О геометрии распределения косимплектического би-метрического многообразия

№72-1,

Физико-математические науки

На распределении D косимплектического Би-метрического многообразия M как на тотальном пространстве векторного расслоения определяется почти контактная структура с Би-метрикой. Доказывается, что многообразие D с заданной таким образом структурой является косимплектическим Би-метрическим многообразием тогда и только тогда, когда распределение D многообразия M является распределением нулевой кривизны, а векторное поле ξ - киллинговым векторным полем.

Похожие материалы

Введение

Почти контактные многообразия с Би-метрикой исследовались в работах [25-36]. В работе [25] предложена классификация таких многообразий в соответствии со свойствами специально определенного для этой цели тензора типа (0, 3). Многообразия, входящие во все 11 классов классификации называются косимплектическими Би-метрическими многообразиями. В настоящей работе на распределении D почти контактного Би-метрического многообразия M как на тотальном пространстве векторного расслоения (D,\pi,M) определяется почти контактная структура с Би-метрикой, называемая продолженной структурой. Находятся выражения для коэффициентов соответствующей связности Леви-Чивита, что позволяет выразить значения тензора F через значения геометрических инвариантов исходного многообразия M. Основным результатом работы является теорема, утверждающая, что продолженная структура определяет на многообразии D структуру косимплектического Би-метрического многообразия тогда и только тогда, когда распределение D многообразия M является распределением нулевой кривизны, а векторное поле \vec{\xi} — киллинговым векторным полем.

Почти контактная структура с Би-метрикой

Пусть M — гладкое многообразие нечетной размерности n=2m+1, m\geq 1, с заданной на нем почти контактной структурой (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, D), где \varphi — тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, \vec{\xi} и \eta — вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой такие, что

\varphi^2=-I+\eta\otimes \vec{\xi},\quad \eta(\vec{\xi})=1. (1) При этом \vec{\xi}\in \ker \omega, где \omega=d\eta. Почти контактная структура называется контактной, если rk \omega=2m. Многообразие, наделенное (почти) контактной структурой, будем называть (почти) контактным многообразием. Гладкое распределение D=ker \eta называется распределением почти контактной структуры. Эндоморфизм \varphi в работе будет называться допустимой почти комплексной структурой.

Если почти контактная структура (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, D) согласована с псевдо-римановой метрикой g таким образом, что

g(\varphi \vec{x},\varphi \vec{y})=-g(\vec{x},\vec{y})+\eta(\vec{x})\eta(\vec{y}), (2)

где \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(TM), \Gamma(TM) — модуль векторных полей на многообразии M, то структура (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g, D) называется почти контактной структурой с Би-метрикой, а многообразие M — почти контактным многообразием с Би-метрикой. Из (1), (2) следует, что \varphi \vec{\xi}=\vec{0}, \eta \circ \varphi=0, \eta(\vec{x})=g(\vec{x},\vec{\xi}), g(\varphi\vec{x},\vec{y})=g(\vec{x},\varphi \vec{y}).

Тензорное поле F(\vec{x},\vec{y},\vec{z})=g((\nabla_{\vec{x}}\varphi)\vec{y},\vec{z}), где \nabla — связность Леви-Чивита, введено и названо в работе [25] фундаментальным тензорным полем. В зависимости от строения поля F выделяются 11 классов почти контактных структур с Би-метрикой. Структуры, для которых выполняется условие F(\vec{x},\vec{y},\vec{z})=0, принадлежат каждому из одиннадцати классов и определяют класс косимплектических Би-метрических многообразий.

Карту K(x^{\alpha})(\alpha,\beta,\gamma=1,...,n)(a,b,c=1,...,n-1) многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если \partial_n=\vec{\xi} [1-3]. Пусть P:TM\rightarrow D — проектор, определяемый разложением TM=D\oplus D^{\bot}, и K(x^{\alpha}) — адаптированная карта. Векторные поля P(\partial_{a})=\vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n} линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение D: D=Span(\vec{e}_{a}). Таким образом, мы имеем на многообразии M неголономное поле базисов (\vec{e}_\alpha)=(\vec{e}_{a},\partial_{n}) и соответствующее ему поле кобазисов (dx^a,\eta=\Theta^{n}=dx^{n}+\Gamma^{n}_{a}dx^{a}). Непосредственно проверяется, что [\vec{e}_{a},\vec{e}_{b}]=2\omega_{ba}\partial_{n}. Адаптированным будем называть также базис \vec{e}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}, как базис, определяемый адаптированной картой. Имеет место равенство \partial_{n}\Gamma^{n}_{a}=0.

