О некоторых свойствах продолженных почти ap-структур

№59-1,

Физико-математические науки

Вводится понятие продолженной почти AP-структуры – почти контактной метрической структуры, естественным образом возникающей на распределении контактного метрического многообразия. Доказывается, что продолженная почти AP-структура является AP-структурой тогда и только тогда, когда она нормальна.

Похожие материалы

Введение

Почти AP-многообразие является обобщением SQS-многообразия, определенного в работе [41]. В свою очередь, SQS-многообразия – это квази-сасакиевы многообразия (QS-многообразия), удовлетворяющие дополнительным условиям. Значительное внимание квази-сасакиевым многообразиям уделено в работах В.Ф. Кириченко и его учеников [48-52]. Среди квази-сасакиевых структур (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g, D), таких, что \text{rk} d\eta=2p, 2p\leq 2m, 2p \neq 0, наиболее близко примыкают к сасакиевым структурам SQS-структуры. Интересным примером SQS-структур являются структуры (продолженные почти контактные метрические структуры), естественным образом возникающие на распределениях нулевой кривизны сасакиевых многообразий. Продолженные почти контактные метрические структуры введены в работах [14-17]. Изучению обобщений продолженных почти контактных метрических структур посвящены работы [1, 2, 4, 6, 7, 10, 11, 22-28, 31, 33, 58]. В результате исследования продолженных структур получены результаты, имеющие аналоги в геометрии касательных и кокасательных расслоений [63-57, 59-68, 70, 72]. Наиболее интересными продолженными структурами являются структуры, задаваемые на распределениях нулевой кривизны, т.е., на распределениях почти контактных метрических структур с нулевым тензором кривизны Схоутена. Понятие тензора кривизны оснащенного неголономного многообразия введено Схоутеном и ван Кампеном [69]. Впоследствии, заданный Схоутеном и ван Кампеном тензор был назван В.В. Вагнером [19, 20] тензором Схоутена. Существуют два основных способа введения тензора Схоутена в геометрию почти контактных метрических многообразий. Тензор Схоутена может быть определен как тензор кривизны внутренней связности (связности в неголономном многообразии) [5, 14, 21, 22, 25, 27]. Альтернативным способом задания тензора Схоутена является выделение трансверсальной составляющей у тензора кривизны некоторой связности (отличной от связности Леви-Чивита), возникающей на многообразии с почти контактной метрической структурой. При этом термин «тензор Схоутена» не употребляется [71]. Тензор Схоутена мы называем тензором кривизны распределения D многообразия M с почти контактной метрической структурой (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g, D). В работе [20] Вагнер вводит понятие тензора кривизны (тензора кривизны Вагнера) оснащенного неголономного многообразия коразмерности 1. В случае контактного метрического многообразия тензор кривизны Вагнера также может быть описан как тензор кривизны связности (отличной от связности, изучаемой в работе [71]) в векторном расслоении (M, \pi, D). Задание связности Вагнера сводится к продолжению внутренней связности до связности (N-продолженной связности) [6, 21, 22, 25, 28, 29, 31, 32, 35, 37, 40, 42-47]) в векторном расслоении с помощью эндоморфизма N: D\rightarrow D, имеющего специальное строение.

Предлагаемая работа устроена следующим образом. Во втором разделе на почти контактном метрическом многообразии M вводится понятие внутренней связности, определяется тензор кривизны Схоутена. и изучаются его свойства. В третьем разделе определяется почти AP-многообразие и изучаются его простейшие свойства. На распределении D многообразия M с контактной метрической структурой определяется продолженная почти контактная метрическая структура. Доказывается, что продолженная почти AP-структура является AP-структурой тогда и только тогда, когда она нормальна.

Почти контактные метрические многообразия специального вида

Пусть M - гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1, \Gamma(TM) – модуль гладких векторных полей на M. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса C^{\infty}. Предположим, что на M задана почти контактная метрическая структура (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g, D), где \varphi - тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом или допустимой почти комплексной структурой, \vec{\xi} и \eta - вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, g – (псевдо) риманова метрика. При этом выполняются следующие условия:

  1. \varphi^2=-I+\eta\otimes \vec{\xi},
  2. \eta(\vec{\xi})=1,
  3. g(\varphi\vec{x},\varphi\vec{y})=g(\vec{x},\vec{y})-\eta(\vec{x})\eta(\vec{y}),
  4. d\eta(\vec{\xi},\,\vec{x})=0, где \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(TM).

