Мощность акустического поля, действующего на насыщенную жидкостью пористую среду

№74-1,

физико-математические науки

Получены формулы для вычисления мощности сил давления акустического поля для трёх видов граничных условий. Исследованы зависимости мощности поля от параметров акустического поля и среды. Показано, что при больших значениях частоты мощность поля не зависит от граничного условия.

Похожие материалы

Рассмотрим процессы при действии акустического поля на пористую среду, насыщенную жидкостью. Пусть имеется источник акустических волн давления на границе x=0 пористой среды (рис. 1). В результате действия источника жидкость внутри пор будет совершать колебательные движения относительно скелета пористой среды. Таким образом, акустическое поле будет передавать свою энергию пористой среде.

Схематическое изображение насыщенной жидкостью пористой среды
Рисунок 1. Схематическое изображение насыщенной жидкостью пористой среды

Энергию пористой среде передает акустическое давление, которое совершает работу, перемещая частицы среды [1, 3]. Рассмотрим силу, с которой акустическое поле действует на частицы среды, расположенные на плоской элементарной площадке величиной dS. Чтобы найти силу f акустического давления p, действующую на площадку dS, нужно вычислить произведение давления на величину площадки, т.е. f=pdS.

Обозначим через υ скорость частиц, которые лежат на этой площадке. Так как эту скорость частицы приобретают из-за действия акустического поля, то мощность поля равна pυdS. Мощность акустического поля, действующего на площадку dS, зависит от ориентировки площадки относительно направления поля по тому же закону, что и поток массы среды, протекающий через площадку: dG=ρυdS. Тогда, используя аналогию с гидродинамикой, где плотность потока импульса среды определяется по формуле J=ρυ, для плотности потока мощности акустического поля получим [1, 3]:

W=pυ.

Мощность сил давления акустического поля, которая приложена на площадку dS, определяется по формуле

pυdS=WdS.

Рассмотрим случай, когда скелет пористой среды несжимаем. Тогда для вычисления величины мощности сил давления акустического поля n, действующего на единицу площади (dS=1) поверхности пористой среды в точке x=0, т.е. на границе среды (рис. 1), получим формулу

n=up.

Здесь u — скорость фильтрации жидкости в пористой среде.

В некоторых случаях для практического расчета важным является осредненное значение мощности сил давления акустического поля за период колебаний τ, которое вычисляется по формуле

N=\frac{1}{\tau } \int _{0}^{\tau }updt . (1)

Вообще акустическое поле с разными значениями амплитуды и круговой частоты, но с одинаковой мощностью сил давления акустического поля за один и тот же промежуток времени передает пористой среде одинаковую энергию.

Для определения скорости фильтрации и давления рассмотрим математическую постановку задачи.

Так как источники отсутствуют, то закон сохранения массы жидкости имеет форму

m\frac{\partial \rho _{{\it l}} }{\partial t} +\rho _{{\it l}0} \frac{\partial u}{\partial x} =0. (2)

Здесь m — пористость, \rho _{{\it l}} — возмущение плотности жидкости, \rho _{{\it l}0} — плотность жидкости, когда она находится в невозмущенном состоянии, u — скорость фильтрации жидкости.

Рассматриваемый случай соответствует нестационарной фильтрации жидкости в пористой среде, поэтому в уравнении движения следует учесть объемную силу трения [2, 4]

\rho _{{\it l}{\rm 0}} \frac{\partial u}{\partial t} =-m\frac{\partial p}{\partial x} -\frac{m\mu }{k} u, x>0, (3)

где p — возмущение давления, k -проницаемость пористой среды, μ — коэффициент динамической вязкости жидкости.

Уравнение состояния жидкости, находящейся в порах среды имеет следующий вид

p=C_{l}^{2} \rho _{l} . (4)

Здесь Cl — скорость звука в жидкости.

Так как на границе пористой среды имеется источник акустических волн давления, то граничное условие запишется в виде:

p=A_{p} \cos \omega t, x=0, t>0, (5)

где ω и AP — круговая частота и амплитуда волны.

Для правой границы задачи рассмотрим три разных случая [5]:

u=0 (p=0), {\rm x}\to \infty , (6)

u=0, {\rm x}={\rm l}, (7)

p=0, {\rm x}={\rm l}. (8)

Решение исходной задачи будем искать в виде волн, бегущих в обе стороны

p(x,t)=C_{1} \exp \left[-i\left(\omega t-Kx\right)\right]+C_{2} \exp \left[-i\left(\omega t+Kx\right)\right]. (9)

Здесь K — волновое число, C1 и C2 — некоторые константы, i=\sqrt{-1} — мнимая единица. Первый член в (9) описывает распространение волны от источника в пористую среду, а второй член в обратном направлении.

