Математическое моделирование опрессовки скважины при наличии вокруг нее круговой границы

№60-2,

физико-математические науки

Получена система дифференциальных уравнений, описывающая поведение скважины после ее опрессовки, когда вокруг скважины имеется непроницаемой или высокопроницаемой круговая граница. Система уравнений может быть использована для исследования зависимости процесса релаксации давления в скважине после опрессовки от величины эффективного конечного радиуса пласта и радиуса скважины.

Похожие материалы

Опрессовка является одним из общепринятых способов определения герметичности гидравлических систем. При этом, в основном в качестве главной критической меры герметичности систем принимается [9, 10] выполнение некоторых допустимых норм, в зависимости от конкретных технологических условий, для темпов снижения давления в системе, определяемых интенсивностью утечек флюидов. Представляется, что этот способ также может быть использован для более тонкого анализа состояния прискважинных зон при гидродинамических испытаниях скважин. Темп релаксации давления в скважинах, окруженных пористыми породами, после их опрессовки зависит от коллекторских характеристик окружающей пористой породы. Поэтому, по времени релаксации давления можно судить, например, о величине эффективного коэффициента проницаемости породы вокруг скважины. Кроме того, добавляя газовую фазу при опрессовке, увеличивая тем самым упругоемкость среды в скважине, можно добиваться, чтобы характерное время релаксации находилось в пределах, удобных с точки зрения технической реализации этого способа на практике.

В данной работе исследуется задача об опрессовке скважины, окруженной пористой средой, насыщенной жидкостью, и находящейся в центре пористого пласта с конечным эффективным радиусом. Изучена зависимость времени релаксации давления в скважине от эффективного радиуса пористого пласта, а также от начального значения давления в скважине и значения коэффициента проницаемости, окружающей скважину пористой среды.

Схематическое изображение (вертикальная проекция) скважины и пласта с эффективным радиусом R<sub>K</sub>
Рисунок 1. Схематическое изображение (вертикальная проекция) скважины и пласта с эффективным радиусом RK

Пусть имеется скважина с радиусом a, окруженная пластом с конечным эффективным радиусом RK (рис. 1). В исходном состоянии давление жидкости во всем пористом пласте вокруг скважины постоянно и равно p'0, а сама скважина заполнена частично жидкостью и частично газом. В начальный момент времени давление в скважине мгновенно увеличивается до некоторого значения p0. После этого происходит фильтрация жидкости из скважины в окружающую пористую среду, и значение давления внутри скважины будет восстанавливаться.

Темп релаксации давления в полости зависит от коллекторских характеристик окружающей пористой породы. Поэтому по времени релаксации давления можно оценить параметры породы вокруг скважины, например, величину коэффициента проницаемости.

Предполагается, что газовая фаза в полости находится в специальном контейнере, который исключает ее фильтрацию через стенки в окружающую пористую среду. Технически это можно реализовать, например, используя оболочку с податливыми или гофрированными стенками, или пневматическое устройство «цилиндр — поршень». Газовая фаза будет работать как объемная «пружина», выталкивающая содержащуюся в полости жидкость в окружающее пористое пространство.

Кроме того, упругоемкость газожидкостной системы в полости (тем самым время релаксации давления) полностью зависит от начальной объемной доли газовой фазы. Поэтому, добавляя газовую фазу при опрессовке, можно управлять характерным временем релаксации давления, чтобы она находилось в пределах, удобных с точки зрения технической реализации этого способа на практике.

При описании исследуемого процесса примем следующие допущения: давление внутри полости однородно (пренебрегаем гидростатическим перепадом давления), фильтрация газа через боковые поверхности полости и фазовые переходы отсутствуют. Внутри полости масса газа остается постоянной в течение всего процесса.

В рамках вышеизложенных допущений уравнение сохранения массы жидкости внутри полости запишем в виде:

\frac{d\rho }{dt} =-\frac{2}{a} \rho _{l} \left. {\it v}\right|_{r=a} (1)

где \rho - определяется по формуле \rho =\rho _{l} \left(1-\alpha _{g} \right), \rho _{l} — плотность жидкости, \alpha _{g} — объемная доля газа в полости, a — радиус скважины, {\it v} — скорость фильтрации жидкости через стенки полости.

Для определения скорости фильтрации жидкости через стенки полости в окружающую пористую среду используем закон Дарси [1, 3, 5,7, 8]:

{\it v}{\it '}=-\frac{k}{\mu _{l} } \frac{\partial p{\it '}}{\partial r}, (2)

где \mu _{l} — динамический коэффициент вязкости жидкости, k — коэффициент проницаемости пористой среды, $p{\it ',} {\it v'}$ — давление и скорость фильтрации жидкости вокруг полости. На стенке полости выполняется условие неразрывности среды [11, 12]

{\it v'}={\it v}, r=a

Поле давления вокруг полости описывается с помощью уравнения пьезопроводности [2, 4, 6]:

\frac{\partial p{\it '}}{\partial t} =\chi _{l} \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r} \left(r\frac{\partial p{\it '}}{\partial r} \right), a (3)

Здесь \chi _{l} — коэффициент пьезопроводности \left(\chi _{l} =\frac{k\rho _{l0} C_{l}^{2} }{m\mu _{l} } \right), m — коэффициент пористости, C_{l} — скорость звука в жидкости, \rho _{l0} — начальное значение плотности жидкости.

