Об одном примере почти контактной пара-гиперкомплексной структуры

№73-1,

Физико-математические науки

Вводится понятия допустимой (почти) пара-гиперкомплексной структуры. На распределении D субриманова многообразия контактного типа M как на тотальном пространстве векторного расслоения (D,π,M) определяется допустимая почти пара-гиперкомплексная структура (D,J,S,T,u⃗,λ=η ○ π*,D). Доказывается, что построенная почти пара-гиперкомплексная структура интегрируема тогда и только тогда, когда распределение D является распределением нулевой кривизны.

Похожие материалы

Введение

Основные результаты о геометрии почти пара-гиперкомплексных многообразий изложены в работах [23-36]. В настоящей работе определяется контактный аналог пара-гиперкомплексной структуры — допустимая пара-гиперкомплексная структура (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi_1, \varphi_2, \varphi_3, D). Допустимая пара-гиперкомплексная структура имеет сходство с допустимой гиперкомплексной структурой [13-22]. В работе доказывается, что допустимая пара-гиперкомплексная структура естественным образом возникает на распределении нулевой кривизны D субриманова многообразия (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, D) контактного типа.

Допустимые почти пара-гиперкомплексные структуры

Рассмотрим на гладком многообразии M размерности n=4m+1 почти контактную структуру (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi_1, D), где \varphi_1 — допустимая почти комплексная структура [1-12]. Предположим, что на многообразии M заданы две допустимые почти пара-комплексные структуры \varphi_2 и \varphi_3 такие, что \varphi_1\varphi_2=-\varphi_2\varphi_1=\varphi_3. Назовем многообразие M, наделенное структурой (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi_i, D), i=1,2,3, почти контактным почти пара-гиперкомплексным многообразием. Если каждая из допустимых аффинорных структур \varphi_i интегрируема (почти нормальна), т.е., если N_{\varphi_i}+2(d\eta\circ \varphi_i)\otimes \vec{\xi}=0, то допустимую почти пара-гиперкомплексную структуру (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi_i, D) будем называть интегрируемой или допустимой пара-гиперкомплексной структурой, а многообразие M — почти контактным пара-гиперкомплексным многообразием.

Рассмотрим модельный пример почти контактного пара-гиперкомплексного многообразия. Пусть M=\mathbb{R}^5, \vec{e}_1=\partial_1-x^2\partial_5, \vec{e}_1=\partial_2, \vec{e}_3=\partial_3-x^4\partial_5, \vec{e}_4=\partial_4, \vec{\xi}=\partial_5, \eta=dx^5+x^2dx^1+x^4dx^3, D=ker \eta.

Определим допустимые к распределению D аффинорные структуры \varphi_i, (таблица 1).

Таблица 1. Модельный пример почти контактного пара-гиперкомплексного многообразия

\vec{e}_1

\vec{e}_2

\vec{e}_3

\vec{e}_4

\varphi_1

\vec{e}_3

\vec{e}_4

-\vec{e}_1

-\vec{e}_2

\varphi_2

\vec{e}_3

\vec{e}_4

\vec{e}_1

\vec{e}_2

\varphi_3

-\vec{e}_1

-\vec{e}_2

\vec{e}_3

\vec{e}_4

Из таблицы 1 видно, что \varphi_1\varphi_2=-\varphi_2\varphi_1=\varphi_3. Непосредственно проверяется, что допустимые почти комплексные структуры \varphi_i являются почти нормальными.

Субримановы многообразия контактного типа с распределением нулевой кривизны

Пусть M — гладкое многообразие размерности n\geq 3 с заданной на нем субримановой структурой (M, \vec{\xi}, \eta, g, D), где: \eta — 1-форма, порождающая распределение D: D=\text{ker} \eta; \vec{\xi} — векторное поле, порождающее оснащение D^{\bot} распределения D: D^\bot=span(\vec{\xi}); g — риманова метрика на многообразии M, относительно которой распределения D и D^{\bot} взаимно ортогональны. Мы также полагаем, что \eta(\vec{\xi})=1, g(\vec{\xi},\vec{\xi})=1, \text{rk}\omega =n-1.