Гладкое распределение D=\ker \eta называется распределением почти контактной структуры.

В качестве следствия условий 1) – 4) получаем:

  1. \varphi(\vec{\xi})=0, 6) \eta \circ \varphi=0, 7) \eta(\vec{x})=g(\vec{x},\vec{\xi}), \vec{x}\in \Gamma(TM).

Если \text{rk}\,\omega=2m, где \omega=d\eta, вектор \vec{\xi} однозначно определяется из условий \eta(\vec{\xi})=1, \ker \omega=Span (\vec{\xi}).

Кососимметрический тензор \Omega(\vec{x},\vec{y})=g(\vec{x},\varphi\vec{y}) называется фундаментальной формой структуры. Почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой, если выполняется равенство \Omega=d \eta. Гладкое распределение D^{\bot}=Span(\vec{\xi}), ортогональное распределению D, называется оснащением распределения D. Имеет место разложение TM=D\oplus D^{\bot}.

Многообразие Сасаки – контактное метрическое пространство, удовлетворяющее дополнительному условию N_\varphi +2d\eta\otimes \vec{\xi}=0, где N_\varphi (\vec{x},\vec{y})=[\varphi \vec{x},\varphi\vec{y}]+\varphi^2 [\vec{x},\vec{y}]-\varphi[\varphi\vec{x},\vec{y}]-\varphi[\vec{x},\varphi\vec{y}] - тензор Нейенхейса эндоморфизма \varphi. Выполнение условия N_\varphi +2d\eta\otimes \vec{\xi}=0 означает, что пространство Сасаки является нормальным пространством. Символы \Gamma(E) будем использовать для обозначения модуля сечений распределения E\subset TM.

Предположим, что \text{rk}\,d\eta=2p, 0\leq2p\leq2m. Хорошо известно, что ядро формы \omega=d\eta является интегрируемым распределением, которое в дальнейшем будем обозначать символом K. Пусть P:TM\rightarrow D, Q:TM\rightarrow D^{\bot}, h:TM\rightarrow L, v:TM\rightarrow L^{\bot} - проекторы, определяемые разложением TM=L\oplus L^{\bot}\oplus D^{\bot}=D\oplus D^{\bot}, где L^{\bot}=K\cap D, а L – ортогональное ему распределение в D.

Имеет место

Предложение 1. Распределение L^{\bot} интегрируемо.

Доказательство. Пусть \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(L^{\bot}). Покажем, что [\vec{x},\vec{y}]\in \Gamma(L^{\bot}). Имеем 2d\eta(\vec{x},\vec{y})=-\eta([\vec{x},\vec{y}])=0. Отсюда следует, [\vec{x},\vec{y}]\in \Gamma(D). Далее, для произвольного \vec{z}\in \Gamma(TM) получаем: 0=3d\omega(\vec{x},\vec{y},\vec{z})=-\omega([\vec{x},\vec{y}],\vec{z}). Таким образом, [\vec{x},\vec{y}]\in \Gamma(L^{\bot}), что и доказывает предложение.

Многообразие M с почти контактной метрической структурой (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g, D) назовем почти AP-многообразием, если выполняются следующие два условия:

  1. Распределение L инвариантно относительно действия эндоморфизма \varphi;
  2. Имеет место равенство

d\eta(\vec{x},\vec{y})=\Omega(\vec{x},\vec{y}),\ \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(L).

Если, при этом, распределение \tilde{L}=L\oplus D^{\bot} - интегрируемо, то почти AP-многообразие будем называть AP-многообразием.

Квази-сасакиево многообразие, являющееся одновременно AP-многообразием, называется [41] специальным квази-сасакиевым многообразием (SQS-многообразием).

Используя интегрируемость распределения K, определим на многообразии M адаптированную карту K(x^\alpha)(A,B,C,=1,...,2p;\alpha,\beta,\gamma=1,...,n=2m+1;a,b,c=1,...,2m;i,j,k=2p+1,...,2m), полагая L^{\bot}=Span(\partial_{i}), \partial_n=\vec{\xi}. Мы здесь использовали обозначение \frac{\partial}{\partial x^\alpha}=\partial_\alpha.

Пусть K(x^\alpha) и K'(x^{\alpha'}) - адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат:

x^A=x^A(x^{A'}), \ x^i=x^i(x^{a'}),\ x^n=x^{n'}+x^n(x^{a'}).

