Исследование движения газового пузырька, находящегося под действием сферической волны

№35-1,

технические науки

В статье приведены результаты численных экспериментов, посвященных исследованию поведения одиночного газового пузырька, расположенного в центре наполненной жидкостью сферической колбы и находящегося под воздействием акустического поля. Показано, что под действием акустического поля происходит колебания радиуса пузырька и перемещение пузырька внутри колбы.

Похожие материалы

Интерес к проблемам волновой динамики пузырьковых жидкостей обусловлен важностью приложений результатов исследований к задачам энергетики, нефтегазодобывающей промышленности и химической технологии [1, 4-7]. Параметры волн в пузырьковых средах во многом определяются поведением одиночного пузырька при его взаимодействии с проходящими волнами сжатия и разрежения. Многие теоретические модели основаны на предположении о сферичности газового пузырька в процессе осцилляций и несжимаемости жидкой фазы.

В работе [3] получена математическая модель, описывающая поведения одиночного газового пузырька в поле акустической сферической стоячей волны. В данной статье рассматриваются результаты численных экспериментов, посвященных исследованию поведения одиночного газового пузырька, расположенного в центре наполненной жидкостью сферической колбы и находящегося под воздействием акустического поля.

Динамика газового пузырька в акустическом поле описывается с помощью следующей системы уравнений [3]:

\ddot{r}-r\dot{\theta }^{2} =3\dot{v}_{l} +(v_{l} -\dot{r})\left(\frac{9v_{l} }{R^{2} } +\frac{3\dot{R}}{R} \right)+2g\cos \theta (1)

r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }=3v_{l} \dot{\theta }-r\dot{\theta }\left(\frac{9\nu _{l} }{R^{2} } +\frac{3\dot{R}}{R} \right)-2g\sin \theta (2)

 {\left(1-\frac{\dot{R}}{c} \right)R\ddot{R}+\frac{3}{2} \dot{R}^{2} \left(1-\frac{\dot{R}}{3c} \right)=\left(1+\frac{\dot{R}}{c} \right)\frac{P_{l} }{\rho } +\frac{R}{\rho c} \dot{P}_{l} } (3)

Здесь r и \theta - радиальная и угловая координаты; \rho - плотность жидкости; c- скорость звука в жидкости; R - радиус пузырька; P_{l} - давление.

Система уравнений (1)-(3) была численно исследована методом Дормана-Принса пятого порядка [2, 8, 9]. Этот метод позволяет автоматически подбирать длину шага так, чтобы локальная погрешность не превышала предписанной допустимой величины. Это свойство метода особенно важно, т.к. при приближении к коллапсу схлопывание пузырька происходит очень быстро (рис.1), поэтому в окрестности точек коллапса необходимо дробить шаг.

Достаточно удивительным образом ведет себя радиус пузыря. На рис. 1 изображены колебания радиуса пузырька от времени. Сначала радиус медленно увеличивается, а затем резко уменьшается. На рис. 1 приведены зависимости 1-й и 2-й мод от времени за 4 цикла.

Изменение радиуса пузырька R

Рис.1. Изменение радиуса пузырька R

В ходе численных экспериментов было выявлено существование трех видов решений системы уравнений (1)-(3). В качестве управляющего параметра был выбран начальный радиус пузырька R_{0}. На рис. 2-4 приведены зависимости координаты r(t) от времени при разных значениях параметра R_{0} . В области значений параметра R_{0} от 31 mkn до 32,4 mkn реализуется стационарное решение (рис. 2). При значениях R_{0} \in \left[32.5;33.6\right] решение становится хаотическим (рис. 3). В области параметра R_{0} \in \left[33.7;34.1\right] решение становится периодическим (рис. 4).

