Исследование распространения волны по жидкости внутри цилиндрического канала

№57-4,

физико-математические науки

Рассмотрено распространение слабых возмущений по жидкости внутри цилиндрического канала. В уравнении импульса учитывается вязкое напряжение на внутренней поверхности стенки цилиндрического канала, Получено дисперсионное соотношение и исследована зависимость затухания импульса давления от радиуса канала и вязкости жидкости.

Похожие материалы

Акустические волны часто используются для исследования состояния скважины и прискважинной зоны. Например, при определении качества перфорации скважины, при установлении параметров пласта вокруг скважины и т.п. [1-3, 6].

Одним из эффективных способов оперативного контроля качества вскрытия пласта перфорацией являются акустические методы, связанные с особенностями эволюции волновых импульсов, распространяющихся по жидкости внутри перфорированной скважины. Этим способом можно оценить длину образовавшихся перфорационных каналов, тем самым определить степень сообщаемости внутренней полости обсадной колонны с пластом [4, 5, 7-9 ].

В связи с вышеизложенным исследование распространения волны по жидкости внутри цилиндрического канала является важным как с теоретической, так и с практической точки зрения. В работе установлено, в каких случаях при описании распространения волны по жидкости нужно учитывать вязкое напряжение на внутренней поверхности стенки цилиндрического канала, а также зависимость затухания волны от вязкости жидкости.

Пусть цилиндрический канал (обсаженная скважина) с радиусом a заполнен жидкостью (рис. 1). Рассмотрим распространение слабых возмущений по жидкости. На рис. 1 датчик D1 расположен на устье скважины, а датчик D2 - на забое, т.е. перед дном скважины. Исходный сигнал генерируется датчиком D1 на некотором расстоянии H от дна скважины. Сигнал, распространяясь по жидкости, доходит до дна скважины и отражается. Отраженная часть сигнала возвращается обратно к датчику D1.

Схема цилиндрического канала (обсаженной скважины) с датчиками D<sub>1</sub> и D<sub>2</sub>
Рисунок 1. Схема цилиндрического канала (обсаженной скважины) с датчиками D1 и D2

Будем полагать, что цилиндрический канал заполнен линейно сжимаемой жидкостью

p=C^{2} \rho (1)

где \rho и p - возмущения плотности и давления жидкости, C - скорость звука в жидкости.

Предполагается также, что волна распространяется вдоль оси цилиндрического канала, а пространственная протяженность волновых возмущений \lambda значительно больше радиуса канала a\left(\lambda >>a\right).

В рамках модели плоского движения нестационарное течение жидкости в цилиндрическом канале при распространении возмущений будем описывать в квазиодномерном приближении. Тогда в системе координат, относительно которой невозмущенная жидкость покоится, полагаем, что возмущение давления p и скорость жидкости w удовлетворяют следующим уравнениям неразрывности и импульса

\frac{\partial \rho }{\partial t}+\rho_0\frac{\partial w}{\partial z}=0 (2)

\rho_0\frac{\partial w}{\partial t}+\frac{\partial p}{\partial z}=-\frac{2\tau }{a} (3)

Здесь \rho_0 - плотность жидкости в невозмущенном состоянии, \tau - вязкое напряжение на внутренней поверхности стенки цилиндрического канала, которое определяется из соотношения

\tau =\frac{\mu }{\left(\pi \nu \right)^{1/2}}\int _{-\infty }^{t}\frac{\partial w/\partial t'}{\sqrt{t-t'}}dt'\nu=\frac{\mu}{\rho_0} (4)

где \mu - динамическая вязкость жидкости, \nu - кинематическая вязкость жидкости.

Приведенное выше выражение для вязкого напряжения справедливо, когда вязкость проявляется лишь в тонком пограничном слое вблизи стенки цилиндрического канала при распространении волновых возмущений. Для этого в свою очередь необходимо, чтобы длительность импульса давления t_{*} удовлетворяла условию

\sqrt{\frac{t_{*}\mu}{\rho _{0}}}<<a

Найдем дисперсионное соотношение. Пусть плоская гармоническая волна распространяется по жидкости (направление волны совпадает с положительным направлением оси z). Тогда в распространение волны описывается с помощью выражения

p=A_{p}^{} \exp (iKz-i\omega t), w=A_{w}^{} \exp (iKz-i\omega t) (5)

где K - комплексное волновое число, \omega - круговая частота волны, Ap и Aw - амплитуды давления и скорости волны соответственно.