Векторные поля h(\partial_A)=\vec{e}_A=\partial_A-\Gamma^i_A\partial_i-\Gamma^n_A\partial_n линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение L:L=Span(\vec{e}_A). Таким образом, мы имеем на многообразии M неголономное поле базисов (\vec{e}_\alpha)=(\vec{e}_A,\partial_i,\partial_n) и соответствующее ему поле кобазисов

(dx^A,dx^i+\Gamma^i_Adx^A,dx^n+\Gamma^n_Adx^A).

Непосредственно проверяется, что в случае AP-многообразия [\vec{e}_{A},\vec{e}_{B}]=2\omega_{BA}\partial_{n}, \partial_n\Gamma^n_A=\partial_i\Gamma^n_A=0.

В случае интегрируемости распределения \tilde{L}, будем требовать дополнительно выполнение равенства \Gamma^i_A=0.

Пример AP-многообразия. Пусть M=\mathbb{R}^5=\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^2, (\partial_\alpha) - стандартный базис арифметического пространства. Определим на M 1-форму \eta, полагая, \eta=dx^3+x^2dx^1. Очевидно, что \eta(\partial_3)=1, \eta(\partial_2)=\eta(\partial_4)=\eta(\partial_5)=\eta(\vec{e}_1)=0, где \vec{e}_1=\partial_1-x^2\partial_3. Структуру риманова многообразия на M определим, считая базис (\vec{e}_1, \partial_2, \partial_3, \partial_4, \partial_5) ортонормированным. И, наконец, положим \varphi\vec{e}_1=\partial_2, \varphi\partial_4=\partial_5, \varphi\partial_2=-\vec{e}_1, \varphi\partial_5=-\partial_4, \varphi\partial_3=0.

Тензор кривизны Схоутена

Тензорное поле t типа (p,q), заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению D), если t обращается в нуль каждый раз, когда среди его аргументов встречаются \vec{\xi} или \eta.

Внутренней линейной связностью \nabla [3, 5, 8, 9, 30, 34, 36] на многообразии с почти контактной структурой называется отображение

\nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D),

удовлетворяющее следующим условиям:

  1. \nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}}
  2. \nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y},
  3. \nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z},

где \Gamma(D) - модуль допустимых векторных полей.

Внутренняя связность определяет дифференцирования допустимых тензорных полей. Так, например, для допустимой почти комплексной структуры выполняется равенство

(\nabla_{\vec{x}} \varphi)\vec{y}=\nabla_{\vec{x}}(\varphi \vec{y})- \varphi (\nabla_{\vec{x}}\vec{y}), \, \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D).

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения \nabla_{\vec{e}_{a}}\vec{e}_{b}=\Gamma^{c}_{ab}\vec{e}_{c}.

Кручением внутренней связности назовем допустимое тензорное поле

S(\vec{x},\vec{y})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}], \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D).

Внутреннюю связность будем называть симметричной, если ее кручение равно нулю. В случае симметричности внутренней связности в адаптированных координатах получаем:

S^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab}-\Gamma^{c}_{ba}, или,  \Gamma^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ba}.

Допустимое тензорное поле, определяемое равенством

R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}],

где Q=I-P, названо Вагнером [20] тензором кривизны Схоутена. Тензор Схоутена будем называть тензором кривизны внутренней связности. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид:

R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]c}+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c}.

Для почти AP-многообразия выполняется равенство

R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=R(h\vec{x},h\vec{y})h\vec{z}+R(v\vec{x},v\vec{y})v\vec{z},\, \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D).

Тензор кривизны внутренней связности возникает в результате альтернирования вторых ковариантных производных:

2\nabla_{[a}\nabla_{b]}v^c=R^c_{abe}v^e+4\omega_{ba}\partial_n v^c.

Назовем тензор кривизны внутренней связности тензором кривизны распределения D, а распределение D, в случае обращения в нуль тензора Схоутена, - распределением нулевой кривизны.

Аналогом связности Леви-Чивита является внутренняя симметричная связность \nabla такая, что \nabla g=0, где g - допустимое тензорное поле, определяемое метрическим тензором исходной почти контактной метрической структуры. Назовем связность \nabla внутренней метрической связностью. Известно, что внутренняя симметричная метрическая связность существует и определена единственным образом. Ее коэффициенты задаются равенствами

\Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_dg_{bc}).