Сжимаемость жидкости, находящейся в полости и в пористой среде, будем учитывать в акустическом приближении [13-15]:

p=p_{0} +C_{l}^{2} \left(\rho _{l} -\rho _{l0} \right). (4)

Здесь p0 — начальное значение давления в полости.

Газ будем считать калорически совершенным. Тогда для его поведения примем политропический закон:

\alpha _{g} =\alpha_{g0}\frac{p_0}{p}^{1/\gamma} (5)

где \gamma — показатель политропы, \alpha _{g0} — начальная объемная доля газовой фазы в полости.

Начальное условие для уравнения пьезопроводности (3) запишем в виде:

p{\it '}=p'_{0} , t=0, a (6)

На стенке полости выполняется условие непрерывности давления. Тогда граничные условия для уравнения пьезопроводности могут быть записаны в виде:

{\it p'}=p(t), t>0, r=a , p{\it '}=p'_{0} , t>0, r\to \infty . (7)

Граничные условия на круговой границе:

p=p'_{0}, r=R_{k} (8)

Если рассматривается конечный закрытый пласт, то на круговой границе выполняется условие:

\frac{\partial p}{\partial r}=0, r=R_k (9)

Выводы

Получена система дифференциальных уравнений, описывающая поведение скважины после ее опрессовки, когда вокруг скважины имеется круговая граница. Предложены два варианта круговой границы: она является непроницаемой и высокопроницаемой. Полученная система уравнений может быть использована для исследования зависимости процесса релаксации давления в скважине после опрессовки от величины эффективного конечного радиуса пласта RK и радиуса скважины.

Список литературы

  1. Баренблатт, Г.И. Движение жидкостей и газов в природных пластах / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. – М.: Недра, 1984. – 211 с.
  2. Баренблатт, Г.И. О влиянии неоднородностей на определение параметров нефтеносного пласта по данным нестационарного притока жидкости к скважинам / Г.И. Баренблатт, В.А. Максимов // Изв. АН СССР, ОТН. 1958. – № 7. – С. 49-55.
  3. Баренблатт, Г.И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. – М.: Недра, 1972. – 288 с.
  4. Гамаюнов, Н.И. Определение водопроницаемости грунтов в полевых условиях / Н.И. Гамаюнов, Б.С. Шержуков // ИФЖ. – 1961, – T. 4, № 10. – С. 71-78.
  5. Лейбензон, Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде / Л.С. Лейбензон – М.: ОГИЗ, 1947. – 187 с.
  6. Лейбензон, Л.С. Собрание сочинений / Л.С. Лейбензон – М.: Изд. АН СССР, 1955. – Т.3. – 678 с.
  7. Маскет, М. Течение однородных жидкостей в пористой среде / М. Маскет. – М.: – Л.: Гостехтопиздат, 1949. – 628 с.
  8. Маскет, М. Физические основы технологии добычи нефти / М. Маскет. – Л.: Гостехтопиздат, 1953. – 607 с.
  9. Хусаинов И.Г. Динамика релаксации давления в полости с плоско-параллельными стенками после ее опрессовки // Современные проблемы науки и образования. — 2014. — № 5; URL: http://www.science-education.ru/119-15159 (дата обращения: 31.10.2014).
  10. Хусаинов И.Г. Оценка качества перфорации скважины акустическим методом // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 5; URL: http://www.science-education.ru/119-14505 (дата обращения: 09.09.2014).
  11. Хусаинов И.Г. Эволюция импульса давления при прохождении через пористую преграду, расположенную в воде // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 11–12. – С. 2645-2649.
  12. Хусаинов И.Г., Хусаинова Г.Я. Компьютерное моделирование процесса релаксации давления в сферической полости после опрессовки // Успехи современного естествознания. № 10. 2016, С. 167-170.
  13. Хусаинова Г.Я. Исследование температурных полей при стационарном течении аномальных жидкостей // Автоматизация. Современные технологии. 2016. № 7. С. 13-16.
  14. Хусаинова Г.Я. Моделирование процесса очистки пористой среды растворителями // Автоматизация. Современные технологии. 2015. № 9. С. 39-43.
  15. Хусаинова Г.Я. Плоскорадиальная фильтрация несжимаемой аномальной жидкости // Современная техника и технологии. 2015. № 7 (47). С. 81-83.