Для трёх граничных условий (6)-(8) получим следующие решения задачи

p(x,t)=A_{p} \exp \left[-i\left(\omega t-Kx\right)\right], (10)

p(x,t)=\frac{A_{p} \exp \left(-i\omega t\right)}{1+\exp \left(2iKl\right)} \left\{\exp \left(iKx\right)+\exp \left(iK\left(2l-x\right)\right)\right\}, (11)

p(x,t)=\frac{A_{p} \exp \left(-i\omega t\right)}{1-\exp \left(2iKl\right)} \left\{\exp \left(iKx\right)-\exp \left(iK\left(2l-x\right)\right)\right\}. (12)

Аналогично, для скорости фильтрации жидкости получим следующее решение в зависимости от граничного условия (6)-(8)

u(x,t)=\frac{A_{p} m\omega }{\rho _{{\it l}0} C_{{\it l}}^{{\rm 2}} K} \exp \left[-i\left(\omega t-Kx\right)\right]^{}, (13)

u(x,t)=\frac{A_{p} m\omega \exp \left(-i\omega t\right)}{\rho _{{\it l}0} C_{{\it l}}^{{\rm 2}} K\left[1+\exp \left(2iKl\right)\right]} \left\{\exp \left(iKx\right)-\exp \left(iK\left(2l-x\right)\right)\right\}, (14)

u(x,t)=\frac{A_{p} m\omega \exp \left(-i\omega t\right)}{\rho _{{\it l}{\rm 0}} C_{{\it l}}^{{\rm 2}} K\left[1-\exp \left(2iKl\right)\right]} \left\{\exp \left(iKx\right)+\exp \left(iK\left(2l-x\right)\right)\right\}. (15)

Подставляя реальные части полученных решений для давления и скорости в уравнение (1), находим формулы для вычисления значений мощности акустического поля

N=\frac{A_{p}^{2} m}{2\rho _{{\it l}{\rm 0}} \omega } \frac{\tilde{k}}{\sqrt{1+\left(\omega t_{\mu } \right)^{-2} } } , (16)

N=\frac{A_{p}^{2} m}{2\rho _{{\it l}0} \omega } \frac{\tilde{k}-\tilde{k}\exp \left(-4\delta l\right)-2\delta \exp \left(-2\delta l\right)\sin \left(2\tilde{k}l\right)}{\sqrt{1+\left(\omega t_{\mu } \right)^{-2} } \left[1+2\exp \left(-2\delta l\right)\cos \left(2\tilde{k}l\right)+\exp \left(-4\delta l\right)\right]} , (17)

N=\frac{A_{p}^{2} m}{2\rho _{{\it l}{\rm 0}} \omega } \frac{\tilde{k}-\tilde{k}\exp \left(-4\delta l\right)+2\delta \exp \left(-2\delta l\right)\sin \left(2\tilde{k}l\right)}{\sqrt{1+\left(\omega t_{\mu } \right)^{-2} } \left[1-2\exp \left(-2\delta l\right)\cos \left(2\tilde{k}l\right)+\exp \left(-4\delta l\right)\right]} . (18)

Здесь \tilde{k}=Re(K), \delta =Im(K).

На рис. 2 приведена зависимость мощности сил давления акустического поля от частоты. Значения параметров поля и среды равны: Ap=2 МПа, l=0.25 м, m=0.2 , k=10-12 м2.

Линия 1 соответствует условию (6); 2 — (7); 3 — (8). Из рис. 2 видно, что при стремлении частоты в бесконечность мощность для рассматриваемых граничных условий выходит некоторую асимптоту. Это объясняется тем, что глубина проникновения волн меньше, чем величина границы l.

Мощность сил давления акустического поля в зависимости от круговой частоты
Рисунок 2. Мощность сил давления акустического поля в зависимости от круговой частоты

Исследования также показали, что с уменьшением проницаемости среды уменьшается также мощность акустического поля. Это объясняется тем, что скорость фильтрации жидкости прямо пропорциональна коэффициенту проницаемости среды, а мощность сил давления акустического поля прямо пропорциональна скорости.

Вывод. Получены формулы для вычисления мощности сил давления акустического поля для трёх видов граничных условий. Исследованы зависимости мощности поля от параметров акустического поля и среды. Показано, что при больших значениях частоты мощность поля не зависит от граничного условия.

Список литературы

  1. Исакович М.А.. Общая акустика. М.: Наука, 1973. – 496 c.
  2. Николаевский, В.Н. О распространении продольных волн в насыщенных жидкостью упругих пористых средах / В.Н. Николаевский // Инженерный журнал, – 1963. – Т.3, № 2 – С. 251-261.
  3. Скучик, Е. Основы акустики: Пер. с англ. / Е. Скучик. – М.: Мир, – Т.1. 1976. – 512 с.
  4. Френкель, Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве / Я.И. Френкель // Изв. АН СССР. Серия географическая и геофизическая. – 1944. – Т.8, № 4. – С. 133-149.
  5. Хусаинов, И.Г. Воздействие акустическим полем на насыщенную жидкостью пористую среду / И.Г. Хусаинов // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 6. URL: http://www.science-education.ru/120-15160 (дата обращения: 31.10.2014).