Математическое моделирование поведения пузырька, находящегося под воздействием акустического поля

№35-1,

технические науки

В статье рассматривается одиночный газовый пузырек, расположенный в центре наполненной жидкостью сферической колбы и находящийся под воздействием акустического поля. Получена математическая модель задачи в виде системы уравнений, описывающей поведение пузырька.

Похожие материалы

Исследования относительно динамики находящегося в жидкости газового пузырька под воздействием акустического поля имеют важные приложения в области нефтегазодобывающей промышленности, энергетики и химической технологии. В связи с этим, рассматриваемая в статье задача является достаточно актуальной. В работах [1-7] акустическое поле используется в исследовании системы скважина - пористая среда.

Будем рассматривать сферическую колбу с жидкостью, внутри которой сформирована акустическая сферическая стоячая волна. Наличие сферической волны означает, что давление жидкости внутри колбы задается функцией

 P(r,t)=P_{0} +\frac{\sin (kr)}{kr} P_{a} (t)  (1)

где акустическое давление в центре сферической колбы с амплитудой P_{a} описывается с помощью выражения

P_{a} (t)=-P_{a} \sin (\omega \cdot t). 

Здесь r - радиальная координата; \omega - частота: k - волновое число акустического поля: k=\frac{\omega }{c_{l} } ; \lambda =\frac{1}{k} - длина волны; c_{l} - скорость звука в жидкости.

Поместим в центр этой колбы маленький пузырек. Известно, что в этом случае пузырек начинает совершать некие ``танцующие'' движения неподалеку от центра колбы. В то же время пузырек пульсирует с высокой частотой, т.е. происходит рост и схлопывание (коллапс) пузырька, во время которого возникает свечение. Если пузырек имеет размеры около 30-40 микрон, то так называемое ``танцующее'' движение происходит с амплитудой порядка нескольких миллиметров. Т.е. смещение пузырька можно наблюдать невооруженным глазом, тогда как размеры пузырька очень малы.

Будем принимать во внимание следующие силы, действующие на пузырек.

1. Силу Архимеда и силу тяжести. Это значит, что на пузырек действует выталкивающая сила - сила Архимеда, которая направлена противоположно силе тяжести. Сумма этих сил равна

 \vec{F}_{a} =-V_{b} \cdot (\rho _{l} -\rho _{g} )\vec{g}  (2)

Здесь V_{b} - объем пузырька; V_{b} =\frac{4}{3} \pi \cdot R^{3} ; \rho _{l} - плотность жидкости; \rho _{g} - плотность газа; (V_{b} \cdot \rho _{l} ) - масса вытесненной пузырьком жидкости.

2. Силу Бьеркнеса.

\vec{F}_{b} =-V_{b} \cdot \vec{\nabla }P (3)

Последнее выражение показывает, что пузырек испытывает на себе действие некой силы, зависящей от изменения давления, т.е. пузырек ``шевелится'', если давление жидкости вокруг него распределено неравномерно. Тогда и появляется сила Бьеркнеса.

Природа сил \vec{F}_{a} и \vec{F}_{b} одинакова. Выражения (2) и (3) похожи. Выражение (3) показывает, что пузырек находится в поле силы, действующей вертикально, т.е. в поле силы тяжести (см. рис. 1). Формула (2) показывает, что на пузырек действует поле сил давления окружающей жидкости.

Рис. 1. Схематическое изображение пузырька в колбе

3. Сила присоединенной массы. Предполагается, что пузырек меняет объем, т.к. под действием акустического поля пузырек сжимается и расширяется. Таким образом, пузырек заставляет двигаться жидкость, окружающую его, и масса этой жидкости зависит от величины толкающей поверхности пузырька, т.е. от его радиуса. При этом предполагается, что пузырек сохраняет сферическую форму. Исходя из описанного, будем рассматривать радиус пузырька как функцию времени $R=R(t)$. Сила присоединенной массы описывается с помощью уравнения

 \vec{F}_{p} =\frac{1}{2} \frac{d}{dt} (V_{b} \cdot \rho _{l} [\vec{V}_{l} -\vec{V}_{b} ]) (4)

4. Сила сопротивления жидкости.  Будем аппроксимировать силу сопротивления жидкости выражением

\vec{F}_{c} =4\pi \mu _{l} R(\vec{v}_{l} -\vec{v}_{b}) (5)

где R - радиус пузырька.

