Методы оценки финансовых рынков. VaR (колич. метод), определение VaR

№55-2,

экономические науки

VAR - это величина потерь, такая, что потери в стоимости портфеля за определенный период времени с заданной вероятностью не превысят этой величины. Определение VAR подразумевает знание функции распределения доходности портфеля за выбранный интервал времени. Если стандартное отклонение как мера риска определяет "ширину" плотности распределения доходности портфеля, то VAR определяет конкретное значение потерь в стоимости портфеля, соответствующее заданному весу "хвоста" распределения.

Похожие материалы

VAR - это величина потерь, такая, что потери в стоимости портфеля за определенный период времени с заданной вероятностью не превысят этой величины.

Определение VAR подразумевает знание функции распределения доходности портфеля за выбранный интервал времени. Если стандартное отклонение как мера риска определяет <ширину> плотности распределения доходности портфеля, то VAR определяет конкретное значение потерь в стоимости портфеля, соответствующее заданному весу <хвоста> распределения.

Как правило, интервал времени, для которого вычисляется значение VAR, составляет 1-10 дней, а уровень достоверности равен 95-99%. Например, значение VAR = -1 млн долл. для одного дня с уровнем достоверности 95% означает, что однодневные потери в стоимости портфеля в 95% случаев не превысят 1 млн долл. А значение VAR = -5 млн долл. для недельного интервала и уровня достоверности 95% означает, что ожидаемые потери в стоимости портфеля за неделю в 95% случаев не превысят 5 млн долл. (см. рисунок).

Введем формальное определение VAR. Пусть стоимость портфеля в момент t равна V(Pt, Xt, t), где Xt - финансовые инструменты, составляющие портфель;

Pt - цены данных инструментов в момент времени t. Обозначим ЖV(Pt+1 - Pt, Xt, t) изменение стоимости портфеля за интервал времени между t и t + 1 (считаем, что структура портфеля остается неизменной). Пусть G(k, Xt) - функция распределения вероятности стоимости портфеля:

G(k, Xt)def = probability[ЖV(Pt+1 - Pt, Xt, t) < k].

Определим обратную функцию к функции распределения вероятности G(k, Xt) как:

G-1(a, Xt)def = infinum[k: G(k, Xt) = a],

где infinum M - точная нижняя грань (проще говоря, минимальный из всех элементов) множества M.

Можно считать, что определенная таким образом обратная функция дает минимальное значение k, при котором выполняется равенство G(k, Xt) = a.

Значение VAR для заданного уровня достоверности 1 - a (a - вес <хвоста>) определяется как:

VAR = (a, Xt) = G-1(a, Xt).

Для вычисления VAR, как следует из определения, необходимо знать состав портфеля, интервал времени для которого вычисляется VAR, и функцию распределения изменения стоимости портфеля.

Получение информации о составе портфеля не является, как может показаться, примитивной задачей. Крупные компании, имеющие в своем портфеле тысячи торгуемых на различных рынках инструментов и ведущие активные торговые операции, сталкиваются с проблемой оперативного получения информации о текущей структуре портфеля.

Другая проблема состоит в выборе времени фиксации цен активов, образующих портфель. Торговые сессии на мировых рынках заканчиваются в разное время; это создает проблему: по каким ценам считать изменение стоимости портфеля? Обычно время фиксации выбирается как время закрытия торговли на рынке, где сосредоточены основные активы компании.

После того как определена структура портфеля и выбран желаемый интервал времени для подсчета риска, необходимо определить функцию распределения изменения стоимости портфеля.

Методы оценки VAR

Существует три основных метода определения параметров функции распределения: исторический метод, аналитический и метод симуляции.

Исторический метод

Исторический метод заключается в исследовании изменения стоимости такого портфеля за предыдущий исторический период.

