение. Они могут служить многим конкретным целям обучения, выполнять разнообразные дидактические функции. Каждая учебная задача может и должна нести в себе наряду с ведущей функцией другие, реализация которых повышает эффективность использования задач в обучении [3, С.20].
Предварение изучения математической теории постановкой задач предоставляет учителю благоприятные возможности для использования на уроках элементов проблемного обучения. Такие задачи могут служить не только средством введения новых понятий и методов, обоснования полезности изучения программного материала. Их использование обеспечивает более осознанное овладение математической теорией, учит учеников самостоятельному выполнению учебных заданий, приемам поиска, исследования и доказательства, основным мыслительным операциям, выделению существенных свойств математических объектов, формирует интерес к предмету.
В зависимости от целей классификации выбирают основание для ее проведения и на его основе получают те или иные группы текстовых задач, которые объединяет либо метод решения, либо количество действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, либо схожий сюжет и т.п. В зависимости от выбранного основания задачи можно классифицировать (т. е. разделить на группы по выбранному основанию) следующим образом: по числу действий, которые необходимо выполнить для решения задачи; по соответствию числа данных и искомых; по фабуле задачи; по способам решения и др.
Положив в основание классификации число действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, выделяют простые и составные задачи. Задачу, для решения которой нужно выполнить одно арифметическое действие, называют простой. Задачу, для решения которой нужно выполнить два или большее число действий, называют составной.
Выбрав в качестве основания классификации соответствие числа данных и искомых задачи, выделяют задачи определенные, задачи с альтернативным условием, неопределенные и переопределенные задачи. Чаще всего в задачах число условий (зависимостей между величинами) соответствует числу данных и искомых. Но встречаются задачи, в которых этого соответствия нет. Определенные задачи — это задачи, в которых условий столько, сколько необходимо и достаточно для получения ответа. Задачи с альтернативным условием — это задачи, в ходе решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов условия, а ответ находится после того, как все эти возможности будут исследованы. Неопределенные задачи — задачи, в которых условий недостаточно для получения однозначного ответа. Переопределенные задачи — задачи, имеющие условия, которые не используются при их решении выбранным способом. Такие условия называют лишними. Если в переопределенной задаче лишние условия не противоречат остальным условиям, то она имеет решение.
Положив в основание классификации фабулу задачи, чаще всего выделяют такие группы текстовых задач, как задачи «на движение», «на работу», «на смеси и сплавы», «на смешение и концентрацию», «на проценты», «на части», «на время», «на покупку и продажу» и т.п. Классифицировать задачи, исходя из фабулы условия, очень сложно, так как тематика условий задач бывает очень разнообразной [1].
Таким образом, решая математические задачи, учащиеся не только активно овладевают содержанием курса математики, но и приобретают умения мыслить творчески. Это проявляется в умении видоизменить заданную ситуацию с целью создать условия применимости того или иного метода, приема; в умении выделять и накапливать потенциально полезную информацию; в умении конструировать на базе данной задачи новые; в умении осуществлять самоконтроль, исследовать результат решения.