Пусть K(x^{\alpha}) и K'(x^{\alpha'}) — адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат:

x^a=x^a(x^{a'}), x^n=x^{n'}+x^n(x^{a'}).

Тензорное поле t типа (p,q), заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению D), если t обращается в нуль каждый раз, когда среди его аргументов встречаются \vec{\xi} или \eta. Координатное представление допустимого тензорного поля в адаптированной карте имеет вид:

t=t^{a_1 ...a_p}_{b_1 ... b_q}\vec{e}_{a_1}\otimes ... \otimes \vec{e}_{a_p} \otimes dx^{b_1}\otimes...\otimes dx^{b_q}.

Продолженные почти контактные структуры с Би-метрикой

Пусть M — гладкое многообразие с заданной на нем почти контактной структурой (M, \vec{\xi}, \eta, \varphi, g, D) с Би-метрикой g. Распределение D является гладким многообразием размерности 4m+1 [14]. Пусть, далее, \Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\vec{e}_b g_{cd}+\vec{e}_c g_{bd}-\vec{e}_{bc}) коэффициенты внутренней связности \nabla [1-24].

Внутренней линейной связностью \nabla на многообразии с почти контактной метрической структурой называется отображение

\nabla:\Gamma (D) \times \Gamma (D) \rightarrow \Gamma (D),

удовлетворяющее следующим условиям:

\nabla_{f_1\vec{x}+f_2\vec{y}}=f_1\nabla_{\vec{x}}+f_2\nabla_{\vec{y}};

\nabla_{\vec{x}}f\vec{y}=(\vec{x}f)\vec{y}+f\nabla_{\vec{x}}\vec{y},

\nabla_{\vec{x}}(\vec{y}+\vec{z})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}+\nabla_{\vec{x}}\vec{z},

где \Gamma(D) — модуль допустимых векторных полей (векторных полей, в каждой точке принадлежащих распределению D).

Внутренняя связность определяет дифференцирования допустимых тензорных полей. Так, например, для допустимой почти комплексной структуры выполняется равенство

(\nabla_{\vec{x}}\varphi)\vec{y}=\nabla_{\vec{x}}(\varphi \vec{y})-\varphi(\nabla_{\vec{x}}\vec{y}), \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D).

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения \nabla_{\vec{e}_a}\vec{e}_b=\Gamma^c_{ab}\vec{e}_c. Из равенства \vec{e}_a=A^{a'}_a\vec{e}_{a'}, где A^{a}_a=\frac{\partial x^{a}}{\partial x^a}, обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов внутренней связности:

\Gamma^c_{ab}=A^{a'}_aA^{b'}_bA^{c'}_c\Gamma^{c'}_{a'b'}+A^c_{c'}\vec{e}_aA^{c'}_b.

Кручением внутренней связности назовем допустимое тензорное поле

S(\vec{x},\vec{y})=\nabla_{\vec{x}}\vec{y}-\nabla_{\vec{y}}\vec{x}-P[\vec{x},\vec{y}], \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D).

Внутреннюю связность будем называть симметричной, если ее кручение равно нулю. В случае симметричности внутренней связности в адаптированных координатах получаем:

S^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ab}-\Gamma^{c}_{ba}=0, или, \Gamma^{c}_{ab}=\Gamma^{c}_{ba}.

Векторные поля (\vec{\varepsilon}_{a}=\partial_{a}-\Gamma^{n}_{a}\partial_{n}-\Gamma^{b}_{ac}x^{n+c}\partial_{n+b},\partial_{n},\partial_{n+a})=(A_i), (i,j,k=1,...,4m+1) определяют на D неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы (dx^a, \Theta^n=dx^a+\Gamma^n_a dx^a, \Theta^{n+a}=dx^{n+a}+\Gamma^a_{bc}x^{n+c} dx^b) — соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\vec{\varepsilon}_{b}]=2\omega_{ba} \partial_n+x^{n+d}R^{c}_{bad}\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\partial_n]=x^{n+d}\partial_n\Gamma^c_{ad}\partial_{n+c},

[\vec{\varepsilon}_{a},\,\partial_{n+b}]=\Gamma^{c}_{ab}\partial_{n+c},

где R^c_{bad} — компоненты тензора Схоутена в адаптированных координатах [13-24].