Для вычисления VAR составляется база данных за определенный исторический период значений цен инструментов, входящих в портфель (или выделенных рыночных факторов, если портфель аппроксимируется). После этого надо вычислить изменения цен инструментов за промежуток времени, для которого рассчитывается VAR, и получить соответствующие значения изменения стоимости портфеля. Затем надо проранжировать полученные данные, построить гистограмму распределения изменений стоимости портфеля и найти значение VAR, соответствующее выбранному значению вероятности.

Преимущество данного метода состоит в том, что он свободен от предположений о виде распределения рыночных факторов портфеля, прост в осуществлении. При его использовании не возникает проблем с оценкой портфелей, содержащих опционы и подобные им инструменты.

К недостаткам обсуждаемого метода следует отнести то, что он требует проведения большой работы по сбору исторических данных и их обработке. Кроме того, оценка возможных изменений стоимости портфеля ограничена набором предыдущих исторических изменений. Типичная проблема при использовании данного метода состоит в отсутствии требуемого количества исторических данных. Чтобы получить более точную оценку VAR, необходимо использовать как можно больше данных, но использование слишком старых данных приводит к тому, что сегодняшний риск будет оценен на основе данных, которые не соответствуют текущему состоянию рынка.

Аналитический метод

Основная идея метода заключается в выявлении рыночных факторов, влияющих на стоимость портфеля, и аппроксимации стоимости портфеля на основе этих факторов. То есть финансовые инструменты, составляющие портфель, разбиваются, насколько это возможно, на элементарные активы, такие, что изменения каждого зависит только от воздействия одного рыночного фактора. Например, многолетняя купонная облигация может рассматриваться как набор бескупонных облигаций с разными сроками погашения.

Далее делается допущение о виде распределения рыночных факторов. Обычно считают, что доходность рыночных факторов подчиняется нормальному распределению. На основе исторических данных вычисляются математические ожидания, значения дисперсии и корреляции между факторами. Если аппроксимация имеет линейный вид, то распределение доходности портфеля также будет нормальным, и, зная параметры распределений рыночных факторов, можно определить параметры распределения всего портфеля.

Серьезное преимущество этого подхода состоит в том, что для большинства рыночных факторов все необходимые параметры нормального распределения хорошо известны. Например, The J.P.Morgan's RiskMetricsЄ является отличным источником таких данных. Они распространяются бесплатно и доступны через Интернет по адресу www.jpmorgan.com

Заметим, что оценка VAR, полученная с помощью аналитического метода, наиболее близко совпадает с оценкой риска, предлагаемой современной портфельной теорией.

Данный метод позволяет очень быстро получать оценку VAR. Но качество оценки ухудшается при увеличении в портфеле доли инструментов с нелинейными функциями выплат. Кроме того, необходимость делать допущение о виде распределения для базовых активов является серьезным недостатком этого метода.

Метод Монте-Карло

Данный метод заключается в моделировании возможных изменений стоимости портфеля при некоторых предположениях. Выявляются основные рыночные факторы, влияющие на стоимость портфеля. Затем строится совместное распределение этих факторов каким-либо способом, например, с использованием исторических данных или данных, основанных на каком-либо сценарии развития экономики. После этого моделируется большое число возможных сценариев развития ситуации, и изменение портфеля считается для каждого результата моделирования. Далее строится гистограмма полученных данных и определяется значение VAR.

Этот метод имеет несколько преимуществ. Он не использует конкретную модель определения параметров и может быть легко перенастроен в соответствии с экономическим прогнозом. Метод моделирует не конечную стоимость портфеля, а целый сценарий развития ситуации, что позволяет отслеживать изменение стоимость портфеля в зависимости от пути развития ситуации.

Недостаток метода - его медленная сходимость, что приводит к существенным временным и вычислительным затратам.

Конкретные модели оценки VAR основаны на комбинации изложенных методов.

Недостатки VAR

Общий недостаток VAR заключается в том, что все модели VAR независимо от применяемых методов вычисления используют исторические данные. И если условия на рынке резко меняются, например, скачкообразно изменяется волатильность рынка или изменяется корреляция между активами, то VAR учтет эти изменения только через определенный промежуток времени. А до этого момента оценка VAR будет некорректна.