Внутренней линейной связностью \nabla [1, 5, 6, 8, 9] на субримановом многообразии называется отображение \nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D), удовлетворяющее следующим условиям:

  1. \nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}};
  2. \nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y},
  3. \nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z},

где \Gamma(D) — модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению D). Внутренняя связность определяет дифференцирование допустимых тензорных полей [1, 6, 7].

На протяжении всей работы мы используем адаптированные координаты. Карту K(x^{\alpha})(\alpha,\beta,\gamma=1,...,n; a,b,c=1,...,n-1;i,j,k=2n-1) многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если \partial_n=\vec{\xi} [6]. Пусть P:TM\rightarrow D — проектор, определяемый разложением TM=D\oplus D^{\bot}, и K(x^{\alpha}) — адаптированная карта. Векторные поля P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n} линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение D: D=Span(\vec{e}_{a}).

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения \nabla_{\vec{e}_a}\vec{e}_b=\Gamma^c_{ab}\vec{e}_c. Из равенства \vec{e}_a=A^{a`}_a\vec{e}_{a`}, где A^{a`}_a=\frac{\partial x^{a`}}{\partial x^a}, обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов внутренней связности:

\Gamma^c_{ab}=A^{a`}_aA^{b`}_bA^{c`}_c\Gamma^{c`}_{a`b`}+A^c_{c`}\vec{e}_aA^{c`}_b.

Кручением и кривизной внутренней связности назовем, соответственно, допустимые тензорные поля:

S(\vec{x},\vec{y})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}],

R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}],

где Q=I-P, \vec{x},\vec{y},\vec{z} \in \Gamma(D). Тензор R(\vec{x},\vec{y})\vec{z} носит название тензора кривизны субриманова многообразия.

В адаптированных координатах кривизна и кручение внутренней связности получают, соответственно, следующие координатные представления:

R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]}c+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c},

S^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab}-\Gamma^{c}_{ba}.

Имеет место

Предложение 1

На субримановом многообразии существует единственная внутренняя связность \nabla с нулевым кручением, такая, что

\nabla_{\vec{x}}g(\vec{x},\vec{y})=0.

Назовем связность \nabla внутренней метрической связностью. Коэффициенты внутренней метрической связности находятся по формулам

\Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_{bc}).

Наиболее просто устроены субримановы многообразия с нулевым тензором кривизны Схоутена. Многообразия с нулевым тензором кривизны Схоутена подробно изучались в случае контактного метрического многообразия в работе [14].

Пусть P(\vec{x},\vec{y}) — допустимое тензорное поле с компонентами P^a_{bc}=\partial_n\Gamma^a_{bc}.

Предложение 2

На субримановом многообразии контактного типа с нулевым тензором кривизны Схоутена имеет место равенство P(\vec{x},\vec{y})=0.

Доказательство. Проводя необходимые вычисления в адаптированных координатах, убеждаемся в справедливости равенства

\nabla_{[e}\nabla_{a]}g_{bc}=2\omega_{ea}\partial_ng_{bc}-g_{dc}R^d_{eab}-g_{bd}R^d_{eac}.

Отсюда, в силу предложения 1, получаем:

2\omega_{ea}\partial_ng_{bc}=g_{dc}R^d_{eab}+g_{bd}R^d_{eac},

или,

\partial_ng_{bc}=\frac{1}{2(n-1)}\left(g_{dc}R^d_{eab}+g_{bd}R^d_{eac}\right)\omega^{ae}.

Таким образом, обращение в нуль тензора кривизны Схоутена влечет равенство \partial_n g_{bc}=0, из которого следует, что \partial_n\Gamma^a_{bc}=0.

Предложение доказано.

Продолженные допустимые пара-гиперкомплексные структуры

Введем на распределении D субриманова многообразия структуру гладкого многообразия, поставив в соответствие каждой адаптированной карте K(x^{\alpha}) многообразия M сверхкарту \tilde{K}(x^{\alpha},x^{n+a}) на многообразии D, где x^{n+a} — координаты допустимого вектора в базисе \vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}. Построенную сверхкарту также будем называть адаптированной.