Тензор Схоутена является допустимым тензорным полем и определяется равенством

R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}=\nabla_{\vec{x}}\nabla_{\vec{y}}\vec{z}-\nabla_{\vec{y}}\nabla_{\vec{x}}\vec{z}-\nabla_{P[\vec{x},\vec{y}]}\vec{z}-P[Q[\vec{x},\vec{y}],\vec{z}],

где Q=I-P. Тензор Схоутена будем называть тензором кривизны внутренней связности. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид:

R^d_{abc}=2\vec{e}_{[a}\Gamma^d_{b]}c+2\Gamma^d_{[a||e||}\Gamma^e_{b]c}.

Имеет место

Предложение 1

Пусть \nabla — внутренняя связность с тензором кривизны Схоутена R(\vec{x},\vec{y})\vec{z}. Тогда для всех \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D) и \vec{p}\in D имеют место следующие равенства

[\vec{x}^{h},\vec{y}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{y}]^{h}-\left\{R(\vec{x},\vec{y})\vec{p}\right\}^{v}, (3)

[\vec{x}^{h},\vec{\xi}^{h}]_{\vec{p}}=[\vec{x},\vec{\xi}]^{h}+\left\{P(\vec{x},\vec{p})\right\}^{v}, (4)

[\vec{x}^{h},\vec{y}^{v}]=(\nabla_{\vec{x}}\vec{y})^{v}, (5)

[\vec{x}^{v},\vec{\xi}^{h}]=[\vec{x},\vec{\xi}]^{v}. (6)

Определим на многообразии D почти контактную структуру (\tilde{D},J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_*,\tilde{g},D), полагая J\vec{x}^h=(\varphi\vec{x})^h, J\vec{x}^v=(\varphi\vec{x})^v. Определим, далее, на многообразии M метрику \tilde{g}, подчиняющуюся равенствам:

\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^h)= \tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{y}^v)=g(\vec{x},\vec{y}), \tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^v)=\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{u})=\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{u})=0.

Имеют место следующие предложения.

Предложение 2

Структура (\tilde{D},J,\vec{u},\lambda=\eta\circ \pi_*,\tilde{g},D) является почти контактной структурой с Би-метрикой.

Доказательство. В соответствии с определением тензоров J, \tilde{g} получаем:

\tilde{g}(J\vec{x}^h,J\vec{y}^h)=\tilde{g}((\varphi\vec{x})^h,(\varphi \vec{y})^h)=g(\varphi \vec{x},\varphi\vec{y})=-g(\vec{x},\vec{y})=-\tilde{g}(\vec{x}^h,\vec{y}^h);

\tilde{g}(J\vec{x}^v,J\vec{y}^v)=\tilde{g}((\varphi\vec{x})^v,(\varphi \vec{y})^v)=g(\varphi \vec{x},\varphi\vec{y})=-g(\vec{x},\vec{y})=-\tilde{g}(\vec{x}^v,\vec{y}^v),

где \vec{x},\vec{y}\in \Gamma(D).

Предложение 3

Пусть \tilde{\nabla} — связность Леви-Чивита, тогда выполняются равенства:

\tilde{\nabla}_{\vec{x}^h}\vec{y}^h=(\nabla_{\vec{x}}\vec{y})^h-\frac{1}{2}(R(\vec{x},\vec{y})\vec{p})^v+(\omega(\vec{y},\vec{x})-C(\vec{x},\vec{y}))\vec{\xi}^h,

\tilde{\nabla}_{\vec{x}^v}\vec{y}^v=(L_{\vec{\xi}^h}g)(\vec{x},\vec{y})\vec{\xi}^h.

Доказательство предложения 3 основано на использовании равенств (3)-(6), а также выражения для коэффициентов \tilde{\Gamma}^m_{ij} связности \tilde{\nabla}:

2\tilde{\Gamma}^m_{ij}=g^{km}(A_ig_{jk}+A_jg_{ik}-A_kg_{ij}+\Omega^l_{kj}g_{li}+\Omega^l_{ki}g_{lj})+\Omega^m_{ij},

где \Omega^n_{ab}=2\omega_{ba}, \Omega^{n+c}_{ab}=R^{n+c}_{ab}, \Omega^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^c_{ab}, \Omega^{n+c}_{an}=\partial_n\Gamma^c_{ab}x^{n+b}.