При оценке VAR не учитывается такая важная характеристика рынков, как ликвидность. Это может привести к тому, что в определенные моменты изменение структуры портфеля для уменьшения риска может оказаться затруднительным.

Для оценки VAR используется та или иная модель, а это означает наличие модельного риска в расчетах. Поэтому периодическая проверка адекватности применяемой модели необходима.

VAR оценивает вероятность возникновения потерь больше определенного уровня, то есть оценивает <вес хвоста> распределения, но ничего не говорит о том, насколько велики могут быть эти потери. Поэтому дополнительно к VAR рекомендуется изучать поведение портфеля в стрессовых ситуациях, чтобы оценить <длину хвоста> распределения.

Все эти факторы приводят к тому, что VAR хорошо работает в случае стабильного состояния на рынках и перестает адекватно отображать величину риска, если на рынках происходят драматические изменения. Следует помнить, что VAR - всего лишь один из инструментов при управлении риском, а не универсальный способ его оценки.

Дерево решений

В статье Н.А. Батуриной анализируются риски использования оборотных активов хозяйствующим субъектом. Она рассматривает такие количественные и качественные методы оценки рисков, как метод экспертных оценок, метод ситуационного анализа, метод прогнозирования на основе пропорциональных зависимостей и др., отмечает их преимущества и недостатки. Идеальным вариантом прогнозирования величины рисков использования оборотных активовавтор считает совмещение количественных и качественных методов. Н.А. Батурина говорит, что метод «дерево решений» является одним из наиболее популярных методов обоснования альтернативных вариантов капиталовложений, осуществляемых в условиях риска. «Применяя его на практике, при помощи схемы вероятных событий, связанных с проведением инвестиционной деятельности, можно получить наглядное представление об уровне риска и экономической выгоде» [3, с.53].

Дерево решений – это популярный метод, применяющийся в различных сферах жизни человека:

  • дерево управленческих решений эффективно в менеджменте, управлении проектами и при анализе рисков;
  • применяется в банковском деле для оценки кредитоспособности клиента;
  • метод успешно используется при контроле качества продукции в промышленности;
  • в медицине дерево решений применяется для диагностики заболеваний;
  • дерево решений используется в молекулярной биологии для анализа строения аминокислот [9; 16].

В статье А.Е.Панягиной обосновывается целесообразность применения метода дерева решений для оценки кредитного риска. Автор говорит о широком применении скоринговых моделей в банках, перечисляет названия банков, использующих их, и отмечает преимущество метода «дерево решений» - возможность оценить не только вероятность реализации рискового события, но и учесть размер потенциально возможного дохода и его изменчивость.

«Метод «дерева решений» позволяет учесть эти характеристики при принятии решения о кредитовании и повышает обоснованность такого решения». В статье рассмотрена ситуация, когда банк осуществляет выбор между двумя вариантами кредитования. Построено дерево решений для данной финансово-хозяйственной ситуации, приведена таблица с расчетами статистических показателей оценки степени риска и определена вероятность возврата кредита как, с помощью дерева решений, так и с использованием скоринговой модели. В результате установлено, что «применение метода дерева решений дает информацию более полную, чем скоринговая модель» [23].

Исследованием данного метода занимались и зарубежные исследователи. В статье T. Бурчу «Оценка динамики моделей системы проектов, находящихся под воздействием рисков, с использованием деревьев решений: альтернативные энергетические проекты в качестве иллюстративного примера» рассматривается метод «Дерево решений» для оценки динамики проектов, находящихся под воздействием рисков. Описаны основные элементы построения дерева, представлен подробный алгоритм реализации метода, приведены программные средства с помощью которых возможна реализация метода − VisualBasic и DPL™. В качестве примера рассмотрена фирма, у которой есть несколько организаторских вариантов решений: вложение капитала(инвестирование) (I), задержка (выполнения работ) (D), увеличение (H), уменьшение (L) и приостановление дальнейших инвестиций (S). Для нее построено дерево решений, реализованное в DPL™, рассчитаны ожидаемые значения чистой текущей стоимости и выбрана наиболее оптимальная политика [34, с.10].

