Пример применения методов математического моделирования

Математическое моделирование имеет большое число областей применения. Возможности формализированного представления объектов реального мира с помощью математических моделей дают мощный инструмент для познания, прогнозирования и управления. В качестве одного из примеров эффективного применения методов математического моделирования рассмотрим формализацию фрагмента учебника по русскому языку.

В качестве теоретической основы возьмем схему построения модели теоретического материала учебного пособия, разработанную Д.А. Бояриновым [1, с. 129]. Она сводится к следующему: вершины графа сопоставляются понятиям (объектам, событиям, процессам), а дуги — отношениям на множестве понятий.

Для построения модели материала некоторого учебного пособия F требуется:

1. Разобрать математическое содержание отобранного материала;
2. Разбить материал на логически завершенные и самостоятельные части;
3. Выявить логические связи частей;
4. Выделить в тексте структурные элементы (определения, утверждения, алгоритмы, иллюстрации и т.п.);
5. Изучить характер логических обоснований различных частей;
6. Соотнести упражнения с выделенными в пункте б) частями.

На графовой модели вершины графа ассоциируются с элементами знания по данной теме, дуги — с наличием между элементами знания логических и причинно-следственных связей между соответствующими элементами знания.

Под элементами знания понимаются все понятия, определения, алгоритмы, формулы, аксиомы, теоремы, которые в совокупности образуют основу теоретического материала, и усвоение которых требуется обязательными стандартами обучения.

Очевидно, что решение задачи требует владения всеми элементами знания, ассоциированными с данной задачей. Кроме того, владение некоторым элементом знания X невозможно без владения всеми элементами знания Y, на которые он опирается. Таким образом, решение задачи требует владения и этими элементами знания. Если речь идет об упражнении, то его выполнение способствует отработке всех элементов знания, на которые опирается задача, элементов ассоциированных с ней, а также связей между ними.

При решении задач по определенной теме обычно предполагается, что задача должна решаться выбранным методом. Если зафиксировать некоторое решение задачи, то на набор элементов знания, используемых в решении, может составить графовую модель.

На основе представлений о моделях задачи и теоретического материала учебного пособия можно построить модель задачника. Для этого задачник рассматривается как система задач.

Модель системы задач — неориентированный граф. Его вершины — все элементы знания, с каждым из которых ассоциирована хотя бы одна задача из системы. Число ребер, соединяющих две вершины, равно числу задач, модель которых включает ребро, соединяющее эти две вершины. [2, с. 121].

Рассмотрим систему задач, учебного пособия [3], состоящую из упражнений № 638 1), № 639, № 640.

Упражнение № 638 1) учебного пособия [3].

«Выпишите примеры к правилу «Правописание – тся и – ться в глаголах». Объясните написание этих глаголов.

Предположим ученик на пятерки учит..ся.

Очень любит он учит..ся и от книг (не)мучит..ся.

Превосходный человек из него получит..ся».

Упражнение № 639 учебного пособия [3].

«Замените выделенные глаголы близкими по смыслу глаголами с суффиксом – ся. Ставьте к ним вопросы.

1. Не о чем хлопотать;
2. Кто-то заразительно хохочет;
3. Туристы стали влезать на вершину горы;
4. Малыш выздоравливает;
5. Пролетит поезд.

Для справок: взбираться, заботиться, поправляться, смеяться, промчаться.»

Упражнение № 640 учебного пособия [3].

«Выпишите из пословиц отдельно 1) словосочетания с глаголами на – тся; 2) словосочетания с глаголами на – ться.

1. Трус и тени своей бои..ся;
2. Волков боя..ся — в лес не ходить;
3. От работы руки (не)отниму..ся;
4. Лентяю и приподня..ся лень;
5. На миру и работа спори..ся;
6. Всякий человек по делу узнае..ся;
7. Всякое дело человеком стави..ся, человеком и слави..ся.».

Модель такой системы изображена на рисунке 1 [4].

В данной модели вершинам графа соответствуют следующие элементы знания:

1. Глагол как часть речи;
2. Не с глаголами;
3. Неопределенная форма глагола;
4. Правописание — тся;
5. Правописание — ться.

Построение математической модели учебника по русскому языку позволяет делать выводы о соответствии упражнений, представленных для отработки теоретического материала и самого теоретического материала учебника, а также о том какими упражнениями, возможно, необходимо дополнить соответствующие темы.