Векторные поля (\vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-\Gamma^{b}_{ac}x^{n+c}\partial_{n+b},\partial_{n},\partial_{n+a})=(A_i) определяют [7] на распределении D как на гладком многообразии неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы (dx^a, \Theta^n=dx^a+\Gamma^n_a dx^a, \Theta^{n+a}=dx^{n+a}+\Gamma^a_{bc}x^{n+c} dx^b) — соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\vec{\varepsilon}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_n+x^{n+d}R^{c}_{bad}\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\partial_n]=x^{n+d}\partial_n\Gamma^c_{ad}\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\partial_{n+b}]=\Gamma^{c}_{ab}\partial_{n+c},

где R^c_{bad} — компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах [6, 7].

Имеет место

Предложение 3 [18]

Пусть \nabla — внутренняя связность с тензором кривизны Схоутена R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}. Тогда для всех \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D) и \vec{p}\in D имеют место следующие равенства

[\vec{x}^{h},\vec{y}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{y}]^{h}-\left\{R(\vec{x},\vec{y})\vec{p}\right\}^{v},\eqno(1)

[\vec{x}^{h},\vec{\xi}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{\xi}]^{h}+\left\{P(\vec{x},\vec{p})\right\}^{v}, \eqno(2)

[\vec{x}^{h},\vec{y}^{v}]=(\nabla_{\vec{x}}\vec{y})^{v}, \eqno(3)

[\vec{x}^{v},\vec{\xi}^{h}]=[\vec{x},\vec{\xi}]^{v}. \eqno(4)

Определим на распределении D допустимую почти пара-гиперкомплексную структуру (\tilde{D},J,J_1,J_2,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_*,D), полагая, что

J(\vec{\varepsilon}_{a})= \partial_{n+a}, J(\partial_{n+a})=-\vec{\varepsilon}_{a},J(\vec{u})=\vec{0},

S(\vec{\varepsilon}_{a})= \partial_{n+a}, S(\partial_{n+a})=\vec{\varepsilon}_{a},S(\vec{u})=\vec{0},

T(\vec{\varepsilon}_{a})=-\vec{\varepsilon}_{a}, T(\partial_{n+a})=\partial_{n+a}, T(\vec{u})=\vec{0}.

Теорема

Пусть (M, \vec{\xi}, \eta, g, D) — структура субриманова многообразия контактного типа.. Допустимая почти пара-гиперкомплексная структура (\tilde{D},J,J_1,J_2,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_*,D) является допустимой пара-гиперкомплексной структурой тогда и только тогда, когда тензор кривизны Схоутена соответствующей внутренней связности равен нулю.

Доказательство. Используя (1)-(4), найдем условия, при которых N_J+2(d\lambda \circ J)\otimes \vec{u}=\vec{0}, N_S+2(d\lambda \circ S)\otimes \vec{u}=\vec{0}, N_T+2(d\lambda \circ T)\otimes \vec{u}=\vec{0}.

Для случая эндоморфизма J имеем

N_J(\vec{\varepsilon}_a,\vec{\varepsilon}_b)+2d\lambda(\partial_{n+a},\partial_{n+b})=-R^e_{abc}x^{n+c}\partial_{n+e},

N_J(\partial_{n+a},\partial_{n+b})+2d\lambda(\vec{\varepsilon}_a,\vec{\varepsilon}_b)=2\omega_{ba}\partial_n+R^e_{abc}x^{n+c}\partial_{n+e}-2\omega_{ba}\partial_n=R^e_{abc}x^{n+c}\partial_{n+e},

N_J(\vec{\varepsilon}_a,\partial_{n+b})=0,

N_J(\vec{\varepsilon}_a,\partial_{n})=N_J(\partial_{n+a},\partial_n)=-x^{n+c}P^b_{ac}\partial_{n+b}.

Таким образом, структура J интегрируема тогда и только тогда, когда R^e_{abc}=0. Аналогичные рассуждения можно провести для эндоморфизмов S, T.