Таким образом, рассмотрены различные количественные и качественные методы оценки рисков, приведена их сравнительная характеристика.

Метод дерево решений «также называют деревьями решающих правил, деревьями классификации и регрессии» [15;20 и др.]. Он применяется для принятия решений в условиях риска, когда каждое последующее решение зависит от решения предыдущего, т.е. необходимо принимать последовательный ряд решений.

Дерево решений — это графическое изображение процесса принятия тех или иных решений, где отражены альтернативные решения, состояния среды и соответствующие вероятности, т.е. возможные риски и выигрыши для любых комбинаций данных альтернатив и состояний среды [10;15;19и др.]. Это способ представления процесса в иерархической структуре.

Метод опционов

Одним из важных эффективных методов снижения проектных рисков путем переноса части риска является использование реальных опционов.

Реальный опцион представляет собой индивидуальный условный форвардный контракт, представляющий интерес только для участников этого контракта и предоставляющий право покупателю опциона в случае наступления определенных условий провести зафиксированные контрактом мероприятия. В отличие от рыночного опциона он не является ценной бумагой. Хеджирование рисков с помощью реальных опционов имеет целью снижение влияния нежелательных факторов риска или, наоборот, использование их полезного действия. Использование реального опциона предполагает расходы покупателя на его оплату путем выплаты опционной премии. Если неблагоприятная ситуация (условия исполнения реального опциона) не наступает, то указанные выше расходы не принесут каких-либо выгод покупателю опциона. В противном случае покупателем опциона могут быть произведены мероприятия, позволяющие снижать риски изменения цен, процентных ставок и другие риски исполнения проекта, а также мероприятия, связанные с использованием возможности благоприятного развития рыночной конъюнктуры.

В литературе для оценки стоимости опционов используют следующие основные подходы:

  • метод прироста ожидаемой чистой текущей стоимости проекта;
  • биноминальный метод оценки стоимости опционов и его развитие многопериодной моделью Кокса, Росса и Рубинштейна;
  • метод оценки, основанный на модели Блека- Шоулса, предполагающий непрерывное изменение цены базового актива.

Методом прироста ожидаемой чистой текущей стоимости проекта можно оценить верхнюю границу стоимости опциона или предельную плату за владение опционом. При превышении таких предельных расходов инвестиции в проект становятся невыгодными. Двумя последними методами производится оценка справедливой цены опциона. Справедливой считается такая стоимость опциона, которая не позволяет инвестору иметь возможность получения гарантированной прибыли за счет спекулятивных финансовых операций с опционами и другими ценными бумагами.

В основе каждого метода лежат вполне определенные допущения, которые уменьшают точность оценивания. Например, в методе прироста ожидаемой чистой текущей стоимости проекта предполагается экспертная оценка вероятностей реализации альтернативных сценариев развития инвестиционного проекта, значения ставок дисконтирования. В основе биноминального метода оценки лежит предположение о равенстве безрисковых ставок по займам и депозитам.

Кроме того, стоимости создаваемых согласно проекту активов в каждом из возможных будущих сценариев развития инвестиционного проекта здесь должны быть заранее определены.

Метод оценки, основанный на широко известной модели Блека-Шоулса, также не может дать полной достоверной картины при его использовании для оценки стоимости реальных опционов.

Это объясняется теми ограничениями, которые лежат в основе указанной модели. Например, можно выделить следующие допущения данной модели:

  • массовое обращение на финансовом рынке базового актива (актива, лежащего в основе опциона), что не допустимо для проектов;
  • непрерывное изменение цены базового актива в соответствии со стохастическим процессом.

