Математическое моделирование фильтрации жидкости при переменном граничном

№62-2,

технические науки

В работе построена математическая модель, описывающая процесс фильтрации жидкости при переменном поле давления на одной из границ пласта для плоской задачи. Решение уравнения пьезопроводности получено с помощью принципа Дюамеля.

Похожие материалы

Задача исследования фильтрации жидкости в пористой средой встречается в различных областях, но в первую очередь в нефтяной промышленности [7-9].

Математическая модель изотермической однофазной фильтрации жидкости в изотропной пористой среде включает закон сохранения импульса в виде закона фильтрации Дарси, уравнение неразрывности (или закон сохранения массы), а также уравнение состояния [1-4].

В работе построена математическая модель, описывающая процесс фильтрации жидкости при переменном поле давления на одной из границ пласта для плоской задачи.

Пусть в исходном состоянии (t < 0) давление жидкости во всей проницаемой пористой среде вокруг полости постоянно и равно p'0, а сама полость частично заполнена жидкостью и частично газом (рис. 1). В работе рассматривается полость плоской геометрии, представляющей собой трещину. В момент времени t=0 давление в полости мгновенно увеличивается до некоторого значения p0. После этого, за счет фильтрации жидкости в окружающую пористую среду, давление в полости постепенно будет стремиться к значению p'0.

Предполагается, что газовая фаза в полости находится в специальном контейнере, который исключает ее фильтрацию через стенки в окружающую пористую среду.

При описании исследуемого процесса примем следующие допущения: давление внутри полости однородно (пренебрегаем гидростатическим перепадом давления), фильтрация газа через боковые поверхности полости и фазовые переходы отсутствуют. Внутри полости масса газа остается постоянной в течение всего процесса.

Схематическое изображение полости, окруженной пористой средой
Рисунок 1. Схематическое изображение полости, окруженной пористой средой

Будем полагать, что стенки полости (трещины) плоскопараллельны и расстояние между ними намного меньше, чем их линейные размеры. Фильтрация жидкости происходит только через переднюю стенку, а остальные части поверхности полости непроницаемы.

С учетом вышеизложенных допущений запишем следующую систему уравнений, описывающую исследуемый процесс.

Для полости записываем закон сохранения массы и уравнения состояния жидкости и газа. Жидкость внутри полости уменьшается вследствие фильтрации в окружающую пористую среду:

\frac{d\rho }{dt} =-\frac{1}{a} \rho _{l} \left. {\it v}\right|_{r=a} (1)

где \rho — определяется по формуле \rho =\rho _{l} \left(1-\alpha _{g} \right), \rho _{l} — плотность жидкости, \alpha _{g} — объемная доля газа в полости, a — полутолщина полости, {\it v} — скорость фильтрации жидкости через стенки полости.

Так как сжимаемость жидкости, находящейся в полости и в пористой среде, мала, то для жидкости записываем линейное уравнение состояния [10-12]:

p=p_{0} +C_{l}^{2} \left(\rho _{l} -\rho _{l0} \right). (2)

Здесь p0 — начальное значение давления в полости.

Газ будем считать калорически совершенным. Тогда для его поведения примем политропический закон:

\quad \alpha _{g} =\alpha _{g0} \left(p_{0}/p\right)^{1/\gamma}, (3)

где \gamma — показатель политропы, \alpha _{g0} — начальная объемная доля газовой фазы в полости.

Поведение жидкости вокруг полости описывается с помощью закона Дарси и уравнения пьезопроводности. Закон Дарси записывается в виде:

{\it v}{\it '}=-\frac{k}{\mu _{l} } \frac{\partial p{\it '}}{\partial x}, (4)

где \mu _{l} — динамический коэффициент вязкости жидкости, k — коэффициент проницаемости пористой среды, p{\it ',}\, \, \, {\it v'} — давление и скорость фильтрации жидкости вокруг полости. На стенке полости выполняется условие неразрывности среды

{\it v'}={\it v}, x=a.

