Акустические волны часто используются для исследования состояния скважины и прискважинной зоны. Например, при определении качества перфорации скважины, при установлении параметров пласта вокруг скважины и т.п. [1-3, 6].
Одним из эффективных способов оперативного контроля качества вскрытия пласта перфорацией являются акустические методы, связанные с особенностями эволюции волновых импульсов, распространяющихся по жидкости внутри перфорированной скважины. Этим способом можно оценить длину образовавшихся перфорационных каналов, тем самым определить степень сообщаемости внутренней полости обсадной колонны с пластом [4, 5, 7-9 ].
В связи с вышеизложенным исследование распространения волны по жидкости внутри цилиндрического канала является важным как с теоретической, так и с практической точки зрения. В работе установлено, в каких случаях при описании распространения волны по жидкости нужно учитывать вязкое напряжение на внутренней поверхности стенки цилиндрического канала, а также зависимость затухания волны от вязкости жидкости.
Пусть цилиндрический канал (обсаженная скважина) с радиусом a заполнен жидкостью (рис. 1). Рассмотрим распространение слабых возмущений по жидкости. На рис. 1 датчик D1 расположен на устье скважины, а датчик D2 — на забое, т.е. перед дном скважины. Исходный сигнал генерируется датчиком D1 на некотором расстоянии H от дна скважины. Сигнал, распространяясь по жидкости, доходит до дна скважины и отражается. Отраженная часть сигнала возвращается обратно к датчику D1.
Будем полагать, что цилиндрический канал заполнен линейно сжимаемой жидкостью
(1)
где и p — возмущения плотности и давления жидкости, C — скорость звука в жидкости.
Предполагается также, что волна распространяется вдоль оси цилиндрического канала, а пространственная протяженность волновых возмущений значительно больше радиуса канала .
В рамках модели плоского движения нестационарное течение жидкости в цилиндрическом канале при распространении возмущений будем описывать в квазиодномерном приближении. Тогда в системе координат, относительно которой невозмущенная жидкость покоится, полагаем, что возмущение давления p и скорость жидкости w удовлетворяют следующим уравнениям неразрывности и импульса
(2)
(3)
Здесь — плотность жидкости в невозмущенном состоянии, — вязкое напряжение на внутренней поверхности стенки цилиндрического канала, которое определяется из соотношения
(4)
где — динамическая вязкость жидкости, — кинематическая вязкость жидкости.
Приведенное выше выражение для вязкого напряжения справедливо, когда вязкость проявляется лишь в тонком пограничном слое вблизи стенки цилиндрического канала при распространении волновых возмущений. Для этого в свою очередь необходимо, чтобы длительность импульса давления удовлетворяла условию
Найдем дисперсионное соотношение. Пусть плоская гармоническая волна распространяется по жидкости (направление волны совпадает с положительным направлением оси z). Тогда в распространение волны описывается с помощью выражения
, (5)
где K — комплексное волновое число, — круговая частота волны, Ap и Aw — амплитуды давления и скорости волны соответственно.
Подставляя выражения (5) в уравнения (1)-(3) получим дисперсионное уравнение
(6)
Используя дисперсионное соотношение (6) было исследовано распространение импульса давления по жидкости внутри цилиндрического канала. На рис. 2 — 4 приведены результаты расчета. Первый всплеск в осциллограмме D1 выражает исходный сигнал, запущенный с расстояния H=1000 м от перфорированного участка. Второй всплеск в осциллограмме D1 — это сигнал, вернувшийся к датчику D1 после отражения от дна скважины.
Из рис. 2 видно, что проходя расстояние 2000 м по воде импульс затухает примерно на 25%. Сравнение показаний датчика D1 для случаев, когда цилиндрический канал заполнен водой и нефтью (рис. 3), показывает, что с увеличением вязкости жидкости в пять раз импульс давления дополнительно затухает почти в два раза. С уменьшением радиуса канала в два раза (рис. 4) импульс дополнительно затухает примерно на 10%.
Выводы
Получено дисперсионное соотношение и проведено исследование зависимости затухания импульса давления, распространяющегося по жидкости внутри цилиндрического канала, от радиуса канала и вязкости жидкости. Установлено, что с увеличением радиуса канала затухание импульса давления уменьшается, а с увеличением вязкости жидкости затухание увеличивается.