Метод прироста ожидаемой чистой текущей стоимости проекта

Метод прироста ожидаемой чистой текущей стоимости проекта позволяет найти предельную максимальную плату покупателя опциона, при которой чистая текущая стоимость проекта станет равной нулю.

Ожидаемая чистая текущая стоимость проекта NPVож определяется как сумма произведений возможных значений чистой текущей стоимости при различных вариантах реализации проекта и их вероятностей наступления. Дисперсией D чистой текущей стоимости проекта называется математическое ожидание квадрата отклонения чистой текущей стоимости проекта от ожидаемого значения.

Основными показателями оценки проектного риска, применяемыми в данном методе, являются следующие статистические показатели:

  • стандартное отклонение чистой текущей стоимости проекта;
  • коэффициент вариации.

Стандартным отклонением (риском проекта) у называют величину, равную квадратному корню из дисперсии чистой текущей стоимости проекта.

Коэффициент вариации определяется отношением стандартного отклонения чистой текущей стоимости проекта к ее ожидаемому значению.

Для примера, оценим риск четырехлетнего проекта показателем стандартного отклонения, используя три возможных сценария будущего развития: оптимистический (вероятность реализации равна 0,2), пессимистический (вероятность реализации равна 0,2) и наиболее вероятный (вероятность реализации равна 0,6). Параметры денежных потоков, соответствующих каждому из вышеперечисленных сценариев, представлены в табл. 1. Отметим, что отрицательные элементы денежного потока представляют собой произведенные инвестиции или убытки, положительные - чистые доходы. Эффективную ставку дисконтирования примем равной 20 % годовых.

Чистая текущая стоимость оптимистического сценария проекта NPVопт рассчитывается исходя из определения показателя следующим образом: NPVопт = -100 + 80(1 + 0,2)-1 + 90(1 + 0,2)-2+ 40(1 + 0,2)-3 = 52,31 единиц стоимости (ед. ст.).

Аналогично вычисляются NPV других сценариев. Ожидаемое значение чистой текущей стоимости проекта NPVож в нашем случае составит: NPVож = 0,2 · 52,31 + 0,6 · 17,13 + 0,2 · (-130,3) = -5,32 ед. ст.

Это говорит о неэффективности инвестиций в данный проект. Риск проекта составит: D = 0,2 (52,31 -- (--5,32))2 + 0,6(17,13 -- (--5,32))2 + 0,2 (-130,3 -- (--5,32))2= 4091, у = 63,97 ед. ст.

Риск инвестиций в данный проект достаточно высок. Предположим теперь, что инвестор заключил опционный контракт на продажу создаваемых согласно проекту активов в конце 1-го года по цене 90 ед. ст. Исполнение опциона возможно при наступлении пессимистического сценария. Произведем оценку показателей эффективности и риска проекта в этих условиях. Для простоты предположим, что опционная премия отсутствует.

Параметры денежных потоков, соответствующих каждому из вышеперечисленных сценариев, представлены в табл. 2.

В результате принятых мер проект стал эффективным. Можно отметить также существенное снижение риска проекта (более чем в 2,6 раза). Однако противоположная по опционной сделке сторона вряд ли примет такой риск на себя на безвозмездной основе. Величину максимальной платы за подобный риск P (предельную опционную премию) можно определить по формуле:

P = NPV2 - max(0; NPV1), (4)

где: NPV2--ожидаемое значение чистой текущей стоимости проекта в условиях хеджирования риска при отсутствии опционной премии; NPV1 -- ожидаемое значение чистой текущей стоимости проекта без хеджирующих мероприятий. Как видно из представленных в табл. 3 расчетов, величина ожидаемой чистой текущей стоимости проекта в последнем случае будет равна нулю. Следовательно, при большей плате за риск (в условиях примера величина такой платы равна 15,7), проект станет неэффективным (NPV < 0) или хеджирующие мероприятия приведут к снижению NPV. Параметры денежных потоков, соответствующих каждому из вышеперечисленных сценариев, в условиях предельной стоимости реального опциона представлены в табл. 3. Таким образом, использование реального опциона на продажу создаваемых согласно проекту активов позволило существенно снизить инвестиционный риск и увеличить ожидаемую чистую текущую стоимость инвестиций.