Введем в рассмотрение допустимые тензорные поля, определяемые равенствами h\vec{x}=\frac{1}{2}(L_{\vec{\xi}}\varphi)(\vec{x}),

C(\vec{x},\vec{y})=\frac{1}{2}(L_{\vec{\xi}}g)(\vec{x},\vec{y}),

g(C\vec{x},\vec{y})=C(\vec{x},\vec{y}), \vec{x},\vec{y} \in \Gamma (TM). В адаптированных координатах получаем:

h^a_b=\frac{1}{2}\partial_n \varphi^a_b,

C_{ab}=\frac{1}{2}\partial_n g_{ab}, C^a_b=g^{da}C_{db}.

Будем использовать следующие обозначения для связности и коэффициентов связности Леви-Чивита тензора g:\widetilde{\nabla}, \widetilde{\Gamma}^\alpha_{\beta \gamma}. В результате непосредственных вычислений убеждаемся в справедливости следующего предложения.

Предложение 2. Коэффициенты связности Леви-Чивита почти AP-многообразия в адаптированных координатах имеют вид:

\widetilde{\Gamma}^c_{ab}=\Gamma^c_{ab},

\widetilde{\Gamma}^n_{ab}=\omega_{ba}-C_{ab},

\widetilde{\Gamma}^b_{an}=\widetilde{\Gamma}^b_{na}=C^b_a-\varphi^b_a,

\widetilde{\Gamma}^n_{na}=\widetilde{\Gamma}^a_{nn}=0,

где \Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_dg_{bc}).

Пусть K(\vec{x},\vec{y})\vec{z} - тензор кривизны связности Леви-Чивита контактного метрического пространства. Используя результаты предложения 2, и проводя вычисления в адаптированных координатах, убеждаемся в справедливости следующего предложения.

Предложение 3. Тензор кривизны K(\vec{x},\vec{y})\vec{z} связности Леви-Чивита \tilde{\nabla} связан с тензором кривизны Схоутена R(\vec{x},\vec{y})\vec{z} следующим соотношением:

K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}+\eta(\vec{x})P(\vec{y},\vec{z})-\eta(\vec{y})P(\vec{x},\vec{z})+g(\vec{z},\varphi \vec{x})\varphi\vec{y}-

-g(\vec{z},\varphi\vec{y})\varphi\vec{x}-2g(\vec{x},\varphi\vec{y})\varphi\vec{z}+\eta(\vec{z})\eta(\vec{y})\vec{x}-\eta(\vec{z})\eta(\vec{x})\vec{y}+\eta(\vec{x})g(\vec{y},\vec{z})\vec{\xi}- \eta(\vec{y})g(\vec{x},\vec{z})\vec{\xi}.

Здесь P(\vec{x},\vec{y}) – допустимое тензорное поле с компонентами P^{a}_{bc}=\partial_{n}\Gamma^{a}_{bc}.

Прежде чем переходить к обсуждению свойств тензора Схоутена, введем понятия N-связности \nabla^N [21, 29, 31] и ассоциированной связности \nabla^A, естественным образом связанных с данной внутренней связностью.

Пусть на многообразии M с почти контактной структурой и внутренней линейной связностью \nabla задан эндоморфизм N: D\rightarrow D.

N-связность \nabla^N определим как единственную связность на многообразии M, удовлетворяющую следующим условиям:

  1. \nabla^{N}_{\vec{x}}\vec{y}\in \Gamma(D),
  2. \nabla^{N}_{\vec{x}}\vec{\xi}=\vec{0},
  3. \nabla^{N}_{\vec{x}}\vec{y}=[\vec{\xi},\vec{y}]+N\vec{y},
  4. \nabla^{N}_{\vec{y}}\vec{z}=\nabla_{\vec{y}}\vec{z},

\vec{x}\in \Gamma(TM), \vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D).

Кручение S(\vec{x},\vec{y}) и кривизна K(\vec{x},\vec{y})\vec{z} N-связности определяются, соответственно, следующем образом:

S(\vec{x},\vec{y})=2\omega(\vec{x},\vec{y})\vec{\xi}+\eta(\vec{x})N\vec{y}-\eta(\vec{y})N\vec{x},

K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=2\omega(\vec{x},\vec{y})N\vec{z}+R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}+\eta(\vec{x})(P(\vec{y},\vec{z})-(\nabla^N_{P\vec{y}}N)\vec{z})-\eta(\vec{y})(P(\vec{x},\vec{z})-(\nabla^N_{P\vec{x}}N)\vec{z}),

\vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(TM).

