Моделирование распространения и затухания акустических волн в пористой среде

№70-1,

технические науки

В работе построена математическая модель, описывающая распространение волны в пористой среде, насыщенной жидкостью. Получено дисперсионное уравнение. Установлены зависимости фазовой скорости и коэффициента затухания волны от параметров пористой среды и жидкости.

Похожие материалы

Исследование распространения акустических волн в пористой среде, насыщенной флюидом, представляет огромный интерес, как с практической точки зрения, так и научной.

Распространение волн в двухфазной среде описывается с помощью дисперсионного уравнения. В общем случае скорость распространения и коэффициент затухания волны зависят от частоты. Для описания распространения и затухания слабых возмущений иногда достаточно применить линеаризованную систему уравнений термодинамики и механики сплошных сред.

Дисперсионное уравнение для пористой среды, насыщенной флюидом, представляет собой уравнение четвертой степени от величины волнового числа. Отсюда следует, что в пористой среде, насыщенной флюидом, распространяются две продольные волны — «медленная» и «быстрая». Первая волна распространяется по флюиду, а вторая — по твердой фазе, т.е. по скелету.

В данной работе скелет пористой среды считается несжимаемым, и поэтому «быстрая» волна не рассматривается.

Пусть имеется пористая среда, насыщенная жидкостью (рис. 1). На границе x=0 среды расположен источник акустических колебаний. Под действием этого источника жидкость внутри пористой среды будет двигаться колебательным образом относительно скелета. При движении жидкости будет происходить трение между скелетом и жидкостью. За счет трения акустическое колебание будет затухать, а работа, совершенная против силы трения, превратиться в тепловую энергию, т.е. скелет пористой среды и жидкость будут нагреваться.

При описании исследуемого процесса будем считать, что изменение температурного поля среды не будет влиять на акустические характеристики системы, которые определяются сжимаемостью и вязкостью жидкости.

Схема насыщенной жидкостью пористой среды
Рисунок 1. Схема насыщенной жидкостью пористой среды

Используя допущения, принятые выше, запишем математическую модель для исследуемого процесса. Закон сохранения жидкости в порах среды имеет следующий вид

m\frac{\partial \rho _{{\it l}} }{\partial t} +\rho _{{\it l}0} \frac{\partial u}{\partial x} =0 (1)

Здесь параметры m — пористость среды, \rho _{{\it l}} — изменение плотности жидкости, \rho _{{\it l}0} — плотность жидкости, которая соответствует невозмущенному начальному состоянию, u — скорость фильтрации жидкости.

Уравнение движения жидкости можно записать в виде

\rho _{l0} \frac{\partial u}{\partial t} =-m\frac{\partial p}{\partial x} -\frac{m\mu }{k} u, x > 0 (2)

Здесь p — изменение давления жидкости, k — проницаемость среды, \mu — коэффициент динамической вязкости жидкости. Третий член в уравнении (2) описывает объёмную силу трения.

Для жидкости уравнение состояния запишем в следующей форме

p=C_{l}^{2} \rho _{l} (3)

где Cl — скорость распространения волны в жидкости.

Гармонические колебания на границе {\it x=}{\rm 0} создаются источником, изменяя давление на этой границе по следующему закону:

p=A_{p} \cos \omega t, x=0, t > 0 (4)

где параметры \omega и AP — круговая частота и амплитуда волны.

Правая граница пористой среды является полубесконечной (0 < x < \infty). В данном случае полубесконечность означает, что характерная глубина проникания акустических волн не достигает правой границы. Тогда граничное условие можно записать в виде

u=0 (p=0),  {\rm x}\to \infty (5)

Из исходной системы уравнений (1)–(3), выполняя некоторые преобразования, можно получить уравнение только для давления

C_{{\it l}}^{{\rm 2}} \frac{\partial ^{2} p}{\partial x^{2} } =\frac{\partial ^{2} p}{\partial t^{2} } +\frac{1}{t_{\mu } } \frac{\partial p}{\partial t} ,   t_{\mu } =\frac{k\rho _{{\it l}0} }{m\mu } (6)

Данное уравнение имеет решение в виде бегущих гармонических волн

p(x,t)=C_{1} \exp \left[-i\left(\omega t-Kx\right)\right]+C_{2} \exp \left[-i\left(\omega t+Kx\right)\right] (7)

Здесь C1 и C2 — некоторые параметры, i=\sqrt{-1} — мнимая единица, K -волновое число. В общем случае волновое число является комплексной величиной. В решении (7) первый член правой части описывает распространение гармонической волны от точки её создания в пористую среду, а второй член описывает распространение волны в обратном направлении.