Координатное представление коэффициентов \tilde{\Gamma}^m_{ij} для разных значений индексов имеет следующий вид:

\tilde{\Gamma}^c_{ij}=\Gamma^c_{ab},

2\tilde{\Gamma}^{n+c}_{ab}=R^c_{bad}x^{n+d},

\tilde{\Gamma}^n_{ab}=2\omega_{ba}-\partial_ng_{ab},

\tilde{\Gamma}^c_{a,n+b}=g^{cd}R^e_{adf}x^{n+f}g_{eb},

\tilde{\Gamma}^{n+c}_{a,n+b}=\Gamma^c_{ab},

2\tilde{\Gamma}^n_{n+b}=-\partial_n\Gamma^e_{ac}x^{n+c}g_{eb},

2\tilde{\Gamma}^n_{n+a,n+b}=\partial_ng_{ab}.

Теорема

Распределение D косимплектического Би-метрического многообразия M со структурой (\tilde{D},J,\vec{u},\lambda=\eta \circ \pi_*,\tilde{g},D) является косимплектическим Би-метрическим многообразием тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

  1. Распределение D многообразия M имеет нулевую кривизну;
  2. \vec{\xi} — киллингово векторное поле на многообразии M.

Доказательство. Второе условие означает обращение в нуль тензора Схоутена. Найдем условия, при которых выполняется равенство F(\vec{x},\vec{y},\vec{z})=0, где \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(TD). Имеем:

  1. F(\vec{x}^h,\vec{y}^h,\vec{z}^h)=\tilde{g}((\tilde{\nabla}_{\vec{x}^h}J)\vec{y}^h,\vec{z}^h)=\tilde{g}(\tilde{\nabla}_{\vec{x}^h}J\vec{y}^v-J\tilde{\nabla}_{\vec{x}^h}\vec{y}^h,\vec{z}^h)=\tilde{g}(\tilde{\nabla}_{\vec{x}^h}\vec{y}^v-J\tilde{\nabla}_{\vec{x}^h}\vec{y}^h,\vec{z}^h)=-\frac{1}{2}\tilde{g}(R(\vec{p},\vec{y})\vec{x})^h,\vec{z}^h)=\frac{1}{2}g(R(\vec{p},\vec{y})\vec{x},\vec{z});
  2. F(\vec{x}^h,\vec{y}^h,\vec{\xi}^h)=\tilde{g}(\tilde{\nabla}_{\vec{x}^v}J\vec{y}^h-J\tilde{\nabla}_{\vec{x}^v}\vec{y}^h,\vec{\xi}^h)=\tilde{g}(\tilde{\nabla}_{\vec{x}^h}\vec{y}^v,\vec{\xi}^h)=-g((L_{\vec{\xi}}g)(\vec{x},\vec{y})\vec{\xi},\vec{\xi})=-(L_{\vec{\xi}}g)(\vec{x},\vec{y}),

где \vec{x},\vec{y},\vec{z}\in \Gamma(D).

Что и доказывает теорему.