N-связность с нулевым эндоморфизмом N будем называть ассоциированной связностью с внутренней связностью \nabla и обозначать \nabla^A. Для кривизны и кручения ассоциированной связности выполняются следующие равенства:

S(\vec{x},\vec{y})=2\omega(\vec{x},\vec{y})\vec{\xi}, K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}+\eta(\vec{x})P(\vec{y},\vec{z})-\eta(\vec{y})P(\vec{x},\vec{z}), \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(TM).

Таким образом, получаем K(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}, если \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D).

Предложение 4. Почти AP-многообразие с распределением нулевой кривизны является K-контактным пространством.

Доказательство. Пусть \nabla - внутренняя метрическая связность: \vec{z}g(\vec{x},\vec{y})=g(\nabla_{\vec{z}}\vec{x},\vec{y})+g(\vec{x},\nabla_{\vec{z}}\vec{y})=0, \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D). Дифференцируя последнее равенство повторно и альтернируя полученный результат, получаем: 2\omega_{ea}\partial_ng_{bc}-g_{dc}R^d_{eab}-g_{bd}R^d_{eac}=0. Учитывая невырожденность формы \omega, заключаем, что равенство R^d_{eac}=0 влечет равенство \partial_{n}g_{bc}=0. Что и доказывает предложение.

С учетом равенства (1) получаем:

Теорема 1. Для почти AP-многообразия обращение в нуль тензора кривизны Схоутена влечет равенство P^a_{bc}=0.

Введем на распределении D почти контактного метрического многообразия структуру гладкого многообразия следующим образом. Поставим в соответствие каждой адаптированной карте K(x^{\alpha}) многообразия M сверхкарту \tilde{K}(x^{\alpha},x^{n+a}) на распределении D, полагая, что \tilde{K}(\vec{x})=(x^{\alpha},\,x^{n+a}), где x^{n+a} - координаты допустимого вектора \vec{x} в базисе \vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}:\vec{x}=x^{n+a}\vec{e}_{a}. Задание внутренней связности \nabla влечет разложение распределения \widetilde{D}=\pi^{-1}_{*}(D), где \pi:D \rightarrow M - естественная проекция, в прямую сумму вида \widetilde{D}=HD \oplus VD, где VD - вертикальное распределение на тотальном пространстве D, HD - горизонтальное распределение, порождаемое векторными полями \vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-G^{b}_{a}\partial_{n+b}, где G^{a}_{b}(x^{a},x^{n+a})=\Gamma^{a}_{bc}(x^{a})x^{n+c}, \Gamma^{a}_{bc} - коэффициенты внутренней связности.

Пусть, далее, N:D\rightarrow D - поле допустимого тензора типа (1,1). N-продолженной связностью [21, 29, 31] назовем связность в векторном расслоении (D,\pi,M), определяемую разложением TD=\widetilde{HD}\oplus VD, где \widetilde{HD}=HD\oplus\,span(\vec{u}), \vec{u}_{\vec{x}}=\vec{\varepsilon}-(N\vec{x})^v, \vec{\varepsilon}=\partial_n\vec{x}\in D, (N\vec{x})^v - вертикальный лифт. Относительно базиса (\vec{\varepsilon}_{a},\partial_n,\partial_{n+a}) поле \vec{u} поле \vec{u} получает следующее координатное представление: \vec{u}=\partial_{n}-N^{a}_{b}x^{n+b}\partial_{n+a}. Если не оговорено противное, будем считать, что N=0. В этом случае \widetilde{HD}=HD\oplus\,span(\partial_{n}).

Формы (dx^a, \Theta^n=dx^a+\Gamma^n_a dx^a, \Theta^{n+a}=dx^{n+a}+\Gamma^a_{bc}x^{n+c} dx^b) определяют поле кобазисов, сопряженное к полю базисов (\vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-\Gamma^{b}_{ac}x^{n+c}\partial_{n+b},\partial_{n},\partial_{n+a}).

Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\vec{\varepsilon}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_n+x^{n+d}R^{c}_{bad}\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\partial_n]=x^{n+d}\partial_n\Gamma^c_{ad}\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\partial_{n+b}]=\Gamma^{c}_{ab}\partial_{n+c}.

Всякому векторному полю \vec{x}\in \Gamma(TM), заданному на многообразии M, обычным образом соответствует его горизонтальный лифт \vec{x}^h, при этом, \vec{x}^h\in \Gamma(HD) тогда и только тогда, когда \vec{x} - допустимое векторное поле: \vec{x}\in \Gamma (D).