5. Сила инерции.

 \vec{F}_{i} =m\frac{\partial }{\partial t} \vec{v}_{b} (t) (6)

Здесь масса пузырька определяется по формуле

 m=\frac{4}{3} \pi \cdot R_{0}^{3} \rho _{g0} (7)

Сумма всех сил даст уравнение движения пузырька

 {F}=\vec{F}_{a} +\vec{F}_{b} +\vec{F}_{p} +\vec{F}_{c} +\vec{F}_{i} (8)

Последнее уравнение будем рассматривать в полярной системе координат $(r,\theta )$. Разложение уравнения (8) по компонентам \vec{e}_{r} и \vec{e}_{\theta } приводит к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям:

\ddot{r}-r\dot{\theta }^{2} =3\dot{v}_{l} +(v_{l} -\dot{r})\left(\frac{9v_{l} }{R^{2} } +\frac{3\dot{R}}{R} \right)+2g\cos \theta (9)

r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }=3v_{l} \dot{\theta }-r\dot{\theta }\left(\frac{9\nu _{l} }{R^{2} } +\frac{3\dot{R}}{R} \right)-2g\sin \theta (10)

где \theta - угол отклонения пузырька от вертикальной оси.

К полученным уравнениям добавим уравнение Рэлея-Ламба, описывающее радиальное движение газового пузырька в несжимаемой жидкости в поле сил давления (1):

{\left(1-\frac{\dot{R}}{c} \right)R\ddot{R}+\frac{3}{2} \dot{R}^{2} \left(1-\frac{\dot{R}}{3c} \right)=\left(1+\frac{\dot{R}}{c} \right)\frac{P_{l} }{\rho } +\frac{R}{\rho c} \dot{P}_{l} } (11)

Здесь давление P_{l} определяется из выражения

P_{l} =\left(P_{0} +\frac{2\sigma }{R_{0} } \right)\left(\frac{R_{0} }{R} \right)^{3\gamma } -P_{0} -\frac{2\sigma }{R} -\frac{4\mu }{R} \dot{R}+P_{a} \frac{\sin kx}{kx} \sin \omega t.

Таким образом, исследуемое явление описывается с помощью модели, состоящей из трех обыкновенных дифференциальных уравнений (9)-(11).

Полученная система уравнений может быть использована для проведения вычислительного эксперимента с целью исследования зависимости колебательного движения пузырька от его начального радиуса, частоты и амплитуды колебания акустической волны.

Список литературы

  1. Хусаинов И.Г. Акустическое зондирование перфорированных скважин короткими волнами // ПМТФ. – 2013. – Т 54. – №1. – С.86-93.
  2. Хусаинов И.Г. Воздействие акустическим полем на насыщенную жидкостью пористую среду // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 6; URL: http://www.science-education.ru/120-15160 (дата обращения: 31.10.2014).
  3. Хусаинов И.Г. Динамика релаксации давления в полости с плоско-параллельными стенками после ее опрессовки // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 5 – С. 794; URL: http://www.science-education.ru/119-15159 (дата обращения: 31.10.2014).
  4. Хусаинов И.Г. Отражение акустических волн в цилиндрическом канале от перфорированного участка // ПММ. – 2013. – Т. 77. – №3. – С.
  5. Хусаинов И.Г. Оценка качества перфорации скважины акустическим методом // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 5 – С. 787; URL: http://www.science-education.ru/119-14505 (дата обращения: 09.09.2014).
  6. Хусаинов И.Г. Эволюция импульса давления при прохождении через пористую преграду, расположенную в воде // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 11–12. – С. 2645-2649; URL: www.rae.ru/fs/?section=content&op =show_article&article_id=10005306 (дата обращения: 24.12.2014).
  7. Хусаинов И.Г., Хусаинова Г.Я. Исследование параметров пласта методом опрессовки // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 3 – С. 705; URL: http://www.science-education.ru/117-13813 (дата обращения: 04.07.2014).