Зависимость координаты центра пузырька от времени при R_{0} \in \left[31;32.4\right]

Рис.2. Зависимость координаты центра пузырька от времени при R_{0} \in \left[31;32.4\right]

Хаотическое поведение значения координаты центра пузырька

Рис. 3. Хаотическое поведение значения координаты центра пузырька

Периодическое колебание значения координаты центра пузырька при R_{0} \in \left[31;32.4\right]

Рис. 4. Периодическое колебание значения координаты центра пузырька при R_{0} \in \left[31;32.4\right]

Как видно из рис. 3 и 4, трансляционная составляющая r(t) имеет достаточно большую амплитуду. В ходе исследования зависимости трансляционного движения пузыря от начального радиуса R_{0} обнаружены два типа "танцующего движения'' около некоторого положения равновесия: 1) низкочастотная модуляция (рис. 4) и 2) хаос (рис. 3). При низкочастотной модуляции пузырь выполняя свой ``танец на месте'', сначала уходит от центра, а затем резко изменяет направление движения и возвращается обратно. Траектория движения очень похожа на синусоиду (рис. 4). Причем вид траектории зависит от R_{0}. Хаотической движение пузыря наблюдается в нескольких областях значений R_{0}. В частности, при постепенном увеличении значения радиуса пузыря R_{0} от 33 mkn до 33.5 mkn обнаружен классический путь перехода к хаосу.

На рис. 5 показаны квазипериодические колебаний r(t). Видно, что амплитуда колебаний может достигать до значения 3000 mkn. Такое решение реализуется при значении параметра R_{0}=40 mkn.

Квазипериодическое колебание пузырька

Рис. 5. Квазипериодическое колебание пузырька

В акустическом поле значение радиуса пузырька меняется со временем. Из рис. 6 видно, что с увеличением начального значения R_{0} увеличивается также максимальное значение радиуса пузырька.

Зависимость максимального значения радиуса пузырька от его начального значения R_{0}

Рис. 6. Зависимость максимального значения радиуса пузырька от его начального значения R_{0}

Выводы. Таким образом, результаты исследований показали, что под действием акустического поля пузырек совершает колебательные движения. Причем, имеют место, как колебания радиуса пузырька, так и перемещение пузырька внутри колбы. В зависимости от своего начального радиуса, пузырек может всплывать до определенного места в акустическом поле и “зависать” там, испытывая только радиальные колебания. При некоторых других значениях начального радиуса, пузырек начинает перемещаться около некоторого положения равновесия, совершая так называемые “танцующие” движения. В работе приводится система уравнений, описывающая такие движения, и рассматриваются результаты численных экспериментов.

Список литературы

  1. Володин С.В., Дмитриев В.Л., Хусаинов И.Г. Распространение линейных волн во влажных насыщенных газом пористых средах // Теплофизика высоких температур. 2009. Т. 47. № 5. С. 734-740.
  2. Хусаинов И.Г. Исследование влияния структурных изменений на реологическое поведение неньютоновских систем / Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук / Башкирский государственный университет. Уфа, 1992
  3. Хусаинов И.Г. Mатематическое моделирование поведения пузырька, находящегося под воздействием акустического поля // NovaInfo.Ru (Электронный журнал.) – 2015 г. – № 35; URL: http://novainfo.ru/archive/35/matematicheskoe-modelirovanie-povedeniya-puzyrka
  4. Хусаинов И.Г., Дмитриев В.Л. Исследование эволюции волнового импульса при прохождении через пористую преграду // Прикладная механика и техническая физика. 2011. Т. 52. № 5 (309). С. 136-145.
  5. Хусаинов И.Г., Хусаинова Г.Я. Исследование распространения линейных волн в насыщенной газом пористой среде // Фундаментальные и прикладные исследования в современном мире. 2014. Т. 1. № 06. С. 94-97.
  6. Хусаинова Г.Я. Исследование температурных полей аномальных жидкостей // NovaInfo.Ru (Электронный журнал.) – 2015 г. – № 35; URL: http://novainfo.ru/archive/35/issledovanie-temperaturnykh-poley-anomalnykh-zhidkostey
  7. Шагапов В.Ш., Хусаинов И.Г., Дмитриев В.Л. Распространение линейных волн в насыщенных газом пористых средах с учетом межфазного теплообмена // Прикладная механика и техническая физика. 2004. Т. 45. № 4 (266). С. 114-120.
  8. Akhatov I.S., Khasanov M.M., Khusainov I.G. Stability analysis for the movement of strings in thixotropic liquid // Инженерно-физический журнал. 1994. Т. 66. № 4. С. 405-411.
  9. Ахатов И.Ш., Хасанов М.М., Хусаинов И.Г. Авто-и стохастические колебания в гидродинамике неньютоновских жидкостей // Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. № 1. С. 71.