Справедливость следующей теоремы вытекает из полученных выше структурных уравнений.

Теорема 2. Пусть \nabla - внутренняя симметричная связность с тензором кривизны Схоутена R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}. Тогда, для всех \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D) и \vec{p}\in D имеют место следующие равенства:

[\vec{x}^{h},\vec{y}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{y}]^{h}-\left\{R(\vec{x},\vec{y})\vec{p}\right\}^{v} (1)

[\vec{x}^{h},\vec{\xi}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{\xi}]^{h}+\left\{P(\vec{x},\vec{p})\right\}^{v} (2)

[\vec{x}^{h},\vec{y}^{v}]=(\nabla_{\vec{x}}\vec{y})^{v} (3)

[\vec{x}^{v},\vec{\xi}^{h}]=[\vec{x},\vec{\xi}]^{v} (4)

Определим на распределении D контактного метрического многообразия M продолженную почти контактную метрическую структуру (D,J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_{*},\tilde{g},\tilde{D}), полагая

\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^h)=\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{y}^v)=g(\vec{x},\vec{y}),

\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^v)=\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{y}^h)=\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{u})=\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{u})=0,

J\vec{x}^h=(\varphi \vec{x})^h, J\vec{x}^v=(\varphi \vec{x})^v, J(\vec{u})=\vec{0}, \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D), \vec{u}=\partial_n=\vec{\xi}^h.

Справедливость следующего предложения очевидна.

Предложение 5. Почти контактная метрическая структура (D,J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_{*},\tilde{g},\tilde{D}), является структурой почти AP-многообразия.

Назовем структуру (D,J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_{*},\tilde{g},\tilde{D}), продолженной почти AP-структурой.

Используя структурные уравнения, получаем:

Предложение 6. Продолженная почти AP-структура является структурой AP-многообразия тогда и только тогда, когда тензор Схоутена равен нулю.

Теорема 3. Продолженная почти AP-структура является AP-структурой тогда и только тогда, когда она нормальна.

Доказательство. Найдем условия, при которых

\tilde{N}_J=N_J+2(d \lambda \circ J)\otimes \vec{u}=0.

Используя (1)-(4), получаем следующее:

\tilde{N}_J(\vec{x}^h,\vec{y}^h)=(\tilde{N}_{\varphi} (\vec{x},\vec{y}))^h+(R(\varphi \vec{x},\varphi \vec{y})\vec{p}+\varphi R(\varphi \vec{x},\vec{y})\vec{p}+\varphi R(\vec{x},\varphi \vec{y})\vec{p}-(R(\vec{x},\vec{y})\vec{p})^v,

\tilde{N}_J(\vec{x}^h,\vec{y}^v)=((\nabla_{\vec{x}}\varphi)(\varphi \vec{y})-(\nabla_{\varphi\vec{x}}\varphi)(\vec{y}))^v,

\tilde{N}_J(\vec{x}^v,\vec{y}^v)=0,

\tilde{N}_J(\vec{x}^h,\vec{\xi}^h)=(\varphi P(\varphi \vec{x},\vec{p})-P(\vec{x},\vec{p}))^v.

Применяя теорему 1 и предложение 6, убеждаемся в справедливости теоремы.

