Математическое моделирование фильтрации жидкости при переменном граничном

Хусаинов, Исмагильян Гарифьянович

Задача исследования фильтрации жидкости в пористой средой встречается в различных областях, но в первую очередь в нефтяной промышленности [7-9].

Математическая модель изотермической однофазной фильтрации жидкости в изотропной пористой среде включает закон сохранения импульса в виде закона фильтрации Дарси, уравнение неразрывности (или закон сохранения массы), а также уравнение состояния [1-4].

В работе построена математическая модель, описывающая процесс фильтрации жидкости при переменном поле давления на одной из границ пласта для плоской задачи.

Пусть в исходном состоянии (t 0, а сама полость частично заполнена жидкостью и частично газом (рис. 1). В работе рассматривается полость плоской геометрии, представляющей собой трещину. В момент времени t=0 давление в полости мгновенно увеличивается до некоторого значения p₀. После этого, за счет фильтрации жидкости в окружающую пористую среду, давление в полости постепенно будет стремиться к значению p'₀.

Предполагается, что газовая фаза в полости находится в специальном контейнере, который исключает ее фильтрацию через стенки в окружающую пористую среду.

При описании исследуемого процесса примем следующие допущения: давление внутри полости однородно (пренебрегаем гидростатическим перепадом давления), фильтрация газа через боковые поверхности полости и фазовые переходы отсутствуют. Внутри полости масса газа остается постоянной в течение всего процесса.

Рисунок 1. Схематическое изображение полости, окруженной пористой средой

Будем полагать, что стенки полости (трещины) плоскопараллельны и расстояние между ними намного меньше, чем их линейные размеры. Фильтрация жидкости происходит только через переднюю стенку, а остальные части поверхности полости непроницаемы.

С учетом вышеизложенных допущений запишем следующую систему уравнений, описывающую исследуемый процесс.

Для полости записываем закон сохранения массы и уравнения состояния жидкости и газа. Жидкость внутри полости уменьшается вследствие фильтрации в окружающую пористую среду:

$\frac{d\rho }{dt} =-\frac{1}{a} \rho _{l} \left. {\it v}\right|_{r=a}$ (1)

где $\rho$ — определяется по формуле $\rho =\rho _{l} \left(1-\alpha _{g} \right)$ , $\rho _{l}$ — плотность жидкости, $\alpha _{g}$ — объемная доля газа в полости, a — полутолщина полости, ${\it v}$ — скорость фильтрации жидкости через стенки полости.

Так как сжимаемость жидкости, находящейся в полости и в пористой среде, мала, то для жидкости записываем линейное уравнение состояния [10-12]:

$p=p_{0} +C_{l}^{2} \left(\rho _{l} -\rho _{l0} \right)$ . (2)

Здесь p₀ — начальное значение давления в полости.

Газ будем считать калорически совершенным. Тогда для его поведения примем политропический закон:

$\quad \alpha _{g} =\alpha _{g0} \left(p_{0}/p\right)^{1/\gamma}$ , (3)

где $\gamma$ — показатель политропы, $\alpha _{g0}$ — начальная объемная доля газовой фазы в полости.

Поведение жидкости вокруг полости описывается с помощью закона Дарси и уравнения пьезопроводности. Закон Дарси записывается в виде:

${\it v}{\it '}=-\frac{k}{\mu _{l} } \frac{\partial p{\it '}}{\partial x}$ , (4)

где $\mu _{l}$ — динамический коэффициент вязкости жидкости, k — коэффициент проницаемости пористой среды, $p{\it ',}\, \, \, {\it v'}$ — давление и скорость фильтрации жидкости вокруг полости. На стенке полости выполняется условие неразрывности среды

${\it v'}={\it v}, x=a$ .

Поле давления вокруг полости описывается с помощью уравнения пьезопроводности:

$\frac{\partial p{\it '}}{\partial t} =\chi _{l} \frac{\partial ^{2} p{\it '}}{\partial x^{2} } ,\, \, \, \, a<x<\infty$ . (5)

Здесь $\chi _{l}$ — коэффициент пьезопроводности $\left(\chi _{l} =\frac{k\rho _{l0} C_{l}^{2} }{m\mu _{l} } \right)$ , m — коэффициент пористости, C_l — скорость звука в жидкости, $\rho _{l0}$ — начальное значение плотности жидкости.

Начальное условие для уравнения пьезопроводности (5) запишем в виде:

$p{\it '}=p'_{0} ,\, \, t=0,\, \, a<x$ . (6)

На стенке полости выполняется условие непрерывности давления. Тогда граничные условия для уравнения пьезопроводности могут быть записаны в виде:

${\it p'}=p(t),\, \, t>0,\, \, x=a\, ,\, \, \, p{\it '}=p'_{0} \, ,\, \, t>0,\, \, x\to \infty \,$ . (7)

Из принципа Дюамеля [5, 6] следует, что решение уравнения пьезопроводности с граничными условиями, зависящими от времени, можно выразить через решение соответствующей задачи, в которой граничные условия не зависят от времени. Тогда для уравнения (5) с переменным граничным условием (7) может быть получено следующее решение для описания распределения давления в пористом пласте вокруг полости:

$p{\it '}-p'_{0} =\int _{0}^{t}\frac{\partial U(r,t-t')}{\partial t} \left(p\left(t'\right)-p'_{0} \right)dt$ , (8)

$U(r,t)=\Phi \left(\frac{r-a}{2\sqrt{\chi _{l} t} } \right),\Phi (\xi )=1-\frac{2}{\sqrt{\pi } } \int _{0}^{\xi }\exp (-\lambda ^{2} )d\lambda ,\left(r>a,\; t>0\right)$ .

Здесь функция U(r,t) является решением уравнения пьезопроводности (5) с постоянным граничным и нулевым начальным условиями.

В решении уравнения пьезопроводности (8) переменное давление p'(t) определяется через систему уравнений (1)-(4).

Вывод

В работе получена система уравнений, описывающая фильтрацию жидкости в полубесконечной пористой среде для случая, когда давление на конечной границе зависит от времени. Полученную математическую модель можно использовать при решении задач нефтегазовой отрасли.

Математическое моделирование фильтрации жидкости при переменном граничном

технические науки

Похожие материалы

Вывод

Список литературы