Используя выражение (7) для давления получим аналитическое решение в виде

p(x,t)=A_{p} \exp \left[-i\left(\omega t-Kx\right)\right] (8)

Аналогично для скорости фильтрации жидкости можно получить следующее решение

u(x,t)=\frac{A_{p} m\omega }{\rho _{{\it l}0} C_{{\it l}}^{{\rm 2}} K} \exp \left[-i\left(\omega t-Kx\right)\right] (9)

Чтобы вычислить физическую величину давления или скорости фильтрации следует взять действительную часть от правой части в формулах (8) и (9).

Волновое число в формулах (8) и (9) является комплексной величиной и определяется по следующей формуле

K=\frac{\omega }{C_{{\it l}} } \sqrt{1+\frac{i}{\omega t_{\mu } } } (10)

Здесь волновое число можно записать в виде K=\tilde{k}+i\delta,

\tilde{k}=\frac{\omega }{C_{{\it l}} \sqrt{2} } \sqrt{\sqrt{1+\left(t_{\mu } \omega \right)^{-2} } +1} , \delta =\frac{\omega }{C_{{\it l}} \sqrt{2} } \sqrt{\sqrt{1+\left(t_{\mu } \omega \right)^{-2} } -1} (11)

При больших значениях частоты (\omega \ge 10^{6} \, \, c^{-1}) параметр \delta принимает асимптотическое значение, равное \frac{1}{2C_{l} t_{\mu } }. Это означает, что при больших частотах величина проникания волны давления в пористую среду зависит от физических параметров системы.

На рис. 2 и 3 представлены зависимости коэффициента затухания \delta и фазовой скорости Cp волны от частоты \omega. Параметры системы взяты следующие: \rho _{l0} =1000 кг/м3, \mu =0.001Па\cdot c, C_{l} =1500м/с. Линиям 1 получены при значениях параметров m=0.1,  k=10^{-12} м2, линии 2 — m=0.2,\, \, \, \, k=10^{-12} м2, линии 3 — m=0.1, k=10^{-13} м2, линии 4 — m=0.2,  k=10^{-13} м2. Из рис. 3 видно, когда значение частоты мала, то скорость распространения волны также мала.

Увеличение значения проницаемости среды приводит к увеличению фазовой скорости и уменьшению коэффициента затухания, увеличение значения пористости среды приводит к уменьшению фазовой скорости и увеличению коэффициента затухания. Кроме этого исследованы также зависимости фазовой скорости и коэффициента затухания волны от параметров жидкости.

Зависимости коэффициента затухания δ волны от круговой частоты ω
Рисунок 2. Зависимости коэффициента затухания δ волны от круговой частоты ω
Зависимости фазовой скорости C<sub>p</sub> волны от круговой частоты ω
Рисунок 3. Зависимости фазовой скорости Cp волны от круговой частоты ω

Вывод. В работе построена математическая модель, описывающая распространение волны в пористой среде, насыщенной жидкостью. Получено дисперсионное уравнение. Установлены зависимости фазовой скорости и коэффициента затухания волны от параметров пористой среды и жидкости.

Список литературы

  1. Баренблатт, Г.И. Движение жидкостей и газов в природных пластах / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. – М.: Недра, 1984. – 211 с.
  2. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика: Учебник для вузов. – М.: Недра, 1993. – 416 с.
  3. Бузинов С.Н., Умрихин И.Д. Исследование нефтяных и газовых скважин и пластов. – М.: Недра, 1984. – 269 с.
  4. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: Наука, – 1972. – 736 с.
  5. Хусаинов И.Г. Акустическое зондирование перфорированных скважин короткими волнами // Прикладная механика и техническая физика. – 2013. – Т. 54, № 1. – С. 86-93.
  6. Хусаинов И.Г. Отражение акустических волн в цилиндрическом канале от перфорированного участка // Прикладная математика и механика. – 2013. – Т. 77. – № 3. – С. 441-451.
  7. Хусаинова Г.Я. Моделирование процесса очистки пористой среды растворителями // Автоматизация. Современные технологии. 2015. № 9. С. 39-43.
  8. Хусаинова Г.Я. Исследование температурных полей при стационарном течении аномальных жидкостей // Автоматизация. Современные технологии. 2016. № 7. С. 13-16.