Список литературы

  1. Букушева А.В. Об алгебре Ли преобразований продолженной почти контактной метрической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С. 11-13.
  2. Букушева А.В. Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1 (49). С. 23-24.
  3. Букушева А.В. Об инфинитезимальных эндоморфизмах допустимой почти симплектической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 7-1(51). С. 14-16.
  4. Букушева А.В. Об одном примере гиперкэлеровой структуры на контактных кэлеровых распределениях // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 8-1 (52). С. 21-22.
  5. Букушева А.В. О геометрии контактных метрических пространств с φ-связностью // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. №17(214) Вып. 40. 2015. С. 20-24.
  6. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул : Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.
  7. Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.
  8. Букушева А.В. О некоторых классах почти параконтактных метрических многообразий // Математика. Механика. 2013. №.15. С. 8-11.
  9. Букушева А.В. Когомологии оснащенных распределений // Математика. Механика. 2014. №.16. С.15-18.
  10. Букушева А.В. Слоения на распределениях с финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т.14. №.3. С.247-251.
  11. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении почти контактной метрической структуры // Математика. Механика. 2015. №.17. С. 6-8.
  12. Букушева А.В. Финслерово пространство с метрикой Бервальда-Моора как обобщение метрического пространства невырожденных поличисел // Математика. Механика. 2011. №.13. С. 6-10.
  13. Букушева А.В. О пространстве над алгеброй поличисел с метрикой Бервальда-Моора // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике. 2011. Т. 8. № 15-1. С. 99-103.
  14. Букушева А.В., Галаев С.В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Известия высших учебных заведений. Математика. 2013. №4. С. 10-18.
  15. Букушева А.В., Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №. 3. С. 17-22.
  16. Букушева А.В., Галаев С.В., Иванченко И.П. О почти контактных метрических структурах, определяемых связностью над распределением с финслеровой метрикой // Механика. Математика. 2011. №13. С.10-14.
  17. Букушева А.В., Галаев С.В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика. Механика. 2005. №7. С. 12-14.
  18. Букушева А.В., Галаев С.В. Условие интегрируемости метрики Бервальда-Моора // Механика. Математика. 2010. №12. С. 10-13.
  19. Вагнер В.В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем, Тр. семинара по векторному и тензорному анализу, №5, 301–327 (1941).
  20. Вагнер В.В. Геометрия (n-1)-мерного неголономного многообразия в n-мерном пространстве, Тр. семинара по векторному и тензорному анализу, вып. 5, 173–255 (1941).
  21. Галаев С.В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Известия высших учебных заведений. Математика. 2017. №3. С. 15-23.
  22. Галаев С.В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. № 3(337). С. 632-640.
  23. Галаев С.В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №3. С. 551-555.
  24. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16. №3. С. 263-272.
  25. Галаев С.В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17. №3(59). С. 53-63.
  26. Галаев С.В. Обобщенные би-контактные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. 2016. №15-1. С. 57-59.
  27. Галаев С.В. О контактных метрических пространствах с распределением нулевой кривизны // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул : Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 479-482.
  28. Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые симплектической связностью над распределением // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №2. С. 136-141.
  29. Галаев С.В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №3. С. 258-263.
  30. Галаев С.В. Связности, совместимые с допустимой почти симплектической структурой // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 7-1(51). С. 17-19.
  31. Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые N-продолженной связностью // Математические заметки СВФУ. 2015. Т. 22. №1. С. 25-34.
  32. Галаев С.В. О некоторых классах N-продолженных связностей // Математика. Механика. 2015. №.17. С. 12-15.
  33. Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Почти контактные кэлеровы пространства, определяемые симплектической связностью над распределением // Математика. Механика. 2015. №17. С. 19-21.
  34. Галаев С.В. Почти контактные кэлеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны // Известия высших учебных заведений. Математика. 2014. №8. С. 42-52.
  35. Галаев С.В., Гохман А.В. Внутренняя связность, ассоциированная с вполне интегрируемым лежандровым слоением // Математика. Механика. 2014. №16. С. 22-25.
  36. Галаев С.В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №1. С. 16-22.
  37. Галаев С.В., Гохман А.В. Внутренние неголономные связности, совместимые с допустимой почти симплектической структурой // Механика. Математика. 2009. №11. С. 15-18.