Поле давления вокруг полости описывается с помощью уравнения пьезопроводности:

\frac{\partial p{\it '}}{\partial t} =\chi _{l} \frac{\partial ^{2} p{\it '}}{\partial x^{2} } ,\, \, \, \, a<x<\infty. (5)

Здесь \chi _{l} — коэффициент пьезопроводности \left(\chi _{l} =\frac{k\rho _{l0} C_{l}^{2} }{m\mu _{l} } \right), m — коэффициент пористости, Cl — скорость звука в жидкости, \rho _{l0} — начальное значение плотности жидкости.

Начальное условие для уравнения пьезопроводности (5) запишем в виде:

p{\it '}=p'_{0} ,\, \, t=0,\, \, a<x. (6)

На стенке полости выполняется условие непрерывности давления. Тогда граничные условия для уравнения пьезопроводности могут быть записаны в виде:

{\it p'}=p(t),\, \, t>0,\, \, x=a\, ,\, \, \, p{\it '}=p'_{0} \, ,\, \, t>0,\, \, x\to \infty \,. (7)

Из принципа Дюамеля [5, 6] следует, что решение уравнения пьезопроводности с граничными условиями, зависящими от времени, можно выразить через решение соответствующей задачи, в которой граничные условия не зависят от времени. Тогда для уравнения (5) с переменным граничным условием (7) может быть получено следующее решение для описания распределения давления в пористом пласте вокруг полости:

p{\it &#39;}-p&#39;_{0} =\int _{0}^{t}\frac{\partial U(r,t-t&#39;)}{\partial t}  \left(p\left(t&#39;\right)-p&#39;_{0} \right)dt, (8)

U(r,t)=\Phi \left(\frac{r-a}{2\sqrt{\chi _{l} t} } \right),\Phi (\xi )=1-\frac{2}{\sqrt{\pi } } \int _{0}^{\xi }\exp (-\lambda ^{2} )d\lambda  ,\left(r>a,\; t>0\right).

Здесь функция U(r,t) является решением уравнения пьезопроводности (5) с постоянным граничным и нулевым начальным условиями.

В решении уравнения пьезопроводности (8) переменное давление p'(t) определяется через систему уравнений (1)-(4).

Вывод

В работе получена система уравнений, описывающая фильтрацию жидкости в полубесконечной пористой среде для случая, когда давление на конечной границе зависит от времени. Полученную математическую модель можно использовать при решении задач нефтегазовой отрасли.

Список литературы

  1. Баренблатт, Г.И. Движение жидкостей и газов в природных пластах / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. – М.: Недра, 1984. – 211 с.
  2. Баренблатт, Г.И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. – М.: Недра, 1972. – 288 с.
  3. Лейбензон, Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде / Л.С. Лейбензон – М.: ОГИЗ, 1947. – 187 с.
  4. Лейбензон, Л.С. Собрание сочинений / Л.С. Лейбензон – М.: Изд. АН СССР, 1955. – Т.3. – 678 с.
  5. Карташов, Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел / Э.М. Карташов. – М.: Высшая школа, 2001. – 547 с.
  6. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: Наука, – 1972. – 736 с.
  7. Хусаинов И.Г. Динамика релаксации давления в полости с плоско-параллельными стенками после ее опрессовки // Современные проблемы науки и образования. — 2014. — № 5; URL: http://www.science-education.ru/119-15159 (дата обращения: 31.10.2014).
  8. Хусаинов И.Г. Оценка качества перфорации скважины акустическим методом // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 5; URL: http://www.science-education.ru/119-14505 (дата обращения: 09.09.2014).
  9. Хусаинов И.Г. Эволюция импульса давления при прохождении через пористую преграду, расположенную в воде // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 11–12. – С. 2645-2649.
  10. Хусаинова Г.Я. Исследование температурных полей при стационарном течении аномальных жидкостей // Автоматизация. Современные технологии. 2016. № 7. С. 13-16.
  11. Хусаинова Г.Я. Моделирование процесса очистки пористой среды растворителями // Автоматизация. Современные технологии. 2015. № 9. С. 39-43.
  12. Хусаинова Г.Я. Плоскорадиальная фильтрация несжимаемой аномальной жидкости // Современная техника и технологии. 2015. № 7 (47). С. 81-83.