Список литературы

  1. Букушева А.В., Галаев С.В., Иванченко И.П. О почти контактных метрических структурах, определяемых связностью над распределением с финслеровой метрикой // Механика. Математика. 2011. №13. С.10-14.
  2. Букушева А.В., Галаев С.В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика. Механика. 2005. №7. С. 12-14.
  3. Букушева А.В. О геометрии контактных метрических пространств с φ-связностью // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. №17(214). Вып. 40. 2015. С. 20-24.
  4. Букушева А.В. О некоторых классах распределений с финслеровой структурой // Математика. Механика. 2012. №.14. С. 13-16.
  5. Букушева А.В. Когомологии оснащенных распределений // Математика. Механика. 2014. №.16. С.15-18.
  6. Букушева А.В. Слоения на распределениях с финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т.14. №.3. С.247-251.
  7. Букушева А.В., Галаев С.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. №. 3. С. 17-22
  8. Букушева А.В. О некоторых классах продолженных почти параконтактных метрических структур // Сборник научных статей международной конференции "Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования", Барнаул, 20-24 октября 2015. - Барнаул: Изд-во Алтайского ун-та, 2015. С. 471-474.
  9. Букушева А.В., Галаев С.В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Известия высших учебных заведений. Математика. 2013. №4. С. 10-18.
  10. Букушева А.В. Связности с кручением и неголономная геометрия // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения – 2016. Материалы научной конференции, 11–15 апреля 2016 г. – СПб.: Изд. РГПУ им. А.И. Герцена, 2016. С. 146-150.
  11. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении с обобщенной лагранжевой метрикой // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: межвуз. темат. сб. науч. тр. – Калининград : Изд-во БФУ им. И. Канта, 2015. Вып. 46. С.58-62.
  12. Букушева А.В. Изометрические преобразования продолженных почти контактных метрических структур с метрикой полного лифта // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: межвуз. темат. сб. науч. тр. – Калининград : Изд-во БФУ им. И. Канта, 2016. Вып. 47. С. 39-47.
  13. Галаев С.В. N-продолженные симплектические связности в почти контактных метрических пространствах // Известия высших учебных заведений. Математика. 2017. №3. С. 15-23.
  14. Галаев С.В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. № 3(337). С. 632-640.
  15. Галаев С.В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдо-эрмитовой структурой // Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №3. С. 551-555.
  16. Галаев С.В. Допустимые гиперкомплексные структуры на распределениях сасакиевых многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16. №3. С. 263-272.
  17. Галаев С.В. Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств // Чебышевский сборник. 2016. Т. 17. №3(59). С. 53-63.
  18. Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые симплектической связностью над распределением // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №2. С. 136-141.
  19. Галаев С.В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №3. С. 258-263.
  20. Галаев С.В. Продолженные структуры на кораспределениях контактных метрических многообразий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17. Вып. 2. С. 138–147.
  21. Галаев С.В. Почти контактные метрические многообразия с распределением нулевой кривизны // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 2017. №6 (255). Выпуск 46. C. 36-43.
  22. Галаев С.В. О распределениях со специальной квази-сасакиевой структурой // Математическая физика и компьютерное моделирование. 2017. №2 (39). С. 6-17.
  23. Галаев С.В., Гохман А.В. Почти симплектические связности на неголономном многообразии // Математика. Механика. 2001. №3. С. 28-31.
  24. Галаев С.В., Гохман А.В. Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях со связностью // Математика. Механика. 2000. №2. С. 16-19.
  25. Ganchev G., Mihova V., Gribachev K. Almost contact manifolds with B-metric. Math. Balkanica (N.S.) 7 (3-4) (1993) 261–276.
  26. Gribachev K., Mekerov D., Djelepov G., On the geometry of almost B-manifolds. C. R. Acad. Bulgare Sci. 38 (1985) 563–566.
  27. Manev H. Almost contact B-metric structures and the Bianchi classification of the three-dimensional Lie algebras, Annuaire Univ. Sofia Fac. Math. Inform. 102 (2015) 133–144.
  28. Manev H. Matrix Lie groups as 3-dimensional almost contact B-metric manifolds, Facta Univ. Ser. Math. Inform. 30 (3) (2015) 341–351.
  29. Manev H., Mekerov D. Lie groups as 3-dimensional almost contact B-metric manifolds. J. Geom. 106 (2015) 229–242.
  30. Manev M. Contactly conformal transformations of general type of almost contact manifolds with B-metric. Applications. Math. Balkanica (N.S.) 11 (3-4) (1997) 347–357.
  31. Manev M. Curvature properties on some classes of almost contact manifolds with B-metric. C. R. Acad. Bulgare Sci. 65 (5) (2012) 283–290.
  32. Manev M. Pair of associated Schouten-van Kampen connections adapted to an almost contact B-metric structure. Filomat 29 (10) (2015) 2437–2446.
  33. Manev M., Ivanova M. A natural connection on some classes of almost contact manifolds with B-metric. C. R. Acad. Bulg. Sci. 65 (4) (2012) 429–436.
  34. Manev M., Ivanova M. Canonical-type connection on almost contact manifolds with B-metric. Ann. Global Anal. Geom. 43 (4) (2013) 397–408.
  35. Manev M., Ivanova M. A classification of the torsion tensors on almost contact manifolds with B-metric. Cent. Eur. J. Math. 12 (10) (2014) 1416–1432.
  36. Manev M., Ivanova M. Natural connections with torsion expressed by the metric tensors on almost contact manifolds with Bmetric. Plovdiv Univ. Sci. Works – Math. 38 (3) (2011) 47–58.