  38. Галаев С.В., Гохман А.В. Неголономные почти симплектические многообразия с присоединенной связностью // Математика. Механика. 2002. №4. С. 31-33.
  39. Галаев С.В., Гохман А.В. Почти симплектические связности на неголономном многообразии // Математика. Механика. 2001. №3. С. 28-31.
  40. Галаев С.В., Гохман А.В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях со связностью // Математика. Механика. 2000. №2. С. 16-19.
  41. Галаев С.В. Примеры многообразий со специальной квази-сасакиевой структурой // Новая наука: Теоретический и практический взгляд. 2016. №10-2. С. 31-33.
  42. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С.14-16.
  43. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1(49). С. 20-22.
  44. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на контактных кэлеровых распределениях // Современные проблемы математических и естественных наук в мире. Сборник научных трудов по итогам международной научно-практической конференции. Казань. Изд-во: Инновационный центр развития образования и науки. 2015. С. 22-24.
  45. Галаев С.В. Замечания о контактно-геодезических преобразованиях почти контактных метрических многообразий // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. 2016. №15-1. С. 54-57.
  46. Галаев С.В. Об одном примере допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структуры с метрикой полного лифта // Новая наука: Теоретический и практический взгляд. 2016. №10-2. С. 28-31.
  47. Галаев С.В. О продолжении внутренней связности неголономного многообразия с финслеровой метрикой // Механика. Математика. 2011. №13. С.26-29.
  48. Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий // Матем. сб. 2002. 193:8. С. 71-100.
  49. Кириченко В. Ф., Полькина Е. А. Контактная форма Ли и конциркулярная геометрия локально конформно квази-сасакиевых многообразий // Матем. заметки. 2016. 99:1. С. 42–54.
  50. Кириченко В.Ф., Аристархова А.В. Контактно-автодуальная геометрия 5-мерных квази-сасакиевых многообразий // Матем. заметки. 2011. 90:5. С. 643–658
  51. Кириченко В.Ф., Полькина Е.А. Критерий конциркулярной подвижности квази-сасакиевых многообразий // Матем. заметки. 2009. 86:3. С. 380-388.
  52. Кириченко В. Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных структур, Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., 18, ВИНИТИ, М., 1986, 25–71.
  53. Aso K., Notes on some properties of the sectional curvature of the tangent bundle // Yokohama Math. J. 1981. no. 29. P. 1-5.
  54. Boeckx E., Vanhecke L. Characteristic reflections on unit tangent sphere bundles // Houston J. Math. 1997. no. 23. P. 427-448.
  55. Boeckx, E. and Vanhecke, L.,Geometry of the tangent sphere bundle, in Cordero, L.A. and Garcia-Rio, E. (eds), Proceedings of the Workshop on Recent Topics in Differential Geometry, Santiago de Compostela, Spain, 1997, Public. Depto. Geometriay Topologia, Univ. Santiago de Compostela. 1998. no. 89. P. 5-17.
  56. Cheeger J., Gromoll D. On the structure of complete manifolds of non-negative curvature // Ann. of Math. 1972. 96. P. 413-443.
  57. Dombrowski, P., On the geometry of the tangent bundle // J. Reine Angew. Math. 1962. no. 210. P. 73-88.
  58. Galaev S.V. Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Vol. 31. №1. P. 35-46.
  59. Gudmundsson S., Kappos E. On the geometry of the tangent bundles // Expo. Math. 2002. no. 20. P. 1-41.
  60. Kowalski O., Sekizawa M., On Riemannian manifolds whose tangent sphere bundles can have non-negative sectional curvature. Univ. Iagel. Acta Math. 2002. no. 40. P. 245-256.
  61. Kowalski O., Sekizawa M., Vlasek Z. Can tangent sphere bundles over Riemannian manifolds have strictly positive sectional curvature? Global differential geometry, Math. Legacy of Alfred Gray. 2000. P. 110-118.
  62. Kowalski O., Sekizawa M., On the scalar curvature of tangent sphere bundles with arbitrary constant radius. Greek Math. Soc. 2000. no. 44. P. 17-30.
  63. Kowalski O., Sekizawa M., On tangent sphere bundles with small or large constant radius // Ann.Global Anal. Geom. 2000. Vol. 18. no.3-4. P. 207-219.
  64. Kowalski O., Sekizawa M. Natural transformations of Riemannian metrics on manifolds to metrics on tangent bundles. A classification // Bull. Tokyo Gakugei univ. 1988. 40(4). P. 1-29.
  65. Kowalski, O., Curvature of the induced Riemannian metric on the tangent bundle of a Riemannian manifold // J. Reine Angew. Math. 1971. no. 250. P. 124-129.
  66. Musso E., Tricerri F. Riemannian metrics on tangent bundle // Ann. Mat. Pura. Appl. 1988. 150(4). P. 1-19.
  67. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds // Tohoku Math. J. 1958. no. 10. P. 338-354.
  68. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds II // Tohoku Math. J. 1962. no. 14. P. 146-155.
  69. Schouten J., van Kampen E. Zur Einbettungs-und Krümmungstheorie nichtholonomer Gebilde, Math. Ann. 1930. no. 103. P. 752–783.
  70. Sekizawa M. Curvatures of tangent bundles with Cheeger-Gromoll metric // Tokyo J. Math. 1991. Vol. 14. no.2. P. 407-417.
  71. Vezzoni L. Connections on contact manifolds and contact twistor spaces, Israel J. Math. 2010. no. 178. P. 253-267.
  72. Yano K., Ishihara S. Tangent and cotangent bundles. Marcel Dekker, Inc. New York. 1973.