Биноминальный метод оценки стоимости опционов

Биноминальный метод оценки стоимости опционов основан на составлении эквивалентного портфеля ценных бумаг, который принесет инвестору такой же доход, что и доход по опциону. Биноминальный метод используют для оценки справедливой или равновесной стоимости опциона на акции. Составляемый эквивалентный портфель включает рисковые акции и безрисковые облигации, приносящие ее владельцу гарантированные доходы. Можно доказать, что если цена опциона будет отличаться от стоимости эквивалентного портфеля, то у инвестора имеется возможность извлечения дополнительной прибыли без какого-либо риска за счет финансовых операций с опционом и бумагами эквивалентного портфеля. В условиях предыдущего примера произведем оценку стоимости опциона на продажу создаваемых согласно проекту активов биноминальным методом. Определим основные параметры, необходимые для оценки стоимости опциона. Стоимость создаваемых согласно проекту активов оценим возмещаемой суммой. Возмещаемая сумма представляет собой большее из двух значений: чистой продажной цены актива и его эксплуатационной стоимости. При этом возмещаемая сумма неотрицательна. Чистая продажная цена актива представляет собой ту сумму, которая может быть получена от продажи актива при совершении сделки между хорошо осведомленными сторонами, осуществленной на общих условиях, за вычетом затрат на выбытие. Эксплуатационная стоимость актива представляет собой дисконтированную стоимость предполагаемых будущих денежных потоков, возникновение которых ожидается от использования актива и его выбытия в конце срока его службы. По существу, эксплуатационная стоимость актива - это величина ожидаемых чистых дисконтированных доходов по проекту.

Для простоты положим, что чистая продажная цена актива не превышает его эксплуатационной стоимости. Найдем значения чистых дисконтированных доходов по проекту для каждого из выделенных сценариев будущего развития.

Возмещаемая сумма вначале инвестиций совпадает с математическим ожиданием дисконтированных на момент начала инвестиций чистых доходов по проекту. В условиях наиболее вероятного сценария развития проекта такая сумма равна.

Список литературы

  1. Батурина Н.А. Риски использования оборотных активов хозяйствующим субъектом / Н.А. Батурина // Справочник экономиста — 2008. —№2. — С.53;
  2. Гончаренко Л.П. Риск-менеджмент / Л.П. Гончаренко, С.А. Филин. – 3-е изд.– М.: КноРус, 2010. – С. 215;
  3. Дерево решений [Электронный ресурс]. — URL: http://womanadvice.ru/derevo-resheniy (дата обращения: 11.11.2015);
  4. Куприянов Н. С.Дерево решений[Электронный ресурс] / Н.С.Куприянов, Т.С.Щербакова //Разработка управленческого решения — М.: 2010;
  5. Метод «дерево решений» [Электронный ресурс]. — URL:http://textb.net/126/33.html(дата обращения: 11.11.2015);
  6. НОУ ИНТУИТ Лекция 7: Управление рисками проекта.Количественный анализ рисков [Электронный ресурс]. — URL: http://www.intuit.ru/studies/courses/2196/267/lecture/6806?page=5 (дата обращения: 16.11.2015);
  7. НОУ ИНТУИТ Лекция 9: Методы классификации и прогнозирования. Деревья решений [Электронный ресурс]. — URL: http://www.intuit.ru/studies/courses/6/6/lecture/174 (дата обращения: 11.11.2015);
  8. Панягина А.Е. Использование метода «дерево решений» для оценки кредитного риска [Электронный ресурс]/А.Е. Панягина// Экономика и менеджмент инновационных технологий. – 2013. – № 9.— URL: http://ekonomika.snauka.ru/2013/09/2978(дата обращения: 16.11.2015);