Список литературы

  1. Букушева А.В. О геометрии слоений на распределениях с финслеровой метрикой // Известия Пензенского государственного педагогического университета им. В.Г.Белинского. 2012. №30. С. 33-38.
  2. Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.
  3. Букушева А.В. Когомологии оснащенных распределений // Математика. Механика. 2014. №.16. С.15-18.
  4. Букушева А.В. Об алгебре Ли преобразований продолженной почти контактной метрической структуры // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4-1(48). С. 11-13.
  5. Букушева А.В. О некоторых классах почти параконтактных метрических многообразий // Математика. Механика. 2013. №.15. С. 8-11.
  6. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул: Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.
  7. Букушева А.В. Об инфинитезимальных изометриях продолженных почти контактных метрических структур // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 5-1 (49). С. 23-24.
  8. Букушева А.В. Связности с кручением и неголономная геометрия // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения – 2016. Материалы научной конференции, 11–15 апреля 2016 г. – СПб.: Изд. РГПУ им. А.И. Герцена, 2016. С. 146-150.
  9. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении с обобщенной лагранжевой метрикой // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. 2015. № 46. С.58-62.
  10. Букушева А.В. Изометрические преобразования продолженных почти контактных метрических структур с метрикой полного лифта // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. 2016. №47. С. 39-47.
  11. Букушева А.В., Галаев С.В., Иванченко И.П. О почти контактных метрических структурах, определяемых связностью над распределением с финслеровой метрикой // Механика. Математика. 2011. №13. С.10-14.
  12. Букушева А.В., Галаев С.В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика. Механика. 2005. №7. С. 12-14.
  13. Галаев С.В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Известия высших учебных заведений. Математика. 2017. №3. С. 15-23.
  14. Галаев С.В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. № 3(337). С. 632-640.
  15. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16. №3. С. 263-272.
  16. Галаев С.В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №3. С. 258-263.
  17. Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые N-продолженной связностью // Математические заметки СВФУ. 2015. Т. 22. №1. С. 25-34.
  18. Галаев С.В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №3. С. 551-555.
  19. Галаев С.В., Гохман А.В. Почти симплектические связности на неголономном многообразии // Математика. Механика. 2001. №3. С. 28-31.
  20. Галаев С.В., Гохман А.В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях со связностью // Математика. Механика. 2000. №2. С. 16-19.
  21. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностью // Современные научные исследования и инновации. 2015. №4-1 (48). С. 14-16.
  22. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современные научные исследования и инновации. 2015. №5-1 (49). С. 20-22.
  23. Aso K., Notes on some properties of the sectional curvature of the tangent bundle // Yokohama Math. J. 1981. no. 29. P. 1-5.
  24. Boeckx E., Vanhecke L. Characteristic reflections on unit tangent sphere bundles // Houston J. Math. 1997. no. 23. P. 427-448.
  25. Boeckx E., Vanhecke, L. Geometry of the tangent sphere bundle, in Cordero, L.A. and Garcia-Rio, E. (eds), Proceedings of the Workshop on Recent Topics in Differential Geometry, Santiago de Compostela, Spain, 1997, Public. Depto. Geometriay Topologia, Univ. Santiago de Compostela. 1998. no. 89. P. 5-17.
  26. Cheeger J., Gromoll D. On the structure of complete manifolds of non-negative curvature // Ann. of Math. 1972. 96. P. 413-443.
  27. Dombrowski, P., On the geometry of the tangent bundle // J. Reine Angew. Math. 1962. no. 210. P. 73-88.
  28. Galaev S.V. Intrinsic geometry of almost contact Kahlerian manifolds // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Vol. 31. №1. P. 35-46.
  29. Gudmundsson S., Kappos E. On the geometry of the tangent bundles // Expo. Math. 2002. no. 20. P. 1-41.
  30. Kowalski O., Sekizawa M., On Riemannian manifolds whose tangent sphere bundles can have non-negative sectional curvature. Univ. Iagel. Acta Math. 2002. no. 40. P. 245-256.
  31. Kowalski O., Sekizawa M., Vlasek Z. Can tangent sphere bundles over Riemannian manifolds have strictly positive sectional curvature? Global differential geometry, Math. Legacy of Alfred Gray. 2000. P. 110-118.
  32. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds // Tohoku Math. J. 1958. no. 10. P. 338-354.
  33. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds II // Tohoku Math. J. 1962. no. 14. P. 146-155.
  34. Sekizawa M. Curvatures of tangent bundles with Cheeger-Gromoll metric // Tokyo J. Math. 1991. Vol. 14. no.2. P. 407-417.
  35. Vezzoni L. Connections on contact manifolds and contact twistor spaces, Israel J. Math. 2010. no. 178. P. 253-267.
  36. Yano K., Ishihara S. Tangent and cotangent bundles. Marcel Dekker, Inc. New York. 1973.