Интерес к проблемам волновой динамики пузырьковых жидкостей обусловлен важностью приложений результатов исследований к задачам энергетики, нефтегазодобывающей промышленности и химической технологии [1, 4-7]. Параметры волн в пузырьковых средах во многом определяются поведением одиночного пузырька при его взаимодействии с проходящими волнами сжатия и разрежения. Многие теоретические модели основаны на предположении о сферичности газового пузырька в процессе осцилляций и несжимаемости жидкой фазы.
В работе [3] получена математическая модель, описывающая поведения одиночного газового пузырька в поле акустической сферической стоячей волны. В данной статье рассматриваются результаты численных экспериментов, посвященных исследованию поведения одиночного газового пузырька, расположенного в центре наполненной жидкостью сферической колбы и находящегося под воздействием акустического поля.
Динамика газового пузырька в акустическом поле описывается с помощью следующей системы уравнений [3]:
(1)
(2)
(3)
Здесь r и θ — радиальная и угловая координаты; ρ — плотность жидкости; c- скорость звука в жидкости; R — радиус пузырька; Pl — давление.
Система уравнений (1)-(3) была численно исследована методом Дормана-Принса пятого порядка [2, 8, 9]. Этот метод позволяет автоматически подбирать длину шага так, чтобы локальная погрешность не превышала предписанной допустимой величины. Это свойство метода особенно важно, т.к. при приближении к коллапсу схлопывание пузырька происходит очень быстро (рис.1), поэтому в окрестности точек коллапса необходимо дробить шаг.
Достаточно удивительным образом ведет себя радиус пузыря. На рис. 1 изображены колебания радиуса пузырька от времени. Сначала радиус медленно увеличивается, а затем резко уменьшается. На рис. 1 приведены зависимости 1-й и 2-й мод от времени за 4 цикла.
В ходе численных экспериментов было выявлено существование трех видов решений системы уравнений (1)-(3). В качестве управляющего параметра был выбран начальный радиус пузырька R0. На рис. 2-4 приведены зависимости координаты r(t) от времени при разных значениях параметра R0. В области значений параметра R0 от 31 mkn до 32,4 mkn реализуется стационарное решение (рис. 2). При значениях R0∈[32.5;33.6] решение становится хаотическим (рис. 3). В области параметра R0∈[33.7;34.1] решение становится периодическим (рис. 4).
Как видно из рис. 3 и 4, трансляционная составляющая r(t) имеет достаточно большую амплитуду. В ходе исследования зависимости трансляционного движения пузыря от начального радиуса R0 обнаружены два типа "танцующего движения'' около некоторого положения равновесия: 1) низкочастотная модуляция (рис. 4) и 2) хаос (рис. 3). При низкочастотной модуляции пузырь выполняя свой "танец на месте'', сначала уходит от центра, а затем резко изменяет направление движения и возвращается обратно. Траектория движения очень похожа на синусоиду (рис. 4). Причем вид траектории зависит от R0. Хаотической движение пузыря наблюдается в нескольких областях значенийR0. В частности, при постепенном увеличении значения радиуса пузыря R0 от 33 mkn до 33.5 mkn обнаружен классический путь перехода к хаосу.
На рис. 5 показаны квазипериодические колебаний r(t). Видно, что амплитуда колебаний может достигать до значения 3000 mkn. Такое решение реализуется при значении параметра R0=40 mkn.
В акустическом поле значение радиуса пузырька меняется со временем. Из рис. 6 видно, что с увеличением начального значения R0 увеличивается также максимальное значение радиуса пузырька.
Выводы
Таким образом, результаты исследований показали, что под действием акустического поля пузырек совершает колебательные движения. Причем, имеют место, как колебания радиуса пузырька, так и перемещение пузырька внутри колбы. В зависимости от своего начального радиуса, пузырек может всплывать до определенного места в акустическом поле и «зависать» там, испытывая только радиальные колебания. При некоторых других значениях начального радиуса, пузырек начинает перемещаться около некоторого положения равновесия, совершая так называемые «танцующие» движения. В работе приводится система уравнений, описывающая такие движения, и рассматриваются результаты численных экспериментов.