Подставляя выражения (5) в уравнения (1)-(3) получим дисперсионное уравнение

K=\frac{\omega\sqrt{1+2y_{\left(\nu\right)}^{-1}}}{C}y_{\left(\nu \right)} =\sqrt{\frac{-i\omega a^{2}}{\nu}} (6)

Используя дисперсионное соотношение (6) было исследовано распространение импульса давления по жидкости внутри цилиндрического канала. На рис. 2 - 4 приведены результаты расчета. Первый всплеск в осциллограмме D1 выражает исходный сигнал, запущенный с расстояния H=1000 м от перфорированного участка. Второй всплеск в осциллограмме D1 - это сигнал, вернувшийся к датчику D1 после отражения от дна скважины.

Из рис. 2 видно, что проходя расстояние 2000 м по воде импульс затухает примерно на 25%. Сравнение показаний датчика D1 для случаев, когда цилиндрический канал заполнен водой и нефтью (рис. 3), показывает, что с увеличением вязкости жидкости в пять раз импульс давления дополнительно затухает почти в два раза. С уменьшением радиуса канала в два раза (рис. 4) импульс дополнительно затухает примерно на 10%.

Показания датчика D<sub>1 </sub>для случая, когда цилиндрический канал заполнен водой (a=6·10<sup>-2</sup>м, ¼=1.06·10<sup>-6</sup>м<sup>2</sup>/с)
Рисунок 2. Показания датчика D1 для случая, когда цилиндрический канал заполнен водой (a=6·10-2м, μ=1.06·10-6м2/с)
Сравнение показаний датчика D<sub>1</sub> для случаев, когда цилиндрический канал заполнен водой (сплошная линия) и нефтью (штриховая линия)
Рисунок 3. Сравнение показаний датчика D1 для случаев, когда цилиндрический канал заполнен водой (сплошная линия) и нефтью (штриховая линия)
Сравнение показаний датчика D<sub>1</sub> для случаев, когда радиус цилиндрического канала равен a=6·10<sup>-2</sup>м (сплошная линия) и a=12·10<sup>-2</sup>м (штриховая линия)
Рисунок 4. Сравнение показаний датчика D1 для случаев, когда радиус цилиндрического канала равен a=6·10-2м (сплошная линия) и a=12·10-2м (штриховая линия)

Выводы

Получено дисперсионное соотношение и проведено исследование зависимости затухания импульса давления, распространяющегося по жидкости внутри цилиндрического канала, от радиуса канала и вязкости жидкости. Установлено, что с увеличением радиуса канала затухание импульса давления уменьшается, а с увеличением вязкости жидкости затухание увеличивается.

Список литературы

  1. Володин С.В., Дмитриев В.Л., Хусаинов И.Г. Распространение линейных волн во влажных насыщенных газом пористых средах // Теплофизика высоких температур. — 2009. — Т. 47, № 5. — С. 734-740.
  2. Хусаинов И.Г. Воздействие акустическим полем на насыщенную жидкостью пористую среду // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 6; URL: http://www.science-education.ru/120-15160 (дата обращения: 31.10.2014).
  3. Хусаинов И.Г. Динамика релаксации давления в полости с плоско-параллельными стенками после ее опрессовки // Современные проблемы науки и образования. — 2014. — № 5; URL: http://www.science-education.ru/119-15159 (дата обращения: 31.10.2014).
  4. Хусаинов И.Г. Отражение акустических волн в цилиндрическом канале от перфорированного участка // Прикладная математика и механика. – 2013. – Т. 77, № 3. – С. 441-451.
  5. Хусаинов И.Г. Оценка качества перфорации скважины акустическим методом // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 5; URL: http://www.science-education.ru/119-14505 (дата обращения: 09.09.2014).
  6. Хусаинов И.Г. Эволюция импульса давления при прохождении через пористую преграду, расположенную в воде // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 11–12. – С. 2645-2649.
  7. Хусаинов И.Г., Рахимова Р.А. Роль интерактивных технологий на уроках информатики в развитии этического воспитания учащихся // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 3; URL: http://www.science-education.ru/123-20151 (дата обращения: 30.06.2015).
  8. Хусаинов И.Г., Хусаинова Г.Я. Исследование параметров пласта методом опрессовки // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 3; URL: http://www.science-education.ru/117-13813 (дата обращения: 04.07.2014).
  9. Хусаинов И.Г., Хусаинова Г.Я. Компьютерное моделирование процесса релаксации давления в сферической полости после опрессовки // Успехи современного естествознания. № 10. 2016, С. 167-170.